专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式非负性综合 题型二 二次根式混合运算 题型三 含二次根式的代数式化简求值 题型四 二次根式比较大小 题型五 分母有理化（裂项相消） 题型六 二次根式的化简求值 题型七 二次根式规律探究题 题型八 二次根式的综合应用 【经典例题一 二次根式非负性综合】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则． 并给出了论证： 和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时 ，得 ， 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的论证过程； (2)若和为相邻的两个整数，求a的值； (3)若和为相差4的两个整数，求a的值． 【经典例题二 二次根式混合运算】 8．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 9．（25-26八年级下·全国·月考）小李在计算式子“”时发现“■”处的数印刷不清楚． (1)他把“■”处的数猜成2．请你计算：． (2)小李妈妈说：“你猜错了，这道题的标准答案是，”请你通过计算说明原题中“■”是几．        10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）观察下列各式： ①，②，③，④，… 利用你观察到的规律解决下列问题： (1)________，________； (2)计算的值． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）小颖计算的过程如下： 解：原式  第①步   第②步 ．  第③步 小娜说小颖的计算是有问题的，你觉得第几步有问题？请写出小颖出错的原因，并写出正确的过程． 12．（25-26八年级下·河南·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由． 13．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）数学课堂上，为了让同学们更好地掌握二次根式的混合运算，老师设计了一个填数游戏，题目形式为：在“”中的“□”内填入数，并计算结果． (1)小美填入的数是，下面是她的计算过程： 第一步 第二步 第三步 老师发现小美的解法有错，请你指出小美是从第_____步开始出错的，正确的结果应该是_____； (2)小明在“□”内填入数后，计算的结果为0，求小明填入的数． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【经典例题三 含二次根式的代数式化简求值】 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 16．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）已知， (1)求代数式的值 (2)求代数式的值 17．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 18．（25-26八年级上·上海·月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式的值． 解：根据，得， ． ． ． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 19．（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 20．（24-25八年级下·广西·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． (1)直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 21．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【经典例题四 二次根式比较大小】 22．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 24．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）若a、b为实数，且，，比较与的大小． （2）在一般情况下，若a、b为实数，且，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 25．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 26．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 27．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 28．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读学习，解决问题： 小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1)我们知道：；，…… 由此可归纳出结论1：若，则 (2) …… 由此可归纳出结论2：______． (3)根据上面的结论计算： ∵ ∴ 类似的： ∵ ∴______ 由此可归纳出结论3：______（n为正实数） (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小 【经典例题五 分母有理化（裂项相消）】 29．（24-25八年级上·广东佛山·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用，具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和． 例如： 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项． 例如：． (1)模仿材料中的计算方法，化简： ． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子 ． (3)利用极式裂项求解：． 30．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，例如∶两个无理数，为“友好无理数”，则，请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，…，第n个数记作．即，，，…，．已知，且这n个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，那么 ． ②如果，那么 ． 31．（25-26八年级上·江西南昌·期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简___________，___________； (2)化简：； (3)化简：． 32．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． (1)模仿材料中的计算方法，化简：______． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子______． (3)利用根式裂项求解：． 33．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 34．（25-26八年级上·河南郑州·月考）【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 35．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【经典例题六 二次根式的化简求值】 36．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 37．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 39．（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算： （2）下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 40．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【基本概念】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如—样的式子，其实我们还可将其进一步化简：，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 【理解应用】 （1）化简； 【拓展提升】 （2）化简：． 41．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 42．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【经典例题七 二次根式规律探究题】 43．（24-25八年级下·山西太原·期中）观察下列各式并按规律填空： ；；… (1)___________，___________； (2)按此规律第n个式子可以表示为___________； (3)并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程） 44．（24-25八年级下·安徽·月考）观察下列各式： ，，，… (1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； (2)请你验证所发现的规律． 45．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 46．（24-25八年级下·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 47．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 48．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 49．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 【经典例题八 二次根式的综合应用】 50．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 51．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 52．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． (1)从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ (2)从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 53．（24-25八年级下·山东聊城·期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； (1)请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； (2)试把小亮的方法推广到一般情况： 已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． (3)请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 54．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 55．（24-25八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 56．（25-26八年级下·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式非负性综合 题型二 二次根式混合运算 题型三 含二次根式的代数式化简求值 题型四 二次根式比较大小 题型五 分母有理化（裂项相消） 题型六 二次根式的化简求值 题型七 二次根式规律探究题 题型八 二次根式的综合应用 【经典例题一 二次根式非负性综合】 1．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将化为，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将化为 ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解． 【详解】（1） . （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解决问题的关键． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】（1）先将根号内的式子化为完全平方式，再根据二次根式性质，结合的取值判断绝对值内式子的符号，进而判断小亮、小芳的解法对错； （2）先将根号内的式子配方，根据的取值确定绝对值内式子的符号，去掉根号后化简代数式，再代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮 ∵根号内， ∴原式 根据二次根式性质，原式应为 ∵， ∴，小芳的解法正确； 而小亮将根号内错误分解为，因式分解错误， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：原式． ， ， 原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与代数式求值，掌握，并根据字母的取值确定绝对值符号的化简方向是解题的关键． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 若设（其中、、、均为整数）， 则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______； (2)若，且、、均为正整数，求的值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，均为整数，分两种情况求出，； （3）设，两边平方并结合题意计算得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，(，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，(，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或； （3）解：设， 则 ， ∴原式． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则． 并给出了论证： 和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时 ，得 ， 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的论证过程； (2)若和为相邻的两个整数，求a的值； (3)若和为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)25 (3)625 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）把等式两边同时平方可得，据此可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时平方，得， 整理得． （2）解：∵和为相邻的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵和为相差4的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 二次根式混合运算】 8．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案； （3）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （4）先根据二次根式的乘法运算法则和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （5）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 9．（25-26八年级下·全国·月考）小李在计算式子“”时发现“■”处的数印刷不清楚． (1)他把“■”处的数猜成2．请你计算：． (2)小李妈妈说：“你猜错了，这道题的标准答案是，”请你通过计算说明原题中“■”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将取值为，逐步计算表达式的值； （2）设为，根据标准答案建立方程求解． 【详解】（1）解：原式                    （2）解：设为， 原式             解得： 因此是． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 10．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）观察下列各式： ①，②，③，④，… 利用你观察到的规律解决下列问题： (1)________，________； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2023 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据规律写出的代数式是解本题的关键． （1）由已知式子，可得出； （2）利用，表示出、，……，，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：由已知式子可得：， 当时，． 故答案为：，； （2）解： ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）小颖计算的过程如下： 解：原式  第①步   第②步 ．  第③步 小娜说小颖的计算是有问题的，你觉得第几步有问题？请写出小颖出错的原因，并写出正确的过程． 【答案】小颖在第①步出错了，错误原因为除法没有分配律；正确过程见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和运算法则． 先对二次根式进行化简，再进行混合运算即可． 【详解】解：小颖在第①步出错了，错误原因为除法没有分配律；正确过程如下： 原式． 12．（25-26八年级下·河南·期末）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：，这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，与互为有理化因式，完成下列各题． (1)化简：； (2)、哪个数离数字更近？并说明理由． 【答案】(1)； (2)离数字更近，理由见解析． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解题的关键． （）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （）分别计算和与的差，利用有理化的方法比较两个差值的大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴离数字更近． 13．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）数学课堂上，为了让同学们更好地掌握二次根式的混合运算，老师设计了一个填数游戏，题目形式为：在“”中的“□”内填入数，并计算结果． (1)小美填入的数是，下面是她的计算过程： 第一步 第二步 第三步 老师发现小美的解法有错，请你指出小美是从第_____步开始出错的，正确的结果应该是_____； (2)小明在“□”内填入数后，计算的结果为0，求小明填入的数． 【答案】(1)二；； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练计算是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算，即可解答； （2）设在“□”内填入，计算的结果为0，解方程即可． 【详解】（1）解： 第一步 第二步 第三步， 所以小美是从第二步开始出错的，正确的结果应该是， 故答案为：二；； （2）解：设在“□”内填入，计算的结果为0， ， ， ， ， 所以小明填入的数为． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解题的关键． （）仿照例题中求解过程解答即可； （）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （）先化简，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 【经典例题三 含二次根式的代数式化简求值】 15．（24-25八年级上·上海长宁·期中）当，化简代数式，并求值． 【答案】，+1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，首先判断出，然后对二次根式进行化简，代入数值计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 当时，原式． 16．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）已知， (1)求代数式的值 (2)求代数式的值 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键． （1）原式可化为，根据的值即可求得结果． （2）将、值代入原式根据平方差公式即可求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：∵， ， ． 17．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：： ，： ； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查新定义，二次根式乘法，二次根式化简，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义和平方差公式求解； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）利用有理化因式得到，由于当时，有最小值，所以有最大值． 【详解】（1）解： 的有理化因式为； 的有理化因式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海·月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式的值． 解：根据，得， ． ． ． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值； （2）把所求的式子变形为，然后再把和的值代入进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ∵， ∴，， ∴原式 ． 19．（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题例解答即可； （）由已知求出，再利用完全平方公式可得，进而即可求解； （）由已知得，进而可得，把代数式转化为，代入即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，正确对所求式子进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 20．（24-25八年级下·广西·期中）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务． 关于“分母有理化”的研究报告 博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值 研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值． 研究方法：利用概念——法则的方式进行研究 研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如的有理化因式为，的有理化因式是 （2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如： 【概念理解】 ①的有理化因式是________． ②分母有理化的结果为________． (1)直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、②________． (2)利用分母有理化比较与的大小． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）现将与分母有理化，在进行比较即可； （3）利用分母有理化计算即可． 【详解】（1）解： ； ． 故答案为：； ； （2）解：， ． ， ； （3）解： ． 21．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小， （填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小． ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()模仿题干中的“平方法”比较大小即可； ()可利用分子有理化比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ， ∵ ∴， 即：， ∵，， ∴； （3）∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题四 二次根式比较大小】 22．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）先观察解题过程，再解决问题． 比较与的大小． 解：∵，， ∴，． 又∵， ∴． 试用以上方法，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数，是解题的关键． 根据示例中的方法，把与化为分子为1的数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，， 又∵， ∴＜，即：． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）若a、b为实数，且，，比较与的大小． （2）在一般情况下，若a、b为实数，且，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得出，求出，然后求出，，再比较大小即可； （2）先求出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】解：（1）由条件，得，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入条件式，得， ∴，， ∵， ∴； （2）当，时，， 证明： ∵，， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 25．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 27．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： (1)比较和的大小； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，也考查了二次根式有意义的条件． （1）利用分母有理化得到，，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据当时，分母有最小值即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵， ， ∵， ∴， 即； （2）∵，， ∴， ∵， ∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 28．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读学习，解决问题： 小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1)我们知道：；，…… 由此可归纳出结论1：若，则 (2) …… 由此可归纳出结论2：______． (3)根据上面的结论计算： ∵ ∴ 类似的： ∵ ∴______ 由此可归纳出结论3：______（n为正实数） (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据因式分解进行计算即可求解； （4）先分母有理化，然后根据（1）的结论即可求解． 【详解】（1）若，则， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：． （3）解：， 故答案为：，． （4）解：∵， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，实数的大小比较，读懂并理解示例是解题的关键． 【经典例题五 分母有理化（裂项相消）】 29．（24-25八年级上·广东佛山·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用，具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和． 例如： 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项． 例如：． (1)模仿材料中的计算方法，化简： ． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子 ． (3)利用极式裂项求解：． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据材料中的解法求解即可； （2）根据材料中的解法求解即可； （3）根据材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 30．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，例如∶两个无理数，为“友好无理数”，则，请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，…，第n个数记作．即，，，…，．已知，且这n个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，那么 ． ②如果，那么 ． 【答案】(1) (2)；（答案不唯一） (3)①900；② 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，令，代入计算验证即可得出答案； （3）①根据“友好无理数”的定义可得和互为“友好无理数”，则有，，代入即可求解；②根据“友好无理数”的定义可得和互为“友好无理数”， 则有，，代入即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， 则， 解得， ∴的“友好无理数”是， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； ∴一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”为和． 故答案为：；（答案不唯一）； （3）解：①设的“友好无理数”是， ∴，解得， ∴和互为“友好无理数”， 又∵每相邻两个数都是“友好无理数”，且， ∴，， ∴； 故答案为：900； ②设的“友好无理数”是， ∴，解得， ∴和互为“友好无理数”， ∵每相邻两个数都是“友好无理数”，且， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 31．（25-26八年级上·江西南昌·期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化： ；； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简___________，___________； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质以及分母有理化，是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）分子，分母同乘，再利用平方差公式和约分，化简即可； （3）分母有理化后，分母都是2，分子相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 32．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，． (1)模仿材料中的计算方法，化简：______． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子______． (3)利用根式裂项求解：． 【答案】(1) (2) (3)2022 【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （2）根据题中材料进行总结，即可得出答案； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． （3）解：原式 ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 33．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）进行分母有理化即可． （2）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （3）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （4）先化简各式，然后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （3）解： ； 故答案为：． （4）解： ； 34．（25-26八年级上·河南郑州·月考）【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；    ① ；        ② ．    ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．    ④ (1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． (2)【拓展应用】化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先分母有理化，再和并即可求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； （2）解： 35．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 【经典例题六 二次根式的化简求值】 36．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小艺，； (2)，8 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握（）是解本题的关键． （1）根据二次根式的性质，判断出小艺的计算是错误的； （2）先根据完全平方公式把被开方数配成完全平方，然后根据化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质， 当时， 判断出小艺的计算是错误的， 故答案为：小艺，； （2）解：原式 原式 ． 37．（24-25八年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)， 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）小亮的解法错误； （2）因为，利用此性质即可判断； （3）可化为，利用进行化简，再进一步计算求值即可． 【详解】（1）答：小亮的解法错误， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴当时， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当时， ， ， ， ， ． 39．（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算： （2）下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简． 解：原式．．．．．．第一步 ．．．．．．第二步 ．．．．．．第三步 ①小涵同学的化简过程从第_____________步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 【答案】（1）；（2）①二；②，当时，原式 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值等知识，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质等计算即可； （2）①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； ②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ②解：原式 ， ∵， ∴，， ∴取，则原式． 40．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【基本概念】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如—样的式子，其实我们还可将其进一步化简：，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 【理解应用】 （1）化简； 【拓展提升】 （2）化简：． 【答案】（1） （2）． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，理解题意并熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式的分子，分母同时乘以后计算即可； （2）将原式变形后利用分母有理化化简后进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 =． 41．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 42．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 【经典例题七 二次根式规律探究题】 43．（24-25八年级下·山西太原·期中）观察下列各式并按规律填空： ；；… (1)___________，___________； (2)按此规律第n个式子可以表示为___________； (3)并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案； （2）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案； （3）利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】（1）；； ，； 故答案为：，； （2）由（1）得按此规律第个式子可以表示为：； 故答案为：； （3） ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出数字之间变化规律是解题关键． 44．（24-25八年级下·安徽·月考）观察下列各式： ，，，… (1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子； (2)请你验证所发现的规律． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． （2）运用二次根式的性质进行化简即可 【详解】（1）规律：， 第10个式子：； （2）证明：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简问题．注意认真观察题中式子的特点，找出其中的规律是解此题的关键． 45．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 46．（24-25八年级下·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)168 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第n个式子即可； （2）根据（1）中的规律求出n的值即可． 【详解】（1）解：第式；； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得． 47．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 48．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 49．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）由二次根式的运算规律即可得出答案； （2）由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； （3）根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：（1）由二次根式的运算规律可得， ， 故答案为：； （2）由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边， 故答案为：； （3）原式 ， ∵结果的小数部分0.06，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 故答案为：15． 【经典例题八 二次根式的综合应用】 50．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 51．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列各式及其验证过程： 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)按照上述规律，直接写出用（为任意自然数，且）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析； (2)（n为任意自然数，且） 【分析】（1）根据题中所给的式子进行验证即可； （2）根据题中式子的验证过程找出规律即可． 【详解】（1）猜想：， 验证：； （2）（为任意自然数，且），证明如下： （为任意自然数，且）． 【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式． 52．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． (1)从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ (2)从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）将h=200代入公式进行计算即可； （2）将t=3代入公式进行计算即可． 【详解】（1）当h=200时， （2）当t=3时，，解得 ∴下落的高度是45米． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 53．（24-25八年级下·山东聊城·期中）小亮通过与同学交流，发现用以下方法也可以估算的近似值： ∵，∴ 设，则，即， ∴，解得，∴； (1)请你用小亮的方法估计的近似值（精确到0.01）； (2)试把小亮的方法推广到一般情况： 已知，，是非负整数，如果，且，用关于，的代数式近似地表示的公式是____________． (3)请你用（2）中得到的公式估计（精确到）． 【答案】(1)7.21 (2) (3)9.22 【分析】（1）结合题述方法估计的近似值即可； （2）结合小亮的方法既可用关于，的代数式近似地表示的公式； （3）结合（2）所得公式即可估计． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（2）知：，，所以，即， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的乘除法，解决本题的关键是理解阅读材料． 54．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 55．（24-25八年级上·四川达州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式 【答案】(1) (2)元 【分析】此题主要考查了二次根式的应用； （1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积：， 壁纸的面积：， 整个电视墙的总费用：（元）． 56．（25-26八年级下·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)46或14. 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 均为正整数， 或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的值为46或14． 学科网（北京）股份有限公司 $