专题13 平方差公式与完全平方公式问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13平方差公式与完全平方公式问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式中化简求值问题 题型二、乘法公式中简便运算变换 题型三、平方差公式中连续相乘应用 题型四、通过对完全平方公式变形求值 题型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：涉及公式直接运用、逆用、变形求值，以及简便运算与因式分解。 -解题方法：平方差(ab)(a-b)=a2-b2,完全平方(ab)=a±2ab+b2:变形用a+b=(a+b)2-2ab等；简便运算凑 整。 ·易错提醒：完全平方漏中间项2b;符号处理错误（减号展开）；公式逆用时项对应错：混淆平方差与 完全平方结构。 ◆◆ 同题型归纳一精讲桌型题法，李实解题根基 题型一、乘法公式中化简求值问题 典例1(26-27七年级上全国期中)先化简，再求值： [x-2y+(x+2y0x-2列小2x,其中x= y=-2 题型模版 1/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：给定含字母的代数式，需先用平方差或完全平方公式化简，再代入求值。 2方法：观察式子结构套用乘法公式展开或因式分解，合并同类项化简，最后代入数值计算。 变式1-1(26-27七年级上全国期中)先化简，再求值： [(x+y0x-)+(x+y]x,其中x=-2,y=1 变式1-2(2627八年级上河南南阳·阶段检测)先化简，再求值： [(x-2y+(x-2y0x+2y）-2x(2x-]2x,其中x=-2026,y=1. 变式1-3(26-27八年级上·重庆长寿阶段检测)化简求值： [2x-y-24+22x明-（号.英中 太y满足2x-1+(3y+1=0 题型二、乘法公式中简便运算变换 典例2(26-27七年级上·上海杨浦阶段检测)利用乘法公式进行简便计算： (2(103+2}-105x101 题型模版 1特征：算式结构符合平方差或完全平方公式，通过变形可简化计算，避免硬算。 2.方法：观察数字或式子，凑成(a+b)(a-b)或(a±b)}形式，套用公式展开后计算。 变式21(25-26七年级下江苏镇江期中)简便运算： 2022+196×202+982 (1) (20262-2025×2027 变式2-2(25-26八年级下·全国·课后作业)用简便方法计算： 0)99+198+1 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2042+204×192+962 (2) 变式2-3(25-26七年级下·陕西宝鸡阶段检测)运用所学乘法公式进行简便运算： ()20322-2031×2033 31012 题型三、平方差公式中连续相乘应用 典例3(25-26八年级上山东期末) （〔02 题型模版 1.特征：多个二项式连续相乘，相邻两项呈平方差结构，可逐次用平方差公式化简。 2.方法：从左到右依次套用(a-b)a+b)=a2-b2,每次合并后与下一项再构成平方差，直至化简。 变式31(25-26八年级上·山东德州月考) 18×(3+1)(32+13+1)(34+1)+9 的个位数字为 变式3-2(25-26八年级上山东济宁·周测)先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简2+1)x(2+)x(2+1). 解：(2+1)x(2+1x(2+) =(2-1)×(2+1)×(22+1)x(2+1) =(22-1)×(22+1)×(24+1) =(2-1)x(2+1) =28-1 问题： ①化简：（2+x(2+小(2+小x(2+小xx(2+). 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②求3+x(+(6+(6+kx6+的值. 变式3-3(25-26七年级下·全国课后作业)阅读下列材料： 某同学在计第4+以4+》时，把3写废4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算： 3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算： ++++ (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算： ) 题型四、通过对完全平方公式变形求值 典例4(26-27七年级上·上海杨浦阶段检测)已知P+9=-5,P9=6,求下列各式的值： )p-9y (p'+g 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值， 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1.特征：己知a+b、ab或a+b等，求相关代数式值，需对完全平方公式变形。 2.方法：利用(a±b)2=a2+b2±2ab)的变形，如a2+b2-(a+b)2-2ab,代入已知整体求值。 变式41(26-27八年级上·吉林长春阶段检测)已知x2+y2=10,x+y=4,求下列各式的值： @x+°+(y+. 4/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2-y 变式42(25-26七年级下·湖南益阳期末)按要求解题： ()已知a+b=5,ab=3,求a+b2的值： 知a。3,求+和+行的位 空式43(2627七年级上上海杨浦阶段检测若*满足9-x-4)=4,求4-+(x-9吖的值。 解：设9-=0x-4=b,则9-x-4到=b=4,a+h=(9-刘+(x-4到=5 .(9-x)}+(x-4)}2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 国请仿照上面的方法求解：若满足5-x-2列-2，求5-+(：-2八的位。 ②若6-2m+5m+(2m-5n-7)=26.求3-2m+5m2m-5n-7)的值. 题型五、乘法公式中几何图形的应用 典例5(26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测)初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和 验证， 图① 图② 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形 (如图②)· ()通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是 一；（直接填字母） A.(a-B)=d-2ab+b B.(a+b)(a-b)=d-b C.a(a+b)=d+abp.(a-b)=d-b ②小丽在计算2+(2+(2+次2+时利用了1)中的公式： 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2+1)×(2+1)x(24+1)×…×(24+1) =(2-1)x(2+1)×(2+1×(2+1)x…x(24+1 (请你将最后结果补充完整) 3仿照以上的结论和方法，计算：2+(3+1)×32+1×3+)×…×(32+) 题型模版 1.特征：用面积拼图或割补验证乘法公式，或由图形面积关系列代数式求值。 2方法：用不同方式表示同一图形面积，建立等式得乘法公式：或由图形边长关系列式，用公式化简求值。 变式5-1(26-27八年级上河南驻马店阶段检测)学习了平方差公式后，就下面内容展开探究. -a- -a 图1 图2 (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如 图2)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用 含a,b的等式表示). (2)①已知m2=5+4n2,m-2n=1,则m+2n的值为」 ②计算：2027-2026×2028（使用乘法公式简便计算）. 限医中论，应与---》-如是 变式5-2(26-27八年级上河南南阳·阶段检测)理解图形，完成下列各题： 6/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b Q 图1 图2 (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，b的正方形和两个长方形.用 两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是」 若a2+b2=40,ab=12,则该大正 方形的边长为一； ⊙【能力提升】我们还可以利用(1)中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若*满是2-x-5)口 可设2-x=a,x-5=b,则ab=1,a+b=-3,则a2+b2= 份仿照这个方法，请你尝试解决：若(2026-+(2027-=17，求2026-2027-的值， ，求 (④【解决问题】如图2，△ABC是直角三角形，∠C=90°，分别以边AC,BC为直径向三角形外部作半 圆，己知4C+BC=12 两半圆的面积和 +=15,求4M8C 的面积. 变式53(26-27八年级上潮南衡阳阶段检)阅读理解：若清是60-(x-10)=160 求 (30-x)2+(x-10)2 的值. 解：设30-x=0,x-10=b,则30-xx-10)=ab=160.a+b=(30-x+(x-10)=20 (30-x)2+(x-10)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×160=80 解决问题： ①若‘满足2026-x-202)=3.则2026-+-202- (②若*满足4015-+(2x-20202=58,求（2030-2x2x-2020 的值； 7/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG摆放在一起(a>b),其中B、C、G三点 在同一条直线上，若a2+b2=29,BG=7,求阴影部分面积 同压轴挑战一文克离障压轴，突玻思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级上广东广州期末)已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为(). A.-1 B.1 C.5 D.6 2.(2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题)下列等式中，成立的是（) A.982=902+82 B.98'=(90+8)90-8) C.982=902+90×8+82 D.982=1002-2×100×2+22 (a+b-1)(a-b+1) 3.(25-26七年级下·全国·周测)运用平方差公式计算 ,下列变形正确的是() A.[a-6+1)f B.[a+b+1 c.[a+(6-[a-(b-] D.[a-b)+1][a-b)-] +.(25.26八年s级上全国期末)已知（2025-(2024-a)=4,则2025-a+(2024-的值为（) A.7 B.8 C.9 D.12 a>b) 5.(25-26八年级上广西南宁期末)如图1，在边长为“的正方形中挖去一个边长为b的小正方形 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把余下的部分组成一个长方形如图2，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是()· ←一a 图1 图2 a2-2ab+b2=(a-b)月 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.ai+2ab+bi=(a+b) D.(a-b}°=(a+b)-4ab 二、填空题 6.(25-26七年级下·全国周测)计算：20242-20252= 7.(2025八年级上湖北武汉专题练习》计算a-h+5ca+b-5c)= 8.(25-26八年级上内蒙古兴安盟期中)计算3+13+3+3+35+ 所得结果个位数字是 9.(25-26八年级上福建泉州期中)有两类正方形A,B,其边长分别为a,b.现将B放在A的内部得图 1,将A,B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形 A,B的面积之和为， B 图1 图2 10.(25-26七年级上上海浦东新·期末)如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成 的一个正方形.将会徽抽象为图2，记BF=a,AF=b,AB=C.对图2进行图形运动得到图3，图形运动 后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于，b,c的等式为 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M B e E a E b A 6 A H C H G D D 图1 图2 图3 三、解答题 11.(25-26八年级上·天津河西月考)计算： (2x+y-6)(2x-y+6) (1) (②m-3n+2y 12.(25-26七年级下·全国课后作业)用简便方法进行计算： 0)17+102+3 (2)9×11×101×10001 ③5+4 -+51×49 13.(25-26八年级上山东济宁·周测)计算： 、2022+404×198+1982 (1) (22023×2025-2024 x-y+3x+y-3) 14.(25-26七年级下全国周测)已知x+y=3,y=-7,求： 的值. (包-y+2 的值. (3)(- 的值. 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26八年级上：广西北海·期末)边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将 剩余部分拼成一个长方形（如图2）· -a- K6-> 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个选项) A a2-2ab+b2=(a-b)2 i B.a'-bi=(a+b)(a-b) a2+ab=a(a+b) D.a'-ab=a(a-b) 2-y2=12x+y=4 (2)若 一y的值： ,求 (3)计算： -0---2〔-) 16.(25-26七年级上：陕西西安·期末)我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先 生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积， 就可得到-个数学公式.(（a+b=云2+2ab+b a b 5 ● 图1 图2 (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为a+b+C的正方形.你能发 现什么？请用等式表示出来： (2)解决问题：已知a+b+c=14,ab+bc+ac=56.求a2+b2+c2的值 (3)迁移应用：若m,n满足a-2025+(2027-2m+(n+1=3m-20 11/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (n-2025)(2027-2n)+(n-2025)(n+1)+(2027-2n)(n+1)=2+m ,求m的值. 12/12 专题13 平方差公式与完全平方公式问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式中化简求值问题 题型二、乘法公式中简便运算变换 题型三、平方差公式中连续相乘应用 题型四、通过对完全平方公式变形求值 题型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及公式直接运用、逆用、变形求值，以及简便运算与因式分解。 - 解题方法：平方差(a+b)(a-b)=a2-b2，完全平方(ab)2=a22ab+b2；变形用a2+b2=(a+b)2-2ab等；简便运算凑整。 - 易错提醒：完全平方漏中间项2ab；符号处理错误（减号展开）；公式逆用时项对应错；混淆平方差与完全平方结构。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、乘法公式中化简求值问题 典例1（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用乘法公式展开并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简原式，再代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型模版 1.特征：给定含字母的代数式，需先用平方差或完全平方公式化简，再代入求值。 2.方法：观察式子结构套用乘法公式展开或因式分解，合并同类项化简，最后代入数值计算。 变式1-1（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 变式1-2（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为2027 【详解】解： ， 当，时， 原式． 变式1-3（26-27八年级上·重庆长寿·阶段检测）化简求值：，其中满足． 【答案】化简结果为，值为. 【分析】代数运算部分：先利用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开括号，合并同类项，再做多项式除以单项式运算，把复杂代数式化简为最简整式，先化简、后代入，减少计算量，避免直接代入大数出错．条件求值部分：已知，算术平方根、平方数都具有非负性，即，；两个非负数相加等于，只能各自等于，据此列方程求出,的值，再代入最简式计算结果． 【详解】解： ； ∵， ，， ， 解得：， ∴原式． 题型二、乘法公式中简便运算变换 典例2（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)420 【分析】（1）将带分数化为符合平方差公式的结构，利用平方差公式进行计算； （2）利用完全平方公式与平方差公式进行计算 【详解】（1）解： （2） 题型模版 1.特征：算式结构符合平方差或完全平方公式，通过变形可简化计算，避免硬算。 2.方法：观察数字或式子，凑成(a+b)(a-b) 或 (ab)2 形式，套用公式展开后计算。 变式2-1（25-26七年级下·江苏镇江·期中）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）先将原式整理为，再根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式2-2（25-26八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 变式2-3（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三、平方差公式中连续相乘应用 典例3（25-26八年级上·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 题型模版 1.特征：多个二项式连续相乘，相邻两项呈平方差结构，可逐次用平方差公式化简。 2.方法：从左到右依次套用(a-b)(a+b)=a2-b2，每次合并后与下一项再构成平方差，直至化简。 变式3-1（25-26八年级上·山东德州·月考）的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 变式3-2（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以、后，运用平方差公式． （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘，反复运用平方差公式，得出结果； （2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘后，运用平方差公式，计算出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-3（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型四、通过对完全平方公式变形求值 典例4（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 题型模版 二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 为一元二次方程：只需要二次项系数a≠0，无其他限制. 1.特征：已知a+b、ab或 a2+b2等，求相关代数式值，需对完全平方公式变形。 2.方法：利用(ab)2=a2+b22ab\) 的变形，如a2+b2=(a+b)2-2ab，代入已知整体求值。 变式4-1（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 变式4-2（25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过对完全平方公式进行变形求解即可； （2）使用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 变式4-3（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）若满足，求的值． 解：设，，则，． (1)请仿照上面的方法求解：若满足，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再求出，然后根据代入计算即可得； （2）设，，则，，根据，求得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （2）解：设，， 则，， ∴ ． 题型五、乘法公式中几何图形的应用 典例5（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案； （2）利用平方差公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． 题型模版 1.特征：用面积拼图或割补验证乘法公式，或由图形面积关系列代数式求值。 2.方法：用不同方式表示同一图形面积，建立等式得乘法公式；或由图形边长关系列式，用公式化简求值。 变式5-1（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 【答案】(1) (2)①5；② (3)． 【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得，根据图形分别求出、，即可得． （2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值． （3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可． 【详解】（1）解：如图， 在图1中，， 在图2中，， ∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴， ∴． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为5． ② （3）解：原式 变式5-2（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，，则________； (3)仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； (4)【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)，8 (2)7 (3)8 (4)6 【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为，宽为的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；再利用完全平方公式求解即可； （2）求解即可． （3）设，，则，，再由完全平方公式变形求解即可； （4）设，则，根据圆的面积公式，得，利用求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，可得等式为， 由，， 得， 故，（不符合要求，舍去）， 即该大正方形的边长为8； （2）解：∵， 可设，，则，． ， ， ； （3）解：设，， 则，． ， ， ； ； （4）解：设， 则， ∵， ， ， ， ， ， ； ， 的面积为6． 变式5-3（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， 解决问题： (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，边长为的正方形和边长为的正方形摆放在一起（），其中、、三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积 【答案】(1)10 (2)21 (3)10.5 【分析】（1）设，，则，，然后计算的值即可； （2）设，，则，，然后计算的值即可； （3）分别求出，，根据阴影面积计算即可． 【详解】（1）解：设，，则： ，， ∴ ； （2）解：， 设，，则： ，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和是正方形， ∴，， ∵， ∴ 又，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴阴影面积 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 2．（2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题）下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解，从而简化计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是识别题目为平方差形式，并正确套用公式进行因式分解，避免直接计算大数平方． 7．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟记乘法公式是解答的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算所得结果个位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：由图1得：，即， 由图2得：，整理得， ∴， ∴． 即正方形A、B的面积之和为12． 故答案为：12． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式的综合应用，掌握观察数字特征，通过凑完全平方、转化为整数形式、用中间数表示对称数等技巧，结合公式简化计算是解题的关键． 13．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 15．（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式： (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形．你能发现什么？请用等式表示出来：________． (2)解决问题：已知，．求的值． (3)迁移应用：若m，n满足，，求m的值． 【答案】(1) (2)84 (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）根据（1）等式，即可求解； （3）设，，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）解：设，，， ， ， ， 由（1）知：， 即：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $