广东深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

北京师范大学南山附属学校初中部 2026一2027学年第一学期期中学业质量监测八年级试卷 参考答案与试题解析 一，选择题（共8小题） 1.数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科，下列四个漂亮的数学图象中，表示y是 x的函数的是() 2.在-号，-32.子④这五个数中，无理数的个数为（) A.2 B.3 C.4 D.5 3.下列运算正确的是() A.V2+V8=3v2B.2V3-V3=2 C.V3×V6=23D.V6÷√2=3 4.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的为() A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.∠A=∠B-∠C C.a:b:c=3:4:5 D.a2=b2+c2 5.如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A,B两点的坐标 分别为(-3,3)，(-1,0)，则叶柄底部点C的坐标为() A.(2,0) B.(2,1) C.(1,0) D.(1,-1) 6.对于一次函数y=-3x+2,下列结论正确的是() A.它的图象经过第一、二、三象限 B.y随x的增大而增大 C.当x>时，>0 D.它的图象与y轴交于点(0,2) 7.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,AC=13cm,将△ABC折叠，使点C与A重 合，得折痕DE,则△ABE的周长等于() A.15cm B.16cm C.17cm D.18cm 8.如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站 驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别 是货车、轿车行驶时离丙站的路程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象.则下列 说法错误的是() ◆y/km 360 丙 乙 图1 0 m 8 x/h 图2 A.货车的速度为60km/h B.a=120 C.当x=号h时，两车相遇 D.当x=多h时，轿车刚好到达丙车站 二.填空题（共5小题） 9.若函数y=(m-1)xm-5是一次函数，则m的值为一 10.若二次根式√x-9有意义，则x的取值范围是一· 11,点P是第二象限的点且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是一· 12.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间长而变形，中间形成一个半 圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为元m,已知AE+BF=20m,BC=10m,一只蚂蚁从A 点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走m的路程. H G B 13.如图，在平面直角坐标系中，A,C两点分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(8,0)， 点C的坐标为(0,6)，点P为射线OA上一动点，点O关于直线PC的对称点为点B, 当△ABP为直角三角形时，OP的长为一· B 三.解答题（共7小题） 14.计算： (1) V12+V27 3 x6+- (2)(3-52-(W5+1)(5-1). 15.在正方形网格中，己知点A的坐标为(-4,1)，点B的坐标为(-2,3). (1)在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点C的坐标：C（一，一)： (2)连接AB,BC,AC,画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1: (3)若△ABC内一点P的坐标为(m,n),它在△A1B1C内的对应点P1的坐标为(2+2， 1),则点P的坐标为（一，一). B 16. 己知2m+1的平方根是士5,5n-2的立方根是2. (1)求m和n的值： (2)求m-多n的平方根。 17.在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了 眼、“迷”住了心，小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计 了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15：根据手中余线长度，计算 出AC的长度为17m:牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D 在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD: (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成 功？请运用数学知识说明. B 18.根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气 较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5 -10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准(5-10月)非夏季标准(1-4月、 电价 11-12月) 第一档 0-260度 0-200度 0.66元/度 第二档 261-600度 201-400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： (1)当执行非夏季标准时，若201≤x≤400时，写出实付金额y元与月用电量x度之间 的函数关系式： (2)若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ (3)若小初家11月的实付金额为146.2元，计算小初家11月的实际用电量。 19.在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式··利用函数图象研究其性质。-运用 x(x≥0) 函数解决问题”的学习过程.同时，我们也学习了绝对值的意义：x= 1-x(x<0) 【尝试】探究函数y=2x-2-4的图象与性质.此函数是我们未曾学过的函数，于是小 明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整. (1)列表： 0 y 2 0 -2 b -2 0 根据表格中的信息可得b=·4· (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象 【探索】(3)写出函数y=2r-2-4的一条性质一· 【解决问题】(4)结合画出的函数图象，解决问题： ①函数y=2r-2-4的最小值为： ②关于x的方程21x-21-4=-号x的解为· 23平■ 20.阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请 你帮忙完成. 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积。 请用含有a,b,c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积=一： 小正方形的面积+4个直角三角形的面积=： 从而得出数学等式：一 化简证得勾股定理a2+b2=c2 【知识迁移】 (1)将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若a=4,b=6,此时空白部 分的面积为一： (2)将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，己知外围轮廓（实线） 的周长为24，OC=3,求该飞镖状图案的面积。 【拓展延伸】 如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,AD平分∠BAC,N是线段AC上 动点（不与点A,点C重合），M是线段AD上一动点（不与点A,点D重合），直接写 出CM+MN的最小值 冬4 北京师范大学南山附属学校初中部 2026一2027学年第一学期期中学业质量监测八年级试卷 参考答案与试题解析 一，选择题（共8小题） 1.数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科.下列四个漂亮的数学图象中，表示y是 x的函数的是() 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一 的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可 【解答】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么 y不是x的函数，不符合题意， B中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函 数，不符合题意， C中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函 数，不符合题意， D中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符 合题意， 故选：D. 【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键 2.在-号五，32，了V4这五个数中，无理数的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可. 【解答】解：√4=2是有理数， 无理数有：五，子共2个， 故选：A. 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不 循环小数为无理数，如π，√6,0.8080080008·（每两个8之间依次多1个0）等形式. 3.下列运算正确的是() A.√2+V⑧=3W2B.2V3-V3=2C.V3×V6=23D.V6÷√2=3 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意， 【解答】解：√2+√⑧=√2+2V2=3V2,故选项A正确，符合题意； 2√-V3=√3，故选项B错误，不符合题意： V3×V6=3V2,故选项C错误，不符合题意： √6÷√2=V,故选项D错误，不符合题意： 故选：A. 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键， 4.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的为() A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.∠A=∠B-∠C C.a:b:c=3:4:5 D.a2=b2+c2 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可. 【解答】解：A、∠A:∠B:∠C=3:4:5, .设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x, .3x+4x+5x=180°， 解得x=15°， ∴∠C=5x=75°， ∴.△ABC不是直角三角形，符合题意； B、,∠A=∠B-∠C, .∠A+∠C=∠B, ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠B=180°， .∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意： C、a:b:c=3:4:5, ∴.设a=3k,则b=4k,c=5k, :(3k)2+(4k)2=(5k)2, .△ABC是直角三角形，不符合题意： D、a2=b2+c2, ∴.△ABC是直角三角形，不符合题意. 故选：A. 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的 关键， 5.如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A,B两点的坐标 分别为(-3,3)，(-1,0)，则叶柄底部点C的坐标为() A.(2,0) B.(2,1) C.(1,0) D.(1,-1) 【分析】先根据A,B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标 【解答】解：，A,B两点的坐标分别为(-3,3)，(-1,0)， 建立坐标系如图所示： L-1--1B19 叶柄底部点C的坐标为（2,1). 故选：B. 【点评】本题考查了用坐标确定位置等知识，各象限内点P(α，b)的坐标特征：①第 一象限：a>0,b>0:②第二象限：a<0,b>0:③第三象限：a<0,b<0:④第四 象限：a>0,b<0. 6.对于一次函数y=-3x+2,下列结论正确的是（) A.它的图象经过第一、二、三象限 B.y随x的增大而增大 C.当x>时，>0 D.它的图象与y轴交于点(0,2) 【分析】根据一次函数图象的性质逐一判断即可. 【解答】解：，一次函数解析式为y=-3x+2,k=-3<0,b=2>0, y随x增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限， 当x=0时，y=2,当y=0时，x= 2 ∴它的图象与y轴交于点(0,2)，当x>时，y<0, ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y=+b,当飞 >0,b>0时，一次函数y=k+b经过第一、二、三象限，当k>0,b<0时，一次函数 y=+b经过第一、三、四象限，当k<0,b>0时，一次函数y=kx+b经过第一、二、 四象限，当k<O,b<0时，一次函数y=x+b经过第二、三、四象限是解题的关键，并 且当k>0时，y随x增大而增大，当k<0,y随x增大而减小. 7.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5CIm,AC=13cI,将△ABC折叠，使点C与A重 合，得折痕DE,则△ABE的周长等于() D B -“C A.15cm B.16cm C.17cm D.18cm 【分析】根据勾股定理求得BC=12cm,由题意得，AE=CE,则△ABE的周长等于 AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC,即可求解. 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=V√AC2-AB2=V132-52=12CIm, 由折叠过程可得，AE=CE, 则△ABE的周长等于AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=5+12=17CIL. 故选：C 【点评】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含 条件 8.如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近)，一辆货车从甲地出发经丙站 驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别 是货车、轿车行驶时离丙站的路程y(a)与行驶时间x()之间的函数图象.则下列 说法错误的是() Ay/km 360 审 丙 乙 图1 m x/h 图2 A.货车的速度为60a/h B.a=120 C.当x=9h时，两车相遇 D.当x=三h时，轿车刚好到达丙车站 【分析】先求出辆货的速度，利用路程=速度×时间，可求α的值，m的值，甲乙两地 的距离，据此解答即可， 【解答】解：：辆货的速度=360=60(h,故选项A不符合题意： 6 .丙、乙两地的距离a=60X2=120(am),故选项B不符合题意： .甲、乙两地的距离为：360+120=480（m), ÷轿车车速度=480-80(kD, m=0=15(0, 即当x=多时，轿车刚好到达丙车站，故选项D不符合题意： 480÷(60+80)=2号(0. 即当x=h时，两车相遇，故选项C符合题意. 故选：C 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键。 二.填空题（共5小题） 9.若函数y=(m-1)x网-5是一次函数，则m的值为-1· 【分析】由一次函数的定义可知-1≠0，抛=1，从而可求得m的值. 【解答】解：y=(-1)xm-5是一次函数， .m=1且m-1≠0， 解得m=±1且m≠1， 所以m=-1, 故答案为：-1. 【点评】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键. 10.若二次根式√x-9有意义，则x的取值范围是x≥9· 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数. 【解答】解：二次根式Vx-9有意义，则x-9≥0， 解得x≥9， .x的取值范围是x≥9. 故答案为：x≥9： 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数， 11.点P是第二象限的点且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是(- 4,3)· 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐 标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答 【解答】解：根据题意可知，点P到y轴的距离为4， ∴.点P的横坐标是-4， 点P到x轴的距离为3， .点P的纵坐标是3， 点P的坐标为（-4,3). 故答案为：(-4,3) 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距 离等于横坐标的绝对值是解题的关键。 12.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间长而变形，中间形成一个半 8 圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为一m,已知AE+BF=20m,BC=10,一只蚂蚁从A 点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走26的路程， D H G E ⊙ 【分析】将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理 求出新矩形的对角线长即可. 【解答】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， D H G .1 原图长度增加-×π×三=4(m),则AB=20叶4=24(m), 2 连接AC, 在长方形ABCD中，AB=24,BC=10mL, 由勾股定理，得AC=VAB2+BCZ=√242+102=26(m), .蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26m的路程. 故答案为：26. 【点评】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，根据题意画出 图形是解答此题的关键。 13.如图，在平面直角坐标系中，A,C两点分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(8,0)， 点C的坐标为(0,6)，点P为射线OA上一动点，点O关于直线PC的对称点为点B, 当△ABP为直角三角形时，OP的长为3或6· C B P A 【分析】根据轴对称性质可得：△CBP≌△COP,由△ABP为直角三角形，可分类讨论： ∠ABP=90°或∠APB=90°或∠PAB=90°，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得 答案。 【解答】解：设P(,0), ,点O关于直线PC的对称点为B, ∴.△CBP≌△COP ∴.CB=CO=6,∠CBP=∠COP=90°，∠CPB=∠CPO,PB=PO=m, ∴AP=8-m, 当△ABP为直角三角形时，∠ABP=90°或∠APB=90°或∠PAB=90°， ①若∠ABP=90°，如图1， B 0 P A 图1 ,∠ABPH∠CBP=180°， A、B、C三点共线， .AC=V0A2+0C2=V⑧2+62=10， ∴AB=AC-CB=10-6=4, AB2+PB2=AP2,即42+m2=(8-m)2, 解得：m=3, ∴.OP=3: ②若∠APB=90°，如图2， B 0 P A 图2 ,∠0PB=180°-∠APB=180°-90°=90°， ∴.∠CPB=∠CPO=45°， ∴.△CPB、△CPO为等腰直角三角形， ..OP=OC=6; ③若∠PAB=90°，则CB≥OA=8,与CB=OC=6矛盾，故不存在： .OP长为3或6. 故答案为：3或6. 【点评】本题考查了坐标与图形变化-对称，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形 性质，分类讨论数学思想等；分类讨论数学思想应用是解答本题的关键. 三.解答题（共7小题） 14.计算： (1)y2+v27 √3 3xv6+1-V2 (2)3-V⑤2-(W5+1)(W5-1). 【分析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再去绝对值，然后合并即可： (2)先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可. 【解答】解：①)原式=厚+层-×6+2-1 =2+3-√2+√2-1 =4: (2)原式=9-65+5-(5-1) =9-6V5+5-4 =10-6V5 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法 法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键， 15.在正方形网格中，已知点A的坐标为(-4,1)，点B的坐标为(-2,3). (1)在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点C的坐标：C(1，-2): (2)连接AB,BC,AC,画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1: (3)若△ABC内一点P的坐标为(，n),它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标为(2+2， -1),则点P的坐标为（-2,1). B ABA 【分析】(1)根据A,B两点坐标确定平面直角坐标系即可，写出点C的坐标即可： (2)利用轴对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可： (3)根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，构建方程求解。 【解答】解：(1)如图，平面直角坐标系如图所示，C(1,-2). 故答案为：1，-2： (2)如图，△AB1C1即为所求： (3),P,P1关于x轴对称， ∴.=2+2，n=1 .m=-2, .P(-2,1). 故答案为：-2,1. 【点评】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质. 16.已知2+1的平方根是±5,5n-2的立方根是2. (1)求m和n的值： (2)求m-多n的平方根。 【分析】(1)根据平方根、立方根的定义即可求出、的值， 3 (2)把(1)中所求加、n的值，代入m-1求出其值，再根据平方根的定义进行计算 即可， 【解答】解：(1).2叶1的平方根是±5,5n-2的立方根是2， ∴.2t1=25,5n-2=8, 解得m=12,n=2: (2)当m=12,n=2时， m-多=12-多×2=12-3=9，而9的平方根为±V9=士3， m-多的平方根为士3. 【点评】本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是正确解答的关键. 17.在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了 眼、“迷”住了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计 了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15：根据手中余线长度，计算 出AC的长度为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5.己知点A,B,C,D 在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD: (2)在余线仅剩7.5的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成 功？请运用数学知识说明. 【分析】(1)过点A作AE⊥CD于点E,在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解； (2)假设能上升12m,作图Rt△AEF,根据勾股定理可得AF=25m,再根据题意，17+7.5 =24.5<25,即可求解. 【解答】解：(1)如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E,则AE=BD=15,AB=CD =1.5,∠AEC=90°， C E B D 图1 在Rt△AEC中，CE=VAC2-AEz=V172-15Z=8(), .CD=CE+CD=8+1.5=9.5(m): (2)不能成功，理由如下： 假设能上升12，如图所示，延长DC至点F,连接AF,则CF=12, C A E D 图2 ∴.EF=CE+CF=8+12=20(m), 在Rt△AEF中，AF=VAE2+EFz=V152+20Z=25(m), ,AC=17,余线仅剩7.5m, .17+7.5=24.5<25, .不能上升12，即不能成功： 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角 形解决问题， 18.根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气 较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5 -10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准 阶梯电价电量分档 档数 夏季标准(5-10月)非夏季标准(1-4月、 电价 11-12月) 第一档 0-260度 0-200度 0.66元/度 第二档 261-600度 201-400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： (1)当执行非夏季标准时，若201≤x≤400时，写出实付金额y元与月用电量x度之间 的函数关系式y=0.71x-10; (2)若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ (3)若小初家11月的实付金额为146.2元，计算小初家11月的实际用电量， 【分析】(1)当201≤x≤400时，成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出 金额与超出200度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式： (2)根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可 得解： (3)先计算出146.2元的用电量超出200度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算 即可得解. 【解答】解：(1)依题意得：y=0.66×200+0.71×(x-200)=0.71x-10, 故答案为：y=0.71x-10: (2).4月执行非夏季标准，且201<250<400， .250度用电量在第二档， .当x=250时，得：0.71×250-10=167.5（元)， .5月执行夏季标准，且0<250<260 ∴.250度用电量在第一档， ∴.当x=250时，得：0.66×250=165（元)， 答：小安家在4月的实付金额为167.5元，在5月的实付金额为165元： (3),11月执行非夏季标准， .200度电费y=0.66×200=132,400度电费y=0.71×400-10=274, .∴.132<146.2<274， .小初家11月用电量属于第二档，令y=146.2,得： 0.71x-10=146.2, 解得：x=220, 答：小初家11月的实际用电量为220度， 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实 付电费与用电量之间的函数关系 19.在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式·-利用函数图象研究其性质·-运用 (x(x≥0) 函数解决问题”的学习过程.同时，我们也学习了绝对值的意义：x= -x(x<0) 【尝试】探究函数y=2x-2~4的图象与性质.此函数是我们未曾学过的函数，于是小 明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整， （1)列表： 0 0 2 2 0 根据表格中的信息可得b=」 -4 (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象， 【探索】(3)写出函数y=2x-2-4的一条性质当x<2时，y随x增大而减小，当x >2,随x增大而增大一· 【解决问题】(4)结合画出的函数图象，解决问题： ①函数y=2k-2-4的最小值为-4_： ②关于x的方程2引x-2-4=-x的解为x三0或x=3· 2 个y 6 3 5-4-3-2 2:3456789 6 【分析】(1)直接代入求值即可： (2)通过描点，连线，画图即可： (3)由函数图象，写出对应的增减性即可： (4)①根据图象可得： ②求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案 【解答】解：(1)把x=2代入y=2k-2-4得，y=-4, b=-4, 故答案为：-4： (2)如图所示即为所求： 5-4-3-21 2:.3567:8:9 (3)由函数图象可得，当x<2时，y随x增大而减小，当x>2,随x增大而增大， 故答案为：当x<2时，y随x增大而减小，当x>2,随x增大而增大： (4)①结合图象可知，函数y=2x-2-4的最小值为-4， 在y=2-2-4中，当x≥2时，y=2x-8,当x<2时，y=-2x, y=2x-8y=-2x 联立方程组{ -x或-x 解得x=0或x=3, 结合函数图象可得，2x-2一4=- 号x的解为x=0或x=3: y 2:3456:7819 -r 故答案为：x=0或x=3, 【点评】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式 的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 20.阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请 你帮忙完成。 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积。 请用含有a,b,c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积=(b)?; 小正方形的面积+4个直角三角形的面积= c2+4x2地： 从而得出数学等式： (Hb)2=c2+4×2地： 1 化简证得勾股定理a2+b2=c2. 【知识迁移】 (1)将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若a=4,b=6,此时空白部 分的面积为28： (2)将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线） 的周长为24，OC=3,求该飞镖状图案的面积. 【拓展延伸】 如图4，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,AD平分∠BAC,N是线段AC上一 动点（不与点A,点C重合），M是线段AD上一动点（不与点A,点D重合），直接写 出CM什MN的最小值. 0 图1 图2 图3 图4 【分析】(1)根据空白部分的面积=小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可： (2)可设AC=x,根据勾股定理列出方程可求x,再根据直角三角形面积公式计算即可 求解： (3)作C关于AD的对称点E,根据线段垂直平分线的性质得到AE=AC=12,根据勾 股定理得到AB=VAC2+BCZ=V122+9=15,过E作ENLAC于N,交AD于M,则 此时CM什MN的值最小，且EN=CMMN的最小值，根据相似三角形的判定和性质定理 即可得到结论 【解答】解：【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积. 请用含有a,b,c的代数式表示以上面积： 大正方形的面积=（什b)2; 小正方形的面积+4个直角三角形的面积=c2+4×2b, 1 从而得出数学等式：(atb)=c2+4×2b; 化简证得勾股定理am2+b2=c2. 故答案为：(atb)2:c2+4×2b;(atb)2=c2+4×2b: (1)根据题意可求c=Va2+b2=V+6=2V13, “空白部分的面积为=52-2×2×4×6=28. 故答案为：28； (2)根据题意可知CD+AC=24÷4=6,OE=OC=3, 图3 设AC=x,则OA=OD=x+3,CD=6-x, 在Rt△OCD中，OD+OC2=CD, 即(x+3)2+32=(6-x)2, 解得x=1, ∴.0D=4, .该风车状图案的面积=4Sac0D=4×0D·0C=2×4×3=24; (3)作C关于AD的对称点E, M D 图4 ,AD平分∠BAC, .点E在AB上， ∴.AE=AC=12, ,∠ACB=90°， ..AB=VAC2 BC2=V122+92=15, 过E作EN⊥AC于N,交AD于M, 则此时CM什N的值最小，且EN=CM什MN的最小值， ,EN∥BC, ∴.△AEN∽△ABC, AB EN 2 9=1 .BW36 5 教CMN的最小值为号 【点评】本题考查三角形的综合题，考查完全平方公式变形，勾股定理，相似三角形的 判定与性质，轴对称的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.