精品解析：广东东莞市光明中学2026-2027学年 八年级上学期期中数学试卷

2026－2027学年第一学期期中考试试题 初二年级数学科 （本套试题考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ） A. 圆形桥梁的拱形结构 B. 校门口的自动伸缩栅栏门 C. 古建筑中的三角形屋架 D. 活动挂架 3. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按如图所示位置摆放，点C在的延长线上，C，F分别为直角顶点，且，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，下图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C 的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是边上的中线 B. 小轩折出的是中的平分线 C. 小涵折出的是中边上的高 D. 上述说法都错误 6. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 36° B. 30° C. 25° D. 15° 7. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（　　） A. B. ， C. ， D. ， 8. 如图，，在边上，，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 9. 指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如图，是角的平分线，，，的度数为______． 12. 若点和点关于x轴对称，则＝______． 13. 如图，已知，，，则__________． 14. 在中，，则 ______． 15. 如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． （1）求a的取值范围； （2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 17. 如图，是的边上的高，平分．若，，求和的度数． 18. 如图，，，且．求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高，于F，于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角．已知C，M，D三点共线，α与β互余，且，，， （1）求证： （2）求：办公楼的高度． 20. 如图，在等腰直角中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 【结论发现】小明在北师大版教材发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图①，在中，，点E是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______； （2）如图②，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的平分线与的平分线交于点P，的平分线与的反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）四边形 的内角与外角的平分线形成如图③所示的形状． ①已知，求的度数； ②直接写出与的数量关系：______． 23. 如图，直线交轴于点，交轴于点满足． （1）求点A，B的坐标； （2）如图①，若点C的坐标为，且于点交于点P． ①求证：； ②求点P的坐标； （3）如图②，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期期中考试试题 初二年级数学科 （本套试题考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；B，C，D不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形， 故选：A． 2. 下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ） A. 圆形桥梁的拱形结构 B. 校门口的自动伸缩栅栏门 C. 古建筑中的三角形屋架 D. 活动挂架 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行判断即可． 【详解】解：A、拱形，不是三角形，不符合题意； B、利用了四边形的不稳定性，不符合题意； C、利用了三角形的稳定性，符合题意； D、活动挂架，跟三角形的稳定性无关，不符合题意； 故选C． 3. 马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，首先得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 4. 将一副三角尺按如图所示位置摆放，点C在的延长线上，C，F分别为直角顶点，且，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用三角形内角和定理求出和的度数；两直线平行，内错角相等，求出的度数，用角与角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ． 5. 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，下图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C 的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是边上的中线 B. 小轩折出的是中的平分线 C. 小涵折出的是中边上的高 D. 上述说法都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，根据折痕是角平分线，以及折叠的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、由折叠可知，，可知为边上的中线，故选项错误； B、由折叠可知，，可知小轩折出的是中的平分线，故选项正确； C、由折叠可知，折痕不经过点，故小涵折出的不是中边上的高，故选项错误； D、B选项正确，故选项错误； 故选B． 6. 如图，在中，，，若，则（ ） A. 36° B. 30° C. 25° D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】根据，推出EA=ED，∠ABE=∠C，由，，推出∠ABE=∠DBE，∠A=90°，再利用∠ABE+∠DBE+∠C=90°，即可求出∠C的度数． 【详解】解：∵， ∴EA=ED，∠ABE=∠C， ∵，， ∴∠ABE=∠DBE，∠A=90°， ∴∠ABE+∠DBE+∠C=90°， ∴∠C=30°， 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟记全等三角形的性质推出EA=ED是解题的关键． 7. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是（　　） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定，若对概念很熟悉则可快速选出正确答案. 【详解】由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A可以； 由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B可以； 由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC，AB=BC或AC=BC，故C不可以； 由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D可以； 故选C． 【点睛】等腰三角形往往考查的比较多的就是三线合一，而由三线证等腰也是常考题型. 8. 如图，，在边上，，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D ． 9. 指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 如图，是角的平分线，，，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 平分， ． 12. 若点和点关于x轴对称，则＝______． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据两点关于x轴对称的坐标特征求出a、b的值，再代入计算的结果． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 13. 如图，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C． 【详解】∵△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C ∵∠B=22°， ∴∠C=22°． 故答案为:22 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应角是解题的关键． 14. 在中，，则 ______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角的和为是解题的关键． 根据三角形三个角度数比分别设出三个角度数表达式，利用三角形内角和定理结合条件可求得答案． 【详解】解：∵， 设，，， 由三角形内角和定理可得：， 解得， ， 故答案为：． 15. 如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16. 已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a． （1）求a的取值范围； （2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，三角形的周长最大为 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案； （2）由（1）取最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由三角形的三边关系可知 ， 即， ∴a的取值范围是； 【小问2详解】 解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数， ∴当时，三角形的周长最大， 此时周长为：， ∴周长的最大值是23． 【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 17. 如图，是的边上的高，平分．若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质求出，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ， 是的边上的高， ， ． 18. 如图，，，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得出结论. 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高，于F，于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角．已知C，M，D三点共线，α与β互余，且，，， （1）求证： （2）求：办公楼的高度． 【答案】（1）证明：∵与互余， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先由余角的定义得到，再由垂线的定义结合三角形内角和定理得到，则，即可证明； （2）再根据得出，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ∴办公楼的高度为． 20. 如图，在等腰直角中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与计算：在（1）的条件下，，求的面积． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质与判定，三角形 的面积公式； （1）根据题意过点作直线的垂线，垂足为，则线段即为所求； （2）根据三线合一得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰直角中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴的面积为 21. 如图1，嘉琪想知道一堵墙上点A距地面的高度AO（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉琪同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠______=．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A的高度． 图1 （1）请你先补全方案，再利用所学的全等三角形的知识说明这样设计的理由． （2）如图2，设AB与CD交于点E，善于观察和思考的明明同学猜想线段，你同意明明的观点吗?说明理由． 图2 【答案】（1）DCO，OD，理由如下： ∵AO⊥OD ∴∠AOB＝∠DOC＝90° 在△AOB与△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴OA＝OD， 故答案为：DCO，OD； （2）同意 理由：∵△AOB≌△DOC （已证） ∴OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC， ∴OA－OC＝OD－OB， 即AC＝DB， 在△ACE与△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（AAS）， ∴AE＝DE． 【解析】 【分析】（1）只需要根据AAC证明△AOB≌△DOC即可得到答案； （2）由△AOB≌△DOC得到OB＝OC， OA＝OD，∠OAB＝∠ODC，则AC＝DB，然后证明△ACE≌△DBE即可得到AE＝DE． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22. 【结论发现】小明在北师大版教材发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图①，在中，，点E是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______； （2）如图②，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的平分线与的平分线交于点P，的平分线与的反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）四边形 的内角与外角的平分线形成如图③所示的形状． ①已知，求的度数； ②直接写出与的数量关系：______． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，由三角形外角的性质得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于点，延长，交于点，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数；②根据（3）①的结论求解即可． 【小问1详解】 解：设， 平分，平分， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； 【小问3详解】 解：①延长，交于点，延长，交于点，如图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； ②由（3）①得，， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，直线交轴于点，交轴于点满足． （1）求点A，B的坐标； （2）如图①，若点C的坐标为，且于点交于点P． ①求证：； ②求点P的坐标； （3）如图②，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ∴， ， ， 在和中， ， ； ② （3）的值不发生改变，等于4 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可得到答案； （2）①根据点的坐标得到，再通过等角的余角相等证明，即可证明结论； ②由①得到，即可求出答案； （3）连接，证明，得到它们的面积相等，即可得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， 点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接， ，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ， 在与中， ， ， ． ∴的值不发生改变，等于4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $