江西抚州市崇仁县第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

崇仁县第一中学2026-2027学年上学期高二数学学科阶段性作业 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D B B A C D A BD BD ACD 1．D 【解析】设直线的倾斜角为，由，得， 所以，因为，所以即. 2．D 【解析】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．B 【解析】因为直线与之间的距离为， 所以，得的值为或 4．B 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，抛物线的准线方程，再根据准线和圆相切即可得到答案. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2， 抛物线的准线方程为， 圆与抛物线的准线相切， 则有，解得，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 5．A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A 6．C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【解析】由，可得：，则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动，所以，则，当且仅当，即，时等号成立，所以.最大值为3.故选：C. 7．D 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【解析】由题意可得：，设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得，所以函数的最小值为. 8．A 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【解析】由，得，而，的面积为，则，，令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为，，而，则，联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 9．BD 【分析】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围. 【解析】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 10．BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【解析】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】将代入曲线中证明关于原点对称判断A，先求出部分整点，再判断不存在其他整点求解B，结合给定条件并利用放缩法得到，再设出曲线上的点到原点的距离，解不等式得到判断C，先找到特殊交点，再转化为方程有解问题，建立不等式判断D即可. 【解析】对于A，把代入中， 得到 故，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确. 对于B，令，得到， 解得或，即曲线经过，，， 由图可得，令，得到， 解得，而， 故，故， 令，得到， 解得，而， 故，得到， 而，故， 得到，故， 则曲线只能经过3个整点，故B错误， 对于C，由题意得，， 故，而，得到， 故，即， 设曲线上任意一点到坐标原点的距离为， 由两点间距离公式得， 而，解得，即， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3，故C正确， 对于D，由题意得直线与曲线一定有公共点， 联立方程组，得到， 若直线与曲线只有一个交点，则方程除外无解， 而，，则即可， 解得，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【解析】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 13． 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【解析】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 14． 【分析】利用抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可. 【解析】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【解析】（1）由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示......................................2分 故，圆的半$径分.............................................4分 所以外接圆的方程为...........................................6分 （2）当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即．......................................9分 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为．..........12分 将代入，得，解得，所以的方程为．.......................13分 16．(1) (2)7 【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于的方程组，由此求解出即可知C的标准方程； （2）根据条件先求出的方程，然后联立与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将表示为坐标形式即可求解出结果. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，....................................2分 又因为点在双曲线上，所以②，................................4分 ①②联立解得，所以双曲线的方程为．.......................................6分 （2） 由（1）可知双曲线中，......................................7分 （3） 所以右焦点坐标为，即直线的横截距为2， 又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为，即，..............................9分 联立得，.................................10分 设，则，..........................................12分 所以．...........................................15分 17．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【解析】（1）由题意得：，解得，........................................1分 ∵，∴，...........................................2分 由，得：，...........................................3分 故椭圆的方程为.............................................5分 （2）∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得，......................................6分 ∴，.....................................8分 ，...............................................10分 在椭圆上，∴，即，.........................................12分 代入得：，.............................................14分 直线与直线的斜率之积为 .....................................................15分 18．(1)； (2)8 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【解析】（1）抛物线的焦点为，则，即，.........................................2分 所以抛物线为；........................................4分 （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设，......................................6分 由韦达定理得，....................................8分 故...........................................10分 (3)证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程．........................................11分 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：，.........................12分 则．由韦达定理可得，.......................................14分 又由已知，则．.......................................16分 此时直线恒过点．...............................................17分 19．(1)4 (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据题中给定定义直接求解; （2）（i）设直线上任意一点，，求出与坐标轴的交点，分类讨论在线段的延长线上时，线段的延长线上时，线段上时的情形即可； （ii）判断出轴时，的最小值为，过作直线的垂线，垂足为，则，当取最小值时，取得最小值. 【解析】（1）..................................4分 （2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，..................................5分 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，；.............................6分 当点在线段上时，，， 则........................................8分 因为，， 所以......................................9分 综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.......................10分 （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则，............................................12分 所以............................................14分 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值......................................15分 易知，.....................................16分 所以的最小值为， 即的最小值为........................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁县第一中学2026-2027学年上学期高二数学学科阶段性作业 一、单选题 1．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．若直线与之间的距离为，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 4．若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 7．函数的最小值为（     ） A． B． C．7 D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 11．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线，我们可以将其简化成单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线，如图，曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ）    A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 三、填空题 12．已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 13．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______. 14．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 四、解答题 15．已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 16．已知双曲线C：经过点，其中一条渐近线为，O为坐标原点． (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F，且在轴上的截距为的直线，交于P，Q两点，求的值． 17．已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 18．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $