江西省上高二中2026-2027学年高二上学期第二次阶段性练习数学试题

2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,2)且倾斜角为120°的直线方程为() A.V3x+y-2-V3=0 B.V3x-y+2-V3=0 C.x+V3y-1-2V3=0 D.x-V3y-1+2V3=0 2.圆x2+y2-4红+6y-3=0的圆心坐标与半径分别为( ) A.(2,-3),4 B.(-2,3)4 C.(2,-3),16 D.(-2,3),16 3.直线x-y=0被圆(x-1)2+y2=2截得的弦长为() A.V6 B.V3 C.2 D.2V2 4.圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+y2=1的位置关系及公切线条数分别为() A.外切，3条 B.内切，1条 C.相交，2条 D.外离，4条 5.己知椭圆芳+亏=1的左、右焦点分别为F1,F,P是椭圆上一点，且PF=3, 则IPFI的值为() A.7 B.13 C.2 D.7或13 6.双曲线芳-苦=1的离心率与渐近线方程分别为() A.e=,y=±B.e=号，y=±xC.e=,y=±x D.e=月，y=±x 7.已知点A1,2),B(2,1)在直线1：x+y-4=0的同侧，P为直线1上的动点，则 IPAI+IPBI的最小值为() A.V10 B.2 c.V⑤ D.2V2 y 8.已知椭圆后+方=1与双曲线C有公共焦点，且双曲线C的离心率为2，则双曲 线C的渐近线方程为() A.y=±V3x B.y= C.y=±3x D.y=±x 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知双曲线C:号-方=1的左、右焦点分别为F1,F2,则下列结论正确的是() A.双曲线C的离心率为2 B.双曲线C的渐近线方程为y=±V3x C.若P为C上一点，且IPFl=5,则PFl=1或9 D.若P为C上一点，则IPFI≥2 10.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0,直线1：kx-y+1=0,则下列结论正确的是() A.圆C的圆心为(1,2)，半径为2 B.过点P(3,4)且与圆C相切的直线有且仅有1条 C.当k=0时，直线1与圆C相交 D.若直线1与圆C交于A,B两点，且AB1≥2√3，则k≥0 1.已知椭圆E:芳+方=1与双曲线C:号-=1(>0，b>0)有公共焦点，则下 列结论正确的是() A.椭圆的离心率为方 B.a2+b2=4 C.若双曲线的离心率为2，则a=1 D.双曲线C的离心率e的取值范围是(1,2) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知直线1经过点P(2,3),且1在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为 13.已知椭圆C:5+片=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,若椭圆C上存 在点P,使得PF⊥PF2,则椭圆C的离心率e的取值范围是 14.已知双曲线C:x2-与=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上的动 点，点A(2,4),则IPF+IPAI的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 15.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0. (1)求过点P(3,4)且与圆C相切的直线方程；(6分) (2)已知直线1：x-y+1=0与圆C交于A,B两点，若AB1≥2V3,求实数k 的取值范围.(7分) 16.已知圆0：x2+y2=1与圆C:x-4)2+y2=4,动圆M与圆0内切、与圆C 外切 (1)判断圆O与圆C的位置关系：(7分) (2)求动圆圆心M的轨迹方程，并指出它表示什么曲线.(8分) 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=2,∠BAC=90°，AA1=2,D为 BC的中点. (1)证明：AD⊥平面BCCB1;(7分) C (2)求三棱锥A-ABD的体积.(8分) B C D B 18.已知椭圆E:号+片=1(a>b>0)经过点AV6,1)和BV3,V2). (1)求椭圆E的标准方程；(5分) (2)设F1,2为椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上一点，且∠FPF2=60°，求 △FPF2的面积；(6分) (3)设P为椭圆E上的动点，求△FPF?面积的最大值，并指出此时点P的坐 标.(6分) 19.已知椭圆C1:号+号=1与双曲线C:后-若=1(m>0,>0)有公共焦点，P为 C与C2的一个公共点，且P在第一象限. (1)求双曲线C2的半焦距；(4分) (2)若∠FPF2=60°，求双曲线C2的标准方程；(6分) (3)求点P的坐标及△PFF2的面积.(7分) 2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷参考答案与评分细则 题号 1 3 5 6 > 答案 A y > A 心 题号 0 10 11 12 13 14 答案 A ABD ACD ABC3x-2y=0或x+y-5=0 ,) 6 7.B【详解】设点A(L,2)关于直线：x+y-4=0的对称点为A(m,n,由吕=1 且 ”+号-4=0，解得A(2,3).由对称性知PA=PA1，所以 IPAI+IPBI=IPAI+PB≥lABI.又A(2,3),B(2,1),故IA'BI=2,且线段A'B与直 线1交于点(2,2)，等号可取.所以IPAI+IPB1的最小值为2.故选：B 8.A【详解】椭圆后+方=1中c2=16-12=4,故c=2,焦点为（仕2,0）.双曲线 C与椭圆有公共焦点，故其c=2:又e==2,得a=1,b2=c2-a2=4-1=3,所 以渐近线方程为y=±x=±V3x.故选：A 9.ABD【详解】a2=4,b2=12,c2=16,故a=2,b=2V3,c=4. 对于A,e=台=号=2，正确：对于B,渐近线方程为y=±x=±V3x,正确： 对于C,由定义lPFl-IPF2=2a=4,若IPFl=5,则IPF2=1或9.但双曲线上 任一点到焦点的距离PF≥c-a=2,故IPF2l=1不合几何意义，应舍去，只能为9， C错误： 对于D,P在右支上时IPF2l≥c-a=2,在左支上时IPF2l≥c+a=6,故IPFl≥2恒 成立，正确.故选：ABD. 10.ACD【详解】圆C配方得(c-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)，半径r=2. 对于A,圆心为(1,2)，半径为2，正确： 对于B,PC1=V(3-1)2+(4-2)2=2V2>2,点P在圆外，过圆外一点作圆的切线有 2条，B错误： 对于C,当k=0时，1：y=1,圆心到1的距离d=2-川=1<r=2,直线与圆相交， 正确； 对于D,圆心(1,2)到1：x-y+1=0的距离 d=lk-2+1=k1 -V2+1V+1,由 AB1=2V2-d严≥2V3得d2≤1，即(k-1)2≤k2+1,解得k之0，正确.故选： ACD 11.ABC【分析】由椭圆方程求出c,得双曲线中a2+b2=c2=4,再逐项判断；注意双 曲线的离心率没有上界. 【详解】椭圆E中c2=16-12=4,c=2 对于A,椭圆的离心率1=台=号=，正确： 对于B,双曲线与椭圆共焦点，故a2+b2=c2=4,正确： 对于C,双曲线的离心率2=台=2，得a=1,正确： 对于D,e2==名，其中a=V4-b2∈0,2)，当b→0+时a→2，e2→1+；当 a→0+时e2→+o,故e2∈(1+o),并非(1,2)，D错误.故选：ABC 12.3x-2y=0或x+y-5=0【详解】当截距都为0时，直线1过原点，设：y=kx,将 P(2,3)代入得k=2,此时1：y=x,即3x-2y=0;当截距都不为0时，设直线1在 两坐标轴上的截距均为a(a≠0)，则吉+=1，即x+y=a,将P2,3)代入得 a=5,此时x+y-5=0.综上，直线1的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故答案 为：3x-2y=0或x+y-5=0 1B.[要，)【详解】设PFI=m,PF=,则m+n=2a.在△PF,F2中，因为 PF1⊥PF2,由余弦定理得FF2P=m2+n2,即4c2=(m+m)2-2mn=4a2-2mn,所以 mm=2a2-2c2=2b?.又mn≤()2=a2,当且仅当m=n,即P为短轴端点时取等 号，所以2b2≤a,即22-c的≤a2,整理得三≥克，即e2≥支，所以e之9.又椭圆 的离心率满足0<<1，所以椭圆C的离心率e的取值范围是[？，).放答案为： [9) 14.6【详解】a=1,c=V1+3=2,故F(-2,0),F2(2,0).P在右支上，由定义 IPF]l-IPF2l 2a 2 即 IPFl=IPF2l +2 于 是 IPFl+IPAI=IPF2l+IPAI+2≥lAF2l+2.又IAF2l=V(2-2)2+(4-O)2=4,故 IPFI+IPAI≥6.取等时F2,P,A三点共线且P在线段F2A之间：直线F2A为 x=2,与双曲线右支交于点(2,3)，位于F22,0)与A(2,4)之间，等号可取.所以 IPF引+IPA|的最小值为6.故答案为：6 15.【详解】圆C配方得(c-1)2+(y-2)2=4,圆心C1,2),半径r=2. (1)PC=V(3-1)2+(4-2)2=2V2>2,故点P在圆外，切线有两条. ①当切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-3),即x-y+4-3水=0，则 k-2+4-3弧=2 V+1=2,即(2-2k)2=4k2+1),解得k=0,切线方程为y=4: ②当切线斜率不存在时，切线方程为x=3,此时圆心到x=3的距离13-川=2=r, 符合题意. 所以所求切线方程为x=3或y=4, 《2圆心C.2)到直线：c-y+1=0的距离d=计=0 V2+1V2+1,弦长 AB=2V2-d=2V4-d2.由AB1≥2V3得4-d2≥3，即d2≤1，所以 (k-1)2≤k2+1,化简得-2k≤0，即k≥0.所以实数k的取值范围是0，+∞). 【评分细则】(1)配方求出圆心、半径得1分：判断点P在圆外、切线有两条得1 分；求出y=4得2分；补充x=3得2分（只写y=4缺x=3的扣2 分)·(2)写出点到直线的距离公式得2分：写出弦长公式2V4- 2得2分：由 2≤1正确解出k≥0得3分（漏掉等号写成k>0的扣1分） 16.【详解】(1)圆O的圆心O(00),半径1=1；圆C的圆心C(4,0),半径 2=2.圆心距1OC1=4>r1+2=3,所以圆O与圆C外离. (2)设动圆M的半径为R(R>O),圆心M化y).因为动圆M与圆O内切，所以 IMO1=IR-I川：因为动圆M与圆C外切，所以IMCI=R+2,即R=IMCI-2,代入 得IMO1=IMC1-3引. 若1MCI<3,则MO1+IMC1=3,但MO1+MC1≥IOCI=4>3,矛盾，舍去： 故IMC1≥3，得IMCI-MOI=3>O,即M到C的距离比到O的距离大3，M在 靠近圆O的一侧. 由双曲线定义，2a=3,a=号：2c=10C1=4,c=2,故b2=c2-a2=4-号=7，且双曲 线的中心为OC的中点(2,0). 所以动圆圆心M的轨迹方程为？一 ,--学=1，即“2-号=1（≤），它表示双 曲线“，2-号=1靠近圆0的一支（左支）. 【评分细则】(1)写出两圆的圆心与半径得3分；算出圆心距1OC=4得2分；与 ”1+2比较并判定外离得2分（结论正确但未说明比较过程的扣1分）·(2)设出 Mx以、R并正确写出两切关系得2分：化出MO1=IMC-3并舍去MC1<3的情 形得2分；求出a=、c=2、b2=子得2分；写出方程并正确限定x≤号（一支）得 2分（缺范围或写成整条双曲线的扣1~2分）· 17.【详解】(1)在△ABC中，AB=AC=2,D为BC的中点，所以AD⊥BC 因为ABC-ABC1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC,又ADC平面ABC,所以 BB1⊥AD 又BCC平面BCC1B1,BB1C平面BCC1B1,BCnBB,=B,且AD⊥BC, AD⊥BB1,所以AD⊥平面BCCB1. (2)因为AB=AC=2,∠BAC=90，所以BC=VAB2+AC=2V2,故 BD=BC=V2;又AD是直角三角形斜边上的中线，所以AD=BC=V2, 所以S△ABD=·BD·AD=×V2×V2=1 因为AA1⊥平面ABC,而平面ABD即平面ABC,所以点A1到平面ABD的距离为 AA1=2, 故VA,-ABD=S△ABD·AA=号×I×2=号，即三棱锥A-ABD的体积为号. 【评分细则】(1)由等腰三角形得AD⊥BC得3分；指出BB1⊥平面ABC从而 BB,⊥AD得3分；强调BC与BB,相交并引用线面垂直的判定定理得1分（漏写"相 交"的扣1分).(2)求出BD=V2、AD=V2得2分：求出S△AD=1得2分： 说明高为AA,=2得2分；代入体积公式得导并作答得2分（答案正确但未说明高的 取法的酌情扣1分). 18.【详解】(1)设椭圆E:号+长=1a>b>0),将AV6,1),BV3,V2)代入得 兰+京=1，寻+帚=1.令u=总，v=,则6+v=1,3训+2y=1,解得u=, v=,故a2=9,b2=3.所以椭圆E的标准方程为号+亏=1， (2)c2=a2-b2=9-3=6,故c=V6,IFFl=2V6.设PFl=m,IPF2l=n,由 椭圆定义知m+n=2a=6.在△F,PF2中，∠FPF2=60°，由余弦定理得 IF F212 m2 +n2-2mncos 60 即 24=m2+n2-mn 又 m2+n2=(m+n)2-2mn=36-2mn,代入得24=36-3mn，解得mn=4.所以 S△5s=msin60=×4×号=V3,即△F,PF,的面积为V5 (3)以FF为底，设Px,y),则P到直线FF2(即x轴)的距离为y,故 S△F,PR,=FF2y=cy=√6y.由椭圆方程知椭圆上点的纵坐标满足 y≤b=V3,当且仅当x=0时取等号，故Smax=V6×V√3=3V2,此时点P的坐 标为0，V3)或(0，-√3)（短轴端点）. 【评分细则】(1)正确设出方程并代入两点得方程组得3分；正确解出a2=9、b2=3 得1分；写出标准方程得1分.(2)求出c=V6、IFF2l=2V6得1分：写出定义 式m+n=6得1分；列出余弦定理并化简得2分；正确求出mn=4得1分；代入面 积公式得V3得1分.(3)写出S=少p得2分：指出川≤V3得2分：正确求 出Smax=3√2得1分；写出P0,±V3)得1分. 19.【详解】(1)椭圆C:号+5=1中，a2=7,b2=3,故c2=a2-b2=4,所以 c=2.双曲线C2与椭圆有公共焦点，故双曲线C2的半焦距c=2, (2)设PFl=S,PF2l=1,因为P在第一象限，所以s>1>0.由椭圆的定义得 s+1=2V7,在△PFF中，由余弦定理得IFFP=s+-2os60,即 16=52+2-51.又(+)2=s2+2+21=28,所以s2+2=28-2s1,代入并整理得 16=28-351,解得51=4.由双曲线的定义得(6-)2=s2+2-21=28-41=12,所以 s-t=2V3,即2Vm=2√3，得m=3.又c2=m+n=4,所以n=1.故双曲线C2 的标准方程为号-y2=1 (3)由(2)知C2:号-少2=1，即y2=号-1.将其代入椭圆C的方程并整理，得 号+号-=1，即答=手，解得=头.因为P在第一象限，所以x=耍， 2=号-1=，故y=号，所以点P的坐标为（写，9）.因此△PFF的面积 S=×4×9=V3 【评分细则】(1)由椭圆方程求出c2=4得2分：由“公共焦点得双曲线半焦距c=2 得2分.(2)写出5+1=2V7得1分：由余弦定理列出16=s2+P-s1得2分： 结合（心+）2求出s1=4得1分：由双曲线定义求出m=3,n=1得1分：写出双曲 线C2的标准方程得1分（未求n=1直接写方程的酌情扣1分），(3)联立两曲线 方程并正确消元得2分：解出x=9并由第一象限确定取值得2分：求出y=号并 写出点P的坐标得2分；正确求出△PFF2的面积S=V3得1分（面积公式用错 或结果不正确的扣1分).