广东深圳外国语学校2026-2027学年高三上学期数学练习06

· 深圳外国语学校2024级高三上学期数学练习06 命题人:周婧芸　　审题人：张六军 · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知平面向量，不共线，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（    ） A．或 B． C． D． 3．已知直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 6．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知幂函数（）的定义域为，，，，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．有两个零点 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 11．已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．存在实数使得为上的奇函数 B．若为增函数，则的取值范围为 C．对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D．若，则方程有三个不同的实数根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知为奇函数，则实数________． 13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为________． 14．当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角，，所对应的边分别为，，，，． (1)求； (2)若，求． 16．（15分）如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点． (1)求三棱锥的体积； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 18．（17分）已知椭圆：，点在椭圆上，为坐标原点，，关于原点对称，设直线斜率为，过点作斜率为的直线交轴于点，直线与椭圆交于另一点． (1)证明：直线与直线斜率之和为定值； (2)若直线，直线，直线的斜率依次成等比数列，求的值； (3)求外接圆圆心的纵坐标的最大值． 19．（17分）已知实数，且，函数． (1)若关于的方程有解，求的取值范围； (2)若． （ⅰ）解不等式； （ⅰⅰ）若，，，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《深圳外国语学校2024级高三上学期数学练习06》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C C B C ACD AC 题号 11 12 13 14 答案 BC / 8．C【详解】，两边同乘，得令，，求导得，所以在单调递增，又因为，且，所以；所以，，即，令求导得，当，，单调递减，当，，单调递增 又，且所以，. 11．BC【详解】对于选项A：因为，即，可知不为奇函数，故A错误；对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断，当时，则，可得恒成立，则，可得；当时，则，可得恒成立，则，可得；综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令，因为，，可知函数在内存在零点，即方程在内有根，所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确；对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立，可知函数在内单调递减，则，且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为；综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为，所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 13．【详解】因为“，”为假命题，当时，原不等式变为，解得，存在整数解，不合题意；当时，的两根为，且，所以原不等式的解为，或，有整数解，不合题意；当且时，，原不等式的解集为， 由题意知，解得，且；当时，原不等式变为，无整数解，符合题意，综上，的取值范围为． 14．【详解】当，时，不等式恒成立可化为当，时，恒成立，即当，时，恒成立．设，则恒成立，所以函数单调递增，所以，即．设函数，则， 令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，解得.故的取值范围是． 15．【详解】（1）因为，所以，，所以，因为，所以，又因为，解得，； （2）由二倍角公式得，得到，所以，得，又由正弦定理得，所以，故. 16．【详解】（1）∵在三棱柱中，为在底面上的投影，∴面，∵面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离因为与平面所成的角为，且面，∴∴ （2）以为原点，，，为，，轴，如图，可得：，，，，，又∵，∴，∴，所以，，，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，∴，，所以平面与平面所成角的正弦值为. 17. 【详解】（1）时，，，则恒成立，故在上单调递增，又，，由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； (2)，，，，令，即， 因为函数有两个极值点、，，故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则，所以，，单调递减；，，单调递增．故，即． 18. (1)设，则，则直线的斜率为，又直线AD的斜率为，则直线AD的方程为，又点在轴上，则点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线与直线斜率之和为（定值），证毕． （2）结合（1）有，，，，，由，，均在椭圆上，设， 则，即，又，，依次成等比数列，则，即，解得． （3）结合（1）有，，即，则的直线方程为，即，联立，整理得．设的中点为，则，则，联立，的垂直平分线，解得外接圆圆心为P的纵坐标为，又，且，解得，所以，设，，则，由于，则为奇函数，则只需考虑，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，且，故的最大值为． 19.（1）由，得，所以，所以，可得，即，因为，且，所以，所以，问题转化为关于的方程有解，等价于，即，当时，，所以时不符合题意；当时，，所以时符合题意，故的取值范围为． （2）（ⅰ）当时，，，，即函数的定义域为，所以，即为偶函数，所以可以转化为，对于函数，当时，，所以在上单调递增．又因为在上单调递增，由复合函数单调性可知，在上单调递增，    所以由，得，即，所以，所以或， 所以的解集为．     （ⅰⅰ）由题意得，，，等价于．    而，当且仅当时取等号，所以．    令，则，，即，．    因为函数、在上均为减函数， 所以函数在上单调递减，当时，，     所以，即实数的取值范围为. 答案第8页（共8页） 答案第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $