精品解析：四川绵阳市2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试题

高中2024级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、准考证号、座位号和班级. 2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.考生回答非选择题时，须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上.选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效. 3.考生不得将试卷、答题卡和草稿纸带离考场，考试结束后由监考员收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由，，且，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即， 因此. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】若，则,故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，，，即可判断选项ABC错误，再由不等式性质证明选项D正确. 【详解】对于选项A，取，，，则，，但，故选项A错误； 对于选项B，取，，，则，，但，故选项B错误； 对于选项C，取，，，则，，但，故选项C错误； 对于选项D，因为，，所以，故选项D正确. 5. 在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，而，则， 又函数是上的增函数，因此，解得， 所以存储时间与的比值最大为5. 6. 设是上的奇函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，结合奇函数性质可得，，由此可得，根据此关系可得结论. 【详解】因为，所以，即， 因为是上的奇函数，所以，， 所以，即， 所以， 所以. 7. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象过点及单调性求出的值，利用图象平移变换规律求出的解析式，代入求值即可． 【详解】由图象可知，函数过点， 所以，即， 解得． 又由图象可知，且函数在附近单调递减， 当时，， 此时，， 且在处，正弦函数处于递减阶段，符合题意， 所以． 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象， 则， 所以． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将对数统一为以为底的形式比较与的大小，再通过对数运算性质转化为指数形式比较与的大小，最终得到三者排序. 【详解】， 又，，则，则， 故，即，故，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. 仅有两个零点 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】结合分段函数的定义，利用偶函数定义判断A，利用导数分析单调性判断B，结合B及偶函数性质判断零点个数判断C，作差函数，利用指数函数性质判断D． 【详解】选项A，对任意，当时，， 当，此时，， 当时，，所以是偶函数，选项A正确； 选项B，当时，求导得， 若，则，，故， 所以在上单调递减，选项B错误； 选项C，由选项B知，当时，在上单调递减， 已知， 若，则，，故， 所以在上单调递增， 则的极小值为， 当时，，故在上有1个零点， 又，由选项A知，是偶函数， 所以当时，也有1个零点，则共有3个零点，选项C错误； 选项D，当时，，则， 当时，，故，， 所以，选项D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 的最小正周期为 C. 为的一个极大值点 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算是否等于可得A；计算是否恒成立可得B；借助导数计算可得C；结合函数周期与函数单调性计算可得D. 【详解】对A： ， 故的图象关于对称，故A正确； 对B：，故B错误； 对C： ， 令，解得，又， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故为的一个极大值点，故C正确； 对D：， 故是的一个周期，则在上的值域与在上的值域相同， 由C可知，在上单调递增，在上单调递减， 又， ， 故的值域为，故D正确. 11. 已知正项等比数列与等差数列的首项均为1，且，.将乘积按如下方式排成三角形数表，其中第行依次为，，…，.记为第行至第行所有数的和. 第1行： 第2行： 第3行： …… 第行： … 下列结论正确的有（ ） A. 的公比为2 B. 第行所有数的和为 C. ，与的奇偶不同 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出两个数列的通项公式，再依次分析各选项：先求等比数列公比、等差数列公差，再计算第行和，判断的奇偶性，最后变形不等式验证D选项. 【详解】设正项等比数列公比为，等差数列公差为，首项均为， 则，，由题意得，故， 故，，的公比为2，A正确. 设第行的所有数之和为，由题知， 为等比数列的前项和， ，B正确. 由题知，，与都是奇数，为奇数， 当为奇数时，为个奇数相加，其奇偶性和完全一致，C错误. 将不等式变形为， 而， ， 故 ， ，恒成立，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合诱导公式，即得解 【详解】由题意，根据诱导公式 故答案为： 13. 记数列的前项和为，且满足，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，则，解方程即可得出答案；，当时，，得，然后利用等比数列定义求得通项公式并验证是否成立即可得解. 【详解】令，则，化简得，因为，所以， 所以，当时，， 得，即， 所以是首项、公比的等比数列，即， 时，符合题意， 所以. 14. 已知函数.若对，关于的方程在上至少有一个解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用换元思想解方程即可求得实数的取值范围. 【详解】由，可得， 即， 设，则可得，所以， 所以，所以， 解得或，所以或， 所以或，因为，所以方程在有一解， 又因为，所以时，方程至少有一个解在内， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛.下表是某市2021—2025年无人机注册数量（单位：千架）的统计数据，其中为对应年份的代码. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 1 2 3 4 5 8 10 13 16 18 （1）根据以上数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量. 参考数据：， 参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1） （2）26千架（或26000架） 【解析】 【分析】（1）首先计算，再根据参考公式求和，最后求得回归直线方程； （2）再将代入方程进行预测. 【小问1详解】 由已知得，，， ，， 故， ， 所以关于的线性回归方程为， 【小问2详解】 2028年对应的，当时，， 所以预计该市2028年无人机注册数量为26千架． 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）记，的前项和分别为，，且，求的通项公式. 【答案】（1）设数列的公差为. 因为数列是公差不为零的等差数列，所以，且. 又，所以，即，所以. 故. 又，所以. 又，为常数， 故为等差数列. （2）或 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、等差中项的性质即等差数列的定义证明即可. （2）根据等差数列的前项和公式及已知条件求出，代入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 所以. 整理得，即，解得或. 当时，；当时，. 故或. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若，，且满足，求的值. 【答案】（1） 的单调递增区间为 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1） 先通过三角恒等变换将化简为正弦型函数，利用正弦函数单调性求解单调区间； （2）推导的解析式，代入已知等式结合余弦函数的性质求解符合范围的. 【小问1详解】 由，， 得 ， 由 ，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 由，得 , 得 ， 所以，即，， 或，即， ， 又，，仅当时符合； ， 仅当时、时符合 ； 综上，的取值为. 18. 已知函数，曲线在处的切线经过点. （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）为给定常数，且.若，且设在上的最大值为.证明：对任意实数，. 【答案】（1） （2）若，在区间和上单调递增，在区间上单调递减； 若，在定义域上单调递增； 若，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （3）法1：当时，，因为在上的最大值为， 则，，即对任意实数，有， ，， 则， 化简得，， 假设，，则，与上述推理矛盾， 故和不可能同时小于，即. 法2：证明：由（1）知，故． 因为，所以定极值点，且右端点． 由， 可知对任意实数，必有：， 且． 令，解得． ①当时，，此时； ②当时，因为，所以，从而． 于是, 此时． 综合①②可知，对任意实数，恒有． 【解析】 【分析】（1）求出切线方程，再代入点，求出； （2）根据的取值，利用导数讨论单调性； （3）法1：选择在上的一个极值点和端点函数值，要证明对任意实数，满足，可以证明对任意实数，和必有一个大于等于，利用反证法可以证明. 法2：首先分析得，再对分和讨论即可； 【小问1详解】 对函数求导得，，则， ，则曲线在处的切线为， 该切线经过，所以，解得. 【小问2详解】 函数，则， 若，即，当时，，当时，， 故在区间和上单调递增，在区间上单调递减； 若，即，则，， 故在定义域上单调递增； 若，即，当时，，当时，， 故在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）对任意，试比较与的大小，并说明理由； （3）数列满足，且.设，证明：. 【答案】（1） （2），理由如下： 令，，则， 令，，则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 即恒成立，故在上单调递增， 故， 则对任意恒成立， 故 ， 由，则， 故，故在上单调递减， 故， 即； （3）由（2）知，当时，，且， 故，又，故， 由（1）知，当时，， 故，即，故，即， 由，且若，则， 故由数学归纳法可知，，且， 结合（1）中所得，有， 即，故， 又，故， 故， 即有. 【解析】 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最值； （2）令，求导后，构造函数可得对任意恒成立，即可得单调性，即可得解； （3）结合（1）、（2）中所得，可得、及，则可推导出且，从而可得，再利用等比数列求和公式计算即可得证. 【小问1详解】 ， 恒成立， 故在上单调递增，故在上的最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2024级第一次诊断性考试 数学 注意事项： 1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、准考证号、座位号和班级. 2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.考生回答非选择题时，须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上.选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效. 3.考生不得将试卷、答题卡和草稿纸带离考场，考试结束后由监考员收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 设是上的奇函数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. 仅有两个零点 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 的最小正周期为 C. 为的一个极大值点 D. 的值域为 11. 已知正项等比数列与等差数列的首项均为1，且，.将乘积按如下方式排成三角形数表，其中第行依次为，，…，.记为第行至第行所有数的和. 第1行： 第2行： 第3行： …… 第行： … 下列结论正确的有（ ） A. 的公比为2 B. 第行所有数的和为 C. ，与的奇偶不同 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________. 13. 记数列的前项和为，且满足，，则______，______. 14. 已知函数.若对，关于的方程在上至少有一个解，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近年，我国低空经济产业快速发展，无人机应用日益广泛.下表是某市2021—2025年无人机注册数量（单位：千架）的统计数据，其中为对应年份的代码. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 1 2 3 4 5 8 10 13 16 18 （1）根据以上数据，求关于的经验回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预测该市2028年无人机注册数量. 参考数据：， 参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）记，的前项和分别为，，且，求的通项公式. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若，，且满足，求的值. 18. 已知函数，曲线在处的切线经过点. （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）为给定常数，且.若，且设在上的最大值为.证明：对任意实数，. 19. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）对任意，试比较与的大小，并说明理由； （3）数列满足，且.设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $