【期中专项】专项01 因式分解及其应用（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专项01 因式分解及其应用 目 录 考点01 概念辨析与提公因式 考点02 公式法：平方差与完全平方 考点03 综合运用公式法 考点04 先提后套的综合分解 考点05 十字相乘·分组·实数范围 考点06 配方法求最值与分解 考点07 因式分解简算 考点08 几何与代数综合应用 考点01 概念辨析与提公因式 难度层级：基础　|　3 题 1．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2．因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. 6a C. B. D. 3．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是________，属于整式乘法的是________．（填序号） 考点02 公式法：平方差与完全平方 难度层级：基础　|　4 题 4．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 5．下列四个多项式中为完全平方式的为（ ） A. C. B. D. 6．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有________个． 7．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 考点03 综合运用公式法 难度层级：提升　|　5 题 8．分解因式 （1） （2） 9．下列分解因式正确的是（ ） A. C. B. D. 10．按要求完成下列各题 （1）计算： （2）分解因式： 11．请利用拆项法分解因式完成下列题目： （1）； （2）． 12．把下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 考点04 先提后套的综合分解 难度层级：提升　|　6 题 13．观察下列式子： ； ； ； （1）上面整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含、的字母表示）不用证明； （2）直接用你发现的公式写出计算结果：______； （3）分解因式：． 14．把下列各式分解因式： （1）； （2）． 15．把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 16．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，分别表示河、爱、南、我．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河 C. 我爱河南 B. 我河南 D. 爱河南 17．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 18．把下列各式分解因式： （1）x2+3x﹣4； （2）a3b﹣ab； （3）3ax2﹣6axy+3ay2． 考点05 十字相乘·分组·实数范围 难度层级：提升　|　6 题 19．把在实数范围内因式分解，结果为（ ） A. C. B. D. 20．用“十字相乘法”分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 21．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． （1）分解因式：； （2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 22．在实数范围内因式分解：________ 23．阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； （1）松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； （2）南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； （3）在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 24．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式： （1）； （2）． 考点06 配方法求最值与分解 难度层级：拓展　|　6 题 25．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式：________； （2）若可配方成（，为常数），则________； （3）求代数式的最小值，并求出，的值； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 26．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _________．代数式 的最小值为________； （2）若 则当________时，y有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________； （3）当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 27．定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； （1）分解因式∶； （2）当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． （3）已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 28．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式 例如，求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是． （1）分解因式：__________． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 29．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，若一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，再减去这个项，使整个式子的值不变，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值或最小值等． 例如：分解因式：例如：求代数式的最小值，． ∵，∴当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）求代数式的最大值； （3）若实数a，b，c满足，试判断a，b，c三者之间有何数量关系？并说明理由． 30．我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是________； （2）求代数式的最小值． 考点07 因式分解简算 难度层级：提升　|　5 题 31．利用公式简便运算： （1）； （2）． 32．计算： （1） （2） （3） （4）（用简便方法） 33．利用因式分解简便计算： （1）； （2）． 34．运用简便方法计算： （1）； （2）． 35．简便计算： （1）； （2） 考点08 几何与代数综合应用 难度层级：拓展　|　6 题 36．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 37．阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 38．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若满足如下条件： ，求的值． （3）已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 39．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 40．根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 41．（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 因式分解及其应用 目 录 考点01 概念辨析与提公因式 考点02 公式法：平方差与完全平方 考点03 综合运用公式法 考点04 先提后套的综合分解 考点05 十字相乘·分组·实数范围 考点06 配方法求最值与分解 考点07 因式分解简算 考点08 几何与代数综合应用 考点01 概念辨析与提公因式 难度层级：基础　|　3 题 1．B 2．D 3．①③；② 考点02 公式法：平方差与完全平方 难度层级：基础　|　4 题 4．C 5．D 6．4 7．（1）不能，这是平方和；（2）能，；（3）能，；（4）不能，这是平方和的相反数 考点03 综合运用公式法 难度层级：提升　|　5 题 8．（1） （2） 9．A 10．（1） （2） 11．（1） （2） 12．（1） （2） （3） 考点04 先提后套的综合分解 难度层级：提升　|　6 题 13．（1） （2） （3） 14．（1） （2） 15．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 16．D 17．155763 18．（1）（x+4）（x﹣1） （2）ab（a+1）（a﹣1） （3）3a（x﹣y）2 考点05 十字相乘·分组·实数范围 难度层级：提升　|　6 题 19．D 20．（1） （2） （3） （4） （5） （6） 21．（1） （2）或 （3）的最小值是 22． 23．（1）； （2）； （3）． 24．（1）； （2）． 考点06 配方法求最值与分解 难度层级：拓展　|　6 题 25．（1） （2） （3）最小值是，， （4） 26．（1）；3 （2）1；大； （3） 27．（1） （2）当时有最小值，最小值为 （3） 28．（1） （2），，多项式的最小值为 29．（1） （2）代数式的最大值为5 （3）a，b，c三者之间关系是，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 30．（1）； （2）． 考点07 因式分解简算 难度层级：提升　|　5 题 31．（1）1 （2）900 32．（1） （2） （3） （4） 33．（1） （2） 34．（1）1 （2）13600 35．（1）； （2） 考点08 几何与代数综合应用 难度层级：拓展　|　6 题 36．（1） （2） （3）18 37．（1） （2）0 （3）是等腰三角形． 38．（1）38 （2）5 （3）证明：由题意得，， ∴， 整理得：， 即， ∴， ∴ ∵， ∴， 故，即， ∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． 39．解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 40．任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； ②，有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； ③，有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片 ④，有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；（答案需包含第①种方案，其它任选一种） 任务3：如图所示： ． 41．（1）证明：设这个四位数为 abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)．∵9(111a+11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被9整除，∴9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)能被9整除，∴这个数能被9整除；（2）∵2+0+2+5=9能被9整除，∴2025能被9整除． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 因式分解及其应用 目 录 考点01 概念辨析与提公因式 考点02 公式法：平方差与完全平方 考点03 综合运用公式法 考点04 先提后套的综合分解 考点05 十字相乘·分组·实数范围 考点06 配方法求最值与分解 考点07 因式分解简算 考点08 几何与代数综合应用 考点01 概念辨析与提公因式 难度层级：基础　|　3 题 1．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是几个整式乘积的形式，故该选项不符合题意； B. ，是因式分解，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. 6a C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 多项式中，各项系数的最大公约数是2，各项都含有的相同因式是，且因式的指数最低是2，所以得出结果. 【详解】解：多项式分解因式， 6，4的最大公约数是2，各项都含有相同因式为， 故提出公因式. 故选：D. 3．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是________，属于整式乘法的是________．（填序号） 【答案】①③；② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 考点02 公式法：平方差与完全平方 难度层级：基础　|　4 题 4．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 5．下列四个多项式中为完全平方式的为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，中的应改成或，故错误，不符合题意； 选项，是完全平方公式，故正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 6．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有________个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 7．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）不能，这是平方和；（2）能，；（3）能，；（4）不能，这是平方和的相反数 【分析】根据平方差公式＝（a＋b）（a−b）逐项判定可求解． 【详解】（1）两项符号相同，是平方和，不能用平方差公式分解因式， （2）符合平方差公式， （3）符合平方差公式， （4）两项符号相同，这是平方和的相反数，不能用平方差公式分解因式． 【点睛】本题主要考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 考点03 综合运用公式法 难度层级：提升　|　5 题 8．分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，灵活选择合适的因式分解方法是解本题的关键． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 9．下列分解因式正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 10．按要求完成下列各题 （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则，因式分解的方法，是解题的关键： （1）先进行积的乘方运算，再进行单项式乘以多项式的运算，最后合并同类项即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可。 【小问详解】(1)小问详解： 解：原式 ． 【小问详解】(2)小问详解： 原式 ． 11．请利用拆项法分解因式完成下列题目： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 12．把下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）提公因式即可； （2）综合提公因式与公式法进行因式分解即可； （3）先用平方差公式、然后用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ； 【小问详解】(3)小问详解： 解： ． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于选取合适的方法进行因式分解． 考点04 先提后套的综合分解 难度层级：提升　|　6 题 13．观察下列式子： ； ； ； （1）上面整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含、的字母表示）不用证明； （2）直接用你发现的公式写出计算结果：______； （3）分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）直接利用（1）中得出的公式，进行计算即可； （3）利用（1）中总结的公式，将变成，再利用提公因式法和公式法即可解答． 【小问详解】(1)小问详解： 解：， ， ， ， ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：根据题意得： 故答案为：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：由（1）得：， ． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，综合提公因式和公式法分解因式，理解题意，总结规律，利用规律进行解答是解题的关键． 14．把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先变形，再找出公因式，最后提取公因式即可． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式即可； 【小问详解】(1)小问详解： 解：原式 ． 【小问详解】(2)小问详解： 解：原式 ． 15．把下列多项式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【小问详解】(1)小问详解： 解：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：； 【小问详解】(4)小问详解： 解：； 【小问详解】(5)小问详解： 解：； 【小问详解】(6)小问详解： 解：； 【小问详解】(7)小问详解： 解：． 16．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，分别表示河、爱、南、我．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱河 C. 我爱河南 B. 我河南 D. 爱河南 【答案】D 【详解】解：， ∵对应爱，对应河，对应南， ∴结果呈现的密码信息可能为爱河南． 17．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 【答案】155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 18．把下列各式分解因式： （1）x2+3x﹣4； （2）a3b﹣ab； （3）3ax2﹣6axy+3ay2． 【答案】（1）（x+4）（x﹣1） （2）ab（a+1）（a﹣1） （3）3a（x﹣y）2 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可； （3）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； 【小问详解】(1)小问详解： 解：x2+3x﹣4＝（x+4）（x﹣1）； 【小问详解】(2)小问详解： 解：a3b﹣ab ＝ab（a2﹣1） ＝ab（a+1）（a﹣1）； 【小问详解】(3)小问详解： 解：3ax2﹣6axy+3ay2 ＝3a（x2﹣2xy+y2） ＝3a（x﹣y）2； 【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 考点05 十字相乘·分组·实数范围 难度层级：提升　|　6 题 19．把在实数范围内因式分解，结果为（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】先对原式用平方差公式分解，再对两个因式继续用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 20．用“十字相乘法”分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】（1），从而运用十字相乘法可分解因式； （2），从而运用十字相乘法可分解因式； （3），从而运用十字相乘法可分解因式； （4）先化简得，然后，从而运用十字相乘法可分解因式； （5），从而运用十字相乘法可分解因式； （6）先提出得，，从而运用十字相乘法可分解因式． 【小问详解】(1)小问详解： 解：． 【小问详解】(2)小问详解： 解：． 【小问详解】(3)小问详解： 解：． 【小问详解】(4)小问详解： 解：． 【小问详解】(5)小问详解： 解：． 【小问详解】(6)小问详解： 解：． 21．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． （1）分解因式：； （2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】（1） （2）或 （3）的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【小问详解】(1)小问详解： 解： 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； 【小问详解】(3)小问详解： 由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 22．在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键． 先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； （1）松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； （2）南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； （3）在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）用十字相乘的方法即可求解； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【小问详解】(1)小问详解： 二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： 【小问详解】(2)小问详解： ， ； 【小问详解】(3)小问详解： ， ， ， ， ． 24．常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】此题考查了分组分解法分解因式， （1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案； （2）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式即可； 解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【小问详解】(1)小问详解： 原式， ， ； 【小问详解】(2)小问详解： 原式， ， ． 考点06 配方法求最值与分解 难度层级：拓展　|　6 题 25．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式：________； （2）若可配方成（，为常数），则________； （3）求代数式的最小值，并求出，的值； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值是，， （4） 【分析】本题考查了因式分解的应用、新定义“完美数”概念的理解以及配方法；解题的关键是理解定义正确配方． （1）依据“完美数”的定义，变形即可得； （2）通过将配方得到m，n的值代入计算即可； （3）根据配方得到，即可求解； （4）将配方为，结合“完美数”的定义，令的值可以为0可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解： 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解： 故答案为：； 【小问详解】(3)小问详解： 解： ； ∵，， 当，时，代数式的最小值为 【小问详解】(4)小问详解： 解：， ， ， ∵x，y是整数， ∴也是整数， ∵S为“完美数”， ∴的值可以为0， ∴． 26．如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： _________．代数式 的最小值为________； （2）若 则当________时，y有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________； （3）当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 【答案】（1）；3 （2）1；大； （3） 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，三角形的三边关系，解决本题的关键是理解配方法的解答过程． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出，然后求出c的取值范围． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． 【小问详解】(2)小问详解： 解： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1；大；． 【小问详解】(3)小问详解： 解：， 即， 即， 所以，， 所以，， a，b，c分别为的三边长， ， 即． 27．定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； （1）分解因式∶； （2）当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． （3）已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 【答案】（1） （2）当时有最小值，最小值为 （3） 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握题干给定的方法是解题的关键： （1）利用题干给定的方法进行因式分解即可； （2）利用添项，构造完全平方，利用完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用完全平方公式法进行因式分解，利用非负性求出三边的长即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时，，值最小； 故当时有最小值，最小值为； 【小问详解】(3)小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴． 28．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式 例如，求代数式的最小值． 原式 ． 可知当时，有最小值，最小值是． （1）分解因式：__________． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1） （2），，多项式的最小值为 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方、完全平方式，熟练掌握这三个知识点的综合应用，用配方法把多项式化为完全平方的形式是解题关键． （1）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （2）用配方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 当，时，多项式有最小值， 解得，，多项式的最小值为． 29．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，若一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，再减去这个项，使整个式子的值不变，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值或最小值等． 例如：分解因式：例如：求代数式的最小值，． ∵，∴当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）求代数式的最大值； （3）若实数a，b，c满足，试判断a，b，c三者之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2）代数式的最大值为5 （3）a，b，c三者之间关系是，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，因式分解，实数非负性的应用，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 【小问详解】(1)小问详解： ． 【小问详解】(2)小问详解： ． ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是5． 【小问详解】(3)小问详解： 略 30．我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： （1）代数式的最小值是________； （2）求代数式的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题主要考查了通过完全平方公式进行配方求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可； （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是， 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是． 考点07 因式分解简算 难度层级：提升　|　5 题 31．利用公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 原式 ； 【小问详解】(2)小问详解： 原式 ． 32．计算： （1） （2） （3） （4）（用简便方法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算，完全平方公式因式分解． （1）根据算术平方根与立方根的定义进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解； （3）根据单项式乘以多项式，平方差公式进行计算即可求解； （4）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：原式 【小问详解】(2)小问详解： 原式 【小问详解】(3)小问详解： 原式 【小问详解】(4)小问详解： 原式 33．利用因式分解简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用因式分解简便计算，即可求解； （2）利用因式分解简便计算，即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解： 【小问详解】(2)小问详解： 解： 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，熟练掌握和运用利用因式分解简便计算是解决本题的关键． 34．运用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）13600 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 35．简便计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ． 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 考点08 几何与代数综合应用 难度层级：拓展　|　6 题 36．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加为问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当a=2时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）求最小值：的最小值_______； （2）已知，求的值_______； （3）若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，三角形面积为S，用配方法求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）18 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解-分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ， ， 当时，有最小值， 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： 【小问详解】(3)小问详解： 解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18． 37．阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】（1） （2）0 （3）是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵， ∴ ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 38．某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，图2可以解释 小组成员发现可利用图2的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若满足如下条件： ，求的值． （3）已知，，，，且．求证：不能成为一个三角形的三条边长； 【答案】（1）38 （2）5 （3）证明：由题意得，， ∴， 整理得：， 即， ∴， ∴ ∵， ∴， 故，即， ∴a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． （1）直接利用求解即可； （2）设，，，则，，，然后根据可得出关于t的方程，然后利用平方根的定义解方程并检验即可； （3）由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； 【小问详解】(2)小问详解： 解：设，，， ∵， ∴，，， 又， ∴， 整理得， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴； 【小问详解】(3)小问详解： 略 39．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 40．根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形． 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且． 素材二 将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片． 素材三 小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：． 【问题解决】 【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长； 【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）； 【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分． 【答案】任务1：图见解析，周长为：；任务2：①，有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； ②，有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； ③，有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片 ④，有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片；（答案需包含第①种方案，其它任选一种） 任务3：如图所示： ． 【分析】本题考查了图形与乘法公式的关系，数形结合是解题的关键． 任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解．熟练掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 【详解】解：任务1：如图所示： 周长为：； 任务2：如图所示： ，现共有9张型卡片，24张型卡片和16张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，2张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有4张型卡片，4张型卡片和1张型卡片； 如图所示： ，现共有1张型卡片，4张型卡片和4张型卡片； 任务3：略 41．（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除； （2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除． 【答案】（1）证明：设这个四位数为 abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)．∵9(111a+11b+c)能被9整除，(a+b+c+d)能被9整除，∴9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)能被9整除，∴这个数能被9整除；（2）∵2+0+2+5=9能被9整除，∴2025能被9整除． 【分析】本题考查了整式加法的应用，因式分解； （1）将这个数化为，即可得证； （2）可得能被9整除，即可验证； 能用因式分解将表示数的整式化为能被9整除的和是解题的关键． 【详解】（1）证明： 能被9整除 能被9整除， 能被9整除， 这个数能被9整除； （2）能被9整除 能被9整除． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $