【期中专项】专项03 分式的化简求值与综合应用（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专项03 分式的化简求值与综合应用 目 录 考点01 恒等式确定分子或分母 考点02 化简求值四法 考点03 新定义与材料阅读 考点04 分式运算的实际应用 考点01 恒等式确定分子或分母 难度层级：提升　|　5 题 1．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 2．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则________； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则________； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 3．已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 4．阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． 【小问详解】(1)小问详解： 解：由分母，可设， 则， ， ． ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ， ． 【小问详解】(2)小问详解： 由分母，可设， 则， ， ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得； ∴， ， ， ， ∵x为整数，分式的值为整数， ∴为整数， ∴或6或0或2． 5．某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫作“分离常数法”．将分式分离常数，则，那么________． 【答案】2 【分析】利用分式相等的性质，分母相同时分式相等则分子相等，展开等式后对比系数求解． 【详解】解：∵ 分母，两个分式相等，分子对应相等， ∴ ， 展开等式右边得， 消去两边的，得， 移项计算得． 考点02 化简求值四法 难度层级：提升　|　8 题 6．先化简然后选择一个喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，再进行约分化简，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式． 7．先化简再求值：，然后从0，1，2，3，4中选取一个合适的x值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件选取合适的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 依题意有， 解得：且且， 则当时，原式． 8．先化简，再求值：，请从、、0、3中选取合适的的值代入． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则x应满足 ，即且且， ∴当时，原式． 9．化简求值 （1）先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； （2）先化简，再求值，已知，求的值． 【答案】（1），当x取1时，原式的值为 （2）， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，分母有理化； （1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． （2）先得出，则；进而根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的x的值代入计算可得． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ， 且，， ， 当时，原式． 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵ ∴ 当时，原式 10．诊断与纠错：先化简分式，再代入一个合适的数求值． 请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程． 解：原式 ① ② ③ ④ ⑤ 取，原式 ⑥ 错误的是________步．请更正： 【答案】②、⑥，纠正如下： 原式， ， ， ， 由于且， 取，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．根据分式化简的步骤进行化简即可． 【详解】略 11．先化简，再求值： ，请你从中选取适当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，再代入一个使分式有意义的的值，进行求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴当时，原式 12．先化简，再求值：其中，请从的范围中选一个你喜欢的整数值代入，求此分式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．首先化简，再选出合适的值代入即可． 【详解】解：原式 由于方式方程有意义： 把代入原式． 13．利用简便方法计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：．在，，三个数中选一个合适的，代入求值． 【答案】（1）4； （2）； （3），． 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式、分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式、分式的运算法则是解题的关键， （1）利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键． （2）利用平方差公式进行进行因式分解，进而约分即可得解； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： 【小问详解】(2)小问详解： 解： 【小问详解】(3)小问详解： 解： ． ∵， ∴不等于和，， 当时，原式． 考点03 新定义与材料阅读 难度层级：拓展　|　5 题 14．阅读材料，并解决问题，我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式．如：， 再如： 这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式（）与一个分式（）的差）的形式． （1）判断：是真分式还是假分式？________（填“真分式”或“假分式”）； （2）将“假分式”化成带分式的形式； （3）思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】（1）假分式 （2） （3）0 【分析】（1）根据题意判断，即可求解； （2）利用完全平方公式化简分子，即可求解； （3）分式若为整数则真分式的值要为整数，即可求解； 【小问详解】(1)小问详解： 解：分子次数等于分母次数， 故：是假分式； 【小问详解】(2)小问详解： 解：原式=； 【小问详解】(3)小问详解： 原式=， 当x=0时，真分式为整数 【点睛】本题主要考查分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母分离． 15．【阅读材料】 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】（1）①③④ （2） 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义对①③④进行变形解答； （2）由化简解答即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：①，是“和谐分式”；②不是“和谐分式”；③，是“和谐分式”；④，是“和谐分式” 故答案为：①③④； 【小问详解】(2)小问详解： ． 【点睛】本题考查分式的化简求值及分式的定义，掌握分式的基本性质是解题关键． 16．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 求： （1）如果分式的值为整数，求的整数值． （2）当时，求出的最小值． 【答案】（1）的值为2，0，6， （2）当时，取得最小值5． 【分析】（1）将原分式化为，然后根据即可求出x的值； （2）设，求出a，b的值，然后将原分式变为，进而可求出最小值． 【小问详解】(1)小问详解： ； 的值为整数，且x为整数； 为5的约数 的值为1或或5或 的值为2，0，6， 【小问详解】(2)小问详解： 由分母为， 可设， 则 对于任意的x，上述等式均成立， 解得 当时，取得最小值5，即的最小值是5． 【点睛】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，解二元一次方程组，以及分是的化简求值，理解新定义的变形方式是解答本题的关键． 17．已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： （1）繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； （2）若实数，满足，．①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】（1）；且； （2）①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【小问详解】(1)小问详解： 解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； 【小问详解】(2)小问详解： ①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 18．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】A 【分析】先由题意，表示出，发现周期为6，即6次一循环，，即可判断①；由得，，整理得：，则，对不断地进行降幂处理，化简到，故②正确；由题意得，，则，整理得：，利用平方根解得，或，即可判断③错误；，，则，再对其进行分离常数得到，由的值为正整数，则或，求得，代入，发现或2或2或10，均为正整数，即可判断④． 【详解】解：∵， 则由题意得：， ， ， ， ， ∴6次一循环， ∴， 故， ∴①错误； 由得，， ∴整理得： ∴ ∴， ∴②正确； ∵（为正整数）， ∴，，， ∴由 得：， 整理得：， 解得：或， ∴③错误； ∵，， ∴， ∵的值为正整数， ∴或， ∴， 代入 ∴或2或2或10，均为正整数， ∴满足条件的整数x为：，则有4个， ∴④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律探索，涉及分式的化简，利用平方根解方程，以及整除的概念，因式分解，难度很大，对知识点的综合要求高． 考点04 分式运算的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 19．某汽车制造厂接到两项都为生产160辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，按原计划生产速度的倍进行，结果提前1天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）．甲方案：计划80辆按每天生产辆完成，剩下的80辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）完成第一项任务实际需要5天 （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ． 均为正数，且， ，即， 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）设完成第一项任务实际需要天，根据按原计划生产速度的倍进行，结果提前1天完成任务列出方程求解即可； （2）先根据题意得到，，，利用作差法得到，据此可得结论． 【小问详解】(1)小问详解： 解：设完成第一项任务实际需要天． 依据题意得， 解得， 经验验，是原方程的解， 答：完成第一项任务实际需要5天． 【小问详解】(2)小问详解： 略 20．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【小问详解】(1)小问详解： 解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； 【小问详解】(2)小问详解： 略 21．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】（1）甲工程队完成施工任务需要5天；（2）乙工程队应采取B方案．理由：t1=18/m+18/n=18(m+n)/(mn)，t2=72/(m+n)，t1−t2=18(m+n)²/[mn(m+n)]−72/(m+n)=18(m−n)²/[mn(m+n)]，∵m≠n，∴mn(m+n)>0，(m−n)²>0，∴t1−t2>0，∴t1>t2，即乙工程队应采取B方案． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）根据题意可得两天后的施工速度为千米/天，全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间为天，改变后完成道路施工的时间为天，再根据从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可； （2）根据题意求出，，再利用作差法得到，据此可得结论． 【小问详解】(1)小问详解： 解：依题意可得：， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队完成施工任务需要5天； 【小问详解】(2)小问详解： 解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得：；， ， ， ， ， ， 乙工程队应采取B方案． 22．一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化为整式与分式的和的形式，例如： ①＝＝＋＝1＋； ②＝＝＝x＋2＋. (1)试将分式化为一个整式与一个分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）1-；（2）x＝2或x＝0. 【分析】（1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这一个条件进行分析解答即可. 【详解】解：(1)原式＝； (2)原式＝， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或. 【点睛】本题的解题要点由以下两点：（1）读懂题意，弄清范例中的解题方法；（2）知道要使式子的值为整数，则的整数值应该满足. 23．某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 分式的化简求值与综合应用 目 录 考点01 恒等式确定分子或分母 考点02 化简求值四法 考点03 新定义与材料阅读 考点04 分式运算的实际应用 考点01 恒等式确定分子或分母 难度层级：提升　|　5 题 1． 2．探索：；总结：；应用：2或0 3．7 4．（1） （2）或6或0或2． 5．2 考点02 化简求值四法 难度层级：提升　|　8 题 6．，当时，原式 7．，当时，原式 8．，当时，原式 9．（1），当x取1时，原式的值为 （2）， 10．②、⑥，纠正如下： 原式， ， ， ， 由于且， 取，原式． 11．， 12．， 13．（1）4； （2）； （3），． 考点03 新定义与材料阅读 难度层级：拓展　|　5 题 14．（1）假分式 （2） （3）0 15．（1）①③④ （2） 16．（1）的值为2，0，6， （2）当时，取得最小值5． 17．（1）；且； （2）①；② 18．A 考点04 分式运算的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 19．（1）完成第一项任务实际需要5天 （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ． 均为正数，且， ，即， 20．（1） （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 21．（1）甲工程队完成施工任务需要5天；（2）乙工程队应采取B方案．理由：t1=18/m+18/n=18(m+n)/(mn)，t2=72/(m+n)，t1−t2=18(m+n)²/[mn(m+n)]−72/(m+n)=18(m−n)²/[mn(m+n)]，∵m≠n，∴mn(m+n)>0，(m−n)²>0，∴t1−t2>0，∴t1>t2，即乙工程队应采取B方案． 22．（1）1-；（2）x＝2或x＝0. 23． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 分式的化简求值与综合应用 目 录 考点01 恒等式确定分子或分母 考点02 化简求值四法 考点03 新定义与材料阅读 考点04 分式运算的实际应用 考点01 恒等式确定分子或分母 难度层级：提升　|　5 题 1．已知，，为常数，求的值． 2．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则________； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则________； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 3．已知，其中、为常数，求的值． 4．阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可； 则． ∵对于任意上述等式成立， ∴，解得：． ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）已知整数x使分式的值为整数，请求出满足条件的整数x的值． 5．某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫作“分离常数法”．将分式分离常数，则，那么________． 考点02 化简求值四法 难度层级：提升　|　8 题 6．先化简然后选择一个喜欢的数代入求值． 7．先化简再求值：，然后从0，1，2，3，4中选取一个合适的x值代入求值． 8．先化简，再求值：，请从、、0、3中选取合适的的值代入． 9．化简求值 （1）先化简，再从0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值； （2）先化简，再求值，已知，求的值． 10．诊断与纠错：先化简分式，再代入一个合适的数求值． 请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程． 解：原式 ① ② ③ ④ ⑤ 取，原式 ⑥ 错误的是________步．请更正： 11．先化简，再求值： ，请你从中选取适当的数代入求值． 12．先化简，再求值：其中，请从的范围中选一个你喜欢的整数值代入，求此分式的值． 13．利用简便方法计算 （1） （2） （3）先化简，再求值：．在，，三个数中选一个合适的，代入求值． 考点03 新定义与材料阅读 难度层级：拓展　|　5 题 14．阅读材料，并解决问题，我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式．如：， 再如： 这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式（）与一个分式（）的差）的形式． （1）判断：是真分式还是假分式？________（填“真分式”或“假分式”）； （2）将“假分式”化成带分式的形式； （3）思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ 15．【阅读材料】 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 16．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 求： （1）如果分式的值为整数，求的整数值． （2）当时，求出的最小值． 17．已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： （1）繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； （2）若实数，满足，．①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 18．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（ ） ①； ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 考点04 分式运算的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 19．某汽车制造厂接到两项都为生产160辆汽车的任务． （1）完成第一项任务时，按原计划生产速度的倍进行，结果提前1天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）．甲方案：计划80辆按每天生产辆完成，剩下的80辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较的大小，并说明理由． 20．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， （1）求汽车实际走完全程所花的时间． （2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 21．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 22．一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化为整式与分式的和的形式，例如： ①＝＝＋＝1＋； ②＝＝＝x＋2＋. (1)试将分式化为一个整式与一个分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求x的整数值． 23．某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $