【期中专项】专项05 二次根式（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专项05 二次根式 目 录 考点01 概念、性质与化简 考点02 四则运算与混合运算 考点03 分母有理化与化简求值 考点04 拓展：双重根号与新定义 考点05 二次根式的实际应用 考点01 概念、性质与化简 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 C. 一定是二次根式 B. 一定是二次根式 D. 二次根式的值必定是无理数 2．阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． （1）________的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：________． （3）模仿上题化简并求值：，其中． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则是（ ） A. 1 C. 5 B. 3 D. 7 4．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x为16时，y值为______； （2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； （3）当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请直接写出其中的两个． 5．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：________，________ （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①________，________ ②化简： 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 考点02 四则运算与混合运算 难度层级：基础—提升　|　8 题 7．下列计算错误的是（ ） A. C. B. D. 8．下列各式化简后能与合并的是（ ） A. C. B. D. 9．计算： （1）； （2）． 10．下列各式计算正确的是（ ） A. C. B. D. 11．【阅读·理解】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即．利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：通过本学期第16章，我们已学了三个幂的运算公式： 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 后续的学习我们会知道，我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当，时， ；； 延伸应用： ①当，时， ②当，时， 【积累·运用】 （1）根据材料一，计算________； （2）根据材料二，计算________； （3）根据材料二，已知，，请化简：． 12．计算： （1）； （2）． 13．计算：________． 14．计算与化简 （1） （2） （3） （4） 考点03 分母有理化与化简求值 难度层级：提升　|　6 题 15．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，对x进行分母有理化． （3）结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 16．化简求值： （1）已知，求代数式的值． （2），从中选一个合适的代入求值． 17．阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： （1）的有理化因式是____________，____________． （2）化简． （3）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 18．化简求值：当时，求代数式的值． 19．化简，求值：已知，求． 20．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 考点04 拓展：双重根号与新定义 难度层级：拓展　|　6 题 21．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且为正整数，求a的值． 22．阅读下面材料：；；． （1）根据以上规律，化简：________； （2）化简：（为正整数）=________； （3）比较和的大小． 23．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 24．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________； （2）若，且、均为正整数，试化简：； （3）化简：． 25．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． （1）化简：； （2）计算：； （3）计算：． 26．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： （1）__________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； （3）利用上述规律计算：． 考点05 二次根式的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 27．【项目式学习】 项目主题 面积公式的实际应用 素材一 古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式 （其中，，为三角形的三边长，） 素材二 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： （其中，，为三角形的三边长） 任务一 若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为7，8，9，即，，， _____． 根据海伦公式可得_____． 任务二 请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 任务三 如图，在中，，，的对边分别为，，，，，．过点作，垂足为，求线段的长． 28．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 29．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为________． 30．根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） （1）任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为________； （2）任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 31．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 二次根式 目 录 考点01 概念、性质与化简 考点02 四则运算与混合运算 考点03 分母有理化与化简求值 考点04 拓展：双重根号与新定义 考点05 二次根式的实际应用 考点01 概念、性质与化简 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．C 2．（1）甲 （2）当时， （3）；8 3．A 4．（1） （2）当，1时，始终输不出y值． （3）x的值不唯一．或 5．（1）2， （2）①，；② 6．1 考点02 四则运算与混合运算 难度层级：基础—提升　|　8 题 7．A 8．C 9．（1） （2） 10．A 11．（1） （2） （3） 12．（1）7 （2） 13． 14．（1） （2） （3）17 （4） 考点03 分母有理化与化简求值 难度层级：提升　|　6 题 15．（1）8 （2）； （3） 16．（1）3 （2） 17．（1）， （2） （3）7 18．， 19．， 20．（1）；；（2）44；（2） 考点04 拓展：双重根号与新定义 难度层级：拓展　|　6 题 21．（1） （2） （3）a的值为或 22．（1） （2） （3） 23．（1） （2） （3） 24．（1） （2） （3） 25．（1） （2） （3） 26．（1）， （2） （3） 考点05 二次根式的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 27．任务一：12，；任务二：；任务三：． 28．（1）①，②；（2）或 29． 30．（1） （2）解：长方体礼品盒能装下这块蛋糕．理由如下：∵体积为的正方体礼品盒， ∴正方体礼品盒的棱长为， ∵这块圆柱形蛋糕的底面半径为，直径为，高为， 而， ∴正方体礼品盒放不下圆柱形蛋糕， ∵长方体礼品盒的长为，宽为，高为， 而，，， ∴长方体礼品盒可以放下圆柱形蛋糕． 31． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 二次根式 目 录 考点01 概念、性质与化简 考点02 四则运算与混合运算 考点03 分母有理化与化简求值 考点04 拓展：双重根号与新定义 考点05 二次根式的实际应用 考点01 概念、性质与化简 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．下列判断正确的是（ ） A. 带根号的式子一定是二次根式 C. 一定是二次根式 B. 一定是二次根式 D. 二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确； D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误． 故选：C． 2．阅读下面的材料后，回答问题： 甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：； 乙的解答是：． （1）________的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：________． （3）模仿上题化简并求值：，其中． 【答案】（1）甲 （2）当时， （3）；8 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握，是解题的关键： （1）甲在化简二次根式的时候出现错误； （2）当时，； （3）根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简求值即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：甲在化简二次根式的时候出现错误； 故答案为：甲； 【小问详解】(2)小问详解： 错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：当时，； 【小问详解】(3)小问详解： ∵ ∴ ． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则是（ ） A. 1 C. 5 B. 3 D. 7 【答案】A 【分析】先化简为最简二次根式，再根据同类二次根式，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 4．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x为16时，y值为______； （2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由； （3）当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请直接写出其中的两个． 【答案】（1） （2）当，1时，始终输不出y值． （3）x的值不唯一．或 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【小问详解】(1)小问详解： 解：当时， ，，故y值为． 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：当，1时，始终输不出y值． 理由：0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 【小问详解】(3)小问详解： 解：x的值不唯一．或． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键． 5．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：________，________ （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①________，________ ②化简： 【答案】（1）2， （2）①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：，； 故答案为：2，． 【小问详解】(2)小问详解： 解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 考点02 四则运算与混合运算 难度层级：基础—提升　|　8 题 7．下列计算错误的是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减和乘除运算法则进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项符合题意； B、，计算正确，故本选项不符合题意； C、，计算正确，故本选项不符合题意； D、，计算正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 8．下列各式化简后能与合并的是（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、与不能合并，故不符合题意； C、与能合并，故符合题意； D、与不能合并，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 9．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 10．下列各式计算正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式加减乘除的运算等知识点，根据二次根式加减乘除的运算方法，逐个判定即可，熟练掌握加减乘除运算法则是解决此题的关键． 【详解】A、，故选项A符合题意； B、与不能合并，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 11．【阅读·理解】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，即．利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：通过本学期第16章，我们已学了三个幂的运算公式： 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数与任意正整数，， 一般地，对于任意底数，与任意正整数， 后续的学习我们会知道，我们把形如的数叫做分数指数幂，以上三个公式对于分数指数幂的运算同样适用，例：当，时， ；； 延伸应用： ①当，时， ②当，时， 【积累·运用】 （1）根据材料一，计算________； （2）根据材料二，计算________； （3）根据材料二，已知，，请化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，二次根式的化简，熟练掌握材料提供的解法是解答本题的关键． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）根据材料二，将化为，化为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可； （3）运用（2）的思路可解答． 【小问详解】(1)小问详解： 解：， 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：， 故答案为：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵，， ∴ ． 12．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7 （2） 【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值和乘方的意义计算，然后把化简后进行有理数的加减运算； （2）先去括号（进行二次根式的乘法和除法运算），再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： 【小问详解】(2)小问详解： 解： ． 13．计算：________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解 ． 故答案为：． 14．计算与化简 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）17 （4） 【小问详解】(1)小问详解： 解： 【小问详解】(2)小问详解： 解： 【小问详解】(3)小问详解： 解： 【小问详解】(4)小问详解： 解： 考点03 分母有理化与化简求值 难度层级：提升　|　6 题 15．阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，对x进行分母有理化． （3）结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】（1）8 （2）； （3） 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵， ∴； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 16．化简求值： （1）已知，求代数式的值． （2），从中选一个合适的代入求值． 【答案】（1）3 （2） 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式，平方根的计算，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用已知条件 和 ，先计算 和 的值，再代入表达式 中化简，最后求平方根即可． （2）先化简代数式，由分母不能为零可得 且 ，再从给定的 值中选择合适的值，代入化简后的表达式求值即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵ , ， ∴计算 ， ， ， ， ∴． 【小问详解】(2)小问详解： 解：设原式为 ， ∵分母 且 ， ∴ 且 ， ∴只能选 ， 代入 ． 17．阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： （1）的有理化因式是____________，____________． （2）化简． （3）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； 【小问详解】(2)小问详解： 解：原式 ； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 18．化简求值：当时，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则和对分子进行因式分解． 先对分子进行因式分解，再约分，合并即可化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 19．化简，求值：已知，求． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 20．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）44；（2） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）先求出，再把所求式子裂项求解即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； （2） ， ∴ ； （3）， ， ∵，且， ∴． 考点04 拓展：双重根号与新定义 难度层级：拓展　|　6 题 21．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）若，且为正整数，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ； 【小问详解】(3)小问详解： 解： ，， 又为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 22．阅读下面材料：；；． （1）根据以上规律，化简：________； （2）化简：（为正整数）=________； （3）比较和的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用平方差公式进行化简； （2）利用平方差公式进行化简； （3）先进行变形，，，比较和，分数比较大小，分子相同时，分母大的分数反而小． 【小问详解】(1)小问详解： 解：； 【小问详解】(2)小问详解： 解：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：，， ， ， ． 23．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解： ； 【小问详解】(2)小问详解： 解： ； 【小问详解】(3)小问详解： 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 24．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________； （2）若，且、均为正整数，试化简：； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解； （2）将变为即可求解； （3）将化为进行求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问详解】(2)小问详解： ∵， ∴； 【小问详解】(3)小问详解： ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解． 25．【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． （1）化简：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：设，，得，或，． ． 【小问详解】(2)小问详解： 解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． 【小问详解】(3)小问详解： 解： ． 26．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： （1）__________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【小问详解】(1)小问详解： 解：， 故答案为：，； 【小问详解】(2)小问详解： 解：； 故答案为：； 【小问详解】(3)小问详解： 解：原式 ． 考点05 二次根式的实际应用 难度层级：提升　|　5 题 27．【项目式学习】 项目主题 面积公式的实际应用 素材一 古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式 （其中，，为三角形的三边长，） 素材二 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： （其中，，为三角形的三边长） 任务一 若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为7，8，9，即，，， _____． 根据海伦公式可得_____． 任务二 请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 任务三 如图，在中，，，的对边分别为，，，，，．过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】任务一：12，；任务二：；任务三：． 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键； （1）任务一：把数值代入直接计算即可； （2）任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可； （3）任务三：由海伦公式求出三角形的面积，由即可求解． 【详解】解：（1）一个三角形的三边长依次为7，8，9， ， 海伦公式： ； （2），，， ，，， 秦九韶公式： ； （3）， ， ， ． 28．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线求面积，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出p，再代入求出面积；②直接代入计算即可； （2）先利用求出的面积，再由三角形的中线等分面积求出，再由三等分点分类利用共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解（1）①由题意得，， ∴； ② ； （2）如图，连接 ∵在中，， ∴ ∴， ∵点M是中点，N是边上的一个三等分点， ∴，或 ∴或， ∴的面积为或． 29．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，， 则， ∴的面积． 30．根据以下材料，探索完成任务： 材料1 妈妈的生日快到了，小颖自制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 材料2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用礼品盒来装这块蛋糕，现有两个礼品盒：一个是体积为的正方体礼品盒，另一个是长为，宽为，高为的长方体礼品盒．（礼品盒的厚度忽略不计） （1）任务1：根据材料1可知，这块圆柱形蛋糕的底面半径为________； （2）任务2：哪个礼品盒能装下这块蛋糕？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：长方体礼品盒能装下这块蛋糕．理由如下：∵体积为的正方体礼品盒， ∴正方体礼品盒的棱长为， ∵这块圆柱形蛋糕的底面半径为，直径为，高为， 而， ∴正方体礼品盒放不下圆柱形蛋糕， ∵长方体礼品盒的长为，宽为，高为， 而，，， ∴长方体礼品盒可以放下圆柱形蛋糕． 【分析】（1）利用等面积公式建立方程求解即可． （2）求解正方体礼品盒的棱长为，结合已知的长方体的长、宽、高，再进一步进行比较即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：由题意可得：，， 解得：， ∴这块圆柱形蛋糕的底面半径为． 【小问详解】(2)小问详解： 略 31．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可． 【详解】解：根据，的三边长分别为5，6，7， ， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $