【期中专项】专项04 分式方程（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专项04 分式方程 目 录 考点01 概念、列式与解法 考点02 解与根据解的情况求值 考点03 含参增根与无解 考点04 分式方程的实际应用 考点01 概念、列式与解法 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．B 2．C 3．B 4．（1）B （2）解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 5．②③ 6．（1）一；（2）解：1−x/(x−2)=1/(2−x)−2，方程两边乘 x−2，得 1−x=−1−2(x−2)．去括号，得 1−x=−1−2x+4，解得 x=2．检验：当 x=2 时，x−2=0，∴原分式方程无解． 考点02 解与根据解的情况求值 难度层级：提升　|　5 题 7．C 8．且 9． 10．（1） （2）且 11．C 考点03 含参增根与无解 难度层级：拓展　|　8 题 12．（1） （2） （3）且 13．解：小港同学的说法有道理， ， 整理得：， ， ∵分式方程无解， ∴①分式方程有增根； ∴或 ∴或 当时，，； 当时，，； ②整式方程无解，，， 综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解． 14．（1）1 （2） （3）3或 15．（1）或6；（2）且 16．① ② 且 17．D 18．（1）若方程有增根，的取值为或； （2）若方程无解，的取值为或或； （3）或 19．（1）且； （2）或或． 考点04 分式方程的实际应用 难度层级：提升　|　7 题 20．（1）①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等；②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修； （2）若选小明的方法，乙队每天修路 21．（1）①，③ （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 （3）至多购进甲种商品12件 22．（1）A型车的单价为9万元 （2）解：两车不能同时到达终点，理由如下： 设“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴“和谐号”的速度为； ∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为 ∴两车不能同时到达终点； 设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点． 23．不会失效． 24．（1）A，C； （2）聪聪，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；或明明，乙队每天比甲队多修20米； （3）甲队每天修路的长度为40米 25．（1）方程无解；（2）“畅想号”的平均速度为 26． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04 分式方程 目 录 考点01 概念、列式与解法 考点02 解与根据解的情况求值 考点03 含参增根与无解 考点04 分式方程的实际应用 考点01 概念、列式与解法 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．已知下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（ ） A. ①② C. ①③ B. ②③ D. ①④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的定义． 【详解】解：①的分母为常数，为整式方程； ②的分母含有未知数，是分式方程； ③的分母均含未知数，是分式方程； ④的分母中为常数，为整式方程． 故其中是分式方程的是②③． 2．下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（ ） 方程两边都乘，得 第一步 解这个方程得： 第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边 第三步 所以，是原分式方程的解 第四步 A. 第一步 C. 第三步 B. 第二步 D. 第四步 【答案】C 【分析】 根据解分式方程的步骤，逐一判断每一步的正误即可． 【详解】解：∵第一步方程两边同乘，得到，去分母操作正确， ∴第一步无错误； ∵对整理计算，得，代数运算正确， ∴第二步无错误； ∵分式方程检验需要将所得解代入原方程，判断原方程是否有意义． 当时，原方程分母，原方程无意义，是增根，小军错误地将解代入去分母后的方程检验，因此第三步开始出错． ∴错误从第三步开始． 3．下列方程不是分式方程的是（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 4．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是______； （2）老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． A.不等式的基本性质 C.分式的基本性质 B.等式的基本性质 【答案】（1）B （2）解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据材料提示的解分式方程的方法判定，再根据解分式方程的方法求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：第一步变形的依据是等式的基本性质， 故选：B； 【小问详解】(2)小问详解： 略 5．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是________．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 6．以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边乘，得，第一步 解得．第二步 检验：当时，．第三步 所以是原方程的解．第四步 （1）小明的解法从第_____________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程的过程． 【答案】（1）一；（2）解：1−x/(x−2)=1/(2−x)−2，方程两边乘 x−2，得 1−x=−1−2(x−2)．去括号，得 1−x=−1−2x+4，解得 x=2．检验：当 x=2 时，x−2=0，∴原分式方程无解． 【分析】注意去分母时不要漏项，对于不含分母的项需同时乘； 【小问详解】(1)小问详解： 解：去分母时漏项，故第一步出现错误； 【小问详解】(2)小问详解： 解：， 方程两边乘，得． 去括号，得， 解得． 检验：当时，， 原分式方程无解． 【点睛】本题考查分式方程的求解，注意去分母时不要漏项． 考点02 解与根据解的情况求值 难度层级：提升　|　5 题 7．若分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. C. 且 B. D. 且 【答案】C 【分析】先将分式方程转化为整式方程求出解，再根据解为正数且分母不为0的条件，列不等式组确定m的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴变形为， 两边同乘（），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴， ∵方程的解为正数，且， ∴， 解，得，即， 解，得，即， ∴且． 【点睛】注意：要排除分式方程出现增根的情况，即解不能使原分母为0． 8．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 9．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有a的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组的有且仅有三个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且仅有三个整数解， ∴， 解得； ， 解得， ，y为整数且， ， ∴满足条件的所有的值之和是． 10．已知关于的分式方程． （1）若这个分式方程的解是，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 【小问详解】(1)小问详解： 解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； 【小问详解】(2)小问详解： 解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 11．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. C. 且 B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，由分式方程解的情况求参数，先解分式方程，得，由分式方程的解为正数，得，即得，再根据分式的分母不等于，得，即得，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 考点03 含参增根与无解 难度层级：拓展　|　8 题 12．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 （3）小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问详解】(2)小问详解： 解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； 【小问详解】(3)小问详解： 解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 13．已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【答案】解：小港同学的说法有道理， ， 整理得：， ， ∵分式方程无解， ∴①分式方程有增根； ∴或 ∴或 当时，，； 当时，，； ②整式方程无解，，， 综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解． 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，关键是无解需分情况讨论； 分式方程无解包括有增根和分式方程化成的整式方程无解两种情况，分类讨论即可． 【详解】略 14．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 【答案】（1）1 （2） （3）3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【小问详解】(1)小问详解： 解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； 【小问详解】(2)小问详解： 由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； 【小问详解】(3)小问详解： 由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 15．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）或6；（2）且 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）先解方程可得，再根据这个分式方程有增根可得或，由此即可得； （2）先解方程可得，再根据这个分式方程的解是正数可得，然后根据方程有解可得，由此即可得． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 16．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则________； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为________． 【答案】① ② 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 17．题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A. 嘉嘉对，淇淇错 C. 两人都对 B. 嘉嘉错，淇淇对 D. 两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】先求解原分式方程，再根据分式方程无解分两种情况讨论，进而判断即可． 【详解】解：去分母得， 合并同类项得． 分式方程无解分两种情况： ①整式方程无解． ∵，即时，整式方程无解， ∴原分式方程无解． ②整式方程的解为增根． 令，得增根． 当时，． ∵为增根， ∴， 解得． 综上，的值为或，两人的答案合起来才对． 18．已知，关于的方程：． （1）若方程有增根，求的取值； （2）若方程无解，求的取值； （3）若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】（1）若方程有增根，的取值为或； （2）若方程无解，的取值为或或； （3）或 【分析】（）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【小问详解】(1)小问详解： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； 【小问详解】(2)小问详解： 解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； 【小问详解】(3)小问详解： 解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 19．已知关于的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出的值． 【答案】（1）且； （2）或或． 【分析】本题考查了解分式方程； （1）先解分式方程，根据方程的解是正数，列出不等式，即可求解； （2）由题意得：或，解关于的方程，即可求解． 【小问详解】(1)小问详解： 解：方程两边同乘以 得：， 解得： 由题意得： 且； 【小问详解】(2)小问详解： 由（1）得：， 由题意得：或， 解得：或或， 故答案为：3或10或． 考点04 分式方程的实际应用 难度层级：提升　|　7 题 20．在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程． 例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度． 小明： 小颖： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题． 【答案】（1）①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用时间相等；②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修； （2）若选小明的方法，乙队每天修路 【分析】本题考查分式方程的工程问题，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出等量关系式是解题的关键． （1）小明的方法是：设甲队每天修的路为x米，则甲队修路与乙队修路所用时间相等；小颖的方法是：设甲队修路所用时间为y天，乙队每天比甲队多修，以此数量关系列出两个分式方程； （2）解出分式方程即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：①甲队每天修路的长度，甲队修路与乙队修路所用的时间相等； ②甲队修路所用的时间（或乙队修路所用的时间），甲队每天比乙队少修； 【小问详解】(2)小问详解： 解：若选小明的方法，设甲队每天修， 则有， 解这个分式方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙队每天修路． 21．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 （1）解法一所列方程中的x表示________(填序号)，解法二所列方程中的x表示________(填序号): ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件? 【答案】（1）①，③ （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 （3）至多购进甲种商品12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【小问详解】(1)小问详解： 解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； 【小问详解】(2)小问详解： 解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 【小问详解】(3)小问详解： 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 22．列分式方程解下列应用题： （1）为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价． （2）用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【答案】（1）A型车的单价为9万元 （2）解：两车不能同时到达终点，理由如下： 设“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴“和谐号”的速度为； ∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为 ∴两车不能同时到达终点； 设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，根据用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等列出方程求解即可； （2）设“和谐号”的速度为，根据“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差列出方程求出“和谐号”的速度，进而求出重新比赛后两辆车到达终点的时间即可得到结论；设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，根据时间路程速度列出方程求解即可． 【小问详解】(1)小问详解： 解：设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：A型车的单价为9万元； 【小问详解】(2)小问详解： 略 23．分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 【答案】不会失效． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时，根据题意，列出分式方程，求出的值，即可求出采样点送检车的平均速度，进而求出采样点送达检测中心需要时间，最后求出总时间与比较即可判断求解，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴采样点送检车的平均速度为千米/小时， ∴采样点送达检测中心需要时间为：小时， ∵， ∴采样点采集的样本不会失效． 24．学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 15.3分式方程 甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 聪聪： 明明： 根据以上信息，解答下列问题： （1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示______，明明同学所列方程中的y表示______； （2）你喜欢______列的方程，该方程的等量关系________________； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． A. 甲队每天修路的长度； C. 甲队修路400米所用的时间 B. 乙队每天修路的长度； 【答案】（1）A，C； （2）聪聪，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；或明明，乙队每天比甲队多修20米； （3）甲队每天修路的长度为40米 【分析】（1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【小问详解】(1)小问详解： 解：根据方程可得：x表示甲队每天修的路程，y表示 甲队修路400米所用的时间， 故答案为：A，C； 【小问详解】(2)小问详解： 解：结合两个方程可得： ①聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等； ②明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米； 故答案为：聪聪（明明）；甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等（乙队每天比甲队多修20米）； 【小问详解】(3)小问详解： 解：①选第一个方程， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲队每天修路的长度为40米； ②选第二个方程， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天修路的长度为40米． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． 25．（1）解方程：； （2）列分式方程解应用题： 用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“逐梦号”两赛车进入了最后的决赛.比赛中，两车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“逐梦号”离终点还差.从赛后数据得知两车的平均速度相差.求“畅想号”的平均速度． 【答案】（1）方程无解；（2）“畅想号”的平均速度为 【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)设“畅想号”的平均速度为．根据它们的运动时间相等列出方程并解答． 【详解】(1)两边同时乘以去分母得：，去括号得： 移项合并得：， 经检验是原方程的增根， ∴分式方程无解； (2)设“畅想号”的平均速度为，则“逐梦号”的平均速度为， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：“畅想号”的平均速度为． 【点睛】本题考查分式方程的应用及求解分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意解分式方程一定要记得检验． 26．肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，原计划所需时间实际所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设原计划的开车的平均速速为，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 肖老师实际开车的平均速度是； 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04 分式方程 目 录 考点01 概念、列式与解法 考点02 解与根据解的情况求值 考点03 含参增根与无解 考点04 分式方程的实际应用 考点01 概念、列式与解法 难度层级：基础—提升　|　6 题 1．已知下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（ ） A. ①② C. ①③ B. ②③ D. ①④ 2．下面是小军求解分式方程的过程中存在的错误，请指出他从第几步开始出现错误．（ ） 方程两边都乘，得 第一步 解这个方程得： 第二步 检验：将代入第一步方程，左边=右边 第三步 所以，是原分式方程的解 第四步 A. 第一步 C. 第三步 B. 第二步 D. 第四步 3．下列方程不是分式方程的是（ ） A. C. B. D. 4．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 （1）以上解题过程中，第一步变形的依据是______； （2）老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． A.不等式的基本性质 C.分式的基本性质 B.等式的基本性质 5．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是________．（请填写序号） 6．以下是小明同学解方程的过程： 解：方程两边乘，得，第一步 解得．第二步 检验：当时，．第三步 所以是原方程的解．第四步 （1）小明的解法从第_____________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程的过程． 考点02 解与根据解的情况求值 难度层级：提升　|　5 题 7．若分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. C. 且 B. D. 且 8．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是________． 9．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解是整数，求满足条件的所有a的值之和． 10．已知关于的分式方程． （1）若这个分式方程的解是，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 11．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. C. 且 B. D. 考点03 含参增根与无解 难度层级：拓展　|　8 题 12．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 （3）小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 13．已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 14．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 15．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 16．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则________； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为________． 17．题目：若关于x的方程无解，求a的值．嘉嘉和淇淇的做法如下，则下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 淇淇 去分母得：， 移项得：． 合并同类项得：， ∵原方程无解， ∴该整式方程无解， ∴， 解得． 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 当时，解得：， ∵原方程无解，∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． A. 嘉嘉对，淇淇错 C. 两人都对 B. 嘉嘉错，淇淇对 D. 两人的答案合起来才对 18．已知，关于的方程：． （1）若方程有增根，求的取值； （2）若方程无解，求的取值； （3）若方程的解为整数，求整数的值． 19．已知关于的分式方程． （1）若这个方程的解是正数，请求出取值范围； （2）若这个方程无解，请你直接写出的值． 考点04 分式方程的实际应用 难度层级：提升　|　7 题 20．在学习“分式方程的应用”时，王老师给出了如下的例题，小明和小颖两名同学都列出了对应的方程． 例：某县城修一条通往市区的快速通道，有甲、乙两个工程队一起施工．已知甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且甲队每天比乙队少修，求乙队每天修路的长度． 小明： 小颖： 根据以上信息，解答下列问题： （1）①小明同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：________；②小颖同学所列方程中的表示：__________，列方程所依据的等量关系是：_________； （2）请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题． 21．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 （1）解法一所列方程中的x表示________(填序号)，解法二所列方程中的x表示________(填序号): ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件? 22．列分式方程解下列应用题： （1）为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价． （2）用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 23．分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 24．学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 15.3分式方程 甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 聪聪： 明明： 根据以上信息，解答下列问题： （1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示______，明明同学所列方程中的y表示______； （2）你喜欢______列的方程，该方程的等量关系________________； （3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． A. 甲队每天修路的长度； C. 甲队修路400米所用的时间 B. 乙队每天修路的长度； 25．（1）解方程：； （2）列分式方程解应用题： 用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“逐梦号”两赛车进入了最后的决赛.比赛中，两车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“逐梦号”离终点还差.从赛后数据得知两车的平均速度相差.求“畅想号”的平均速度． 26．肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $