专题04 一次函数的图象与性质（基础版）15大题型75题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题04一次函数的图象与性质（基础版） 基础·固本强基 题型1判断一次函数、正比例函数（基础） 题型2根据一次函数的定义求参数（基础） 题型3判断点是否在一次函数上（高频点） 题型4判断函数经过的象限（重点） 题型5求一次函数解析式（待定系数法）（高频） 题型6一次函数图像画法（重点） 提升·进阶突破 题型7判断一次函数图象是否正确（重点） 题型8一次函数的性质综合判断（选填） 题型9根据一次函数所在的象限求参数的值 题型10列一次函数解析式（实际应用） 拔高·压轴破难 题型11一次函数实际应用之分配问题（常考点） 题型12一次函数实际应用之最大利润问题（常考点） 题型13一次函数实际应用之行程问题（必考点） 题型14一次函数实际应用之梯度计费问题（重点） 题型15一次函数实际应用之其他问题（压轴）（难点） 基础·固本强基 题型1判断一次函数、正比例函数（共5小题） 【模型】一次函数：（、为常数，）；正比例函数：，是特殊的一次函数，，自变量次数为1。 【步骤】①整理式子，化为整式形式；②检查自变量最高次数是否为1；③检查一次项系数k是否不等于0；④对照定义判定。 【易错】容易忽略；含、形式不是一次函数；正比例函数必须同时满足。 1．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项含常数项，不是正比例函数，A选项错误； B选项中的次数为2，不是正比例函数，B选项错误； C选项中位于分母，不是正比例函数，C选项错误； D选项中的次数为1，无常数项，比例系数不为0，是正比例函数，D选项正确． 2．（26-27八年级上·全国·期中）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是的一次函数的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】将各函数整理为关于的表达式，结合一次函数的特征逐一判断，注意一次项系数不为0． 【详解】解：①由得，是一次函数． ②，是一次函数． ③由得，是一次函数． ④中的次数为2，不是一次函数． ⑤不是整式函数，不是一次函数． ⑥未说明，不一定是一次函数． 综上，符合条件的共3个． 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 4．（25-26八年级下·福建莆田·期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如（、为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：A选项最高次数为2，不符合一次函数的定义； B选项分母含有未知数，不符合一次函数的定义； C选项展开得，最高次数为2，不符合一次函数的定义； D选项符合形式，其中，，满足，符合一次函数的定义． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列关系式中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一次函数的定义，再根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，的次数不是，不符合一次函数定义，不符合题意； B、，其中，，符合一次函数定义，符合题意； C、是反比例函数，不符合一次函数定义，不符合题意； D、中的次数是，不符合一次函数定义，不符合题意． 题型2根据一次函数的定义求参数（共5小题） 【模型】（、为常数，），自变量次数=1，一次项系数≠0。 【步骤】①令自变量的指数等于1；②令一次项系数不等于0；③联立不等式与方程，解出参数。 【易错】只列次数方程，漏掉这个限制条件；求出参数后代回检验。 6．（26-27九年级上·重庆·期中）规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义，注意一次项系数不为0，求m后判断点的象限． 【详解】解：由题意得该一次函数为， 该函数是正比例函数， 且， 且， ， ，， 点在第四象限． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ， ， ． 8．（24-25八年级下·上海·期中）函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． 9．（25-26八年级下·河南信阳·期中）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 题型3判断点是否在一次函数上（共5小题） 【模型】点在直线代入满足。 【步骤】①把点横坐标代入解析式；②计算对应的函数值；③对比计算结果和点的纵坐标是否相等。 【易错】横纵坐标代反；计算代入时符号出错。 11．（25-26八年级下·天津东丽·期中）下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各选项点的横坐标代入直线解析式算出值，和对应点纵坐标对比，相等的点就在直线上． 【详解】解：将各点横坐标代入计算： 当时，，A不符合题意； 当时，，B符合题意； 当时，，C不符合题意； 当时，，D不符合题意． 12．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求参数确定函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，，点在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上， 当时，，点不在一次函数的图象上． 13．（25-26八年级下·江西南昌·期中）下列点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点横坐标代入直线解析式，计算对应值并与点的纵坐标比对，即可判断点是否在直线上． 【详解】解：∵当时，， ∴点不在直线上，故A不符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故B不符合题意； ∵当时，， ∴点在直线上，故C符合题意； ∵当时，， ∴点不在直线上，故D不符合题意． 14．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，，故点不在该一次函数的图象上； 当时，，故点，点都不在该一次函数的图象上； 当时，，故点在该一次函数的图象上； 15．（25-26八年级下·广西钦州·期中）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，只需将各点横坐标代入解析式计算y值，对比纵坐标即可得出结论． 【详解】解：A、当时，， 点满足，该点在函数图象上，符合题意； B、当时，， 点不在函数图象上，不符合题意； C、当时，， 点不在函数图象上，不符合题意； D、当时，， 点不在函数图象上，不符合题意； 题型4判断函数经过的象限（共5小题） 【模型】，决定增减方向，b决定直线与y轴交点位置：：从左下到右上；：从左上到右下；交y轴正半轴，交y轴负半轴。 【步骤】①确定k的正负；②确定b的正负；③结合k、b符号判断经过象限。 【易错】正比例函数，直线过原点；混淆k、b各自的作用。 16．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴该函数图象经过第二、四象限． 17．（26-27八年级上·安徽阜阳·期中）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】根据第二象限内点的坐标特征判断的符号，结合正比例函数图象性质求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限． 18．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一次函数的图象经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】对于一次函数，可根据的符号判断图象经过的象限，推导即可得到答案. 【详解】解：∵是正比例函数，其中，，图象过坐标原点， ∴根据一次函数性质，当时，直线经过第一、三象限， ∴的图象经过第一、三象限. 19．（25-26八年级下·天津红桥·期中）若函数（是常数，且）的函数值随着的增大而减小，则该函数的图象经过（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第二、第三象限 【答案】C 【分析】先根据函数增减性判断的符号，再根据的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】∵函数（）的函数值随着的增大而减小， ∴， ∴该函数的图象经过第二、第四象限． 20．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数经过第二、第四象限，则一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的图象性质确定的符号，再根据一次函数的图象性质判断一次函数经过的象限，即可得出答案. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， 对于一次函数， ∵一次项系数，常数项， ∴图象经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限. 题型5求一次函数解析式（待定系数法）（共5小题） 【模型】设，两点确定一条直线，两组列二元一次方程组求。 【步骤】①设解析式；②把已知两点坐标代入，得到方程组；③解方程组求出\(k、b\)；④带回写出解析式。 【易错】忘记标注；代入坐标时符号写错；正比例函数只需要设。 21．（26-27八年级上·四川达州·期中）已知与成正比例，且它的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）将点的坐标代入解析式，列出方程求解，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 将点代入解析式，得， 解得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：将点代入，得， 解得， ∴点的坐标为． 22．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数，当时，；当时，．求这个函数的表达式． 【答案】这个一次函数的表达式为． 【分析】根据已知条件代入，建立关于系数的方程组并求解，确定函数表达式． 【详解】解：将，和，分别代入，得 ， 解得：， ∴这个函数的表达式为． 23．（26-27八年级上·全国·期中）已知一次函数，当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点，是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点，均不在该函数图象上，理由如下： 当时，， 点不在该函数的图象上； 当时，， 点不在该函数的图象上． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）略 24．（26-27八年级上·全国·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中关系式求解即可． 【详解】（1）解：因为与成正比例关系，所以设，其中． 把，代入，得， 解得， 所以，即； （2）解：将代入，得， 解得． 即当时，的值是． 25．（26-27八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象经过点和，求k，b的值． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， ∴． 题型6一次函数图像画法（共5小题） 【模型】两点法：一次函数图像是一条直线，找直线上两个点连线即可，优先选与坐标轴交点、。 【步骤】①求直线与y轴、x轴交点；②在坐标系中标出两个点；③过两点画出直线。 【易错】画成线段、射线；坐标轴交点计算错误；没有延伸成直线。 26．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）已知一次函数，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)填空：________，________； (2)请在上面的网格中画出一次函数的图象． 【答案】(1)， (2)画出一次函数的图象如下图所示． 【分析】（1）分别把，代入函数，求出函数值，即可得到m，n的值； （2）根据表格中x，y的对应值描点连线，即可得到函数图象． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， ∴，． （2）略 27．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知函数是关于的正比例函数． … … … … (1)的值为________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)已知该函数图象过点、，则________（填“”“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正比例函数定义列一元一次方程求解即可； （2）由两点确定一条直线，找到直线上的两个点即可画出函数图象； （3）将点、代入函数表达式，得到的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：函数是关于的正比例函数， ， 解得； （2）解：由题意可知，正比例函数表达式为， 列表： … … … … 描点、连线，图略； （3）解：由题意可知，正比例函数表达式为， 当时，；当时，； ， ． 28．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； (2)当时，的取值范围是； 【答案】(1)一次函数的图象如下： 这个一次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）描出点，，再作直线即可，根据待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）分别确定函数值为0和2所对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：如图，描出点，，作直线， 图象略； 把，分别代入，得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，的取值范围是． 29．（26-27八年级上·安徽蚌埠·期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 【答案】(1)3；5 (2)如图函数图像即为所求作： (3)观察函数的图像，该图像的性质有： 关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴，； （2）略 （3）略 30．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)如图， (2)该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据列表、描点、连线画出函数的图象即可； （2）由函数图象可得结论； （3）由函数图象可得结论． 【详解】（1）解：列表得： x ⋯ 0 2 ⋯ y ⋯ 4 0 ⋯ 描点、连线，如图； （2）解：由图象知：该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （3）解：由图象知：当时，x的取值范围是． 提升·进阶突破 题型7判断一次函数图象是否正确（共5小题） 【模型】由解析式看k、b符号，图像倾斜方向对应k，与y轴交点对应b。 【步骤】①从解析式读出k、b正负；②观察选项图像倾斜方向、y轴交点；③匹配一致即为正确图像。 【易错】同一个图像里，k和b的符号相互矛盾的选项是错的；多个函数在同一坐标系容易互相干扰。 31．（26-27八年级上·安徽滁州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出经过，再根据每个选项的函数图像进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴令可得，，令可得，， ∴在中，其函数必定经过， A、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项符合题意； B、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； C、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； D、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意． 32．（25-26八年级下·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 33．（26-27九年级·全国·期中）一次函数和，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意． 34．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 35．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 题型8一次函数的性质综合判断（共5小题） 【模型】y=kx+b，k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；b为y轴截距。 【步骤】①抓住k判断增减性；②抓住b判断和y轴交点；③逐个核对选项描述。 【易错】增减性描述颠倒；分不清截距是交点纵坐标，不是交点到原点距离。 36．（26-27八年级上·广东深圳·期中）对于函数，下列结论正确的是（        ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．的值随的增大而增大 D．它的图象可以将函数的图像向上平移1个单位得到 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故B、C错误． 将代入，得，故A错误． 将函数的图象向上平移1个单位可以得到它的图象，故D正确． 37．（25-26八年级上·四川成都·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．它的图象经过第二、三、四象限 D．它的图象与y轴的交点是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可求解． 【详解】解：将代入，得，故A错误； ∵， ∴随的增大而减小，故B错误； ∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，故C错误； 令，得，即图象与轴的交点是，故D正确． 38．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．当时， 【答案】C 【分析】结合一次函数的、取值，利用一次函数性质、代入计算、解不等式判断各选项． 【详解】解：∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故A、B错误； 当时，， ∴图象与轴交于点，故C正确； 当时，，解得， ∴当时，，故D错误． 39．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．经过一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移1个单位得到 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，故A正确； B、∵，∴随的增大而减小，故B错误； C、令，则，∴函数与轴的交点坐标为，故C错误； D、将的图象向下平移1个单位，得到的函数解析式为，故D错误． 40．（26-27八年级上·安徽亳州·期中）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式求得，结合给定自变量的范围求得函数值的范围即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴， ∴y随x的增大而减小， 则当时，函数y有最大值，故A不符合题意； 当时，函数y有最小值，故B不符合题意； 当自变量x满足，函数y满足，故C符合题意，D不符合题意． 题型9根据一次函数所在的象限求参数的值/范围（共5小题） 【模型】根据图像经过象限反推k、b的正负，列出不等式组求解参数。 【步骤】①根据经过象限写出k、b满足的不等式；②解不等式组，得到参数范围；③取符合条件的值。 【易错】边界能不能取等号判断出错；多个限制条件漏写不等式。 41．（26-27八年级上·山东济南·期中）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 【答案】 【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限， ∴函数图象与轴的交点在轴负半轴， ∴． 42．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）若一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限的性质，得到一次项系数和常数项的取值范围，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、第二、第三象限， ∴， 解得． 43．（25-26八年级下·山东德州·期中）直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 【答案】一、三、四 【分析】先根据直线经过的象限得到和的符号，再根据符号判断直线经过的象限. 【详解】解：∵直线经过一、二、三象限， ∴，且直线与轴交于正半轴，可得， 对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∵， ∴，即直线与轴交于负半轴， ∴直线经过一、三、四象限． 44．（2026·天津河东·三模）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，解题关键是掌握一次函数图像与系数的关系，对于一次函数，当，时，图像经过第一、三、四象限，本题中，只需满足一次项系数大于，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：一次函数的图像经过第一、三、四象限， ， 解得， 故答案为 45．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则整数m的值是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象经过的象限列出关于的不等式组，解不等式组，结合为整数即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， ∵为整数， ∴． 题型10列一次函数解析式（共5小题） 【模型】y=kx+b，找到两个变量之间的等量关系，分清自变量、因变量。 【步骤】①审题，确定自变量x，函数y；②找出等量关系式；③整理成y=kx+b形式；④标注自变量取值范围。 【易错】忘记写自变量取值范围（实际问题，x一般≥0、整数等）；分不清谁是自变量。 46．（26-27八年级下·甘肃平凉·期中）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 47．（25-26八年级下·河北承德·期中）水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期中）自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 【答案】（且x为整数） 【分析】解题思路是梳理实际问题中的等量关系，即天后的体重等于初始体重减去天一共减掉的体重，代入对应数量整理即可得到关系式． 【详解】解：由题意可知，小丽初始体重为千克，平均每天减掉千克，则天一共减掉的体重为千克， 根据等量关系：天后体重初始体重天减掉的体重可得： ， 又∵天数为非负整数，且题目给出， ∴自变量范围为且x为整数， 即与的关系式为（且x为整数）． 49．（25-26七年级下·山东淄博·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为________． 【答案】 339 【分析】先根据表格数据求出与的函数解析式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：满足公式， 由表得：， 解得， 即， 当时， ． 50．（25-26七年级上·全国·期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 拔高·压轴破难 题型11一次函数实际应用之分配问题（共5小题） 【模型】分配总量固定，建立总费用/总量关于分配数量的一次函数，结合自变量整数限制求解。 【步骤】①设分配变量；②列出总目标的一次函数；③写出自变量取值范围；④结合增减性分析方案。 【易错】自变量必须是非负整数；忽略分配数量不能为负数。 51．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示： C乡（元/吨） D乡（元/吨） A城 20 25 B城 15 24 (1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】(1)，；x的取值范围是，且x为整数 (2)最少总运费为10844元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． (3)最少总运费元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可； （3）列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：“运往乡的总运费”与两笔运费之和： ； “运往乡的总运费”与两笔运费之和： ． ∵“所有运输量均大于0”， ∴且（自动满足）， ∴，且为整数． （2）解：． ∵， ∴随增大而增大， ∴取最小值1时最少，元． ∴运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． （3）解：单价变为元，总运费 ． ∵，一次项系数， ∴随增大而减小， ∴取最大值219（保持）时最少： （元）． 运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运． 52．（26-27八年级上·重庆·期中）为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元． (1)求A、B型健身器材每套各多少元？ (2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】(1)A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元 (2)采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元 【分析】（1）设A型健身器材每套x元，B型健身器材每套y元，根据“采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元”列方程求解即可； （2）设采购A型健身器材m套，求出m的范围，求出总费用的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设A型健身器材每套x元，B型健身器材每套y元． ， 解得：; 答：A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元． （2）解：设采购A型健身器材m套，B型健身器材套． 解得： ∵m为整数， ∴或5， 设总费用为W元， 总费用， 因为-200<0 所以当m越大时，W越小， 所以当时，总费用最小． 此时． 答：采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元． 53．（2026·四川德阳·中考真题）随着智慧农业全面普及，某农业站为推进农田节水改造，准备购买甲、乙两款智能节水灌溉喷头．已知甲款喷头的单价是乙款喷头单价的倍，用4000元购买乙款喷头的数量比用3000元购买甲款喷头的数量多10个． (1)甲、乙两款喷头的单价分别是多少元？ (2)农业站计划购进甲、乙两款喷头共100个，其中甲款喷头不少于35个，在总费用不超过24000元的条件下，共有几种购买方案？ (3)若每个甲款喷头的养护成本为6元，每个乙款喷头的养护成本为4元，在满足（2）的条件下，如何购买能使总养护成本最低？求出最低总养护成本． 【答案】(1)甲款喷头的单价为300元，乙款喷头的单价为200元． (2)共有6种购买方案． (3)购进甲款喷头35个，乙款喷头65个时，总养护成本最低，最低养护成本为470元． 【分析】（1）设乙款喷头的单价为元，则甲款喷头的单价为元．根据题意，得，解方程即可； （2）设购进甲款喷头个，则购进乙款喷头个．根据题意，得，求不等式组的整数解的个数即为方案的个数； （3）设总养护成本为元．由题意，得，利用一次函数的性质，确定最小值即可． 【详解】（1）解：设乙款喷头的单价为元，则甲款喷头的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． ． 故甲款喷头的单价为300元，乙款喷头的单价为200元． （2）解：设购进甲款喷头个，则购进乙款喷头个． 根据题意，得 解得． 为整数， 符合条件的的取值为35，36，37，38，39，40． 共有6种购买方案． （3）解：设总养护成本为元． 由题意，得． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，且为． 故购进甲款喷头35个，乙款喷头65个时，总养护成本最低，最低养护成本为470元． 54．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）某工程队负责修建一座水库，该工程队有A，B两种型号的挖掘机．已知台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米；台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为元． (1)求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？ (2)若工程队调配A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，需至少完成立方米的挖土量，且总费用不超过元．问施工时共有几种调配方案？ (3)在（2）的条件下，哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米 (2)施工时共有种调配方案 (3)当调配A型挖掘机台、B型挖掘机台时，施工费用最低，最低费用为元 【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设调配A型挖掘机台，则B型挖掘机为台，根据题意列出一元一次不等式组，得到，然后根据为整数求解即可； （3）设总费用为y，根据题意表示出y，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米． 根据题意得，， 解得． 答：每台A型挖掘机一小时挖土立方米，每台B型挖掘机一小时挖土立方米． （2）解：设调配A型挖掘机台，则B型挖掘机为台， 根据题意，得． 解得， ∵为整数， ∴当时，A型台，B型台； 当时，A型台，B型台； 当时，A型台，B型台； 当时，A型台，B型台． 答：施工时共有种调配方案． （3）解：设总费用为y， 根据题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，总费用y最小，最小费用为（元）． 答：当调配A型挖掘机台、B型挖掘机台时，施工费用最低，最低费用为元． 55．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； (2)当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 【答案】(1)（），（）； (2)当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款 【分析】（1）根据两种优惠方案分别表示即可； （2）根据方案二需付款小于选择方案一需付款列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得（）， （）； （2）解：由题意得，即， 解得， 答：当购买的香菇脆大于60瓶时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款． 题型12一次函数实际应用之最大利润问题（共5小题） 【模型】利润=单件利润×销量，得到一次函数，利用k的正负判断增减，在取值范围内找最值。 【步骤】①写出利润关于变量的函数；②确定自变量取值范围；③根据k正负判断增减；④取端点求最大/最小值。 【易错】一次函数最值出现在区间端点；容易算错单件利润。 56．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市销售、两种型号的吉祥物，若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，共需要670元；若购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，共需要410元． (1)求、两种型号的吉祥物售价各为多少元？ (2)若种型号吉祥物的利润为5元/个，种型号吉祥物的利润为8元/个，超市预计销售出这两种吉祥物共90个，且售出种吉祥物的数量不少于种吉祥物的数量的一半，则销售出多少个种吉祥物时，总利润最大？并求出利润的最大值． 【答案】(1) 种型号吉祥物售价为40元，种型号吉祥物售价为50元 (2) 销售出30个种吉祥物时总利润最大，最大利润为630元 【分析】（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设销售出个种吉祥物，总利润为元，根据“售出种型号吉祥物的数量不少于种型号吉祥物数量的一半”建立不等式，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性，即可求解； 【详解】（1）解：设种型号的吉祥物售价为元，种型号的吉祥物售价为元， 依题意得：，解得． 答：种型号吉祥物售价为40元，种型号吉祥物售价为50元． （2）解：设销售出个种吉祥物，则销售出个种吉祥物，总利润为元， 依题意得：，解得， ∴， 依题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时． 答：销售出30个种吉祥物时总利润最大，最大利润为630元． 57．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． (1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． (2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，设购进A粽子袋，销售总利润元，请写出关于的函数关系式，并求出销售这100袋粽子能获得的最大利润，以及此时的进货方案． 【答案】(1)每袋A粽子进货价为30元，每袋B粽子进货价为40元 (2)①共有3种进货方案： 方案一：购进A粽子55袋，B粽子45袋； 方案二：购进A粽子56袋，B粽子44袋； 方案三：购进A粽子57袋，B粽子43袋 ②（，且为整数）； 销售这100袋粽子的最大利润为1225元，此时进货方案为购进A粽子55袋，B粽子45袋 【分析】（1）设未知数，根据3袋A、2袋B总价170元，4袋A、5袋B总价320元列二元一次方程组求解； （2）①设购进A粽子袋，则B粽子袋，根据总费用不超过3450元、A数量的3倍不超过B数量的4倍列出不等式组，求出整数解得到进货方案; ②先写出利润和的函数关系式，根据一次函数增减性，结合取值范围求最大利润． 【详解】（1）解：设每袋A粽子进货价为元，每袋B粽子进货价为元， 由题意得： ， 解得， 答：每袋A粽子进货价30元，每袋B粽子进货价40元． （2）解：①设购进A粽子袋，则购进B粽子袋， 根据题意列不等式组： ， 解得，且为正整数， 可取， 方案1:，B粽子:袋； 方案2:，B粽子:袋； 方案3:，B粽子:袋． ②由题意:每袋A利润:元，每袋B利润:元， ， ， 随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值． （元）， 此时进货方案:购进A粽子袋，B粽子袋． 58．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）2026年国庆假期7天，长沙市共接待游客949.03万人次，旅游消费交易总额达79.01亿元，入选最热门的旅游城市Top10．国庆前夕，岳麓山景区某纪念品商店为迎接旅游高峰，准备采购两款特色文创产品——爱晚亭冰箱贴和铜官窑瓷器小摆件． (1)已知该商店用240元购进爱晚亭冰箱贴和用180元购进铜官窑瓷器小摆件的数量相同．经核算，爱晚亭冰箱贴的进货单价比铜官窑瓷器小摆件多2元，求这两种文创产品的进货单价． (2)已知爱晚亭冰箱贴的售价为每件15元，铜官窑瓷器小摆件的售价为每件12元，由于销售火爆，该商店计划追加不超过1100元的预算，再次购进这两种文创产品共150件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)爱晚亭冰箱贴的进价为8元，铜官窑瓷器小摆件的进价为6元． (2)购进爱晚亭冰箱贴100件，铜官窑瓷器小摆件50件时，销售总利润最大，最大利润为1000元． 【详解】（1）解：设爱晚亭冰箱贴的进货单价为元，则铜官窑瓷器小摆件的进货单价为元，根据题意可得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：爱晚亭冰箱贴的进价为8元，铜官窑瓷器小摆件的进价为6元． （2）解：设购进爱晚亭冰箱贴件，则购进铜官窑瓷器小摆件件，根据题意可得： ， 解得， 且为整数， 设利润为元， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，的值最大，元， 此时， 答：购进爱晚亭冰箱贴100件，铜官窑瓷器小摆件50件时，销售总利润最大，最大利润为1000元． 59．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量（个） 购买所需费用（元） 排球 篮球 方案1 方案2 (1)排球和篮球的单价分别是多少元？ (2)商场一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，若学校购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 【答案】(1)排球的单价是元，篮球的单价是元 (2)购买个排球、个篮球时商场获得的利润最大，最大利润为元 【分析】根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； 根据小问（1）求出的结果，列出一元一次不等式和一次函数，解出不等式的解集，结合一次函数的图象和性质解答即可． 【详解】（1）解：设排球和篮球的单价分别是元、元，根据题意得： ， ， 答：排球的单价是元，篮球的单价是元． （2）解：设购买排球个，购买篮球个，商场获得总利润为元，根据题意得： ， ， 解得：， 中，， 随的增大而减小， 当时，商场获得利润最大，最大利润是元，此时， 答：购买个排球、个篮球时商场获得的利润最大，最大利润为元． 60．（2026·全国·模拟预测）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠、两种型号的新能源汽车，已知销售台型汽车和台型汽车总售价为万元，销售台型汽车和台型汽车总售价为万元．已知型汽车的成本为每台万元，型汽车的成本为每台万元． (1)型汽车和型汽车每台售价分别为多少万元？ (2)若汽车厂家售出、两种型号的汽车共台，售出型汽车的数量不超过台，并且投入的总成本不低于万元，求有哪几种销售方案？ (3)在的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元； (2)共有种销售方案，方案：售出型汽车台，型汽车台；方案：售出型汽车台，型汽车台；方案：售出型汽车台，型汽车台； (3)售出型汽车台，型汽车台时，获得的利润最大，最大利润为万元． 【分析】（1）设型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元，根据题意得，然后解方程组即可； （2）设售出型汽车台，则售出型汽车台，根据题意得，解得，所以的值为或或，从而求解； （3）设总利润为万元，则，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元， 根据题意，得，解得， 答：型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元； （2）解：设售出型汽车台，则售出型汽车台， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的值为或或， 当时，； 当时，； 当时，； 答：共有种销售方案，方案：售出型汽车台，型汽车台；方案：售出型汽车台，型汽车台；方案：售出型汽车台，型汽车台； （3）解：每台型汽车利润为（万元），每台型汽车利润为（万元）， 设总利润为万元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 答：售出型汽车台，型汽车台时，获得的利润最大，最大利润为万元． 题型13一次函数实际应用之行程问题（共5小题） 【模型】路程=速度×时间，s=vt+s0，图像横坐标时间、纵坐标路程。 【步骤】①读懂横纵坐标含义；②读出速度、起点位置；③写出路程关于时间的函数；④求解相遇、相距问题。 【易错】看错横纵轴含义；分不清同向、相向行驶。 61．（26-27八年级上·山东济南·期中）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)_________米； (2)求出甲距地面的高度与登山时间的关系式 (3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 【答案】(1)30 (2) (3)3分或10分或13分 【分析】（1）根据图象直接得到答案； （2）利用待定系数法解答即可； （3）求出甲、乙登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，然后分三种情况，列方程即可． 【详解】（1）解：由图象可得米； （2）解：设甲距地面的高度与登山时间的关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴甲距地面的高度与登山时间的关系式为； （3）解：观察图象得：当时，乙登山的速度是米/分， 此时， 当时，甲登山的速度是米/分，此时乙登山的速度是米/分，则乙到达终点的时间为分， 此时， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，在整个爬山过程中，登山3分或10分或13分时，甲乙两人距离地面的高度差为70米． 62．（26-27八年级上·山东济南·期中）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式． (3)当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间； 【答案】(1)70 (2)（） (3)小时或小时 【分析】（1）根据图像得到甲车走完全程420千米用时6小时，用路程除以时间算出甲车速度． （2）先由图像算出乙车速度，求出乙车从到一共用时9小时，得到、两点坐标，代入一次函数一般式求出的解析式以及自变量范围． （3）先写出甲、乙两车距离网点路程的分段函数，分乙未过、乙过但甲未到、甲已经到达三种情况，根据路程之和等于340列方程，检验解是否在对应自变量取值范围，得到符合条件的行驶时间． 【详解】（1）解：∵甲车从到全程420千米，用时6小时 ∴甲车速度=（千米/时） ∴甲车的速度是70千米/时． （2）解：∵由图象可知，乙车2小时行驶了120千米 ∴乙车的速度为（千米/时） ∵到的距离是120千米，A到B距离420千米 ∴到的距离为千米 ∴乙车从到行驶总时间为（小时） ∴点坐标为，D点坐标为 设线段的函数解析式为 把，代入解析式，得 ， 解得． ∴线段的函数解析式为（）． （3）解：由题意，先写出两个函数表达式 甲车距离网点的路程： ，当时，甲车已经到达点，， 乙车距离网点的路程： 当时， 当时， 设乙车行驶小时后，两车距网点的路程之和是340千米，分三种情况讨论： ①当（乙车还没有经过点） ， ， ，符合范围，保留． ②当（乙车经过点，甲车还没有到达点） ， 不在范围内，舍去． ③当（甲车已经到达点，，乙车继续向行驶） ， 符合范围，保留． 答：乙车的行驶时间为小时或小时． 63．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的速度是_______千米/时，乙车从B地到达A地行驶的时间为_____小时； (2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式（不需要写自变量取值范围）； (3)求乙车出发多长时间两车相距60千米． 【答案】(1)， (2) (3)乙车出发小时或小时或小时两车相距千米 【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间； （2）找到甲车到达C地和返回A地时与的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式； （3）分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵乙车比甲车先出发小时，由图象可知乙行驶了千米， ∴乙车速度为：千米/时，乙车行驶全程的时间（小时）； （2）解：根据题意可知甲从出发到返回A地需小时， ∵甲车到达C地后立即按原路原速返回A地， ∴结合函数图象可知，当时，；当时，； 甲车距它出发地的路程y与它出发的时间的函数关系式为：， 将代入函数关系式得：， 解得：， 故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：； （3）解：由题意可知甲车的速度为：（千米/时）， 设乙车出发小时两车相距千米，有以下两种情况： ①两车相向行驶时，有：， 解得：； ②两车相遇之后，甲返回前，有， 解得：； ③两车相遇之后，甲返回后，有：， 解得：； ∴乙车出发小时或小时或小时两车相距千米． 64．（2026·吉林·模拟预测）小明和小丽周末骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)小丽骑行的速度为________，小明骑行的速度为________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)10，20 (2) (3)小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为 【分析】（1）根据平面直角坐标系可知路程和时间即可求解； （2）求出点的坐标，由路程速度时间构造函数表达式即可； （3）写出线段所在直线的函数表达式，求出与交点坐标，再根据出发点与山庄之间的距离计算小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程即可． 【详解】（1）解：小丽骑行的速度为，， ． 小明骑行的速度为． （2）解：， ． ， 线段所在直线的函数解析式为． （3）解：由题意可得， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得： 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为． 由小明第二次追上小丽列方程组，得 解得 ． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为． 65．（2026·全国·模拟预测）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发去地，途经地，到达地后，立即按原路原速返回地；乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离地的路程与甲车行驶时间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)，两地之间的距离为________，乙车的速度为________； (2)求线段的函数解析式； (3)请直接写出乙车返回地前，甲车行驶多少小时，甲、乙两车相距． 【答案】(1)，； (2)； (3)乙车返回地前，甲车行驶或或，甲、乙两车相距． 【分析】根据题意及函数图象即可得出，两地之间的距离，确定乙车在路上行驶的总时间为，利用路程除以时间计算速度即可； 根据图象得甲车的速度为，确定，，然后利用待定系数法求函数解析式即可； 分三种情况分析：当乙车停留，甲车到达地后继续行驶；当甲车到达地之前时，与乙车之间的距离为时；当从地返回地的过程中，两车之间距离为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据图象得，两地之间的距离为，当甲到达地时，用时小时， ∴返回地时总的时间为小时， ∵乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地， ∴乙车在路上行驶的总时间为， ∵乙车从地去地，然后返回地， ∴总路程为， ∴乙车的速度为， 故答案为：，； （2）解：由图象可知甲车的速度为， ∵，， ∴，， 设线段的函数解析式为， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为； （3）解：设甲车行驶小时，甲、乙两车相距， ∵乙车在甲车出发小时后从地去地， ∴甲车提前行驶了， ∵， ∴在从地到地的过程中，两车之间的距离一直在减小到乙车会追上甲车，不可能相距， ∵甲车行驶到地需要的时间为，乙车行驶到地需要的时间为， ∴当乙车在地停留，甲车到达地后继续行驶时，两车之间距离为，此时甲车行驶的时间为； 当甲车从地原路返回，且到达地之前，与乙车之间的距离为时， 由题意得乙车到达地且在地停留小时后一共需要，甲车行驶的路程为， ∴甲车行驶的时间为，符合题意； 当两车都原路返回地的过程中，当两车之间的距离为时，由题意可得，乙车一直在甲车前面， ∴，解得（符合题意）， 综上可得，甲车行驶或或时，甲、乙两车相距． 题型14一次函数实际应用之梯度计费问题（共5小题） 【模型】分段一次函数，不同区间对应不同的k（单价）。 【步骤】①划分收费区间；②每个区间写出对应一次函数；③判断所求数值落在哪个区间，代入计算。 【易错】跨档计费直接用最高单价；区间分界点计算错误。 66．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)10元 【分析】（1）根据分段计价的方式列关系式即可； （2）分别求出两种购买方式所付的费用，再作差即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． （2）解：若小亮一次性购买苹果，所付的费用为（元）， 若小亮分两次购买（每次购买苹果），所付的费用为（元）， （元）， 即小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少元． 67．（26-27八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约用水，西安市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭用户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，请写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)小颖家去年一年的水费是元，求她家去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)她家去年一年的用水量是 【分析】（1）根据阶梯水费的计算规则列出函数关系式即可； （2）根据等量关系列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时， 当时， ， ， 综上所述，当时，y与x之间的关系式为：． （2）解：当时，（元）． 因为，所以小颖家的用水量超过． 当时，（元）． 因为，所以小颖家的用水量在到之间． 根据题意得： 答：她家去年一年的用水量是． 68．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，某市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 元 第二阶梯 （含）的部分 元 第三阶梯 以上的部分 元 (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数表达式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】(1) (2) 该居民今年的燃气费为元 【分析】（1）根据的取值范围，分第二阶梯、第三阶梯两类，结合各阶梯收费标准推导y关于x的函数表达式； （2）先判断年用气量所属的阶梯，再代入对应函数表达式计算燃气费． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 综上，关于的函数表达式为； （2）解：， 将代入，得 ． 答：该居民今年的燃气费是元． 69．（26-27八年级上·山东济南·期中）为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 【答案】(1)42元 (2) (3) 【分析】（1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； 综上： （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 70．（26-27八年级上·山东济南·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/ 单价/（元/） 第一档 3.6 第二档 4.8 第三档 5.6 (1)当和时，分别写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1648元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1)当时，；当时， (2)该户这一年的水费为960元 (3)该户去年一年的用水量为 【分析】（1）根据题意直接写出水费与用水量的关系式即可； （2）将代入（1）中所求得的解析式计算即可； （3）先判断该户居民的用水量，然后将代入解析式，求出即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，整理得； （2）解：将代入得，元， 答：该户这一年的水费为960元； （3）解：当用水量为时，需交水费元， 当用水量为时，需交水费（元）， ， ， 当时，， 把代入得，， 解得， 答：该户去年一年的用水量为． 题型15一次函数实际应用之其他问题（压轴）（共5小题） 【模型】结合图像信息的一次函数综合，读取图像关键点坐标建立函数。 【步骤】①提取图像拐点、端点坐标；②分段求解析式；③根据题意列式求解，回答实际问题。 【易错】图像分段时，区间开闭搞错；作答忘记贴合实际题意。 71．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）综合与实践． 【活动背景】 研学是一种体验式学习活动．某学校计划组织八年级个班的学生，进行为期一天的研学活动．现计划从如下两个方案中选择一个进行体验： 活动方案 方案一：凤凰古镇探秘行 方案二：柞水溶洞探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动费用 门票 免门票 学生团体票元/人 讲解 古镇讲解元/班 注：每个班级都需要讲解 免费 体验活动 非遗文化体验活动：元/人 地质学体验活动：元/人 用餐 学生简餐：元/人 学生简餐：元/人 【问题解决】 设这个班实际参加研学活动的学生总人数为人（每个班级都有学生参加，且参加所选方案中的全部活动），方案一的总费用为元，方案二的总费用为元． (1)求、关于的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当这个班的学生全部参加研学活动时，，求这个班级的学生总人数； (3)因特殊原因，部分学生无法参加研学活动，经计算，此时方案二比方案一的费用多元，求实际参加研学活动的学生总人数． 【答案】(1)， (2)这个班级的学生总人数为人 (3)实际参加研学活动的学生总人数为人 【分析】（1）根据两种方案所需金额列出函数关系式即可； （2）令，解答即可； （3）由题意得，解答即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，     ． （2）解：当时，，     解得， ∴这个班级的学生总人数为人． （3）解：由题意得，， 即，     解得． 答：实际参加研学活动的学生总人数为人． 72．（2026·四川南充·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有，两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：川北特色面食 元 套餐满份及以上打七五折 套餐无折扣 ：南充特色盖浇饭 元 素材 该班级共名同学，每人都从，两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有人确定套餐，人确定套餐，其余人两种套餐均可． 问题解决： (1)两种套餐皆可的人中，若有人选择套餐，该班订餐总费用为多少？ (2)设未确定套餐的名同学中有人选择了套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (3)用于研学的餐费仅有元，如何分配名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 【答案】(1)该班订餐总费用为1144元． (2)当且为整数时，；当且为整数时，． (3)30名未确定套餐的同学中，安排21人选择A套餐，9人选择B套餐，能让最多学生品尝到川北特色面食． 【分析】（1）先计算A套餐总份数，判断是否满足优惠条件，再分别计算A、B套餐的费用，然后求和即可得到总费用； （2）根据A套餐总份数是否达到20份分类，结合总费用的构成列出函数关系式，再根据m的实际意义确定取值范围； （3）要使品尝A套餐的学生最多，需在餐费限额内取m的最大值，结合对应函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：选择A套餐的总人数为（人）． ∵， ∴A套餐不享受优惠．选择B套餐的总人数为（人）． 总费用（元）． （2）解：设未确定的30名同学中有m人选择A套餐，则有人选择B套餐．A套餐总人数为，B套餐总人数为． ①当，即且m为整数时，； ②当，即且m为整数时，． 综上，当且为整数时，；当且为整数时，． （3）解：要使品尝川北特色面食（A套餐）的学生最多，需m尽可能大． 当时，，超出餐费限额，不符合要求． 当时，， ∵， ∴w随m的增大而增大． 令，解得． ∵m为整数， ∴m的最大值为21．此时，即21人选A套餐，9人选B套餐． 答：安排21名未确定的同学选择A套餐，9名选择B套餐，能让最多学生品尝到川北特色面食． 73．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 【答案】(1)漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为；函数解析式为 (2)该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量；节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费（合理即可） 【分析】（1）根据表格数据，可得到漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，进而可求得与的函数解析式； （2）将代入中求得t值即可；结合结果可提出倡议． 【详解】（1）解：由表格数据，漏水量随漏水时间的增加而均匀增大，每分钟漏水量为，即漏水量与时间成正比例函数关系， 设，将，代入得，解得， 故与的函数解析式为； （2）解：根据题意，，代入中，得， 故该水龙头持续滴水（约）时，漏掉的水量相当于一位中学生一天的饮水量； 节水倡议：随手关紧水龙头，减少水资源浪费． 74．（26-27九年级上·四川成都·期中）某校组织全体九年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半． (1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元． (2)学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？ 【答案】(1) 购买一棵甲种树苗需要30元，购买一棵乙种树苗需要60元 (2) 第二批购买甲种树苗400棵、乙种树苗200棵时，购买树苗的费用最少 【分析】（1）先根据总费用和甲、乙费用的比例关系，分别求出第一批购买甲、乙树苗的总费用，再结合两种树苗数量相等列分式方程求解单价； （2）先计算第一批树苗总数量，得到第二批树苗总数量，设第二批乙种树苗数量为棵，用含的式子表示总费用，结合甲种树苗数量不超过乙的2倍的条件求的取值范围，再根据费用的变化规律确定费用最少的方案． 【详解】（1）解：∵第一批购买树苗总费用为9000元，购买甲种树苗的费用是乙种的一半， ∴购买甲种树苗的总费用为元，购买乙种树苗的总费用为元 设购买一棵甲种树苗需要元，则购买一棵乙种树苗需要元 由题意得， 两边同乘，得， 解得 检验：当时，， 故是原方程的解， ∴， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，购买一棵乙种树苗需要60元； （2）（2）由（1）得，第一批购买甲种树苗棵，乙种树苗100棵， ∴第一批共购买树苗棵 ∵两批共购买树苗800棵， ∴第二批购买树苗总数量为棵 设第二批购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，总费用为元， 乙种树苗打九折后单价为元 ∴ ∵第二批甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， 解得 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 此时 答：第二批购买甲种树苗400棵、乙种树苗200棵时，购买树苗的费用最少． 75．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期中）某工厂使用甲、乙两种不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量（个）与乙机床工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为__________分钟；乙机床每分钟加工__________个零件；甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工__________个零件； (2)求甲机床停工保养结束之后，甲乙两机床继续工作期间关于的函数解析式并标出的取值范围（保养结束与继续工作的时间分界点计为保养时段内）； (3)若两台机床加工零件的总数量为3300个，求乙机床工作时间为多少分钟？此时甲、乙两机床各加工了多少个零件？ 【答案】(1)30；30；40 (2)（） (3)乙机床工作时间为90分钟，甲机床加工600个零件，乙机床加工2700个零件． 【分析】（1）利用图像中机床停工保养前后的时间差求保养时间，通过保养阶段乙机床的工作量求其速度，根据分钟共加工个零件，即可求得甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工多少个零件； （2）利用初始阶段的总加工量求甲乙同时工作的速度和，再用待定系数法求保养结束后函数解析式； （3）代入总加工量到函数解析式求时间，再分别计算甲、乙的加工量． 【详解】（1）解：根据函数图象可得： 甲机床停工保养时间：（分钟）． 乙机床每分钟加工：（个）． 甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工：（个） （2）解：设保养结束后函数解析式为， ∵甲乙同时工作时每分钟共加工40个零件． 中的     将代入， 得， 解得． ∴解析式为：（）． （3）解：当时， ， 解得．    乙机床加工零件：（个）．    甲机床加工零件：（个）．     答：乙机床工作时间为90分钟，甲机床加工600个零件，乙机床加工2700个零件． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一次函数的图象与性质（基础版） 基础·固本强基 题型1判断一次函数、正比例函数（基础） 题型2根据一次函数的定义求参数（基础） 题型3判断点是否在一次函数上（高频点） 题型4判断函数经过的象限（重点） 题型5求一次函数解析式（待定系数法）（高频） 题型6一次函数图像画法（重点） 提升·进阶突破 题型7判断一次函数图象是否正确（重点） 题型8一次函数的性质综合判断（选填） 题型9根据一次函数所在的象限求参数的值 题型10列一次函数解析式（实际应用） 拔高·压轴破难 题型11一次函数实际应用之分配问题（常考点） 题型12一次函数实际应用之最大利润问题（常考点） 题型13一次函数实际应用之行程问题（必考点） 题型14一次函数实际应用之梯度计费问题（重点） 题型15一次函数实际应用之其他问题（压轴）（难点） 基础·固本强基 题型1判断一次函数、正比例函数（共5小题） 【模型】一次函数：（、为常数，）；正比例函数：，是特殊的一次函数，，自变量次数为1。 【步骤】①整理式子，化为整式形式；②检查自变量最高次数是否为1；③检查一次项系数k是否不等于0；④对照定义判定。 【易错】容易忽略；含、形式不是一次函数；正比例函数必须同时满足。 1．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·全国·期中）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是的一次函数的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·福建莆田·期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列关系式中，属于一次函数的是（     ） A． B． C． D． 题型2根据一次函数的定义求参数（共5小题） 【模型】（、为常数，），自变量次数=1，一次项系数≠0。 【步骤】①令自变量的指数等于1；②令一次项系数不等于0；③联立不等式与方程，解出参数。 【易错】只列次数方程，漏掉这个限制条件；求出参数后代回检验。 6．（26-27九年级上·重庆·期中）规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·上海·期中）函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 9．（25-26八年级下·河南信阳·期中）若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 题型3判断点是否在一次函数上（共5小题） 【模型】点在直线代入满足。 【步骤】①把点横坐标代入解析式；②计算对应的函数值；③对比计算结果和点的纵坐标是否相等。 【易错】横纵坐标代反；计算代入时符号出错。 11．（25-26八年级下·天津东丽·期中）下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，下列也在一次函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·江西南昌·期中）下列点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·广西钦州·期中）下列各点中，在一次函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 题型4判断函数经过的象限（共5小题） 【模型】，决定增减方向，b决定直线与y轴交点位置：：从左下到右上；：从左上到右下；交y轴正半轴，交y轴负半轴。 【步骤】①确定k的正负；②确定b的正负；③结合k、b符号判断经过象限。 【易错】正比例函数，直线过原点；混淆k、b各自的作用。 16．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）正比例函数的图象在平面直角坐标系中的（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 17．（26-27八年级上·安徽阜阳·期中）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 18．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）一次函数的图象经过（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 19．（25-26八年级下·天津红桥·期中）若函数（是常数，且）的函数值随着的增大而减小，则该函数的图象经过（     ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第四象限 D．第二、第三象限 20．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数经过第二、第四象限，则一次函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型5求一次函数解析式（待定系数法）（共5小题） 【模型】设，两点确定一条直线，两组列二元一次方程组求。 【步骤】①设解析式；②把已知两点坐标代入，得到方程组；③解方程组求出\(k、b\)；④带回写出解析式。 【易错】忘记标注；代入坐标时符号写错；正比例函数只需要设。 21．（26-27八年级上·四川达州·期中）已知与成正比例，且它的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在此函数图象上，求点的坐标． 22．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数，当时，；当时，．求这个函数的表达式． 23．（26-27八年级上·全国·期中）已知一次函数，当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点，是否在该函数的图象上，并说明理由． 24．（26-27八年级上·全国·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的关系式； (2)当时，求的值． 25．（26-27八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数的图象经过点和，求k，b的值． 题型6一次函数图像画法（共5小题） 【模型】两点法：一次函数图像是一条直线，找直线上两个点连线即可，优先选与坐标轴交点、。 【步骤】①求直线与y轴、x轴交点；②在坐标系中标出两个点；③过两点画出直线。 【易错】画成线段、射线；坐标轴交点计算错误；没有延伸成直线。 26．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）已知一次函数，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)填空：________，________； (2)请在上面的网格中画出一次函数的图象． 27．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知函数是关于的正比例函数． … … … … (1)的值为________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)已知该函数图象过点、，则________（填“”“”或“”）． … … … … 28．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； (2)当时，的取值范围是； 29．（26-27八年级上·安徽蚌埠·期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题. ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 -1 1 3 n 7 … (1)表格中：________，________． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察函数的图象，写出该图象的任意一条性质． 30．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ (3)当时，求x的取值范围． x ⋯ 0 2 ⋯ y ⋯ 4 0 ⋯ 提升·进阶突破 题型7判断一次函数图象是否正确（共5小题） 【模型】由解析式看k、b符号，图像倾斜方向对应k，与y轴交点对应b。 【步骤】①从解析式读出k、b正负；②观察选项图像倾斜方向、y轴交点；③匹配一致即为正确图像。 【易错】同一个图像里，k和b的符号相互矛盾的选项是错的；多个函数在同一坐标系容易互相干扰。 31．（26-27八年级上·安徽滁州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级下·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级·全国·期中）一次函数和，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 34．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 题型8一次函数的性质综合判断（共5小题） 【模型】y=kx+b，k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小；b为y轴截距。 【步骤】①抓住k判断增减性；②抓住b判断和y轴交点；③逐个核对选项描述。 【易错】增减性描述颠倒；分不清截距是交点纵坐标，不是交点到原点距离。 36．（26-27八年级上·广东深圳·期中）对于函数，下列结论正确的是（        ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．的值随的增大而增大 D．它的图象可以将函数的图像向上平移1个单位得到 37．（25-26八年级上·四川成都·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大 C．它的图象经过第二、三、四象限 D．它的图象与y轴的交点是 38．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．它的图象经过第一、二、三象限 B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．当时， 39．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．经过一、二、四象限 B．随的增大而增大 C．与轴的交点坐标为 D．可由向下平移1个单位得到 40．（26-27八年级上·安徽亳州·期中）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（） A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值 C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值 题型9根据一次函数所在的象限求参数的值/范围（共5小题） 【模型】根据图像经过象限反推k、b的正负，列出不等式组求解参数。 【步骤】①根据经过象限写出k、b满足的不等式；②解不等式组，得到参数范围；③取符合条件的值。 【易错】边界能不能取等号判断出错；多个限制条件漏写不等式。 41．（26-27八年级上·山东济南·期中）如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 42．（26-27九年级上·四川绵阳·期中）若一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是_________． 43．（25-26八年级下·山东德州·期中）直线经过一、二、三象限，那么经过______象限． 44．（2026·天津河东·三模）已知一次函数的图像经过第一、三、四象限，那么a的取值范围为_________． 45．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则整数m的值是_________． 题型10列一次函数解析式（共5小题） 【模型】y=kx+b，找到两个变量之间的等量关系，分清自变量、因变量。 【步骤】①审题，确定自变量x，函数y；②找出等量关系式；③整理成y=kx+b形式；④标注自变量取值范围。 【易错】忘记写自变量取值范围（实际问题，x一般≥0、整数等）；分不清谁是自变量。 46．（26-27八年级下·甘肃平凉·期中）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级下·河北承德·期中）水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·陕西西安·期中）自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 49．（25-26七年级下·山东淄博·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为________． 50．（25-26七年级上·全国·期中）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 拔高·压轴破难 题型11一次函数实际应用之分配问题（共5小题） 【模型】分配总量固定，建立总费用/总量关于分配数量的一次函数，结合自变量整数限制求解。 【步骤】①设分配变量；②列出总目标的一次函数；③写出自变量取值范围；④结合增减性分析方案。 【易错】自变量必须是非负整数；忽略分配数量不能为负数。 51．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示： C乡（元/吨） D乡（元/吨） A城 20 25 B城 15 24 (1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 52．（26-27八年级上·重庆·期中）为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元． (1)求A、B型健身器材每套各多少元？ (2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？ 53．（2026·四川德阳·中考真题）随着智慧农业全面普及，某农业站为推进农田节水改造，准备购买甲、乙两款智能节水灌溉喷头．已知甲款喷头的单价是乙款喷头单价的倍，用4000元购买乙款喷头的数量比用3000元购买甲款喷头的数量多10个． (1)甲、乙两款喷头的单价分别是多少元？ (2)农业站计划购进甲、乙两款喷头共100个，其中甲款喷头不少于35个，在总费用不超过24000元的条件下，共有几种购买方案？ (3)若每个甲款喷头的养护成本为6元，每个乙款喷头的养护成本为4元，在满足（2）的条件下，如何购买能使总养护成本最低？求出最低总养护成本． 54．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）某工程队负责修建一座水库，该工程队有A，B两种型号的挖掘机．已知台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米；台A型和台B型挖掘机同时施工一小时挖土立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为元． (1)求每台A型，B型挖掘机一小时各挖土多少立方米？ (2)若工程队调配A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，需至少完成立方米的挖土量，且总费用不超过元．问施工时共有几种调配方案？ (3)在（2）的条件下，哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 55．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）某中学开展主题“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇某企业搞促销活动，该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 若该中学需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶（）． (1)分别写出该中学购买香菇酱和香菇脆按方案一需付款元、按方案二需付款元与之间的函数关系式； (2)当购买的香菇脆在什么范围时，选择方案二需付款小于选择方案一需付款？ 题型12一次函数实际应用之最大利润问题（共5小题） 【模型】利润=单件利润×销量，得到一次函数，利用k的正负判断增减，在取值范围内找最值。 【步骤】①写出利润关于变量的函数；②确定自变量取值范围；③根据k正负判断增减；④取端点求最大/最小值。 【易错】一次函数最值出现在区间端点；容易算错单件利润。 56．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市销售、两种型号的吉祥物，若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，共需要670元；若购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，共需要410元． (1)求、两种型号的吉祥物售价各为多少元？ (2)若种型号吉祥物的利润为5元/个，种型号吉祥物的利润为8元/个，超市预计销售出这两种吉祥物共90个，且售出种吉祥物的数量不少于种吉祥物的数量的一半，则销售出多少个种吉祥物时，总利润最大？并求出利润的最大值． 57．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． (1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． (2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍． ①该超市有哪几种进货方案？ ②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，设购进A粽子袋，销售总利润元，请写出关于的函数关系式，并求出销售这100袋粽子能获得的最大利润，以及此时的进货方案． 58．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）2026年国庆假期7天，长沙市共接待游客949.03万人次，旅游消费交易总额达79.01亿元，入选最热门的旅游城市Top10．国庆前夕，岳麓山景区某纪念品商店为迎接旅游高峰，准备采购两款特色文创产品——爱晚亭冰箱贴和铜官窑瓷器小摆件． (1)已知该商店用240元购进爱晚亭冰箱贴和用180元购进铜官窑瓷器小摆件的数量相同．经核算，爱晚亭冰箱贴的进货单价比铜官窑瓷器小摆件多2元，求这两种文创产品的进货单价． (2)已知爱晚亭冰箱贴的售价为每件15元，铜官窑瓷器小摆件的售价为每件12元，由于销售火爆，该商店计划追加不超过1100元的预算，再次购进这两种文创产品共150件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 59．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）近期，某中学将课间活动时间由分钟延长到分钟，让孩子“身上有汗，眼里有光”．该校为丰富学生的课间生活，计划购买一些排球和篮球，某商场给出的价目表如表所示（排球和篮球的单价不变）： 购买数量（个） 购买所需费用（元） 排球 篮球 方案1 方案2 (1)排球和篮球的单价分别是多少元？ (2)商场一个排球的进价是元，一个篮球的进价是元，若学校购买排球和篮球共个，且排球的数量不少于篮球数量的倍．如果你是商场经理，你会如何搭配排球和篮球的数量，使商场获得的利润最大？并确定最大利润． 60．（2026·全国·模拟预测）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠、两种型号的新能源汽车，已知销售台型汽车和台型汽车总售价为万元，销售台型汽车和台型汽车总售价为万元．已知型汽车的成本为每台万元，型汽车的成本为每台万元． (1)型汽车和型汽车每台售价分别为多少万元？ (2)若汽车厂家售出、两种型号的汽车共台，售出型汽车的数量不超过台，并且投入的总成本不低于万元，求有哪几种销售方案？ (3)在的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 题型13一次函数实际应用之行程问题（共5小题） 【模型】路程=速度×时间，s=vt+s0，图像横坐标时间、纵坐标路程。 【步骤】①读懂横纵坐标含义；②读出速度、起点位置；③写出路程关于时间的函数；④求解相遇、相距问题。 【易错】看错横纵轴含义；分不清同向、相向行驶。 61．（26-27八年级上·山东济南·期中）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)_________米； (2)求出甲距地面的高度与登山时间的关系式 (3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 62．（26-27八年级上·山东济南·期中）无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车的速度是千米/时； (2)求图象中线段的函数解析式． (3)当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间； 63．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图2，结合图象信息解答下列问题： (1)乙车的速度是_______千米/时，乙车从B地到达A地行驶的时间为_____小时； (2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式（不需要写自变量取值范围）； (3)求乙车出发多长时间两车相距60千米． 64．（2026·吉林·模拟预测）小明和小丽周末骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)小丽骑行的速度为________，小明骑行的速度为________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 65．（2026·全国·模拟预测）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发去地，途经地，到达地后，立即按原路原速返回地；乙车在甲车出发小时后从地去地，到达地停留小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前小时到达地，两车均按各自速度匀速行驶．如图是甲车行驶过程中距离地的路程与甲车行驶时间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)，两地之间的距离为________，乙车的速度为________； (2)求线段的函数解析式； (3)请直接写出乙车返回地前，甲车行驶多少小时，甲、乙两车相距． 题型14一次函数实际应用之梯度计费问题（共5小题） 【模型】分段一次函数，不同区间对应不同的k（单价）。 【步骤】①划分收费区间；②每个区间写出对应一次函数；③判断所求数值落在哪个区间，代入计算。 【易错】跨档计费直接用最高单价；区间分界点计算错误。 66．（26-27八年级上·甘肃兰州·期中）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 67．（26-27八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约用水，西安市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭用户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，请写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)小颖家去年一年的水费是元，求她家去年一年的用水量． 68．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，某市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 元 第二阶梯 （含）的部分 元 第三阶梯 以上的部分 元 (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数表达式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 69．（26-27八年级上·山东济南·期中）为保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计了居民用水“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过18的部分 6元/ 超过18的部分 9元/ (1)户居民本月用水量为12，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为96元，则户居民本月用水量为__________． 70．（26-27八年级上·山东济南·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/ 单价/（元/） 第一档 3.6 第二档 4.8 第三档 5.6 (1)当和时，分别写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1648元，求该户去年一年的用水量． 题型15一次函数实际应用之其他问题（压轴）（共5小题） 【模型】结合图像信息的一次函数综合，读取图像关键点坐标建立函数。 【步骤】①提取图像拐点、端点坐标；②分段求解析式；③根据题意列式求解，回答实际问题。 【易错】图像分段时，区间开闭搞错；作答忘记贴合实际题意。 71．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）综合与实践． 【活动背景】 研学是一种体验式学习活动．某学校计划组织八年级个班的学生，进行为期一天的研学活动．现计划从如下两个方案中选择一个进行体验： 活动方案 方案一：凤凰古镇探秘行 方案二：柞水溶洞探秘行 活动目的 了解历史文化 了解自然知识 活动费用 门票 免门票 学生团体票元/人 讲解 古镇讲解元/班 注：每个班级都需要讲解 免费 体验活动 非遗文化体验活动：元/人 地质学体验活动：元/人 用餐 学生简餐：元/人 学生简餐：元/人 【问题解决】 设这个班实际参加研学活动的学生总人数为人（每个班级都有学生参加，且参加所选方案中的全部活动），方案一的总费用为元，方案二的总费用为元． (1)求、关于的函数解析式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当这个班的学生全部参加研学活动时，，求这个班级的学生总人数； (3)因特殊原因，部分学生无法参加研学活动，经计算，此时方案二比方案一的费用多元，求实际参加研学活动的学生总人数． 72．（2026·四川南充·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有，两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 ：川北特色面食 元 套餐满份及以上打七五折 套餐无折扣 ：南充特色盖浇饭 元 素材 该班级共名同学，每人都从，两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有人确定套餐，人确定套餐，其余人两种套餐均可． 问题解决： (1)两种套餐皆可的人中，若有人选择套餐，该班订餐总费用为多少？ (2)设未确定套餐的名同学中有人选择了套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (3)用于研学的餐费仅有元，如何分配名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 73．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）“漏水问题”综合实践探究 【问题背景】水龙头关闭不严会发生漏水现象．为研究漏水量与漏水时间之间的函数关系，某综合实践小组开展如下实验探究． 【实验探究】小组在某个滴水的水龙头下方放置接水容器，接水容器足够大，水不会溢出；每隔5分钟记录一次容器内收集到的水量，得到实验数据： 时间 0 5 10 15 20 漏水量 0 15 30 45 60 【建立模型】 (1)请你描述该滴水水龙头漏水量（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系． 【实践应用】 (2)继续研究以上滴水水龙头的漏水情况，如果每位中学生一天的饮水量约为．请你求出该水龙头持续滴水多长时间，漏掉的水量就相当于一位中学生一天的饮水量．并结合结果，用一句话写出你的节水倡议． 74．（26-27九年级上·四川成都·期中）某校组织全体九年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．经过前期调研，学校决定分两批购买树苗共800棵．第一批用9000元购买了相同数量的甲、乙两种树苗，每棵甲种树苗的价格比每棵乙种树苗的价格少30元，购买甲种树苗的费用是购买乙种树苗费用的一半． (1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元． (2)学校在购买第二批树苗时，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，乙种树苗的售价打九折．若要求第二批购买的甲种树苗数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使第二批购买树苗的费用最少？ 75．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期中）某工厂使用甲、乙两种不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量（个）与乙机床工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为__________分钟；乙机床每分钟加工__________个零件；甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工__________个零件； (2)求甲机床停工保养结束之后，甲乙两机床继续工作期间关于的函数解析式并标出的取值范围（保养结束与继续工作的时间分界点计为保养时段内）； (3)若两台机床加工零件的总数量为3300个，求乙机床工作时间为多少分钟？此时甲、乙两机床各加工了多少个零件？ 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $