精品解析：山东省潍坊市寿光市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次段测数学试题

高一上学期第一次段测数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】，的否定是，. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合A的元素，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 而，故， 故选：A 3. 图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与之对应．从图像上看，若作垂直于轴的直线，该直线与函数的图像至多只能有一个交点． 对于A选项，图像为圆，当取圆内的值时，对应两个值，不满足函数的定义； 对于B选项，图像为开口向右的抛物线型曲线，当时，对应两个值，不满足函数的定义； 对于C选项，当时，图像上有两个点，即对应两个值，不满足函数的定义； 对于D选项，对于定义域内的任意，都有唯一的值与之对应，符合函数的定义． 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 与的关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，则为的真子集， 所以. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，求交集即可求得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 7. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，关于，的表达式，再根据基本不等式即可求解． 【详解】由题意得，，， 则， ， 所以． 故选：C． 8. 关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得是方程的两个根，利用根与系数的关系，可得，再求出，代入中化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个根，且， 所以， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是， 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的2/3分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由和，得，则，故正确； B：反例：，则，此时不成立； C：因为，所以，则，故正确； D：若，则，故错误. 10. 下列选项正确的是（    ） A. 若，则的最小值为2 B. 若正实数x，y满足，则的最小值为8 C. 的最小值为2 D. 函数（）的最大值是0 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，故A正确， 对于B，∵，，， 则，当且仅当， 即，时等号成立，故的最小值为8，故B正确， 对于C，令，， 在上单调递增，则y的最小值为，故C错误， 对于D，当时， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，即函数y的最大值为0，故D正确． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，高斯函数在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 若不等式的解集为，则 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；换元并由一元二次不等式的整数解的情况列出不等式组求解判断B；由并结合不等式性质推理判断C；取分析判断D. 【详解】对于A ，取，则，，此时，A错误； 对于B，令，由，得， 依题意，关于的一元二次不等式只有、、三个整数解，、不是该不等式的整数解， 结合二次函数性质，得，解得，B正确； 对于C，由，得 ，而， 因此集合共有个元素，C正确； 对于，当时，，，，此时关于的方程有无数个解，正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，求解不等式作答. 【详解】当时，原不等式化为：，解得，则， 当时，原不等式化为：，无解， 当时，原不等式化为：，解得，则， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 若集合，且，则所有取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知，分类讨论集合B的情况，即可求得答案. 【详解】由，可知， 结合， 当时，， 当时，； 当时，， 故所有取值构成的集合为， 故答案为： 14. 设是非空数集，定义集合且中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则________；若集合，且，则正整数的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“容量”定义，先确定两不同元素和的取值范围，验证范围内所有整数均存在，得到的通式后代入求解. 【详解】当时，任取，两数和的最小值为，最大值为， 且区间内的所有整数均可由中两不同元素相加得到， 去重后元素总数为，故. 当时， 两不同元素和的最小值为，最大值为. 对任意整数，均存在不同的满足， 所以. 令，解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若为非空数集且是的必要不充分条件，求实数a的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小问解分式不等式，得集合或，最后求出； （2）小问将是的必要不充分条件转化为⫋，分类讨论和即可. 【小问1详解】 已知，移项可得，通分可得， 即，等价于， 则，解得或， 所以集合或， 因为全集，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 结合为非空数集，故，解得， 或者，解得，无解， 综上所述，实数a的范围为. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）直接利用代入法进行求解即可； （2）利用换元法进行求解即可； （3）利用待定系数法进行求解即可. 【详解】（1）∵，∴． （2）设，则，，即， ∴，∴． （3）∵是二次函数，∴设．由，得． 由，得，整理得， ∴，∴，∴． 17. 某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本． （1）该海水养殖场从第几年起开始盈利（总利润为正）? （2）该海水养殖场总利润达到最大时是第几年?请求出总利润的最大值． （3）该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年?请求出年平均利润的最大值．（注：总利润销售总收入-经营成本-投资费用） 【答案】（1）第3年起至第17年结束，该海水养殖场盈利 （2）总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元 （3）年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为万元/年 【解析】 【分析】（1）先求得该海水养殖场总利润的解析式，利用一元二次不等式即可求得海水养殖场从第3年起开始盈利； （2）利用二次函数的性质即可求得该海水养殖场总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元. （3）利用均值不等式即可求得该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为（万元/年）． 【小问1详解】 设该海水养殖场总利润为y， 则， 由，可得，则， 则第3年起至第17年结束，该海水养殖场盈利. 【小问2详解】 由， 可得当时，y取得最大值万元. 故该海水养殖场总利润达到最大时是第10年，总利润的最大值为万元. 【小问3详解】 （万元/年），（当且仅当时等号成立） 故该海水养殖场年平均利润达到最大时是第6年，年平均利润的最大值为（万元/年）． 18. 已知函数，实数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2） 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）含参分类讨论结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系计算即可； （2）含参分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 由得对一切实数恒成立， 当时，显然恒成立； 当时，则要满足题意需，解之得； 综上实数的取值范围为：； 【小问2详解】 由得， 若，解不等式得； 若，解不等式得或； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 若，解不等式得； 综上：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1），． （2） 由集合，， 得集合的元素在，，， 中产生， 且，， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为，，，，且与或或重复， 又，所以，即. （3）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义计算即可； （2）根据集合的新定义计算，结合集合相等的条件即可得证； （3）设满足题意，，分析中那些必然不同的元素，得到，，进而可得，再找到中最小的元素为，最大的元素为，从而得到.利用不等式的传递性，可得，然后构造的例子，说明存在性即可得到的最大值． 【小问1详解】 由集合，得，，， 因此，又，，，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，， 设满足题意，， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为，最大的元素为，， 因此，即，解得， ，. 则，，满足， 所以具有孪生性质. 所以集合中元素的个数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次段测数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 图中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 与的关系不确定 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 8. 关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的2/3分，有选错的得0分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列选项正确的是（    ） A. 若，则的最小值为2 B. 若正实数x，y满足，则的最小值为8 C. 的最小值为2 D. 函数（）的最大值是0 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，高斯函数在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的， B. 若不等式的解集为，则 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集_______. 13. 若集合，且，则所有取值构成的集合为________． 14. 设是非空数集，定义集合且中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则________；若集合，且，则正整数的值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若为非空数集且是的必要不充分条件，求实数a的范围. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； 17. 某人投资180万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入130万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本． （1）该海水养殖场从第几年起开始盈利（总利润为正）? （2）该海水养殖场总利润达到最大时是第几年?请求出总利润的最大值． （3）该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年?请求出年平均利润的最大值．（注：总利润销售总收入-经营成本-投资费用） 18. 已知函数，实数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质． （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $