广东汕头市潮阳区铜盂贵屿联考2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

20262027 学年度第一学期九年级数学期中试卷 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. C 2. C 3. A 4. A 5. D 6. D 7. A 8. A 9. B 10. B 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. x1=0，x2=2 12. －4 13. －4＜x＜2 14. ± 15. 6 三、解答题（一）（每小题 8 分，共 24 分） 16 解：∵y=x2－3x＋4=（x－3）2－， ∴该函数图象的对称轴为直线x=3，顶点坐标为． 17 解：∵方程x2＋ax＋a－5=0的一个根是3， ∴32＋3a＋a－5=0.解得a=－1. ∴原方程为x2－x－6=0. 设方程的另一个根为x2． 依题意，得3＋x2=1. ∴x2=－2. ∴a的值为－1，方程的另一个根是－2. 18 解：（1）∵y=a（x＋1）2＋4， ∴函数图象的对称轴为直线x=－1. ∵点A的坐标为（－3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）． 把点B（1，0）代入y=a（x＋1）2＋4，得4a＋4=0. 解得a=－1. （2）当y＞0时，x的取值范围为－3＜x＜1. 四、解答题（二）（每小题 9 分，共 27 分） 19. 解：（1）依题意，得该抛物线的顶点坐标为（5，8），点B的坐标为（0，3）． 设抛物线的解析式为y=a（x－5）2＋8. 将点B（0，3）代入上式，得25a＋8=3. 解得a=－． ∴该抛物线的函数解析式为y=－（x－5）2＋8. （2）依题意，得当x=8时，y=－×（8－5）2＋8=－＋8=． 答：摄像头到地面的竖直距离为 m． 解：（1）依题意，得该抛物线的顶点坐标为（5，8），点B的坐标为（0，3）． 设抛物线的解析式为y=a（x－5）2＋8. 将点B（0，3）代入上式，得25a＋8=3. 解得a=－． ∴该抛物线的函数解析式为y=－（x－5）2＋8. （2）依题意，得当x=8时，y=－×（8－5）2＋8=－＋8=． 答：摄像头到地面的竖直距离为 m． 20. （1）证明：∵Δ=［－（2k－3）］2－4×1×（k2－3k－10）=49＞0， ∴无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． （2）解：不存在． 理由如下： ∵斜边AB=5，∴由勾股定理，得BC2＋AC2=25. ∵BC，AC的长是方程的两个实数根， ∴BC＋AC=2k－3，BC•AC=k2－3k－10. ∴BC2＋AC2=（BC＋AC）2－2BC•AC=25. ∴（2k－3）2－2（k2－3k－10）=25. 整理，得k2－3k＋2=0. 解得k1=2，k2=1. 当k=2时，BC•AC=k2－3k－10=－12＜0，不合题意； 当k=1时，BC＋AC=2k－3=－1＜0，不合题意． ∴不存在实数k，使Rt△ABC的两直角边的长是这个一元二次方程的两个实数根． 21. 解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数解析式为y=k1x（k1≠0）． 由题意，得12=10k1. 解得k1=． ∴燃烧时y关于x的函数解析式为y=x（0≤x≤10）． （2）设燃烧后y关于x的函数解析式为y=（k2≠0）． 由题意，得12=． 解得k2=120. ∴燃烧后y关于x的函数解析式为y=（x≥10）． （3）药物燃烧时，把y=5代入y=x，得5=x．解得x=； 药物燃烧后，把y=5代入y=，得5=．解得x=24. 24－=（min）． 答：对病毒有作用的时间长为 min． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.解：∵＋－2=0，∴2n2－5n－1=0. 根据2m2－5m－1=0和2n2－5n－1=0的特征，得m，n是方程2x2－5x－1=0的两个不相等的实数根． ∴m＋n=，mn=－． （1）原式===－5. （2）原式=（m＋n）2－4mn=2－4×=． 23. 解：（1）将点A（－1，0），C（0，－3）代入y=x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3. （2）令y=0，即x2－2x－3=0.解得x1=－1，x2=3. ∴点B（3，0）． 设直线BC的解析式为y=ax－3. 将B（3，0）代入，得0=3a－3.解得a=1. ∴直线BC的解析式为y=x－3. ∵点Р在抛物线y=x2－2x－3上， ∴P（t，t2－2t－3）． 如答图8-1，过点P作PH⊥x轴，交CB延长线于点H，则H（t，t－3）． 　答图8-1 ∴PH=（t2－2t－3）－（t－3）=t2－3t． ∴S△PBC=S△PHC－S△PHB=PH•xH－PH•（xH－xB）=PH•xB=PH•OB． ∴S△PBC=×3（t2－3t）=t2－t． ∴S与t的函数关系式为S=t2－t． （3）如答图8-2，过点C作CK∥PD交x轴于点K，延长DC交x轴于点N． 　答图8-2 ∴∠PQC＋∠QCK=180°． 又∵∠PQC=∠ACD，∠ACD＋∠ACN=180°，∴∠ACN=∠QCK． ∵y=x2－2x－3=（x－1）2－4，∴顶点D坐标为（1，－4）． 设直线CD的解析式y=mx－3. 将D（1，－4）代入，得－4=m－3.解得m=－1. ∴直线CD的解析式为y=－x－3. ∴直线CD与x轴的交点N为（－3，0）． ∴ON=3，AN=2. ∴ON=OB=OC=3. ∴CN=CB，∠CNO=∠CBO=45°． ∴△ACN≌△KCB（ASA）．∴AN=BK=2. ∴点K的坐标为（1，0）． 设直线CK的解析式y=nx－3. 将K（1，0）代入，得0=n－3.解得n=3. ∴直线CK的解析式为y=3x－3. 设直线DP的解析式为y=3x＋p． 将（1，－4）代入，得3＋p=－4.解得p=－7. ∴直线DP的解析式为y=3x－7. 联立抛物线y=x2－2x－3与直线DP：y=3x－7，得 解得 ∴点P（4，5）． ∴S=t2－t=×42－×4=24－18=6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 九年级数学期中试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A． x2－2x－3　　　　　 B． x2＋1=y　　　　　　 C． 5－x（x－1）=5　　　 D． 2x－1=0 2. 抛物线y=x2－1与y轴的交点的坐标是（ ） A． （－1，0）　　　B． （1，0）　　C． （0，－1）　　　D． （0，1） 3. 若点（2，m）在反比例函数y=的图象上，则m的值为（ ） A． 2　　B． －2　　C． 4　　D． －4 4. 方程4x2－12x=3的根的情况为（ ） A． 有两个不相等的实数根　　 B． 有两个相等的实数根 C． 无实数根　　 D． 无法确定 5. 抛物线的部分图象如图1所示，它与x轴的一个交点坐标为（－3，0），对称轴为直线x=－1，则它与x轴的另一个交点坐标为（ ） 　图1 A． （4，0）　　 B． （3，0）　　 C． （2，0）　　 D． （1，0） 6. 如图2，反比例函数y=的图象与经过原点的直线l相交于A，B两点，已知点A的坐标为（－2，1），那么点B的坐标为（ ） 图2　　 A． （－2，1）　　　B． （2，1）　　C． （1，－2）　　　D． （2，－1） 7. 已知关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x＋1=0有实数根，则k的取值范围是（ ） A． k≤2且k≠1　　B． k＜2且k≠1　　C． k≤2　　D． k＜2 8. 对于反比例函数y=－，下列说法正确的是（ ） A． 图象不可能与坐标轴相交　　　　　B． 它的图象在第一、第三象限 C． y随x的增大而增大　　　　　 D． 图象必经过点 9. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象上有A（－1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（－2，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A． y1＜y2＜y3　　B． y2＜y1＜y3　　C． y2＜y3＜y1　　D． y3＜y1＜y2 10. （新定义）对于实数a，b，定义一种新运算“★”如下：a★b=若1★m=8，则实数m等于（ ） A． 6　　B． 2　　C． 2或－4　　D． 2或－4或6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程x2=2x的根是　 　． 12. 已知抛物线y=x2＋bx＋3的对称轴为直线x=2，则b=　 　． 13. 如图3，抛物线y=ax2＋c与直线y=mx＋n交于A（2，p），B（－4，q）两点，则不等式ax2－mx＋c－n＞0的解集是　 　． 图3　　 14. 如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2，则输入x的值为　 　． 15. 如图5，A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，且A，B两点的纵坐标分别为2和1，点C在x轴上，AC=BC，∠ACB=90°，则k=　 　． 图5 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 用配方法将二次函数y=x2－3x＋4化为y=a（x－h）2＋k的形式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 17. 已知关于x的方程x2＋ax＋a－5=0的一个根是3，求a的值及该方程的另一个根． 18. 二次函数y=a（x＋1）2＋4的图象与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（－3，0）． （1）求点B的坐标和a的值； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10 m，宽OB为3 m，隧道顶端D到路面的距离为8 m，建立如图6所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）． 已知摄像头到OB的水平距离为8 m，求摄像头到地面的竖直距离． 　图6 20. 已知关于x的一元二次方程x2－（2k－3）x＋k2－3k－10=0. （1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC的斜边AB的长为5，是否存在实数k，使Rt△ABC的两直角边AC，BC的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 21. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”． 已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与燃烧时间x（单位：min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图7所示）． 现测得药物10 min燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12 mg． 据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y关于x的函数解析式； （2）求药物燃烧后y关于x的函数解析式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5 mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长． 　图7 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.阅读材料：已知方程p2－p－1=0，1－q－q2=0且pq≠1，求 的值． 解：由p2－p－1=0及1－q－q2=0可知，p≠0，q≠0. ∵pq≠1，∴p≠． ∵1－q－q2=0可变形为2－－1=0， 根据p2－p－1=0和2－－1=0的特征，得p，是方程x2－x－1=0的两个不相等的实数根． 则p＋=1，即 =1. 根据上述材料所提供的方法，解决下列问题： 已知2m2－5m－1=0，＋－2=0且m≠n，求下列各式的值： （1）＋； （2）（m－n）2． 23. 如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴相交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，A（－1，0），C（0，－3），连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上第一象限一动点，连接PB，PC，设点P横坐标为t，△PBC面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点D为抛物线的顶点，连接AC，CD，PD，PD与BC相交于点Q，若∠PQC=∠ACD，求S的值． 　图8 学科网（北京）股份有限公司 $