精品解析：天津市第四十三中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性质量监测数学试题

2026—2027学年度第一学期阶段性质量监测 高二年级数学学科 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，共30分. 1. 下列说法错误的是（ ） A. 有的直线斜率不存在 B. 截距可以为负数或零 C. 若直线的倾斜角为，且，则它的斜率 D. 直线倾斜角的取值范围是 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：当直线与轴垂直时，倾斜角为，不存在斜率，因此存在斜率不存在的直线，A说法正确； 选项B：截距是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，取值可正、可负、可为零，B说法正确； 选项C：根据斜率与倾斜角的关系，若直线倾斜角为且，则斜率，C说法正确； 选项D：直线倾斜角的定义为直线向上的方向与轴正方向所形成的最小正角，其取值范围是，不包含，D说法错误. 2. 已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定射影坐标，再由空间两点间距离公式计算． 【详解】由题意， 所以， 故选：B． 3. 空间向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法则即可求解. 【详解】 故选：D 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 5. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】由题意可知，、、共面， 设，即， 即，解得. 故选：C. 6. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【详解】解：直线，即，它与轴的交点为， 它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即. 故选：C． 7. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算直线过点A，B的斜率，数形结合，即得解 【详解】 当直线过点B时，设直线的斜率为，则 当直线过点A时，设直线的斜率为，则 故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为：或. 故选：B. 8. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线l过P，Q的中点 B. 直线l的一个方向向量的坐标是 C. 直线l的斜率为3 D. 直线PQ的斜率为 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称、斜率、方向向量的概念可逐一判断. 【详解】由题意知，A正确； ，则直线l的斜率为，故D错误，C正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，B正确. 故选：D 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 10. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，结合两点间距离公式可得，根据将军饮马问题求最值. 【详解】由题意可得：， 设，，，则， 设关于x轴对称的点为，则， 可得， 所以函数的最小值为. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用过两点的直线斜率公式，结合倾斜角与斜率的关系列方程求解的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 已知直线过，两点， 若，则，，直线垂直于轴，直线的倾斜角为，不符合题意，舍去. 所以，即，由斜率公式，，解得. 因此的值为. 12. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 15. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与垂直，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线有，结合向量模的坐标公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【小问1详解】 根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 【小问2详解】 根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 17. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 【答案】（1）且 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【小问1详解】 由直线与相交，则，解得且. 【小问2详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. 【小问3详解】 由直线与垂直，则，解得或. 18. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， 即 ， 故的长为； 【小问3详解】 ， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 19. △ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0. (1)求直线AB的方程； (2)求直线BC的方程； (3)求△BDE的面积． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式写出的直线方程； （2）先求出点，点的坐标，再写出的直线方程； （3）由点到直线的距离求出到的距离，以及到的距离，计算即可或求出到的距离，计算. 试题解析： (1)由已知得直线AB的斜率为2， ∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)， 即2x－y＋1＝0. (2)由，得. 即直线AB与直线BE的交点为B(，2)． 设C(m，n)， 则由已知条件得， 解得，∴C(2,1)． ∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0. (3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)． ∴|BE|＝＝， 由，得. ∴D(，)， ∴D到BE的距离为d＝＝ ， ∴S△BDE＝·d·|BE|＝ . 20. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期阶段性质量监测 高二年级数学学科 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，共30分. 1. 下列说法错误的是（ ） A. 有的直线斜率不存在 B. 截距可以为负数或零 C. 若直线的倾斜角为，且，则它的斜率 D. 直线倾斜角的取值范围是 2. 已知点是点在平面上的射影，则等于（ ）. A. B. C. D. 3. 空间向量（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 5. 设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线l过P，Q的中点 B. 直线l的一个方向向量的坐标是 C. 直线l的斜率为3 D. 直线PQ的斜率为 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 10. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上. 11. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________. 12. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 13. 设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 15. 已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为___________. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与垂直，求实数的值. 17. 已知直线与直线． （1）当m为何值时，与相交； （2）当m为何值时，与平行，并求与的距离； （3）当m为何值时，与垂直． 18. 如图，平行六面体中，． （1）证明：； （2）求的长； （3）求直线与AC所成角的余弦值． 19. △ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0. (1)求直线AB的方程； (2)求直线BC的方程； (3)求△BDE的面积． 20. 已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面BCN夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $