精品解析：天津市梧桐中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

阶段性随堂练习高二数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】已知， 则， 因为是平面内一点， 所以， 解得. 故选：B. 5. 若直线：与：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 7. 在平行六面体中，，且，M为的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积运算律，以及空间向量的线性运算，用基底表示出向量，进而求出模长即可. 【详解】在平行六面体中，取， 由，且， 则有，， 因为， 所以 ． 故选：C． 8. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 则向量在向量上的投影向量为· 9. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 存在点∥平面 B. 对任意点 C. 存在点，使得与所成的角是 D. 不存在点，使得与平面所成的角是 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.选项A，取平面的一个法向量，将∥平面平面转化为；选项B，转化为；选项C，与所成的角是转化为；选项D，由平面，结合选项C可知. 【详解】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又， ∴，又， 则， ∴， 选项A，取平面的一个法向量， 令，解得，此时， ∴当时，与垂直，而平面， 故∥平面，故A项正确； 选项B，， 则， 故对任意点，故B项正确； 选项C，，则， 令， 化简得，解得，或， 故存在点，使得与所成的角是，故C项正确； 选项D，连接， 在正方体中， 由底面是正方形，则， 由平面，平面，则， 又平面，平面，， 则平面，即是平面的一个法向量， 由C项分析可知，存在点，使得与所成的角是， 即存在点，使得与平面所成的角是，故D项错误. 故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 直线过定点________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 11. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 12. 已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 13. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【解析】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 14. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合直三棱柱的性质得出相关点坐标，进而得出的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】三棱柱是直三棱柱，，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， ，分别是的中点，令，则 ， ， ． 与所成角的余弦值为． 故答案为：． 15. 棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 17. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. （1）求线段的中垂线l的方程； （2）求圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【小问1详解】 由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； 【小问2详解】 由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 18. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 【答案】（1）①是棱的中点，是棱的中点， ， 平面，平面， 平面． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由直线与平面平行的判定定理证明即可. ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用直线与平面成角的正弦值，计算即可. （2）求平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算即可 【小问1详解】 ①略 ②，， 底面为正方形，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， ，， 是棱的中点，是棱的中点， ， 则各点坐标为：，，，，，， ，，， 设平面法向量为，则，即， 令，，，则， 直线与平面成角为， 则直线与平面成角的正弦值为： . 【小问2详解】 设，则，，，， 设平面法向量为，则，即， 令，则，，， 点到平面的距离为， ，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性随堂练习高二数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 4. 在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：与：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在平行六面体中，，且，M为的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 存在点∥平面 B. 对任意点 C. 存在点，使得与所成的角是 D. 不存在点，使得与平面所成的角是 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 直线过定点________. 11. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 12. 已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 13. 与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 14. 如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 15. 棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 17. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. （1）求线段的中垂线l的方程； （2）求圆C的标准方程. 18. 如图，已知四棱锥中，底面为正方形，，，是棱的中点，是棱上一点，. （1）若是棱的中点时， ①求证：平面； ②求直线与平面成角的正弦值； （2）若点到平面的距离为，求线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $