精品解析：内蒙古自治区赤峰市第十二中学2026－2027学年第一学期九年级期中测试数学试卷

赤峰第十二中学 2026-2027 学年第一学期九年级期中数学卷 （试卷满分：100 分，考试时间：90 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0，由此求得a的取值范围． 【详解】依题意得：a-1≠0， 解得a≠1． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】解：将向左平移2个单位长度得， 再向下平移1个单位长度得． 3. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 4. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 5. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，准确的计算是解决本题的关键． 通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴，，， 故． 故选B． 6. 当气温不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： （单位：） 1 2 3 4 （单位：） 96 48 32 24 P与V的函数关系式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数； 通过观察数据表中V与P的对应值，发现两者的乘积恒为常数96，因此P与V成反比例关系． 【详解】解：根据题意得：， 说明P与V满足反比例关系，即函数关系式为， ∴与的函数关系可能是． 故选：C． 7. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 8. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先根据图象特征（开口方向、对称轴、截距、交点位置）确定系数a，b，c的符号及相互关系，然后利用特殊点的坐标判断代数式的符号，逐个分析结论是否正确． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，所以． 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴为直线，所以，解得． 因为，所以． 由此可知，结论③是错误的． 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴交于负半轴，所以． 结论①： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的图象上的点位于x轴下方，即，所以． 故结论①正确． 分析结论②： 根据前面分析可知：，，，所以． 故结论②正确． 分析结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，． 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①、②、④． 10. 如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用反比例函数k的几何意义求出两个反比例函数对应与坐标轴围成的矩形面积，再根据大矩形的面积等于两个小矩形面积之和求出，最后结合反比例函数所在象限确定k的符号，计算得到k的值． 【详解】解：如图，令与y轴的交点为点M，则四边形和四边形均为矩形． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为． ∵矩形的面积为6， ∴矩形的面积为：． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于， 即 又∵点D在第一象限，k为正数， ∴． 11. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法：以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是________． 【答案】 4 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 12. 如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，在抛物线对称轴上有一点，使为等腰三角形，写出点的坐标为________． 【答案】 或或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可． 【详解】解：∵二次函数的表达式为：； 令抛物线，则， ∴， ∴； ∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，或或或或． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 15. 如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图象求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ， 根据图象得：或； 【小问3详解】 解：把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 16. 二次函数中的，的部分取值如表： 0 1 2 3 0 根据表中数据填空： （1）该函数图象的对称轴是________，与轴的交点坐标是________； （2）求出此二次函数的解析式； （3）画出该二次函数的图象； （4）结合图象，当时，的取值范围是________； （5）结合图象，方程有实数解，的取值范围是________． 【答案】（1）直线； （2） （3）二次函数的图象如图所示： （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴；根据时，可求出与x轴的交点坐标； （2）先利用对称轴公式得到a与b的等量关系，再将已知点代入解析式，代入消元求出a、b，写出函数一般式． （3）在平面直角坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接，画出抛物线． （4）开口向上的抛物线，顶点是最小值；比较区间两端点函数值，确定最大值，写出范围． （5）将方程有解转化为抛物线与水平线存在交点，由抛物线最小值确定取值范围． 【小问1详解】 解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：当时，最小值为，即． 图略； 【小问4详解】 解：抛物线解析式，开口向上，顶点，顶点为最低点． 当时，最小值为． 再计算区间端点，对应的函数值： ，；，． 在区间内，最大值为，最小值为． ∴的取值范围是； 【小问5详解】 解：方程变形为， 方程有实数解等价于抛物线与直线有交点． 抛物线开口向上，函数最小值为． 所以的取值范围是． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键． 任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元， 根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为12250， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元． 18. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（________，________），点坐标为（________，________），求碗体的抛物线解析式； （2）任务二：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）； （3）任务三：如图4，茶盖也呈现抛物线形状，其解析式为，如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放置在茶杯中间后（圆柱形器皿厚度不计），茶杯盖能否正常盖上（正常盖上是指杯盖的与轴重合）？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：茶杯盖不能正常盖上，理由如下： 设点M在圆柱形器皿上底面的对应点为K， ∵解得，即圆柱形器皿竖直放置前杯盖的与轴重合， ∴只要点K在抛物线下方，茶杯盖就能正常盖上，反之则不能， ∵底面直径为， ∴， ∴， ∴， 当时，茶盖抛物线的对应纵坐标为， 可知K在抛物线上方， 即茶杯盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】（1）由得、的横坐标分别为、，由得，再由、得；抛物线顶点为，设，代入点求解析式； （2）由、及抛物线的对称性得水面端点的横坐标为，代入解析式求出水面所在的高度，它与点的纵坐标之差即为碗内茶水的深度； （3）设点M在圆柱形器皿上底面的对应点为K，可知只要点K在抛物线下方，茶杯盖就能正常盖上，反之则不能，求出的值进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵，点为的中点， ∴， ∴，． ∵茶盖最高点距的距离， ∴． ∵盖碗高度， ∴点在点的下方处，即． ∵，点在点的上方， ∴，即． ∴点坐标为，点坐标为． ∵碗体所在抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为． 把代入，得，解得， ∴碗体所在抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴点、的纵坐标相等， ∵碗体所在抛物线关于轴对称， ∴线段被轴垂直平分， ∴点的横坐标为． 当时，， ∴水面所在的高度为． ∵点的纵坐标为， ∴此时碗内茶水的深度为， ∴此时碗内茶水的深度为． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第十二中学 2026-2027 学年第一学期九年级期中数学卷 （试卷满分：100 分，考试时间：90 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 5. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 当气温不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据： （单位：） 1 2 3 4 （单位：） 96 48 32 24 P与V的函数关系式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的是________． 10. 如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 11. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法：以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是________． 12. 如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，在抛物线对称轴上有一点，使为等腰三角形，写出点的坐标为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程： （1）； （2）； （3）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 15. 如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求的面积． 16. 二次函数中的，的部分取值如表： 0 1 2 3 0 根据表中数据填空： （1）该函数图象的对称轴是________，与轴的交点坐标是________； （2）求出此二次函数的解析式； （3）画出该二次函数的图象； （4）结合图象，当时，的取值范围是________； （5）结合图象，方程有实数解，的取值范围是________． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 18. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了任务性学习： 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 （1）任务一：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（________，________），点坐标为（________，________），求碗体的抛物线解析式； （2）任务二：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）； （3）任务三：如图4，茶盖也呈现抛物线形状，其解析式为，如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放置在茶杯中间后（圆柱形器皿厚度不计），茶杯盖能否正常盖上（正常盖上是指杯盖的与轴重合）？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $