精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026年10月九年级数学学科测试调研卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有人患了流感 B. 依题意可得方程 C. 2轮后有个人患了流感 D. 经过三轮一共会有1000人感染 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 3. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程配方后与给定配方形式对比，求解未知数字． 【详解】解：设印刷不清楚的数字为， 原方程为， 移项得， 配方得， 即， ∵ 方程可配方为， ∴ ，， 解得， 即印刷不清楚的数字是2． 4. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解最大值即可． 【详解】解：将配方得， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ，，， ∴ 时函数取得最大值， 代入得． 5. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由于得二次函数开口向下，对称轴为，点B在对称轴上，函数值最大；点A和点C到对称轴的距离分别为3和2，距离越远函数值越小，因此，即可作答． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下，在对称轴处取得最大值． ∵点在对称轴上， ∴最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 7. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 8. 如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①由抛物线经过点，，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③求出，和，由勾股逆定理即可得到是直角；④当时，取最小值，根据等面积法求得即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线，故①正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线关系式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值，故②错误． ∵，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形，且，故③正确； 当时，取最小值， 此时根据三角形的面积可得， ∴， 解得：， ∴的最小值为，故④正确； 故正确的有：①③④． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 利用一面墙（墙长），用总长的篱笆围成矩形菜园，面积为，则平行于墙的边长为___． 【答案】 【解析】 【分析】结合篱笆总长表示矩形的两边长度，根据面积列一元二次方程求解，需注意平行于墙的边长不能超过墙长，舍去不符合实际的解． 【详解】解：设平行于墙的边长为，则垂直于墙的每边长为． ∵墙长为， ∴平行于墙的边长需满足， 根据矩形面积公式列方程得：， 整理得： 解得： ∵，超出墙的长度限制，不符合实际，舍去． ∴平行于墙的边长为． 10. 当函数是二次函数时，a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到且，由此求得a的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 11. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由D的坐标，可求出菱形的边长，进而求出B，A的坐标，则可以确定反比例函数的关系式． 【详解】O点的坐标为（0，0），D点的坐标为（3,4） 在菱形OBCD中，OB=OD=5 B点的坐标为（5，0） A为BD的中点， A点的坐标为（4，2） 把（4，2）代入中，得，解得k=8 故答案为8． 【点睛】考查反比例函数的图形和性质，一次函数以及菱形的性质等知识，根据点的坐标求出反比例函数的关系式是解决问题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程: （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，，， ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程都有实数根． （2）当为何值时，方程的两个根互为相反数？ 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， 此方程根的判别式 , 则对于任意实数，方程都有实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和偶次方的非负性即可得证； （2）设这个方程的两个根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据方程的两个根互为相反数即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设这个方程的两个根分别为， 则， ∵方程的两个根互为相反数， ∴，即， 解得， 检验：时方程为，根为，互为相反数． 即当时，方程的两个根互为相反数． 15. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 16. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 素材2 设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件． 问题解决 （1）任务1 求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围． （2）任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元? （3）任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元? 【答案】（1）（） （2）元 （3）售价：元，最大利润：元 【解析】 【分析】（1）根据“每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件”求解即可； （2）根据利润单件利润销售量列方程求解即可； （3）设月销售利润为元，根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由二次函数图象与性质分析求出最大利润即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴自变量取值范围， ∴（）； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，， ∵要让顾客实惠，涨价少， ∴， 答：该泥塑的售价应上涨10元； 【小问3详解】 解：设月销售利润为元， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为6250， ∴当售价为元时，月销售利润最大，最大值为6250元． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ； （3）过点作轴，垂足为，求． 【答案】（1）， （2）或 （3）5 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识． （1）根据反比例函数的图象过点，两点利用待定系数法求出，进而得出点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据、的横坐标结合图象即可得出答案； （3）作交于点，求出中边上的高长度即可． 利用数形结合的数学思想，结合已知得出边上的高是解题关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象交于，两点． ∴， ∴，， ∴反比例函数的解析式为，的坐标是． 把，代入，得： ，解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 要使得，只需函数得图象在函数的上方， 由图象可知，此时或， 故答案为：或； 【小问3详解】 作交于点， 以为底，则边上的高， ∴． 18. 如图：校园劳动实践基地准备修建抛物线造型的雨水收集导流槽，以水平地面为轴，竖直向上为轴．导流槽截面轮廓为抛物线，槽口两端落在地面、；导流槽最低点一侧和竖直挡墙交于． （1）求导流槽截面抛物线的解析式； （2）准备在槽壁第三象限位置取点安装水位传感器，过作垂直地面的竖线交槽内的斜向隔水墙于，求的最大面积； （3）在抛物线上找监测点（不与，重合），作轴，垂足，直线交隔水墙于， 满足，求坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点B的坐标，在求出的解析式，设，，则M的坐标为，利用铅垂法表示出的面积，最后由二次函数的图象和性质求解即可； （3）设，则，，表示出和，然后根据列出绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，， 则M的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵是点B，故，即， 则， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月九年级数学学科测试调研卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（ ） A. 1轮后有人患了流感 B. 依题意可得方程 C. 2轮后有个人患了流感 D. 经过三轮一共会有1000人感染 3. 已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 7. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点，为上的一个动点，有以下结论： ①抛物线的对称轴为直线； ②函数的最大值为； ③； ④的最小值为． 正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 利用一面墙（墙长），用总长的篱笆围成矩形菜园，面积为，则平行于墙的边长为___． 10. 当函数是二次函数时，a的值为_________． 11. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线的解析式为___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点，且与边交于点．若点的坐标为，则的值为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程: （1）； （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程都有实数根． （2）当为何值时，方程的两个根互为相反数？ 15. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 16. 泥塑，俗称“彩塑”，是中国传统的一种古老常见的民间艺术形式．某泥塑作坊主营泥塑制作与销售业务，请根据以下素材，完成任务． 素材1 泥塑的制作成本为30元/件，销售数据显示，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件． 素材2 设每件泥塑售价上涨元，月销售量为件． 问题解决 （1）任务1 求出与之间的关系式，并写出自变量的取值范围． （2）任务2 为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应上涨多少元? （3）任务3 若该作坊希望获得最大月销售利润，此时泥塑的售价应定为多少元/件?最大月销售利润是多少元? 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ； （3）过点作轴，垂足为，求． 18. 如图：校园劳动实践基地准备修建抛物线造型的雨水收集导流槽，以水平地面为轴，竖直向上为轴．导流槽截面轮廓为抛物线，槽口两端落在地面、；导流槽最低点一侧和竖直挡墙交于． （1）求导流槽截面抛物线的解析式； （2）准备在槽壁第三象限位置取点安装水位传感器，过作垂直地面的竖线交槽内的斜向隔水墙于，求的最大面积； （3）在抛物线上找监测点（不与，重合），作轴，垂足，直线交隔水墙于， 满足，求坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $