26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课时练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.1 二次函数的图象和性质 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024重庆中考改编) 二次函数 的图象开口方向与顶点分别是（　　） 　　A．开口向下，顶点(0,0)　　B．开口向上，顶点(0,0) 　　C．开口向上，顶点(3,0)　　D．开口向下，顶点(0,3) 【答案】B 【解析】对于 ，，开口向上；顶点为原点 (0,0)。 【点睛】 的顶点永远在原点，不要把 当成顶点坐标。 2. (2025南京模拟) 抛物线 的对称轴是（　　） 　　A．直线 　　B．直线 　　C． 轴　　D． 轴（直线 ） 【答案】D 【解析】 的对称轴是 轴，即直线 ，与 的正负无关。 【点睛】对称轴看「对折线」，不是看 的值。 3. (2024武汉月考改编) 下列函数中，图象开口向下的是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 【答案】C 【解析】开口方向由 的符号决定： 开口向下。只有 C 中 。 【点睛】先看 的正负，再谈宽窄。 4. (2025杭州模拟) 在同一坐标系中，函数 与 的图象关系是（　　） 　　A．开口方向相反 　　B． 比 开口更宽 　　C． 比 开口更窄 　　D．顶点不同 【答案】C 【解析】两者 均 >0，开口都向上，顶点都是 (0,0)。 越大开口越窄，，故 更窄。 【点睛】 与开口宽窄成「反相关」：越大越窄。 5. (2024成都中考改编) 如图，抛物线开口向上，顶点在原点，且经过点 A(1,2)、B(−1,2)，则其解析式为（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 【答案】B 【解析】设 ，把 A(1,2) 代入得 ，，故 。开口向上也排除 C。 【点睛】过原点的抛物线直接设 ，代入一点即可。 6. (2025苏州模拟) 对于函数 ，当 时， 随 的增大而（　　） 　　A．增大　　B．减小 　　C．先增后减　　D．不变 【答案】A 【解析】，开口向下。在对称轴左侧（）上，函数递增，故 时 随 增大而增大。 【点睛】开口向下：左增右减；开口向上：左减右增。 7. (2024长沙中考改编) 如图，抛物线开口向下，顶点在原点，且过点 P(2,−2)，则解析式是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 【答案】A 【解析】设 ，代入 P(2,−2)：，，故 。 【点睛】由图先判断 的符号，再代入求 。 8. (2025合肥模拟) 若点 (2,m) 在抛物线 上，则 的值为（　　） 　　A．6　　B．12 　　C．3　　D．−12 【答案】B 【解析】把 代入 ，得 。 【点睛】点在图象上 ⟺ 坐标满足解析式。 9. (2024广州模拟) 如图是 、、 在同一坐标系中的图象，开口最宽的是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D．无法判断 【答案】C 【解析】 越小开口越宽。，故 开口最宽。 【点睛】看图时「最扁」的那条 最小。 10. (2025福州月考) 二次函数 （）的图象一定经过（　　） 　　A．点 (1,a)　　B．点 (a,1) 　　C．点 (1,1)　　D．点 (0,a) 【答案】A 【解析】当 时 ，故必过 (1,a)。(0,a) 仅当 才在原点以外，而 时 (0,a) 不在 上（原点是 (0,0)）。 【点睛】把选项坐标代回解析式检验最快。 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024天津模拟) 抛物线 的开口______（填「向上」或「向下」），顶点坐标是______。 【答案】向下；(0,0) 【解析】，开口向下； 顶点为 (0,0)。 2. (2025宁波模拟) 函数 的对称轴是直线______；当 时， 随 的增大而______。 【答案】（或 轴）；增大 【解析】对称轴为 轴即 。 开口向上，在 上递增，故 时 随 增大而增大。 3. (2024西安月考) 若 的图象经过点 (3,−18)，则 ______。 【答案】−2 【解析】 ⇒ 。 4. (2025青岛模拟) 已知 与 开口方向相同，则 的取值范围是______。 【答案】 【解析】 开口向上，同向则 （且 已含于二次函数定义，写 即可）。 5. (2024郑州中考改编) 点 A(−2,8) 在抛物线 上，则 ______；点 A 关于 轴的对称点坐标是______。 【答案】2；(2,8) 【解析】 ⇒ 。关于 轴对称：横坐标变号，得 (2,8)。 【点睛】 本身关于 轴对称，故对称点仍在抛物线上。 6. (2025长沙模拟) 在 、、 中，开口最窄的是______。 【答案】 【解析】 最大者开口最窄，3 最大。 7. (2024沈阳月考) 若抛物线 上一点的纵坐标为 12，横坐标为 2，则 ______。 【答案】3 【解析】点为 (2,12)， ⇒ 。 8. (2025厦门模拟) 函数 在区间 (−∞,0] 上的最大值是______，最小值______。（填具体数或「不存在」） 【答案】0；不存在 【解析】开口向下，顶点 (0,0) 为最高点，在 (−∞,0] 上最大值为 0；→−∞ 时 →−∞，无最小值。 【点睛】有界一侧才谈最值；无界一侧写「不存在」。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024济南中考改编) 如图是二次函数 的图象。 (1) 写出顶点坐标与对称轴； (2) 说明当 与 时， 随 的变化情况； (3) 求当 时，函数的最大值与最小值。 【答案】 (1) 顶点(0,0)，对称轴为 轴（或直线 ） (2) 当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小 (3) 最大值 0，最小值 −4 【解析】 属于 （），顶点 (0,0)，对称轴 。 开口向下：对称轴左侧递增，右侧递减。 (3) 在 [−2,1] 上，最高点在顶点 处，；两端 ，，故最小值为 −4。 【点睛】闭区间上的最值看顶点与端点。 2. （本小题满分 10 分）(2025杭州模拟) 已知二次函数 （）的图象经过点 C(1,−3)。 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 判断点 D(−2,−12) 是否在该函数图象上，并说明理由； (3) 求当 时对应的函数值。 【答案】 (2) 在；因为 (−2) 代入得 ，与 D 的纵坐标相同 (3) −3 【解析】 (1) 把 C(1,−3) 代入 ： ⇒ ，故 。 (2) 计算 ，等于 D 的纵坐标，故 D 在图象上。 时 。 【点睛】「点是否在图象上」用代入检验，不必重画图。 3. （本小题满分 10 分）(2024南京中考改编) 如图，抛物线开口向下，顶点在原点，且经过点 M(2,−8)、N(−2,−8)。 (1) 求该抛物线的解析式； (2) 写出图象与 轴的交点坐标； (3) 若点 P(t,−18) 在抛物线上，求 的值。 【答案】 (2) (0,0) 或 【解析】 (1) 设 ，代入 M(2,−8)： ⇒ ，故 。（用 N 验证：−2·4=−8，一致。） (2) 令 得 ⇒ ，交点仅为原点 (0,0)。 ⇒ ⇒ 。 【点睛】 与 轴只交于原点（）。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 如图，一座抛物线拱桥的拱顶为原点 O，拱的形状近似满足 。拱脚 A、B 的坐标分别为 A(−4,−4)、B(4,−4)（单位：米）。 (1) 求 的值，并写出拱的函数解析式； (2) 求拱脚 A、B 之间的水平距离； (3) 一辆货车顶部距地面参考线 的高度为 3 米，若货车从桥下中线（）通过，顶部坐标可视为 (0,−1)，判断货车能否安全通过，并说明理由。 【答案】 ； (2) 8 米 (3) 能；中线处拱高对应 ，距地面参考线 4 米，大于货车顶部 3 米净空需求（顶部在 ，仍在拱下方） 【解析】 (1) 把 B(4,−4) 代入 ： ⇒ ，故 。 (2) 水平距离为 （米）。 (3) 地面参考线为 ，拱顶 ，中线净空 4 米。货车顶高 3 米，对应点 (0,−1)：−1 > −4 且 ，位于拱内下方，（米）余量，故能安全通过。 【点睛】应用题先认清「以哪里为原点」，再比较高度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数的图象和性质 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024重庆中考改编) 二次函数 的图象开口方向与顶点分别是（　　） 　　A．开口向下，顶点(0,0)　　B．开口向上，顶点(0,0) 　　C．开口向上，顶点(3,0)　　D．开口向下，顶点(0,3) 2. (2025南京模拟) 抛物线 的对称轴是（　　） 　　A．直线 　　B．直线 　　C． 轴　　D． 轴（直线 ） 3. (2024武汉月考改编) 下列函数中，图象开口向下的是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 4. (2025杭州模拟) 在同一坐标系中，函数 与 的图象关系是（　　） 　　A．开口方向相反 　　B． 比 开口更宽 　　C． 比 开口更窄 　　D．顶点不同 5. (2024成都中考改编) 如图，抛物线开口向上，顶点在原点，且经过点 A(1,2)、B(−1,2)，则其解析式为（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 6. (2025苏州模拟) 对于函数 ，当 时， 随 的增大而（　　） 　　A．增大　　B．减小 　　C．先增后减　　D．不变 7. (2024长沙中考改编) 如图，抛物线开口向下，顶点在原点，且过点 P(2,−2)，则解析式是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 8. (2025合肥模拟) 若点 (2,m) 在抛物线 上，则 的值为（　　） 　　A．6　　B．12 　　C．3　　D．−12 9. (2024广州模拟) 如图是 、、 在同一坐标系中的图象，开口最宽的是（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D．无法判断 10. (2025福州月考) 二次函数 （）的图象一定经过（　　） 　　A．点 (1,a)　　B．点 (a,1) 　　C．点 (1,1)　　D．点 (0,a) 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024天津模拟) 抛物线 的开口______（填「向上」或「向下」），顶点坐标是______。 2. (2025宁波模拟) 函数 的对称轴是直线______；当 时， 随 的增大而______。 3. (2024西安月考) 若 的图象经过点 (3,−18)，则 ______。 4. (2025青岛模拟) 已知 与 开口方向相同，则 的取值范围是______。 5. (2024郑州中考改编) 点 A(−2,8) 在抛物线 上，则 ______；点 A 关于 轴的对称点坐标是______。 6. (2025长沙模拟) 在 、、 中，开口最窄的是______。 7. (2024沈阳月考) 若抛物线 上一点的纵坐标为 12，横坐标为 2，则 ______。 8. (2025厦门模拟) 函数 在区间 (−∞,0] 上的最大值是______，最小值______。（填具体数或「不存在」） 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024济南中考改编) 如图是二次函数 的图象。 (1) 写出顶点坐标与对称轴； (2) 说明当 与 时， 随 的变化情况； (3) 求当 时，函数的最大值与最小值。 2. （本小题满分 10 分）(2025杭州模拟) 已知二次函数 （）的图象经过点 C(1,−3)。 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 判断点 D(−2,−12) 是否在该函数图象上，并说明理由； (3) 求当 时对应的函数值。 3. （本小题满分 10 分）(2024南京中考改编) 如图，抛物线开口向下，顶点在原点，且经过点 M(2,−8)、N(−2,−8)。 (1) 求该抛物线的解析式； (2) 写出图象与 轴的交点坐标； (3) 若点 P(t,−18) 在抛物线上，求 的值。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 如图，一座抛物线拱桥的拱顶为原点 O，拱的形状近似满足 。拱脚 A、B 的坐标分别为 A(−4,−4)、B(4,−4)（单位：米）。 (1) 求 的值，并写出拱的函数解析式； (2) 求拱脚 A、B 之间的水平距离； (3) 一辆货车顶部距地面参考线 的高度为 3 米，若货车从桥下中线（）通过，顶部坐标可视为 (0,−1)，判断货车能否安全通过，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $