专题15 三角恒等变换（竞赛培优专项训练,8大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

专题15 三角恒等变换 目 录 A组 题型专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 知角求值 题型05 和差化积、积化和差的应用 题型02 知值求值 题型06 判断三角形的形状 题型03 知值求角 题型07 化简三角关系式 题型04 辅助角公式的应用 题型08 证明三角恒等式 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题16道） 【熟记重要结论（二级结论）】 1.两角和与差的公式的常用变形 ⑴sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. ⑵cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ⑶tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； ⑷tan αtan β＝1－＝－1. 2.辅助角公式的常见形式 ⑴sin x±cos x＝sin； ⑵sin x±cos x＝2sin； ⑶sin x±cos x＝2sin. 3．降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 4．升幂公式: 5．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 6．配方变换公式： 7．因式分解变换公式： 8．正弦平方差公式 9．正切恒等式 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； 10．四组正切半角三叉戟公式 (1)第一公式（正余弦直比型）： (2)第二公式（正余弦合比型）： (3)第三公式（求根公式型）： (4)第四公式： 。 11．三倍角公式 12.万能公式：. 题型01 知角求值 1．的值是（   ） A． B． C． D． 2．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 3．=（    ） A．16 B．32 C． D． 4．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（    ） A． B． C． D． 题型02 知值求值 6．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（     ） A． B． C．或 D． 11．若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，，则（ ） A． B． C． D． 14.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 知值求角 15．（1）已知，且，则_________； （2）在（1）的条件下，若，且，则_________． 16．若，且，则________． 17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 18．已知，，，，则______． 19．已知 ， 均为锐角，且 ， ． (1)求 和的值； (2)求 的值; (3)求 的值. 20．（1）求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求的值． 21．已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 题型04 辅助角公式的应用 22．已知，则（   ） A． B． C． D． 23．已知，则（    ） A． B． C． D． 24．已知 ，则 ______． 题型05 和差化积、积化和差的应用 25． （    ） A． B． C． D． 26．已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 27． 的值为（    ） A．1 B． C． D．2 28．在中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，，若有两个零点，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，则________． 题型06 判断三角形的形状 31．在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 32．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 33．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 . 34．在中，若，则的形状 ． 35．在中，若，则是 三角形； 题型07 化简三角关系式 36．在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 37．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 38．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 39．（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 40．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 题型08 证明三角恒等式 41．在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ． (1)求证：； (2)求的最小值． 42．已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 43．已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 1．（2026·安徽示范高中培优联盟冬季联赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 2．（2024·山东滨州竞赛）2023·年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（    ） A． B．76cm C．94cm D． 3．（2024·“同济大学杯”数理化联赛） ． 4．（2026·全国奥赛江苏选拨赛）已知为实数，函数，．若为奇函数，则的值为________． 5．（2026·全国数学联赛上海预赛）在圆内接六边形中，，则圆的半径为_________． 6．（2026·北京大学强基计划）在中，已知，则的取值范围为________． 7. （2026·全国高中联赛甘肃预赛），则_________． 8．（2026·全国数学联赛山东初赛）函数的值域为______________. 9．（2026·全国数学联赛吉林预赛）关于的方程组共有______组解． 10．（2026·全国奥赛新疆赛选拨赛）__________. 11．（2026·全国数学联赛江西预赛）若，则________. 12．（2026·全国数学联赛重庆预赛）已知的内角，，满足，求的值． 13．（2026·全国高中数学竞赛吉林预赛）设为实数，如果不等式对任意恒成立，求证：． 14．（2025·北京大学强基计划）已知，求最大值. 15．(2025·山东大学强基计划)已知，，，求的值. 16．（2025·北京大学强基计划）若是的两解，且，求. 4 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15三角恒等变换 目录 A组题型专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01知角求值 题型05和差化积、积化和差的应用 题型02知值求值 题型06判断三角形的形状 题型03知值求角 题型07化简三角关系式 题型04辅助角公式的应用 题型08证明三角恒等式 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛、强基试题16道) 【熟记重要结论（二级结论）】 1.两角和与差的公式的常用变形 (1)sin asin B++cos(a+B)=cos acos B. (2)cos asin B+sin(a-B)=sin acos B. (3tanc吐tanB=tan(ctp)(1干tan atan): tana十tan B tana一tanβ (4)tan atan阝=1- tan(aB)tan(a-B)-1. 2.辅助角公式的常见形式 (D)sinc=/2sinx± 4: 2sin壮V3cosx=2sinx 3/A Tπ (3)3sin x+cos x=2sin -6 1+cos2a 3.降幂公式：cos2a= 2 9ima=1-cos2g 1-cos2a 1 tan'a=1+cos2 sin acos a=2sin 2a. ·升幂公式：1+cos2a=2cos2a;1-cos2a=2sin2a; 4 sina 1-cosa 5.半角正切公式的有理化：tan2=1+cos& sina 1/36 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .配方变换公式：1±sin2a=sin2a+cos2a±2 sina cosa=(sina±cosa)}. 7.因式分解变换公式： cos 2a =(cosa +sina)(cosa-sina) 8.正弦平方差公式 sin2 A-sin2 B=sin(A+B)sin(A-B) 9.正切恒等式 (I)当A+B+C=kπ(k∈Z)时，tanA+anB+tanC=tanA:tanB-tanC: A+B=kπ+ (2)当 4时，(1+tanA)1+tanB)=2: A+B=kπ- (3) 4时，l-tanA)l-tanB)=2: 10.四组正切半角三叉戟公式 sin a 2sincos tan 2 sina 1-cosa 2 cos 2 2-1+1 1+cosa sina 2co (1)第一公式（正余弦直比型）： 2 sina-cosa+1 sina+cosa-1 tan (2)第二公式（正余弦合比型)： 2 sina+cosa+1 sina-cosa-1 1 2 tan +1 (3)第三公式（求根公式型）： 2 tana tan a a 1+tan。 2 1+sina 1-tan cosa (4)第四公式： 2 11.三倍角公式 sin 30=3sin-4sin4sinsin()sin) 3 co0c03cc0c)co tan30=3tano-tan'0 -3anD2=tm0-amc管-0tm号-) 2/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 2tan 1-tan2 2tan 2 2 2 sina = coSa=- tana=- 1+tan2 2 1+tan2 2 1-tan2 12.万能公式： A组 考点专项过关练 题型01知角求值 1.sin40°(tanl0°-V⑤)的值是() A.1 B.-1 C. 1 D.4 【答案】B 【解折】S如40r(am10°-5)=s如40r(加10e-5-sn40r×m10r-5eos10 cos10° cosl0° =sin40°× 2sin(10°-60°)2sin40°sin(-50°）_-2sin40°cos40°_sin80°_cos10° -1 cos10° cos10° cos10° cos10° cos10° 2.三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时 355 期，祖冲之利用割圆术求出圆周率π约为13，这一数值与π的误差小于八亿分之一现已知π的近似值还 V16-π2-4sin44° 可表示为 sin52,则 V3-2W3sin222°的值为() A.-4V3 B.-4 C.4 D.4V3 【答案】C 【得行1由真，将4n5沙代入不 4sin52°V16-(4sin52)2-4sin44°4sin52°V(4cos52)2-4sin44° 可得 V3-2√3sin222° V3-2V3sim222° 16sin52°cos52°-4sin44°8sin104°-4sin44°8sin(60°+44)-4sin44° V3-2W3sin222° V3-2V5sin222° V3-2V3sin222° (4W3cos44°+4sin44）-4sin44° 4V3cos44° 4N50-2sim229）-4 V3-2W3sin222° V3-23sin222°-V31-2sin222) 3 1 3. 、cos280°c0s210°eos20°=(） 3/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.16 B.32 C.-16 D.-32 【答案】B 1 3 【解析】由 1 1 3）.1-cos210-3sin210.1 cos280c0s210e0s20°-(sin210c0s210cos20°=sin210cos210°cos20° =4×1-4sin210°1 。1-21-cos20) 2cos20°-1 =8 =16× sin220° c0s20 sin20°·sin40 cos20°-40)-cos(20°+40) =16×2c0s20°-1 2c0s20-1=32 =32 cos20°、1 2c0s20°-1 故选：B 4.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割， 余割和余切在某直角三角形中，一个锐角日的斜边与邻边的比，叫做8的正割，用sc8表示；其斜边与对 边的比，叫做B的余割，用csC8表示：其邻边与对边的比，叫做B的余切，用cot8表示，则 cot20√3cot70°-1 () secl0° A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】依题意可得sec10°=一1 cot20° 1 tan20°， cot70°= 1 cos10° tan70°， 1(3 cos20°V3cos70° ot20°（√3cot70°-1 所以 tan20tan70° sin20° sin70° secl0° 1 1 cos10° cos10° cos10°cos20°√3cos70°-sin70° sin20° sin70° cos10°cos20°V3sin20°-cos20° sin20° c0s20° cos10°V3sin20°-cos20° 2cos10° 5 in20°- 2 2c0s20 sin20° sin20° 2cos10°sin(20°-30）_-2cos10°sin10°=-sin20° =-1 sin20° sin20° sin20° 故选：B 1+tan190°2cos70° 5.1-tan370°sim40°-（) 4/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.tan20° B.tan70° C.-tan20° D.-tan70° 【答案】A 1+tan190°2cos70°1+tanl0°2sin20° _1+tanl0° 1 【解析】-tan370°-sin40°-1-tan10°2sin20°cos20°1-tan10°cos20° 1+tanl0°cos210°+sin210°1+tanl0°1+tan210° 1-tan10°cos210°-sin210°1-tanl0°1-tan210° (1+tanl0)21+tan210°2tanl0° 1-tan210°1-tan210°1-tan210° =tan20°. 故选：A 题型02知值求值 6.已知。B都哭袋角，ma-45.血a-小-片则o月-{) A 39 71 B.98 C.98 D.7 【答案】A 【解析】由c0sa=4V3 .m(a-川=片0 因为a'p都是锐角，所以-a-B<0,则sina=7cos(a-)=5治 14: FcosB=cos[a-(a-B)]=cosacos(a-B)+sinasin(a-B) 4355111_49_1 714147982 6 4 7 A.-25 24 7 B.-25 C.25 D.25 【答案】D 【解折】令0=a-名则a=0+名 6则a0- 所以2a+引-m0+}-20.os0 4 由二倍角余弦公式c0s20=2c0s20-1代入c0s0=5,得 5/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c0s20=2× 8,已知m(a+}sma-则om(2a+}() 2 A、 9 9 【答案】B 【折1白如a+骨引s子可得a+ 2 cosa-sina=2 即co ,即得cosa+）=2 Isina-2 63 9 9.已知im(a-)-=3,singeosp=-月 =2,则cos(2a+2p)=() 7 1 c.-9 1 A.9 B.9 【答案】B 【解析】因为io0=之：所以sn(a-月）=sin-=0血B=解得： cosasinB 1 所以sin(a+B)月=si+cosn=+'-_2 263 所om2a+20=1-2a+0=1-2x-号 10.己知a∈(0，)，sin2a+cos2a=cosa-1,则sin2a=() 3 A.-4 3 B.8 3 C.-4或0 D.0 【答案】C 【解析】因为sin2a+cos2a=cosa-l, 所以2 sin a cosa+2cos2a-1=cosa-1,即cosa(2sina+2cosa-l)=0, 当cosa=0时，由aE0,知，a=受，此时n2a=snx=0 6/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 当2sina+2cosa-1=0时，即sina+cosa=2两边平方可得1+2 sin= 4 即si咖2a=- 3 4综上，sin2a的值为0或4 sin(2a-2β) 1者如a+例+5as(a+)=4n&am,则sna-可() A.-5 7 C.5 0.25 7 【答案】B 【解折】因为sm(a+)+5ecos(a+)=4sn（名-amp, 所u2a如a+a+引-n后amA,回ma+t号}-2aa+写到mg, 两似mla+a)me}小-me到}m0orar}na-2ara}mg 所以a+肾B+,ke乙，即a-B=a-于ke乙，所以m(a-p创=-5 sin(2a-2B) 2sin(a-B)cos(a-B)2tan(a-B)-23 23 则2cos2(a-p)）-3sin2(a-可2cos2(a-B)-3sin2(a-月2-3tan2(a-月2-97· 以aueo0引n(a+j-am 1 tan6,则sin(2a-B)=（) 1 2 A.-5 B. C.5 D.-5 【答案】B cosa sina cosp 2cos2a cosB 【解析】由题意得sina cosa sinB，即 cos'a-sin'cosp sinacosa sinB，即 sin2asinβ' 得sin2 acosB=-2cos2 asinB,又因为sin(2a+B)月=sin2 acosB+-cos2 asinp= 5 所以sin2 acosB= 5cos2asinB=I 1 5 因此sin(2a-B)=sin2 acosB--cos2 asinB=} 5 故选：B 7136 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,已如x）〔-}则m2x+引() 5 7 12 A.24 B.24 c.7 D号 【答案】B 【解折1因为*任》所以引 π_4 又imx-6)厂5 4 .π）3 6 8 、24 别 -+-年 7 an2x-刀24. 6 故选：B 14.已知sina+cosB= 5cosa+sinB三5，则cosa sin的值为<) 11 13 A.-100 B 100 c D. 17 100 【答案】A 【解析】由题意，sina+cosB=3 3.cosa+sin B-4 则(m+列+casa+n-))-, 化简可得sina cos B+cosasin B=- 2, 所以sin(a+)= z如u+m时-(sa+如旷-（周）-(=3 snc+2sinacosBcsi 25 8/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -cos 2a+cos 28+2sin a cos B-2cosa sin B=- 7 25 7 -2sin(+)sin(B-a)+2sinacos-2cssin--5 所以sin(B-a)+2 sin a cosB-2 cosa sin B=- 7 25 所以sin cos,B-ossin=-7 25, 1 sin a cos B+cosa sin B=- 2 由 7，可得 sin a cos B-cosa sin B=- 11 25 cos a sin B=- 100 故选：A 题型03知值求角 ππ 15.(1)已知∈ 4’2, 且cos4a=3 则sin2a+cos2a= (23)在(a的条作下，若B[元-引，且ama-m 1 =3,则a+B= 【答案】 5 5 4 【解析】（山因为a≤ 2,所以元≤4a≤2元 又cos4a>0: 3狐<4a≤2π，故 所以 r<2a≤元. 1-cos4a 5 因为cos4a=1-2sin22a'所以sim2a-V2 5 2V5 则cos2a=-V1-sin22a=- ，故sin2a+cos2a=-5 51 2由已知条，有好sa-月经又ma->0:所u<a-B<经 2· 由ana-月}得in(e-例=-D,c 10,cos(a-)=-310 10,所以 mae:-opa-t化-刚=oRraN-:naia-}{}5千8 9/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 因为a[任引，Bx引所似-妥≤a+As0,所以a+A=景 且tana cosB 1+sinB,则2a+B= 【答案】2 Cos2B -sin2B 2 B 2 2 2 1-tanB -tan 【解析】因为 cosB sin 2= 2 =4 2 tana= cos 1+sinβ 2 2 cos +sin 2 2 4 2 因为a,B∈ 2 所以x+ }倍ma=任引-任】 因为正切函数y=anx在2，元 上单调塔，所以=x+任 得2a+B= 2 因欧2如+分：祭 17己知。AC的内角A,B.C所对的边分别为a么，Q,若C=am4,B= cos C 3,则A= 【答案】6 cosC cosC sin A 【解析】在AMBC中，由+sinC-anA,得+snC-cosA 整理得sinA=cos AcosC--sin Asin C=cos(A+C)=-cosB, 3,则sin1=1 而B ,又4是锐角，所以4=君 18已知0<经，景y<0,ox8 =6,tan(x-y）tany=4,则x-2y=— 2π2 【答案】35π 【解折】因为cosr=cos[(x-+习-名 展开得eos(x-列eagy-smx-列i-名0 10/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin(x-)siny=42 又由tan(x-y)tany=4,可得cos(x-y)cosy 由0@样得o-列小aogy=石s血(c-小水iy=号 又esk-2=o[c-小小=m(-小e+ng-列名子克 由0<x<分.子<y<0可得0<r-y< 4 又因o(k-小a呵君20，则0<-y子 0<-y<年可得0<x-2y<还 4 故x-2y=2红 31 10已知a,B均为极角，且ma,s血（口-）-0 10· (1)求tan(a-P)和sin2u的值； (2)求tan(2a-B)的值； (3)求2a-B的值. 【解折1a依题意可得a.P则a-p(】 又ma-=语0，a-)we-月-。 10 所以an(a-p)=sin(a-).1 cos(a-B)3' 又ana=},所以 sin2a =2sinacosa= 2sinacosa 2tana 1 4 sin'g+cos'a 1+tan'a 1+ 1-5. 2 4 1×1 2)an2a-B)=tan(a+a-ngan(-A?子1： 6 a引.o引则a-(受】 结合am(2u-)=1,所以2a-B-年 11/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(1)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值： (3)已知0<a<至0<B<子，且3sin月=sn(2a+m.4m受1-am受，求a+B的值。 【解折】（4)原式-0-as0+0+ca0+m70P-sn309 =1+2(cos100°-c0s40)+)sin70°- 4 3 4-sin70sin30°+2sin70° =3sin70°+2im70°=3 1 42 2 4 (2)方法一：≤< 3 2 524≤+ 44π oa=m2a+引-2ma+引m+引-2(}g0 m2a2a+}1-2wa+}1-2)3 422525 50 ∴.sina=sin a+）x 4厂4 4 4 410 同理可求cosa= V2 10, 故cos2a=2c0s2a-1=-24 7 5， sin2a =2cosasina 25 因此co 2a+-ems2aeos-如2an子-3h5 4 50· (3)3sinB=sin(2a+)」 ∴.3sin[(a+)-a]=sin[(a+P)+a]」 12/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..3sin(a+B)cosa-3cos(a+B)sina =sin(a+B)cosa +cos(a+B)sina. ∴sin(a+β)cosa=2cos(a+P)sina, ∴.tan(a+β)=2tana 2tan a 2 1 4tan =1-tan2a 又 tana 2 1-tan2a 2 2 1 ∴.tan(a+)=2tanc=2x。=l, 2 -0<a<晋0<B<经0<a+经a+B 4 21.已知函数f=2i =兰snar-孕o>0的最小正周期为4x (1)求0的值，及f()单调递增区间： 2是否布在能血。”g:传a+20=答，a+孕/R0+受-得 8同时成立？若存在，求出角。'B的 值；若不存在，请说明理由： 【解新】()由同数7八回-兰a做孕0>0的成小正周期为4得 2元=4，因此0=2： 1 ()=2 m吃-孕.直受+a分骨经2keZ,得-+版5x经+4eZ 2 所以了因的单调遥增区间为受+h经+4ate刀。 -cosβ， 2 依题意，fa+孕f20+受= 2 =8,则sin号cosB=5 4 3,得a=2 由a+2B=2 号”-2B,于是sin=sin-coB=5 4 cos B-sin p)cosB3 2 4、整里得2一 cosB-sin Bcos= 即5.1+co2L-m28=5, 224 =4,则V5cos2B-sin2B=0:即tan2B=V3: 由B为脱角，得0<20<x:解得28-子即B-名，a-子 -3 13/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3B 所以存在锐角a,B满足题意，Q= 6 题型04辅助角公式的应用 22. 已知n9+s0+写}1，则sn0-】 6() A. B.3 C.- 3 D.-5 【答案】C 3 ing+v 【解】折因为sn0+sm0+写)=sin0+sn0co爱+eo子-n 2cos0=1, 32 故选：C 2 2 A 83 c D. 2 3 3 【答案】A cosa-sina 2 ,π1 =cosa+6)厂3， tana 1 24.己知tana+6 【答案】6 tana 1 【解析】由tana+刀 2有意义知 6 cosa≠0'cos+2 0:ma+0 6/ 14/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sinacos a+ 6 所以 2, cosasin a+- 6 所以2 in+-m+引 又2 sinacos )-nnain cosasin -引le-e+]e-o引-[a+m引a+动 即m2a+引-所以m2+周- 题型05和差化积、积化和差的应用 25. c0s35(2c0s25°-c0s35）=(） c0s20° A. 1 5 D.- 2 B.2 c.-2 2 【答案】B cos35°(cos25°+cos25°-cos35）cos35°(cos25°+2sin30°sin5°) 【解析】原式 c0s20° C0s20° c0s35(cos25°+sin59）_cos35(c0s25°+c0s85）_c0s35°.2cos55°c0s30°-V5c0s35c0s55° c0s20° cos20° c0s20° cos20° V3cos35°sin35°-V3sin70°_V3 c0s20° 2c0s20°2· 26.已知锐角0满足sin0+sin20+sin30=cos0+cos20+cos30,则tan0=() 3 A.1 B.3 C.N2+1 D.2-1 【答案】D 【解析】因sin8+sin30=sin(20-0)+sin(29+0)=2sin20cos0, cos0+cos30=cos(20-0)+cos(20+0)=2cos20cos0 sin 0+sin20+sin30=cos+cos20+cos30 15/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得到sin20(2c0s0+1)=cos20(2cos0+1),又结合0为锐角， 可得sin20=s20→am20=1r从而20-年→0-及 4 8 得到tan 2tanπ d8=1→tan2π+2tanx-1=0, 41-tan2π 8 8 8 结合tang>0,可得tang 元-2+2W2=2-1. 8 “82 27 cos40°+cos20°)2 的值为() 1+sin70 A.1 D.2 【答案】C 【解析】运用和差化积公式进行化简，得 200s40+20c0s40-20 )2 (c0s40+c0s20)2 2 2 1+sin70 1+sin70 40°+20° 40°-20° 2 2cos cos 2 2 3c0s210°3. 1+cos20" 2c0s210°2 cos B 1+sin B 28.在A4BC中， cosA1+sinA,则2sinA+2cosB+sinC的取值范围为() A. B.（2,22+1] c.（,22+] 【答案】B cos B 1+sin B 【解折】由。osAi+sinA:得cosB(1+sin4)=cosA(+sinB) cos B-cos A=cos Asin B-sin Acos B,cos B-cos A=sin(B-A). 、又cosB-cosA=2sin22 sin 4-B 2,sin(B-)-2sin Bcos B- 2 2 所以2sm44Bsm4,B=2simB,4cos8,4.-2sn4Bcos4B 2 2 2 2 2 2 则2sin4牛Bm4,B+2sim4,Beos4B-2s5n4Bsi -cos- 2 2 2 °2 22 16/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在aBC中，ABe@,动A+Be(@:则A-BE(红对，所以血4生B+s4, 2 20， 所以m4,0,故4仁B 2 所以C=T-A-B=-2M且4e0引 2sin A+2cos B+sin C=2sin A+2cos A+sin(-24)=2sin 4+2cos A+sin 24=2(sin A+cos A)+sin 24. 令=nA+es4=2s(4+星》.则r=-如4s4=1+如2：所以n2A=f- 又4引则4+翠)所u-可 2sin 4+2cos B+sin C=2(sin 4+cos )+sin 24=2t+2-1=2+2-1. 令y=P+21-1=(+1)2-2,则该函数在1，V2]上单调递增， 当t→1时，y→12+2×1-1=2； 当1=V2时，y=(V2+2xV2-1=22+1: 所以ye(2,25+刊，即2sinA+2cosB+sinC∈(2,22+1] 29.已知函数f(x)=cos2x+cos3x,x∈(0，π)，若f(x)有两个零点×，x(:<x),则() Ay-2π 5 B.2x=X2 C.cos cos2 1 D.cO+C0S2 【答案】D 【分析】对于AB,由∫(x)=0结合余弦函数的性质求出×，，进行分析判断，对于C,通过分析Cosx和 cosX的正负进行判断，对于D,结合三角函数恒等变换公式直接计算coS,+Cosx,进行判断。 【解析】令f()=0,得cos2x=-cos3x,故cos2x=cos(π-3x)或cos2r=cos(π+3x), 所以2x=π-3x+2k元，k∈Z或2x=π+3x+2kπ，k∈Z, 解得0-号+2。长eZ或@x-2张与五 因x60,小由0可得：当片=0或时，可得=行，考 Γ5 由②，因x∈(0，π)，方程无解 17/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可知，A、B错误； 因为6os胥>0，cos7<0,所以c0se0s3=c0sc0s7<0,故C错误 5 5 5 5 n元。oscos2r2si 2元 RosK+0os5Eo买+eoSr2co马cos2红15co5os5 2r sin 4π sin5cos5_n5- 5 5 5 5 2sin 2sinπ 2sinπ2，故D正 5 5 5 确。 故选：D 30.己知a=7,则c0sa-cos2a+c0s3a= 【答案】20.5 【解折】c0sa-c0s2a+cos3a=cos7-c0s20+cos37-c0s+cos3n+cos5元 -c0s- -+COS- +COS- 7 7 7 7 7 sin2π-sin0 2π 4π sin 7 7 4-sin 7 +sin sin 2si07 2 题型06判断三角形的形状 31.在A4BC中，sinBsinC=cos2 ,则△4BC的形状是() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 【答案】B [解t析】由sinBsinC=cos号，得2 2sinBsinC=2cos2号1+cos4=1-cos(B+C☑》 2sinBsinC=1-(cosBcosC-sinBsinC),cosBcosC+sinBsinC=1,cos(B-C)=1, ~0<B<π，0<C<π，-π<B-C<π，∴B-C=0,即B=C, 所以△ABC的形状是等腰三角形 32.在△ABC中，内角A、B满足tanAtanB=3,则△ABC为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】A 【解析】在△ABC中，内角A、B满足tanAtanB=3, 由于△ABC中至少有两个锐角，则A、B中至少有一个锐角， 18/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设A为锐角，则tanA>0,从而tanB>0,故B为锐角， tanC=tan[z-(4+B)]=-tan(4+B)=- tan A+tan B tan A+tan B >0. 1-tan Atan B 2 故角C为锐角，从而可知△ABC为锐角三角形， 故选：A 33.在△4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin(B+A)-sin2A=sin(4-B),则△ABC的形状 是一 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】由sin(B+A)-sin2A=sin(A-B)得sin(B+A)+sin(B-A)=2 sin AcosA, sin Acos B+cos Asin B+sin B cos A-cos Bsin A=2sin Acos A. 所以sin Bcos A=sin AcosA,所以cosA(sinA-sinB)=0, 所以cosA=0或sinA=sinB, 因为0<4R'0<B<所以4-受或4=B 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形 34.在△ABC中，若sinC+sin(B-A)=sin2A,则△ABC的形状 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】因为sinC=sin[π-(A+B)】=sin(4+B), 由sinC+sin(B-A)=sin2A可得sin(A+B)+sin(B-A)=sin2A, sin Acos B+cos Asin B+sin B cos A-cos Bsin A=2sin Acos A. 所以sin B cos A=sin AcosA, 所以cosA(sinA-sinB)=0, 所以cosA=0或sinA=sinB, 因为0<A<π，0<B<π， 所以4=2或A=B 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形. 35.在A4BC中，若sin4sinB=cos 2,则△ABC是 三角形： 【答案】等腰 19/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解折】由m15in8=cos号，得os(4-8)-os(A+)=+casC 1 2 1 11 所以，2os(4-B)+2osC=2+2sC,即cos(4-B)=1 22 由于A,B为三角形内角，故-π<A-B<π， 所以A-B=0,即A=B, 则△ABC是等腰三角形， 题型07化简三角关系式 36.在△ABC中，下列等式错误的是() A.sin'B-sin24=(sinB+sinA)(sinB-sinA) B sin2B-sin24=sin(B+A)sin(B-4) C.tanA+tanB+tanC=tan AtanBtanC A B+C D.sin=sin 2 2 【答案】D 【解析】对于选项A:由平方差公式可知sin2B-sin'A=(sinB+-sin)(sinB-sinM),故A正确： 对于选项B:sin2B-sin'A=1-cos2B_1-c0s2A 2 2 _cos24-cos2B_cos(4+B)+(4-B)]-cos[(4+B)-(4-B)] 2 =-sin(A+B)sin(A-B)=sin(B+A)sin(B-A),故B正确： 对于选项C:因为an(4+B)=anA+amg=-tamC. 1-tanAtanB tan4+tanB=-tanC'+tan AtanBtanC. 所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故C正确； A+B+C=元 ,AπB+C 对于选项D:因为2+2=2，则222 所以s气 n(I_B+C)=co0sB+C (22 2，故D错误： 故选：D. 20/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4C+8C 37.在 1BC中，C=2(A+B) 2cos2A =tan B, 则 2cos +sin 24 24B -=() B.2 3 D.1 【答案】A 【解析】由C=2(A+B)可得C=2(π-C)→C=2 ,4+B= 3 c0g2 由tanB- 2cos2A 2cos2A cosA 2-sin24 2cos A+sin 2A 2cos A+2sin AcosA 1+sin A 2 2 2 cos A -sin cos4+sin A A A 2 cos 2-sin 2 1-tan2 tan 4-tan 2 A A A A cos+sin cos-+sin- 1+tan A1 tantan A“、 (42 2 2 2 2 2 4 2 可得tanB=tan πA 42 由于4+8-可480引 所以可得B=交、4 42 联立可得：A=B= 6 A D B 在等腰三角形ABC中，作高为CD,则AB=2AD, 设HB=4C=m则4B=2D=2m×9-V5m, 2 AC+BC 2m2 1 则 24B 2×3m3 故选：A 38.己知函数f(x)=cosx-2 sino-sin‘x,则() Af=f+到 B.f()- cf)=-年 D.f)f经) 【答案】C 【解析】函数f(x)=cos4x-2 sinxcosx-sinx 21/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cosx-sin'x-sin2x=cos2x-sin2x=v2cos 2x+ +引-m2+引引m2x+9}-m2x+牙引-fe,A港医误 f任im2+引}a(2x+-io2r+星到-i2x-不于fB 选项错误； f任-小iaw+引}-m2r+}-a2x-装)m2r+引r.c远 项正确： -5ar2子引c程）-x9-1不是最大值，所以s 不成立，D选项错 误： 故选：C 39.（多选)在。MBC中，AB,C成等差数列若cs4+sC=V6+ 4 ,则下列结论正确的是() A.cos(4+C)=- B.cos(4-B)6+ 4 C.cos(B-C)-6- D.cos(A-C)= 4 2 【答案】ABD 【解析】由A,B,C成等差数列，得A+C=2B 国为4+B+C=x所以B-子则4+C=子。所以04+0=，A正跨 又C--4,由s4+sC=62 4 4 所以cos(A-B)=V6+ 4 2,B正确 owB-0=m0-g4小4-到2.c买 22/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-0-4-}-2m4-1-264-19DE 故选：ABD 40.为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如 图所示，AD=2n,点E是AD中点，F,G分别是线段AB和线段DC上的动点(DC足够长)， ∠FEG=60° B D G (1)当DG=√3n时，求△AEF的面积： (2)求△EFG面积的最小值 【解1a由G-,0E-0=元，收mneG8G-5,ZnEG-6 又∠FEG=60°，故∠AEF=60°，AF=AE tan∠AEF=V3n, 所以5a号464=5 2 (2)设∠GED=a,由题意30<a<90°，则DG=ntand,∠AEF=120°-a,AF=ntan(120-a), S.w-E:AF-(20-@).S..co-iDEDG-nta S(F+DG)AD-(20-a)+na]2m -n2tan(120'-a)+tana, 所以Sao=Sx5es-5ug-Sam-r[anl20-aj+iana sin(20-a)os+cs-a)sina 2n2sin120 2 cosa cos(120°-a) 2cosa(-cosa+3 sina √3n2 √3n2 √3sin2a-cos2a-12sin(2a-30）-1 30<a<90°，30<2a-30°<150， ∴3<sm(2a-30）31,0<2sin2a-30）-1s1. 23/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √3n2 2sin(2a-30）-1 5,当 时取等号， =60° .△EFG的面积的最小值V3n2. 题型08证明三角恒等式 41.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA+tanB+tanC=V3 tan Atan B. 求证：C=π」 3: (2)求tan Atan B的最小值. 【解析】()i证明：由A+B+C=元，所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC, tan 4+tan B=-tan C 展开得1-tan Atan B tan 4+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 代入条件tanA+tanB+tanC=V3 tan Atan B得 3 tan Atan B=tan Atan B tan C, 锐角三角形中m4amB>0,故amC=5:C-骨 (2)(1)tanC=3,tan 4+tan B+tanC=3tan Atan B 所以，tanA+tanB+3=√3 tan Atan B，,tanA+tanB-V3(tan Atan B-l） 基本不等式tanA+tanB≥2 tan Atan B,V3((tan Atan B-l)≥2 tan Atan B, 令t=tan 4tan B>0,则V3(t-l)≥2t即V32-2t-V3≥0 (-5)N3+≥0（注意：因为1>0，所以3+1>0，故t≥5）： 枚am4mB≥3：当且仅当4=B=号（等边三角形）时取等号。 故tan Atan B的最小值为3 42.已知△ABC为斜三角形. (1)i证明：tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C: (2)若△ABC为锐角三角形，sinC=2 sin Asin B,求tanA+tanB+anC的最小值. 【解析】(1)证明：A+B=l80-C,所以tan(A+B)=-tanC. 24/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为c290所职n4n8所以m(A+B)1知分 tan A+tan B 由1-tan Atan B =-amC,，可得anA+anB+amC=ta tan BaC (2)解：因为sinC=sin(A+B)=sin4cosB+cosAsinB 所以sin Acos B+cos Asin B=2 sin Asin B,可得tanA+tanB=2 tan Atan B. 由(I)得tanA+tanB+tanC=tan Atan B tan C =tan Atan B.tan 4+tan B_2(tan Atan B) tan Atan B-1 tan Atan B-1 tan 4+tan B 因为△ABC为锐角三角形，由1--tan Atan B =-tanC<0可知tan Atan B-l>0' 设 当且仅当f=1时取等号，再由(1)可得anC= tan 4+tan B_2tan Atan B=2x2=4 tan Atan B-1 tan Atan B-1 2-1 tan 4+tan B=4 tanA=2-√2 tan 4=2+2 此时 解得 tan Atan B=2 tanB=2+V2或 anB=2-V2时， tanA=2-√2 tanA=2+√2 即当 tanB=2+V2或tanB=2-V2时，等号成立， tan C=4 tan C=4 故tanA+tanB+tanC的最小值为8. 43.己知斜三角形ABC (I)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°， an20°+tan40°+tanl20° ② tan20°tan40° (2)若C=135°，求tanA+tanB的最小值 【解析】(1)C=π-(A+B). ∴tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B). tan C=- tan A+tan B 1-tan Atan B' .tan C(1-tan Atan B)=-(tan A+tan B) 25/36 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan A+tan B+tan C=tan Atan B tan C: ①tan20°+tan40°+√3tan20°tan40° =tan20°+tan40°+tanl20°+√3tan20°tan40°+√5 =tan20°tan40°tanl20°+√3tan20°tan40°+√5 =-√3tan20°tan40°+√3tan20°tan40°+V5=V3; n20°+tan40°+tam120°_tan20°an40°tan120°-tan120°=-5， ② tan20°tan40 tan20°tan40° (2)C=135°，则0°<A<45°，0°<B<45°，且A+B=45°， 所以tanA>0,tanB>0, tanA+ianB=-tanl35°+-tan Atan Btanl35°=1-tan Atan B≥l-tanA+tanB 4 ∴.(tanA+tanB)'+4(tanA+tanB)-4≥0 解得tanA+tanB≥2V2-2或tanA+tanB≤-2V2-2(舍去)， 所以tanA+tanB≥2√2-2，当且仅当tanA=tanB=V2-l时取等号 ∴tanA+tanB的最小值为2W2-2. B组 选拔真题冲奖练 1.(2026:安徽示范高中培优联盟冬季联赛)己知a,B是3cosx+sinx=m的两个解，且a-B≠2km(k∈Z), 则tan(a+B)=() 1 3 A.-3 B.3 C. 4 D.3 【答案】C 【解析】因为，P是3cosx+sinx=m的两个解， 3cosa+sina=m 所以： 3cos B+sin B=m' 两式相等移项得：3(cosa-cosp)=sinB-sina. 因为osa-cosB=-2sin《+Pin&-2 2 2, a月-a=2aes“生sm8a-2osa4A,na-6 2 2 2 所以代入等式得： 32nm）-2am“. 2 2 2 26/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为a≠B+2kr,所以sina, ≠0 2 所以3sn牛A=os“+B→ma+P_) =COS- 2 2 2 3 2.1 2 =a+B,可得an(a+月)= 3 3-3 令 84 2 2.(2024山东滨州竞赛)2023·年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力 和幸福的象征，寓意福寿安康故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画一一《梧桐 双兔图》，该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小南身高160cm (头顶距眼睛的距离为10c),为使观赏视角8最大，小南离墙距离S应为( 176cm B 67 194cm D 77n777n77n六777n月7 A.40v2cm B.76cm C.94cm D.44/5cm 【答案】D 【解析】由题意可得8为锐角，故要使8最大，只需tan8最大， 设小南眼睛所在的位置点为点D,过点D做直线AB的垂线，垂足为C,如图， 则依题意可得BC=194-(160-10)=44(cm),CD=S(cm),S>0, 设∠ADC=a,∠BDC=B:则0=a-,且tma=48+BC-176+4_20 CD SS tan B=BC_44 CDS· 22044 ttano-tan(a-B)=tana-tanp=s51768 176 1+tan c tan B1+2204S+9680S+9680 SS S 27/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 176 25 5, 当且仅当5=9680即 时等号成立， S S =44V5 故使观赏视角0最大，小南离墙距离S应为44v5cm 故选：D B D 1-2sin25 3. (2024“同济大学杯”数理化联赛) 2sin10 -2cos10°= 3 【答案】 1-2sin25 【解析】 ,-2cos10 2sin10 cos10 -2c0s10 2sin10' cos10°-4sin10°cos10 2sin10' cos10°-2sin20 2sin10 cos(30°-20)-2sin20 2sin10 -cos30'cos20+sin30sin20-2sin 20 2sin10 、2 c0s20° 2sin 20 2sin10 5 2c0s20°、 sin 20 2 2sin10 √3sin(30°-20）_5 2sin10 28/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.（2026全国奥赛江苏选拨赛)已知a,6为实数，函数倒=asin4xsn22x+6,86)-=/x 若g()为奇函数，则方的值为 3 【答案】3 【解折】今u=x子由n2-s子得 g间-am骨m2r争6 -oai(x)个}b-月 4 4 3a 1 因为g(女)为奇函数，故余弦项和常数项的系数均为零：28 0,b-1=0 4 1 因而a= b 3 5.(2026全国数学联赛上海预赛)在圆内接六边形ABCDEF中， |ABHCDHEF=4,BCHDEHFAH7,则圆的半径为 【答案】V31 【解析】因为ABHCDHEF上4，|BCHDEHFA非7，相等弦对应圆心角相等， 设AB,CD,EF对应的圆心角为2a,BC,DE,FA对应的圆心角为2P, 可得3(2a+2)=2π. 得a+B= 3· 设圆内接六边形ABCDEF的外接圆的半径为R, 则AB=2 Rsina=4,可得Rsin a=2, 29/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=2 Rsin B=7,可得Rsin=7 由sin(a+A=sin?-5 32 展开得sin+onB= 2 两边乘以R代入得2cosB+7osa= 7 R R 整理得4cosB+7cosa=V3R, 对上式两边平方，可得16cos2B+49cos2a+56 cos Bcosa=3R2, π1 由os(a+B)=cos3-2 cos a cos B-sin a sin B. 16-16sin2 B+49-49sin?a+56(+sin Bsina)=16-R2+49-196 22—+28+392=3R2 R2 化为3R2=93,解得R=V31,因此外接圆半径为V31 6. （2026:北京大学强基计划)在。4BC中，已知。 n4+3cos-tan osA-3sinA "12,则sin2B+2cosC的取值范国为- 【答案】（一2， 【解析】由题目可得 64t5-m(4引m各 cos A-3sin A 1-3 tan A 因0<4<π则得A+=7。 312,解得A=元 4 则m2B+2ac=s2-c小2sc=sm(-2c+2C =-cos 2C+2cos C=-2cos2 C+2cosC+1, mcg(号上为0=3r1-j+号 故f0=日=20+22+1-2 (}2(2(号}15,0-2+21=1 30/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故sn2B+2osc的范国为(2， 7.(2026-全国高中联赛甘肃预赛)A=4c0s55°cos250eos10°+sim40° sin80° ,则(4-)°= 【答案】243 【解折】A=4c0s55c0s25cos10°+sin40°_2(cos80°+c0s30°)0s10°+c0s50 sin80 cos10o 2cos80°c0sl0°+2c0s30°cosl0°+c0s50°c0s90°+c0s70°+c0s40°+c0s20°+c0s50° cosl0° cosl0° -=c0s40°+c0s20°+c0s70°+c0s500 cosl0° 2c0s30°cos10°+2cos60cos10° cos10o 2cosl0°(cos30°+cos60°) cosl0° =2(cos30°+cos60°)=√5+1 ∴.(A-1)）°=35=243 8（26全国致学联春山东制赛)臣数=2a:eR的信城为 【答案】 11] 45’45 【解析】法一：设y=f(x),则V2026y+ycosx=sinx, 由辅助角公式得V2026y=sinx-ycosx=V1+y2sin(x+), 所以W2026y=V1+y2sin(x+)≤V1+y2 解得y∈ 11 45'45」 法二：函数f()= sinx-0 c0sx-(-V2026) 函数值等价于点(-√2026,0)到单位圆上一点连线的斜率， 如图所示： 31/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 设直线方程为：y=k(x+V2026), 即-y+√2026k=0, 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， √2026k 即d= 1 V1+k2 =1,解得k=± 45 [11 故ye45'45J 0-列+0-可- 9.(2026·全国数学联赛吉林预赛)关于 的方程组 4共有 组解. x,V 网+0-x刘0-列 【答案】4 【解折】令号血0写ow6.设云=s-=S如4=sB:y=如8,4R8e[0引 3 4 [sin(A+B)=sin0 代入原方程组并化简，则 cos(4-B)=cos0' 因此A+B=0或π-0，A-B=0或-0， Asπ A -0 2 2 所以「A=0或「A=0或 或 B=0B=0 B=-0B= 2 2 对应方程组的解分别为(cos28,,(（,cos20),(0,sin20),(sim20,0) 故原方程组共有四组解 2(2)(5).(3 10.(2026全国奥赛新疆赛选拨赛)sin220°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°= 3 【答案】4/0.75 【解析】根据二倍角的余弦公式，有sin220°=1-cos40° 2，c0s250°=1+c0s1000 2 根据和差化积公式，有 32/36 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin220°+cos250°_-1-cos40°+1+cos100°=1-cos40°-os100°-1-2sin70(仁sin3092）-1-1s sin70°， 2 根据积化和差公式，有2sn20Psn30Psin40=sn20°cos50°-sin70°+sn(-30]-sin70p-4。 因此sin220°+cos250°+2sin20°sin30°sin40°-1- 00+咖0-{3 441 (20m6全国数学联赛T西预赛)若0or[后-0-c名+0，则om20+引- 11. 【答案】3 【解折1因为m任小-5awr+0小-icm[(任-小n各 所以m后-小方后0 所以ow(任0小+sm(售0小m(目0小-， 所以eaw(任--子 从而m20+m-g-】小-m2g-0小1-2as(昏01-2x号号 12.(2026·全国数学联赛重庆预赛)已知△ABC的内角A,B,C满足sinA+cosB=cosA+sinB=cotC, 求cosC的值， 5-1 【答案】 2 【解析】由sinA+cosB=cosA+sinB,得sinA-sinB=cosA-cosB 化，2a生m”-2如48n48 2 2 2 所以 cossin 4sin4-B 2 2 2 由于0<A+B元 22 故括号内为正，因此s4二B 2 0 即A=B. 33/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于是A=B=π-C 2· 原条件变为sinA+cosA=cotC sinA+COsA=1+sin24=1+sinC, 所以V1+sinC= cosC sinC· 因为右边为正，所以cosC>0 设s=sinC. 1-s2 平方得1+3= 52. 即s2+83=1-52,s3+2s2-1=0」 分解：3+22-1=(s+10(s2+5-) 因为0<5<1.所以s2+3-1=0, 解得51 2 于是cos2C=1-sin2C. 又由s2+S=1,得1-s2=3. 因此cos2C=s= 5-1 2· 5-1 因为 osC>0' 所以cosC=2 13.(2026全国高中数学竞赛吉林预赛)设4，b,c,d为实数，如果不等式 acosx+-bsinx+ccos2x+sin2x≥-l对任意x∈R恒成立，求证：a2+b2+c2+d2≤3 【解析】因为acosx+-bsinx+-ccos2x+sin2x=Va+b2cos(x-a)+VC2+d2cos(2x-B), d 其中a,B满足ana=。 c,所以 acosx+bsinx ccos2x+dsin2x>-1 台Va2+bcos(x-a)+Vc2+dcos(2x-B)+1≥0，① 由条件知，对任意x∈R,不等式①恒成立， 在回巾用x+受特换x:得 -Va+bsin(x-a)-vc2+dcos(2x-B)+1≥0.② 34/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由①②两式相加，得Va2+b[cos(x-a)-sin(x-a)]+2≥0，即 2(+bx-a+}220 由条件知，这个不等式对任意xR恒成立，故可得V2(口+b)+220,所以a+2≤2· 在①中用x+兀替换x,得 -Va2+bcos(x-a)+Vc2+d2cos(2x-B)+1≥0.③ ①③两式相加，整理得Vc2+dcos(2x-β)+1≥0. 由条件知，这个不等式对任意xeR恒成立，故可得-Vc2+d严+1≥0，所以c2+d≤1. 由a2+b≤2，c2+d≤1，即可得到a2+b2+c2+d≤3. 14.(2025北京大学强基计划)已知2x2+y=1,求x+2y最大值 W2 【答案】2 【解析】己知2x+y-1,设x=2。 2 cos0,y=sine 则x+2y= o0:如0-号tn(o+p)32no+p. √2 1 其中tang=2 π 当0+p= 2eZ时，本+2y-39(0:9)收最大价 2 3v2 所以x+2y的最大值为2 15.(2025:山东大学强基计划0已知xy∈R,sir+siny= 2,cosr+cosy=6 ,求sim(x+y)的值 【答案】sin(x+)3 【解析】sinr+siny= 2 cos+co=6 平方求和(sinr+simy)+(cosr+cosy)'=2,化简得cos(x-y)=0, (mr+sy(eau4cagy）n2r+n2y+sn(+小5 35/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e+jt-明-5[--明+me+列=9 =sin(x+y)cos(x-y)+sin(+), 综上得sin(x+)=5 2 16. (2025:北京大学强基计划)若a,B是3cosx+2sinx=c的两解，且a-B≠km(k∈Z),求tan(a+B). 12 【答案】 【解析】因为3cosa+2sina=c,3cosB+2sinB=c,两式作差可得，3(cosa-cosB)+2(sina-sinB)=0, BllGsinat Bsin&-B+4cosaspsin-0.s cosB3sina =0 2 2 2 20 2 2 所以sin“,=0或2cosa+B-3sim“+里-0，即sim“,月=0或m“+B-名 2 2 2 2 2=3 当m“,=0时，a-=2m:meZ与题设a-B华a矛盾.合去： 2 2 2tan+2x3 当ama+E_2时，ama+)= 2 3_12 =- 1a2+B145 23 2 9 36/36