专题03不等式（竞赛培优专项训练，15大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 以18类竞赛核心题型为框架，构建“性质应用-解法突破-综合创新”三阶训练体系，融合数学文化与实际应用，培养逻辑推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点专项过关练|18题型（含多选/解答）|“1”的代换求最值、分类讨论解含参不等式、实根分布策略|从不等式性质（基础）→基本不等式（核心）→综合应用（与集合/逻辑/文化结合）递进| |选拔真题冲奖练|15道竞赛/强基题|高次不等式因式分解、绝对值不等式几何意义|聚焦竞赛高频考点，强化数学眼光与创新思维|

专题03不等式 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用不等式性质判断其他不等式的真假 题型10 解绝对值不等式（拓展） 题型02 利用不等式的性质求参 题型11 由不等式的解集求参 题型03 比较大小 题型12 解含参的不等式 题型04 对基本不等式的理解 题型13 一元二次方程的实根分布 题型05 利用基本不等式求最值（无条件） 题型14 一元二次不等式恒成立或有解问题 题型06 由条件等式及基本不等式求最值 题型15 二次函数的图象与性质 题型07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题 题型16 不等式与集合、常用逻辑用语的综合 题型08 证明不等式 题型17 与不等式有关的数学文化题 题型09 解一元二次不等式、分式不等式及高次不等式 题型18 不等式的实际应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 利用不等式性质判断其他不等式的真假 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二 利用不等式的性质求参 4．已知实数，满足且，则的最大值为______________. 5．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知实数，满足，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 考点三 比较大小 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．若且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点四 对基本不等式的理解 10．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 11．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 考点五 利用基本不等式求最值（无条件） 13．已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．当时，则的最小值是______. 15．已知，则的最小值为______. 考点六 由条件等式及基本不等式求最值 16．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 17．（多选）若满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 18．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 考点七 利用基本不等式解决恒成立或有解问题 19．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 21．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 考点八 证明不等式 22．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 23．已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 24．设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 考点九 解一元二次不等式、分式不等式及高次不等式 25．不等式的解集为 ． 26．已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 27．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点十 解绝对值不等式（拓展） 28．设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．不等式的解集为 30．不等式的解集是 ． 考点十一 由不等式的解集求参 31．已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 32．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的最大值是. 考点十二 解含参的不等式 34．已知函数，解关于的不等式． 35．已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 36．设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 考点十三 一元二次方程的实根分布 37．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 38．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 39．已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 考点十四 一元二次不等式恒成立或有解问题 40．使不等式的解集为的的值为（    ） A． B． C． D． 41．已知不等式：恒成立，则______. 42．若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 考点十五 二次函数的图象与性质 43．已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 44．已知函数． （1）若在区间上的最小值为，求的值； （2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围． 45．已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)解关于的不等式. 考点十六 不等式与集合、常用逻辑用语的综合 46．设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 47．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集. (1)求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 48．定义一种新的集合运算且.若集合，. (1)求集合M； (2)设不等式的解集为P，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 考点十七 与不等式有关的数学文化题 49．如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 50．高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 51．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJ Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式. (2)若对任意的实数b，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点M，N的横坐标是函数的不动点； ②M，N的中点C在函数的图象上，求b的最小值. （注：两个点，的中点C的坐标公式为） 考点十八 不等式的实际应用 52．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 53．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 54．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 一、单选题 1．（2025·山东青岛竞赛）设矩形ABCD（）的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P.则的面积取最大值时，AB的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·清华大学强基计划）已知，则的最大值为 ． 3．（2025·北京大学强基计划）已知正数满足，则最小值为 ． 4．（2024·清华大学强基计划）已知在上三个不等实根，则的可能取值为 . 5．（2026·北京强基计划）若，则的最大值为________． 6．（2026·北京强基计划）已知实数x，y满足，则的最大值是________． 7．（2026·全国竞赛）对任意正实数，函数的最大值为_________. 8．（2026·广东汕尾竞赛）已知，则的最大值为__________. 9．（2026·四川宜宾竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 10.（2026·北京强基计划）已知实数满足，则的最小值为________． 11．（2026·贵州竞赛）在中，若，则的最大值为_____. 三、解答题 12．（2025·北京大学强基计划）求的最大值. 13．（2026·全国竞赛）已知实数 满足 ，求的最大值和最小值， 并证明你的结论. 14．（2026·广东汕尾竞赛）若正数，，，满足，求的最小值. 15．（2026·广东竞赛）（1）证明：对任意满足的实数，开区间内分母最小的分数是唯一的（分母必须是正整数，整数视为分母为1的分数）； （2）设整数，实数满足，．证明：开区间内分母最小的分数的分母不超过． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03不等式 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 利用不等式性质判断其他不等式的真假 题型10 解绝对值不等式（拓展） 题型02 利用不等式的性质求参 题型11 由不等式的解集求参 题型03 比较大小 题型12 解含参的不等式 题型04 对基本不等式的理解 题型13 一元二次方程的实根分布 题型05 利用基本不等式求最值（无条件） 题型14 一元二次不等式恒成立或有解问题 题型06 由条件等式及基本不等式求最值 题型15 二次函数的图象与性质 题型07 利用基本不等式解决恒成立或有解问题 题型16 不等式与集合、常用逻辑用语的综合 题型08 证明不等式 题型17 与不等式有关的数学文化题 题型09 解一元二次不等式、分式不等式及高次不等式 题型18 不等式的实际应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 利用不等式性质判断其他不等式的真假 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先整理已知条件： 由 移项得 ，且因为 ，所以 ，可得 ，即同号，据此分析每个选项. 【详解】选项A：，因为 ，，所以 ，A正确； 选项B：取 ，满足 ，但 ，B错误； 选项C：取 ，满足 ，但 ，C错误； 选项D：取，满足条件，但 ，D错误. 2．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 3．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】本题考查不等式的性质，依次分析即可得到正确选项. 【详解】若取时，有但是，选项A不对； 由不等式的同向可加性知，若，则，选项B正确； 因为，所以，，所以有，选项C正确； 因为，所以，所以，选项D正确. 故选：BCD 考点二 利用不等式的性质求参 4．已知实数，满足且，则的最大值为______________. 【答案】4 【分析】根据不等式的性质即可求解范围，进而得到最大值. 【详解】由于，且，， 故，即， 因此的最大值为4. 故答案为：4 5．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 6．（多选）已知实数，满足，，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．，，使得 【答案】AB 【分析】通过线性组合法，将都用表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断ABC，先求得，，进而，即可判断D. 【详解】由题意，因为，， 所以，所以，即的取值范围是，A正确； ，因为，， 所以，所以，即的取值范围是，故B正确； 设， 则，解得，则， 因为， 所以，即，故C错误； 因为，，所以，， 所以， 故不存在，，使得，故D错误. 故选：AB 考点三 比较大小 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所 以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 8．若且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断 【详解】 ，故错误； ，故错误； 在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则 ，故正确； ，故错误． 故选：C 9．（多选）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，作差法得到；B选项，令，由单调性可得B正确；C选项，令，，由函数单调性可得，变形后得到C错误；D选项，由余弦函数和幂函数单调性可得. 【详解】A选项，， 因为，所以，，故，A正确； B选项，令， 显然在上单调递增， 又，所以，B正确； C选项，令，， 显然在上单调递增， 因为，所以， 即，则，C错误； D选项，设，，则在上单调递减， 因为，所以，且， 设，由于，故在上单调递增， 故，D正确. 故选：ABD 考点四 对基本不等式的理解 10．下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【答案】D 【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可． 【详解】∵可能为负数，如时，，∴A错误； ∵可能为负数，如时，，∴B错误； ∵，如时，，∴C错误； ∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确． 故选：D． 11．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 12．（多选）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 考点五 利用基本不等式求最值（无条件） 13．已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 14．当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 15．已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 考点六 由条件等式及基本不等式求最值 16．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 17．（多选）若满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】对A、B：由，利用基本不等式可得，故；对C、D：借助三角换元，令，，可得，再利用正弦函数的值域即可得解. 【详解】对A、B：， 则， 当且仅当，时，等号成立，故， 即的最小值是，最大值是，故A错误，B正确； 对C、D：， 可设，， 则 ， 由，故， 的最小值是，最大值是，故C、D正确. 18．（多选）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 考点七 利用基本不等式解决恒成立或有解问题 19．已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 20．已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】证明，由，即，，结合基本不等式求出，即可得出答案. 【详解】因为，则， 则，即， 又， 因为，所以，所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，即实数的最小值是2. 故选：C 21．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 考点八 证明不等式 22．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：正实数，，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立． 这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： (1)正数，满足，求的最小值； (2)已知，，均为正实数，且，求证：； (3)已知，，，均为正实数，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解； （2）根据“1”的变形技巧，可得，利用基本不等式证明即可； （3）根据“1”的变形技巧，可得，化简后由基本不等式证明即可. 【详解】（1）, 当且仅当即且时，即时等号成立. （2），当且仅当即且时，即时等号成立. 故可得. （3） ， 当且仅当且时，即时等号成立. 故可得. 23．已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 【分析】（1）由题意可得，结合不等式分析证明； （2）由等式可得，进而求最值. 【证明】（1）因为正数a，b，c满足， 若，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 24．设，，，都是正数. (1)求证：； (2)若，求证：. 备注：，. 【分析】（1）将原不等式化简后利用基本不等式即可得证； （2）先借助基本不等式证明，再利用立方差公式化简可得，再将代入后化简即可得证. 【详解】（1）证明：要证， 即证， 即证， 即证， 又因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即得证； （2）由，则，故，同理， 又 ， 当且仅当时，等号成立，又，，即不可取等， 故， 则，即， 又，， 则，， 即有， 则， 又，则、， 故， 即，则， 即有，即得证. 考点九 解一元二次不等式、分式不等式及高次不等式 25．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 26．已知集合，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 27．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对因式分解，最后分类讨论即可求解. 【详解】由， 所以， 所以或， 解得：或， 解得：或或. 故选：A. 考点十 解绝对值不等式（拓展） 28．设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，当时，关于的不等式恒成立，即 恒成立，即 恒成立，由此可得实数的取值范围． 【详解】由集合是关于的不等式的解集，且， 则当时，不等式恒成立， 即在上恒成立， ，即，， 在上恒成立， ，， 所以实数的取值范围是． 故选：B. 29．不等式的解集为 【答案】 【分析】利用中，去掉绝对值，再进行换元转化为一元二次不等式,解出不等式即可. 【详解】结合题意： 要使有意义，需满足，所以， 可化简为整理： 令则 所以解得： 又，所以两边同时平方得： 故解集为. 30．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用零点分段法求解含绝对值符号的不等式. 【详解】不等式化为： 或或， 解得或或，即， 所以原不等式的解集为. 考点十一 由不等式的解集求参 31．已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 32．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 33．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的最大值是. 【答案】BCD 【分析】根据解集判断函数图像开口方向，判断选项A的正误；根据韦达定理，求出参数之间的关系，对不等式进行配方，求出解集，判断选项B的正误；根据基本不等式，求出代数式的最小值，判断C的正误；根据题意求出参数值，根据函数对称轴和开口方向，判断参数范围，判断D的正误； 【详解】由的解集是，可知函数开口向下，即，所以A错误； 可知的两个根是和，由韦达定理得，解得， 则即，由得，解得， 即不等式的解集是，所以B正确； 因为，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 当时，， 则，函数图像开口向下，最大值为1， 由，解得或，当的值域是，的最大值是，所以正确； 故选：BCD. 考点十二 解含参的不等式 34．已知函数，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先对不等式进行化简变形，再分与讨论，进而对两根的大小进行讨论，最后合并求解． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 35．已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意及二次函数图象性质可知，方程的两根为1和2， 且函数的最小值不小于.故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 36．设函数 (1)当时，求在上的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 考点十三 一元二次方程的实根分布 37．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 38．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 39．已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． （若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．） (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件及一元二次方程根的关系即可求解； （2）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则，结合分类讨论即可求解； （3）根据已知条件及一元二次不等式的解法原则即可求解. 【详解】（1）方程等价于． 若选①，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. 若选②，原问题等价于,解得． 所以实数a的取值范围为. 若选③，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. （2）当时，等价于． ①当，即时，； ②当，即或时， 当时，； 当时，． ③，即时， 当时，或； 当时，或． 当时，． 综上，当时，； 当时，或； 当时，； 当时，或； 当时，； 当时，． （3）等价于． 因为解集中整数解恰有2023个，则． 因为，所以． 则2023个整数解为0，，，． 即． 即． 又，所以，解得． 又，所以． 所以实数的取值范围是 考点十四 一元二次不等式恒成立或有解问题 40．使不等式的解集为的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，通过对进行讨论，求出不等式的解集为时的范围，即可求解. 【详解】根据题意，当时，恒成立，因此满足题意； 当时，，即，因此不满足题意； 当时，由不等式的解集为，得，解得, 综上所述，不等式的解集为的的取值范围为. 故选：B. 41．已知不等式：恒成立，则______. 【答案】 【分析】由特殊值时不等式成立可得，消元后得出两个不等式恒成立，据此可得，即可得出. 【详解】设函数，，， 由题意可得，注意到，故必然有， 故，，. 而，故， 移项化简后，可得均恒成立， 由①可得，将代入②式发现仍恒成立， 则，故， 故答案为：. 42．若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 【答案】 【分析】先将全称命题“恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数化简，再根据参数与的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可. 【详解】因为命题“”为真， 则意味着对所有，恒成立； 当时，则表达式变为， 当时，，不满足恒成立，故； 当时，当时，，需对所有恒成立， 但是开口向上的二次函数，当时，， 无法满足恒小于等于0，故不成立； 当时，令，得（）， 将代入，得， 要使对所有恒成立， 需是的根（即两个因式在时同号或同时为0）， 因此，即，所以（负根舍去）， 验证：当时，，， 解方程，解得或（舍去） 而，故两因式的正零点重合于； 当时，，，故 ； 当时，，且，故 ； 当时，，且，故 ； 满足对所有，， 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 考点十五 二次函数的图象与性质 43．已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【详解】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 44．已知函数． （1）若在区间上的最小值为，求的值； （2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据二次函数单调性讨论即可解决． （2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决． 【详解】（1）若，即时，， 解得：， 若，即时，， 解得：（舍去）. （2）（ⅰ）若在上单调递增，则， 则， 即是方程的两个不同解，所以，即， 且当时，要有， 即，可得， 所以； （ⅱ）若在上单调递减，则， 则， 两式相减得：， 将代入（2）式，得， 即是方程的两个不同解， 所以，即， 且当时要有， 即，可得， 所以， （iii）若对称轴在上，则不单调，舍弃． 综上，. 45．已知函数， (1)当时，求函数在上的最大值与最小值； (2)若在上的最大值为4，求实数的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)9；0 (2)或 (3)时，解集为； 时，解集为； ，解集为或； 时，解集为； 时，解集为或． 【分析】（1）先求出函数解析式，再利用二次函数性质求最大值和最小值； （2）根据二次函数的性质，结合函数的最大值，讨论函数的对称轴的位置，从而求出； （3）先对不等式进行化简，分情况讨论求不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为； ，， 当时，取得最大值，最大值为9． （2），函数开口向上，对称轴为，在上的最大值为4， 当，即时，在上单调递增，最大值为， ，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，最大值为，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，最大值为， ，， 若，，解得，符合条件； 若，，解得，符合条件； 或． （3），， ，整理得，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，等价于， 若，不等式变为，解得； 若，，解得或； 若，，解得或． 时，解集为； 时，解集为； ，解集为或； 时，解集为； 时，解集为或． 考点十六 不等式与集合、常用逻辑用语的综合 46．设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以⫋. 所以. 即实数的取值范围是. 47．已知集合是不等式的解集，集合是不等式的解集，集合是不等式的解集. (1)求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【分析】（1）分别解分式不等式、含绝对值符号的不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解作答. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系，再分类求解作答. （3）分类解出一元二次不等式，再结合已知求解作答. 【详解】（1）解不等式得：，即，则， 解不等式得：，即， 所以. （2）由得：，不等式化为：， 当时，，由（1）知，解得，则， 当时，，满足，则， 当时，，由（1）知，解得，则， 综上得：， 所以实数的取值范围是. （3）当时，，而，由得，则； 当时，，满足，则； 当时，，由得，则， 所以实数的取值范围是或或. 48．定义一种新的集合运算且.若集合，. (1)求集合M； (2)设不等式的解集为P，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式先将集合表示出来，然后根据集合运算的定义即可求解. （2）对参数进行分类讨论先求出不等式的解集为P，再由题意可知，根据集合包含关系分类讨论即可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以结合集合运算的定义可知. （2）由题意二次函数开口向上，它与轴的交点的横坐标分别为， 现在分以下三种情形来求集合， 情形一：当时，有，此时一元二次不等式的解集为； 情形二：当时，有，此时一元二次不等式的解集为； 情形三：当时，有，此时一元二次不等式的解集为. 若是的充分条件，则， 又由（1）可知， 现在同样分三种情形来求实数a的取值范围， 情形一：当时，由，可知， 解不等式组得，所以此时满足题意的实数a的范围为； 情形二：当时，由，显然满足， 所以此时满足题意的实数a的范围为； 情形三：当时，由，可知， 解不等式组得，所以此时满足题意的实数a的范围为. 综上所述：满足题意的实数a的取值范围为. 考点十七 与不等式有关的数学文化题 49．如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 50．高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（   ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．若，恒成立，则实数a的取值范围为 D．若不等式的解集为，则 【答案】C 【分析】首先要明确取整函数的含义，对A转化为一元二次不等式有整数解的问题可得；对B则由条件得，然后再分别求x值，最后再求并集可得；对C先由条件得，再分别求不等式恒成立的a的值，最后再取交集可得；对D由条件得，再分别求m的范围，最后取交集可得. 【详解】令， 对于A：不等式变为，解得，但，所以n不存在，故原不等式解集为，所以A正确 对于B：由，即，所以满足的整数或或. 若，则；若，则；若，则. 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：因为，所以或或或. 而恒成立，即对恒成立，不等式变形为， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以要对恒成立，得，故C不正确； 对于D：因为不等式的解集为，即时满足，时不满足. 当时，，即；当时，，即； 当时，，即；当时，，即. 综上所述，得，故D正确. 故选：C 51．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJ Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在R上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式. (2)若对任意的实数b，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点M，N的横坐标是函数的不动点； ②M，N的中点C在函数的图象上，求b的最小值. （注：两个点，的中点C的坐标公式为） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设不动点为，由条件推得，解方程求出并验证得解. （2）利用不动点的定义求出的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理求出为的函数关系，再求出函数最小值即得. 【详解】（1）设函数的唯一不动点为，即，由， 得，即，于是，解得或， 当时，，由，得，解得或，有两个不动点，不符合题意； 当时，，由，得，解得，只有一个不动点，符合题意， 所以函数的解析式是. （2）由，得，由对任意的实数b，函数恒有两个不动点， 得对任意的实数b，恒成立，于是，解得， 设函数的两个不动点为，则，又 于是线段的中点，即， 由点C在函数的图象上，得， 整理得，当且仅当时取等号， 所以b的最小值为. 考点十八 不等式的实际应用 52．某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 53．为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 54．如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 一、单选题 1．（2025·山东青岛竞赛）设矩形ABCD（）的周长为24，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P.则的面积取最大值时，AB的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合即可求得，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如下图所示，      设，则，又，得到，即， 易知，得，，所以， 又，得到， 所以的面积：， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积的最大值为，且取得面积最大值时. 故选：D 二、填空题 2．（2025·清华大学强基计划）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质放缩即可求解可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 当时等号成立， 所以的最大值为. 3．（2025·北京大学强基计划）已知正数满足，则最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式的相关知识即可求解. 【详解】由题意， 等号成立当且仅当， 所以最小值为. 故答案为：. 4．（2024·清华大学强基计划）已知在上三个不等实根，则的可能取值为 . 【答案】（区间上的所有实数，答案不唯一） 【分析】通过赋值得到，然后根据三个根的范围求的范围. 【详解】设 则， 设，，，则， 所以，所以， 所以. 5．（2026·北京强基计划）若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 6．（2026·北京强基计划）已知实数x，y满足，则的最大值是________． 【答案】2 【分析】由重要不等式知，再由题意得，解出不等式即可求出答案． 【详解】解：由得， 又由重要不等式知（当且仅当时取等号）， ∴，化简得，得， ∴的最大值为2， 故答案为：2． 7．（2026·全国竞赛）对任意正实数，函数的最大值为_________. 【答案】 【详解】由均值不等式: 所以 ，时等号成立，故最大值为. 8．（2026·广东汕尾竞赛）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得出，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以.所以当时，取最大值. 9．（2026·四川宜宾竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 10.（2026·北京强基计划）已知实数满足，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】本题可以利用函数的对称性分析，y，三者符号的正负情况，然后再利用轮换对称式设其中两个数相等，将三个变量转化成一个变量，借助均值不等式求解即可。 【详解】因为,,只有七种情况；三正，三负，一正两负，两正一负，仅有一零，恰有两个零，三个都为零。若三正或者三负，则一定是正值：若两个零或者三个零显然不成立：所以只有一正两负，两正一负，恰有一零三种情况。下面分情况计算： 当一正两负时，设,即,代入可得,变形可得,观察可知，地位对称，又因为中的位置对称，因此根据多元函数求最值时，对称变量相等，因而可设,代入中可得,解.同样，因为 由基本不等式可知,当,解得,此时，即取等号。 当两正一负时，设，即，代入可得，变形可得,观察可知， 地位对称,解法同上述一正两负的情况. 当一零时，假设则有,. 综上可得的最小值为. 11．（2026·贵州竞赛）在中，若，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得的取值范围，即可求得的最大值. 【详解】在中，， 则， 通分化简可得， 由正弦和角公式可得， 所以， 由正弦定理代入可得，即， 又由余弦定理， 代入可得， 所以，当且仅当时取等号， 则，所以， 即，所以， 则的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 12．（2025·北京大学强基计划）求的最大值. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定目标式取最大值的条件，再分情况求出最大值并比较大小即可. 【详解】要取最大值，当且仅当， 当或时，； 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 当时， ，当且仅当时取等号， 而，所以的最大值为. 13．（2026·全国竞赛）已知实数 满足 ，求的最大值和最小值， 并证明你的结论. 【答案】(方法1) ， 由 ，得 ， 等号当 时成立， 因此， 最小值 ，当 即时取得， 又 ，所以， 最大值 1，当 即或时取得(此时另一者 ). (方法2)设 ，则 因为，所以， 结论: 最大值为 1，最小值为 . 【分析】先对进行变形，再结合不等式性质以及三角函数代换求解. 【详解】略 14．（2026·广东汕尾竞赛）若正数，，，满足，求的最小值. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由正数，，，满足，得正数，，，均小于， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，当且仅当，即时取等号； 同理，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为. 15．（2026·广东竞赛）（1）证明：对任意满足的实数，开区间内分母最小的分数是唯一的（分母必须是正整数，整数视为分母为1的分数）； （2）设整数，实数满足，．证明：开区间内分母最小的分数的分母不超过． 【答案】（1）易知内有分数，由最小数原理知存在分母最小的分数． 假设这样的分数不唯一，设，这里是正整数，是整数，且都是最简分数． 由知． 注意是连续个正整数， 其中必有的倍数，设（），则， 故，这说明内有以为分母的分数，与假设矛盾．因此假设不成立，原题结论得证． （2）注意到 且， （）， （）． 因此开区间内必然包含中的至少一个数， 所以开区间内分母最小的分数的分母不超过． 【分析】（1）利用反证法，推出矛盾，假设不成立，分母最小的分数只能有一个；（2）利用不等式的放缩法进行推导求证. 【详解】略. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $