专题01 集合（竞赛培优专项训练，15大题型+强基、竞赛真题）高一数学人教A版全国通用

**基本信息** 以集合概念为起点，通过14类题型构建从基础到竞赛的知识网络，突出数学抽象与逻辑推理的素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|12题|多选为主，聚焦集合定义与表示|从元素属性抽象到集合表示，培养数学眼光| |关系与运算|21题|含求参及推理题，覆盖子集、交并补|通过包含关系推导运算规则，强化数学思维| |综合应用|22题|实际问题与新定义题，结合竞赛真题|从方程综合到创新情境，提升数学语言表达能力|

专题01 集合 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 集合的概念 题型08 由集合相等求参 题型02 判断元素与集合的关系 题型09 集合的运算 题型03 由元素与集合的关系求参 题型10 由集合的运算确定集合 题型04 集合的表示方法 题型11 由集合的运算求参数的取值范围 题型05 集合间关系的判断 题型12 集合的实际应用 题型06 确定集合的子集或真子集 题型13 集合与方程的综合应用 题型07 由集合间包含关系求参 题型14 与集合有关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 集合的概念 1．(多选)下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 2.（多选）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 3.（多选）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 考点二 判断元素与集合的关系 4．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 5．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(多选)设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点三 由元素与集合的关系求参 7．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 8．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 9．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 考点四 集合的表示方法 10．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 11．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 12．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 考点五 集合间关系的判断 13．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 14．(多选)已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．(多选)已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 考点六 确定集合的子集或真子集 16．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 18．设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 考点七 由集合间包含关系求参 19．（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 20．已知集合，，若，则a的取值范围是______ 21．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 考点八 由集合相等求参 22．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 23．已知且，集合，．若，则______． 24．设a，，若集合，则______． 考点九 集合的运算 25．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2025·甘肃白银·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 27．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 考点十 由集合的运算确定集合 28．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 29．已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 30．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 考点十一 由集合的运算求参数的取值范围 31．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 32．已知关于的不等式：①的解集为A；②的解集为;③的解集为. (1)若，求; (2)若，求; (3)对，不等式③都不成立，求实数的取值范围. 33．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 考点十二 集合的实际应用 34．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 35．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 36．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 考点十三 集合与方程的综合问题 37.设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 38．已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 39．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 考点十四 与集合有关的新定义题 40．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 41．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 42．已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 一、单选题 1．（2025·山东青岛竞赛）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门大学强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国极光杯竞赛）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·全国数学竞赛甘肃预赛）设集合，则的元素个数为_____． 5．（2024·江苏南京大学·强基计划）存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有________个. 6．（2026·全国数学竞赛广东初赛）设，．则的元素个数为______． 7．（2026·全国数学联赛重庆预赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 8．（2026·广东汕尾高一下竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 9．（2026·全国高中数学联赛江西预赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 10．（2026·全国高中数学联赛山东初赛）在平面直角坐标系中，设为正整数，定义点集.点集都由经过任意有限次平移或以原点为中心的旋转所得到.若平面上的任意一点都属于，则的最小值为_______. 11．（2026·全国高中数学联赛湖北预赛）已知且，集合，．若，则______． 12．（2026·全国高中数学联赛吉林预赛）设，则集合中的元素个数为______． 13．（2024·全国数学联赛北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 . 三、解答题 14．（2024·全国数学联赛广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 15．（2024·全国数学联赛浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 集合的概念 题型08 由集合相等求参 题型02 判断元素与集合的关系 题型09 集合的运算 题型03 由元素与集合的关系求参 题型10 由集合的运算确定集合 题型04 集合的表示方法 题型11 由集合的运算求参数的取值范围 题型05 集合间关系的判断 题型12 集合的实际应用 题型06 确定集合的子集或真子集 题型13 集合与方程的综合应用 题型07 由集合间包含关系求参 题型14 与集合有关的新定义题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 集合的概念 1．(多选)下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 2.（多选）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 3.（多选）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故D正确，故选CD. 考点二 判断元素与集合的关系 4．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 5．已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 6．(多选)设，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】若，，设，则 ，故A错误，B正确； 若，，设， 则 ，故C正确，D错误. 故选：BC. 考点三 由元素与集合的关系求参 7．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 8．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 9．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得. 考点四 集合的表示方法 10．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 11．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 12（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 考点五 集合间关系的判断 13．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 14．(多选)已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 15．(多选)已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（   ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 【答案】ABD 【分析】利用定义直接判断A；利用定义推理判断B；举例说明判断C；利用定义结合反证法推理判断D. 【详解】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确； 对于B，由，得，可推得，即， 又，则，从而，则，因此，B正确； 对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误； 对于D，由S中最小的正数为5，，可推得， 假设里有形如，那么， 与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确. 故选：ABD 考点六 确定集合的子集或真子集 16．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 【答案】D 【分析】由题可得集合，再逐项判断即可. 【详解】 分析可知中的元素为自然数，且为自然数，故考虑哪些自然数能使也为自然数． 因为，所以． 对于A，因为集合，所以中的元素个数为3，所以的子集个数为，所以A错误； 对于B，由，，得，而是一个集合，所以，所以B错误； 对于C，由，得中的元素个数为5，所以C错误； 对于D，由，，得，因为，所以，所以D正确. 故选：D. 18．设集合，的子集满足，，这样的子集的个数为________． 【答案】 【分析】先求使成立的的子集的个数，以及的集合的个数，即可求解. 【详解】先求使成立的的子集的个数， 在中取出至少一个元素 的方式有7种，而集合的子集有个， 因此， 再扣除其中使的集合的个数，这些取法中均被取出，而集合的子集有个，因此, 从而满足条件的子集的个数为 考点七 由集合间包含关系求参 19．（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 【答案】AC 【分析】由题意，按照和分类讨论，根据集合元素的性质求值即可. 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 20．已知集合，，若，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】先确定集合，再根据集合的包含关系分类讨论. 【详解】由题意，得， 对于集合A，①当时，． 因为，所以．又，所以． ②当时，． 因为，所以，又，所以， 综上所述，，或． 21．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 考点八 由集合相等求参 22．已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 23．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 24．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 考点九 集合的运算 25．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 26．（2025·甘肃白银·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知图中阴影部分表示的集合是，求出函数的定义域得集合A，解绝对值不等式得集合，再求可得答案． 【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合是， ， 则，所以． 故选：A 27．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，集合间的关系及集合的运算逐项判断即可. 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 考点十 由集合的运算确定集合 28．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 29．已知全集，，则集合 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出集合中没有元素，，再根据、分类讨论即可. 【详解】由题意可知，集合中没有元素，，故AC错误； 若，则， 又，则，不符合题意，排除选项B， 若，则， 又，则，符合，故D正确． 故选：D 30．已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】依题意画出Venn图表示出集合间的基本关系，即可判断出元素与集合间的关系. 【详解】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 考点十一 由集合的运算求参数的取值范围 31．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 32．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 33．已知关于的不等式：①的解集为A；②的解集为;③的解集为. (1)若，求; (2)若，求; (3)对，不等式③都不成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，解集. (3) 【分析】（1）先分别求解绝对值不等式、分式不等式得出集合，代入解一元二次不等式得集合，再计算三者交集即可； （2）对参数按、、分类，时再比较两根与2的大小，分情况写出不等式解集； （3）先求出，将题意转化为该区间内不等式恒不成立，即式子恒小于等于0，利用区间内的符号等价变形，分离参数后借助函数单调性求最值，进而得出的范围. 【详解】（1）①，； ②，； 时，或，， ； （2）不等式：， 当时，不等式化为，即； 当时，方程的根为； 若，则，解集； 若，则，不等式化为， 解集； 若，则，解集； 当时，不等式化为，且，解集. （3）由题意：，恒成立， 因为时，， 所以不等式等价于对恒成立， 即对恒成立， 函数在上单调递减，因此，即. 33．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知集合，，其中． (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)集合中的所有整数为 (2) 【分析】（1）先根据题意化简集合，进而写出集合中的所有整数即可； （2）先根据题意化简集合，再根据集合之间的关系得到，进而分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）由，解得，则， 所以集合中的所有整数为． （2）， 当时，，此时，满足题意； 当时，，所以，即， 又，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 考点十二 集合的实际应用 34．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 35．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 36．为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 考点十三 集合与方程的综合问题 37.设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 38．已知集合A是方程的解集． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【分析】（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解； （2）结合（1）可直接求解； （3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围. 【详解】（1）若，则或，当时，方程为， 其解为，所以A是单元素集． 当时，方程为，无实数解，所以A为空集． 所以，若A是空集， 则或 即，所以a的取值范围为； （2）由（1）可知，若A是单元素集，则或即； （3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为. 39．设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 考点十四 与集合有关的新定义题 40．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【详解】对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 41．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 42．已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】(1)集合组1具有性质,集合组2不具有性质. (2)（i）证明见解析;（ii） 【分析】（1）直接验证两个集合组是否满足条件：计算每个子集的元素个数和是否为12，检查任意两个子集的交集中元素个数是否不超过2，任意三个子集的交集中元素个数是否不超过1； （2）统计每个元素在子集中出现的次数，利用任意两个子集交不超过2以及任意三个子集交不超过1，得到关于次数的两个不等式，结合总次数为24，通过分析可知当子集个数小于或等于6时不等式无法成立，因此至少需要7个子集，再构造一组7个子集的例子验证条件全部满足. 【详解】（1）因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. （2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由 得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 一、单选题 1．（2025·山东青岛竞赛）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式得到，再结合交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，又因,则， 而，得到，故D正确. 故选：D 2．（2024·福建厦门大学强基计划），，若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的结果，可知方程有两个实数根，，且，结合韦达定理计算可得. 【详解】由得，解得，所以， 因为，， 所以方程有两个实数根，，且， 所以，故D正确； 又，所以，故A正确，B错误； ，故C正确. 故选：B 3．（2024·全国极光杯竞赛）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的结果分类讨论，结合交集的概念即可求解. 【详解】由题意集合，， 若， 则，且互不相等，（互异性）， 若，则与互异性矛盾； 若，则与互异性矛盾； 若，则满足题意； 若，则，此时与矛盾； 综上所述，对比选项可知满足题意. 故选：C. 二、填空题 4．（2025·全国数学竞赛甘肃预赛）设集合，则的元素个数为_____． 【答案】2 【分析】判断集合中的元素有哪些在集合中即可求解. 【详解】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于， 而，所以的元素个数为2． 故答案为：2. 5．（2024·江苏南京大学·强基计划）存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有________个. 【答案】/ 【分析】设是含有个元素的子集且对应有个，且，即可得结果. 【详解】显然，这族子集不含有空集，按所含元素的多少可把这族子集分为10类， 不妨设是含有个元素的子集，对应有个， 显然，一元子集至多只有一个，若不止一个，则它们的交集都是空集，不合题意， 所以，故最多有个. 6．（2026·全国数学竞赛广东初赛）设，．则的元素个数为______． 【答案】8 【分析】将两个集合都化简表示为参数的取值范围，利用交集的定义进行计算即可． 【详解】解：显然的元素都是整数，而中的整数元素有，故只需考虑这些数中有哪些满足的条件． 设的一个整数根是，则， 因为可取的整数范围为， 则可得：，解得， 则， 此时共有8个，因此共有8个． 7．（2026·全国数学联赛重庆预赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 8．（2026·广东汕尾高一下竞赛）已知一个五边形的边长均为正整数，随机选取其中四条边，记所选四条边的长度之和为.若的所有取值组成的集合为，则这个五边形的边长分别是__________.（列出即可，无需排序） 【答案】14，15，16，16，17 【分析】分析可知有两条边长度相等，且5个和值的总和必为4的倍数，进而可得相等的和值为62，即可得结果. 【详解】设这个五边形的边长分别为，，，，，任取其中四条边求长度之和共可得5个和值， 但集合中只有4个元素，所以必有两个和值相等，可知有两条边长度相等. 5个和值的总和为，必为4的倍数. 因为， 又因为，，，， 只有为4的倍数，所以相等的和值为62. 所以，. 由，，，， 可得这个五边形的边长分别是14，15，16，16，17. 9．（2026·全国高中数学联赛江西预赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 10．（2026·全国高中数学联赛山东初赛）在平面直角坐标系中，设为正整数，定义点集.点集都由经过任意有限次平移或以原点为中心的旋转所得到.若平面上的任意一点都属于，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】平移得到的可完整覆盖第二象限，将其依次旋转 90°、180°、270° 得到另外三个集合即可铺满全平面，且少于 4 个无法覆盖全部象限，故n最小值为 4. 【详解】取，易得，即第二象限及其边界坐标轴上的点均在点集中. 将以原点为中心分别顺时针旋转，，，得到，，， 此时平面上的任意一点都属于.故满足条件. 当时，考虑，设为正实数，是以原点为中心、为半径的圆（含内部），下面考虑点集对应的面积： （1）（在三四象限的部分）面积不超过. （2）考虑为方程的根， 于是. （即在第一象限的部分）的面积不超过. （3）的面积不超过. 综上，对应的面积不超过. 注意到. 故存在至少一点，满足，所以的最小值为4. 11．（2026·全国高中数学联赛湖北预赛）已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 12．（2026·全国高中数学联赛吉林预赛）设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 13．（2024·全国数学联赛北京预赛）设整数集合 ，若中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 ，则集合 . 【答案】 【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合中的各元素即可. 【详解】中所有三元子集共有个， 中的每个元素在这些三元子集中均出现了次， 故， ，因为集合中的元素有个负数个正数， 故集合中的元素有个负数个正数，所以， 不妨设， 三个元素之积绝对值最大时，，， 又为整数集合，所以，或者，； 三个元素之积绝对值最小时，，又，所以，， 因为集合中的元素有个负数个正数，故、均为正整数，所以，， 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合中的各元素. 三、解答题 14．（2024·全国数学联赛广西预赛）设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． 【分析】的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集，注意到1012的2倍是2024，于是集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系，从而可得结论. 【详解】由A中的任意两个数不互素可知存在素数P，A中的每个数均被P整除， 故在数集的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集． 共有1012个元素，而其中有的元素满足整除关系，注意到1012的2倍是2024． 于是，集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系， 此时A中有506个元素．若从中任取一数，则它与A中的某个数存在整除关系． 因此，506是的最大值． 15．（2024·全国数学联赛浙江预赛）设集合，集合的个元子集满足：对中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值． 【答案】 【分析】先由已知条件证明，然后构造一个例子使得成立，即可说明的最小值是. 【详解】一方面，对，假设包含的不超过两个. 由于每个至多包含个包含的二元子集，所以至多有个包含的二元子集包含于某个，但包含的二元子集有个，说明存在一个包含的二元子集不包含于任何，这与已知矛盾. 所以至少存在三个包含，这就意味着全体的元素个数之和至少是. 而每个的元素个数都是，所以，得. 这就得到了. 另一方面，设，，，，. 则两两交集为空，且全体并集就是. 然后令，，，，，. 此时可以验证，对，由于必然都落在之一，故分情况验证即知一定存在一个集合同时包含，此时. 综上，的最小值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $