专题01 幂的运算通关专练（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题01 幂的运算通关专练 题型一 幂的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型二 幂的运算性质的逆用 【典例4】已知，，求的值． 【典例5】已知：，，用m、n表示． 【典例6】求值： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 题型三 利用幂的运算性质解方程 【典例7】若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【典例8】求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【典例9】在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． 题型四 幂的大小比较 【典例10】阅读和学习下面的材料： 某同学在比较，，的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵，，， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【典例11】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则a、b的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：∵，，且， ∴， ∴． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较，，的大小； （2）比较与的大小； （3）已知，，．求a，b，c之间的等量关系． 1．下列运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若，，则等于（    ） A．243 B．125 C．8 D．15 3．的值为（    ） A． B． C．5 D．0.2 4．已知，，则的值是（    ） A．2048 B．60 C．120 D．360 5．下列说法错误的个数是（    ） ① ②的底数是 ③ ④（n为正整数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于m，n，p三者之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，若用含m的代数式表示n，则下列表示正确的为（    ） A． B． C． D． 8．定义关于m，n的新运算：，其中m，n为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 9．若，则________． 10．若，，则_______． 11．已知，，则_______． 12．计算：_______． 13．若． 则________． 14．已知，，则的值为______________． 15．化简的结果是______________． 16．计算： （1）； （2）； （3）． 17．用简便方法计算： （1）； （2）． 18．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 19．找规律：观察算式 … （1）按规律填空） ________； ________． （2）由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）； （3）思维拓展：计算：（要求：写出计算过程）． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算通关专练 典例精讲 题型一幂的混合运算 【典例1】(1)x6:(2)(0y-x)°：(3)2x:4)-xm 【详解】(1)解：xx2x3=x+243=x: (2)解：(x-y)20y-x)°=y-x)}2(0y-x)3=0y-x)2+3=0y-x)°： (3)解：原式=x2x3+2x3x2-x3=x3+2x3-x3=2x, (4)解：原式=xm+x"-3xm=-xm. 【典例2】(1)2a；(2)9a:3)8x5:(4)6a 【详解】(1)解：原式=a+a=2a4 (2)原式=a+8a°=9a: (3)原式=8x3.x6x5=8x5: (4)原式=4a+a+a=6a6, 【典例3】(1)0：(2)-a24,(3)24ab2:(4)2:(5)(q-p):(6)-18a3 【详解】(1)解：原式=a-a=0 (2)解：原式=a·a（-a0）=-a4； (3)解：原式=16ab2+8ab2=24ab2, (4)解：原式=-1t()=2: (5解：原式=(q-p)°(g-p)3(g-p2=(g-p)': (6)解：原式=(-27a)+9a3=-18a3. 题型二幂的运算性质的逆用 【典例4】40 【详解】解：2=5,2=3， 116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.26+220-22+(2=5×3+52=15+25=40 【典例5】m3n 【详解1解：842=8*.82”-(2）(2)-2x2=(2(2)）°， 当2=m,2'=n时，原式=m3n=m2n6. 【典例6】(1)75；(2)8 【详解】解：(1)a2m+"=a2m,a”=(a:a”=5×3=75: (2)由己知，5m+4n=3, 32”.16”=(2）(24）”=2m.2"=2m+"=23=8. 题型三利用幂的运算性质解方程 【典例7】(1)x=2:(2)x=2 【详解】(1)解：：4=24， :(2）=2, 22x=24, .2x=4, .x=2; (2)解：：31+3+2=108， :3+×(1+3)=108. 31=27, .31=33, .x+1=3, x=2 【典例8】(1)16；(2)x=2 【详解】(1)解：由2x+5y-4=0可得2x+5y=4, 所以4.32"=(2）(2y=2r.2=22+y=24=16: 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：因为2×31=2×3×3=3×(2×3)=3×6=108， 所以6=36=62， 所以x=2 【典例9】(1)x=6;(2)x=3 【详解】(1)解：·9=32-(32)°=96， ∴.x=6； (2)解：3+2-31=162， .3×31-31=162, .2×3x1=162, .3+1=81=34, .x+1=4, .x=3 题型四幂的大小比较 【典例10】a<b<c 【详解1解：：a=2=(2)）”=32m,b=3=(6)°=8T,c=50=(5)=125m， .32101<8101<125101, ..a<b<c. 【典例11】(1)27>9">81的：(2)21<35：3)a=b+2c 【详解】(1)解：：81=(3)=320,27=(3=34,91=(3）=32”， 又324>32>320 .278>9>815, (2)解：2w=(2)=165,35=35=2725, 又：1625<2725 .2100<375 (3)解：5=324,5=4,5=9， 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又324=4×9×9， 5=5.5.5, 59=542c, .a=b+2c. 过关专练 1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C 7.A 8.c 9.-a2b 10.3 11.75 12.-2 13.6 14.-8 15.0 16.(1)x5m-2:(2)38,(3)-(b-a) 【详解】(1)解：原式=x3m+2m-2=x5m-2。 (2)原式=3”-3-38=338-238=38： (3)原式=(b-a)(b-a)3(b-a)=-(b-a)8. 17.(1)1:(2)1 【详解】(1)解：0.1250×(-8)°=0.1250×80=(0.125×8)0=10=1： 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解： ×(10×9×8×…×3×2×1)9 [g小009g8x32 [后0g传82 =10 =1. 18.(1)8:(2)32 【详解】(1)解：由5m+4n-3=0,得5m+4n=3. 将32m.16”转化为25m.24n=25m+4n。 代入5m+4n=3,得23=8. ②解：(x0-2(x2）”=x0-2x”=(x2）-2x20. 将x2”=4代入，得4-2×42=64-32=32. 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(1) a+0 (2)1622600:(3) 8×12752 【详解】解：(1)13+23+33+43+…+103=(1+2+3+4+.+10)}=552； +2+39+f+tn=0+23+4+n[a+: (2)113+12+133+143+…+503=(+23+33+43+…+50）-(3+23+33+43+…+103） [9af-[oo-16a. (3)2+43+6+8+…+98+1003=(2×1)°+(2×2)3+(2×3)3+(2×4)+…+(2×50) -2+2f+w）-2[9四 =8×12752. 616 专题01 幂的运算通关专练 题型一 幂的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式； （4）解：原式． 【典例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 题型二 幂的运算性质的逆用 【典例4】已知，，求的值． 【答案】40 【详解】解：∵，， ∴． 【典例5】已知：，，用m、n表示． 【答案】 【详解】解：， 当，时，原式． 【典例6】求值： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）75；（2）8 【详解】解：（1）； （2）由已知，， ． 题型三 利用幂的运算性质解方程 【典例7】若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例8】求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）16；（2） 【详解】（1）解：由可得， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以． 【典例9】在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 幂的大小比较 【典例10】阅读和学习下面的材料： 某同学在比较，，的大小时，发现55，44，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：∵，，， ∴， 请根据上述解题思路完成下题： 比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【典例11】在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则a、b的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：∵，，且， ∴， ∴． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较，，的大小； （2）比较与的大小； （3）已知，，．求a，b，c之间的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，，， 又∵， ∴； （2）解：∵，， 又∵， ∴ （3）解：∵，，， 又∵， ∴， ， ∴． 1．下列运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A．，，所以，故选项A不符合题意； B．，，所以，故选项B符合题意； C．，，所以，故选项C不符合题意； D．，，所以，故选项D不符合题意． 2．若，，则等于（    ） A．243 B．125 C．8 D．15 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 3．的值为（    ） A． B． C．5 D．0.2 【答案】D 【详解】解：． 4．已知，，则的值是（    ） A．2048 B．60 C．120 D．360 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴． 5．下列说法错误的个数是（    ） ① ②的底数是 ③ ④（n为正整数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，故①说法错误； 的底数是2，不是，故说法②错误； ，故说法③错误； n为正整数时，为偶数，故，与不一定相等，故说法④错误， 综上，错误的说法共4个． 6．我们知道下面的结论：若（，且），则．设，，，下列关于m，n，p三者之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴． 7．已知，，若用含m的代数式表示n，则下列表示正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 将代入得：． 8．定义关于m，n的新运算：，其中m，n为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 9．若，则________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．若，，则_______． 【答案】3 【详解】解：根据同底数幂的乘法运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此有， ∵，， ∴将已知值代入上式，得， 解得． 11．已知，，则_______． 【答案】75 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， 可得， 根据幂的乘方法则，， 可得， ∵，， ∴， ∴． 12．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 13．若． 则________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 14．已知，，则的值为______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 15．化简的结果是______________． 【答案】0 【详解】解：原式． 16．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 17．用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2）1 【详解】（1）解：； （2）解： ． 18．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2）32 【详解】（1）解：由，得． 将转化为． 代入，得． (2)解：， 将代入，得． 19．找规律：观察算式 … （1）按规律填空） ________； ________． （2）由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）； （3）思维拓展：计算：（要求：写出计算过程）． 【答案】（1），；（2）1622600；（3） 【详解】解：（1）； ； （2） ； （3） ． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $