第十六章《整式的乘法》综合练习卷（2） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十六章 整式的乘法 综合练习卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共30分 ） 1．下列运算正确的是（　　） A．·＝ B．＝ C．÷＝ D．＝4 2．设 a≠0，则 与 的结果分别是（　　） A．都是 − B．都是 C．前者是 −，后者是 D．前者是 ，后者是 − 3．已知 ＝2，＝−3，则 的值为（　　） A．12　　B．2　　C．−12　　D．−3 4．若 2××＝，则 x 的值为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 5．设 a＝，b＝，c＝，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．b＞a＞c　　B．a＞b＞c C．c＞b＞a　　D．b＞c＞a 6．下列计算正确的是（　　） A．2x·(−3y)＝−6 B．(12−6＋3a)÷3a＝4−2a C．＝− D．(x−2y)(x＋2y)＝−4 7．若 ＋my＋9 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．6　　B．−6　　C．3　　D．6 或 −6 8．如图，图（1）是边长为 a 的正方形剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b＞0）后的图形，图（2）是把剪下的部分重新拼成的长方形。由两幅图形面积相等可以验证的等式是（　　） A．＝＋2ab＋ B．＝−2ab＋ C．−＝(a＋b)(a−b) D．＋＝(a＋b)(a−b) 9．下列说法中，正确的是（　　） A．(−a−b)(a＋b) 能用平方差公式计算 B．(a−b)(a＋b＋c) 能用平方差公式计算 C．(−x＋2y)(−x−2y) 能用平方差公式计算，结果为 −4 D．(2a＋b)(a−2b) 能用平方差公式计算 10．对实数 a，b 定义新运算"※"：a※b＝−。给出下列四个结论：① a※b＝4ab 对任意实数 a，b 都成立；② a※b＝b※a 对任意实数 a，b 都成立；③ 若 a※b＝0，则 a＝0 且 b＝0；④ 若 a＋b＝5，ab＝3，则 a※b＝12。其中正确结论的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 a 为非零实数，m，n 为正整数。若 ＝3，＝18，则 的值为 ______． 12．已知 x−y＝3，xy＝5，则 ＋ 的值为 ______． 13．若 (x＋m)(x−3) 的展开式中不含 x 项，则实数 m 的值为 ______． 14．计算 (2＋1)(＋1)(＋1)(＋1)(＋1) 的结果是 ______． 15．已知 a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝37，则 ＋＋ 的值为 ______． 16．【压轴】如图，正方形 ABCD 的边长为 a＋b（a＞b＞0），它被两条线段分成四块：边长为 a 的正方形、两个长 a 宽 b 的长方形（图中阴影）和边长为 b 的正方形。若 a＋b＝10，两块阴影长方形的面积之和为 42，则：（1）ab＝______；（2）a−b＝______；（3）−＝______． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（8 分）计算（每小题 2 分）： （1）＋(−mn)·(−)·n； （2）(12＋6−3a)÷3a； （3）(x−y)(x−2y)−(3−6y)÷3x； （4）4−(2x−5)(2x＋5)． 18．（6 分）先化简，再求值：−(2x＋y)(2x−y)−2y(x＋y)，其中 x＝，y＝−． 19．（8 分，每小题 4 分）已知 ÷＝8，·＝32． （1）求 m，n 的值； （2）求 (n＋2m)(2m−n) 的值． 20．（6 分）甲、乙两人同做一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)。甲把第一个因式中的"＋a"误抄成"−a"，算得结果为 6＋11x−10；乙把第二个因式中的"3x"误抄成"x"，算得结果为 2−9x＋10．（1）（2）各 3 分） （1）求 a，b 的值； （2）求这道题的正确结果． 21．（6 分）如图，某小区有一块长方形绿地，长为 a 米、宽为 b 米。现对它进行改造：长增加 n 米，宽增加 m 米，改造成一块更大的长方形绿地。（每小题 3 分） （1）用含 a，b，m，n 的式子表示改造后绿地的面积，并化简； （2）当 a＝6，b＝4，m＝2，n＝3 时，求改造后绿地的面积． 22．（8 分，第（1）问 2 分，第（2）（3）问各 3 分）定义一种幂的新运算：⊕＝＋． （1）求 ⊕ 的值； （2）若 ＝4，＝8，求 与 的值； （3）若 9⊕ 的结果为 810，求 t 的值． 23．（8 分，每小题 4 分）【杨辉三角】我国南宋时期数学家杨辉在所著《详解九章算法》中记载了"开方作法本源图"，后人称为"杨辉三角"，它揭示了 展开式各项系数的规律。观察下图： （1）(a＋b) 展开式中 的系数是 ______，该展开式各项系数之和是 ______； （2）已知 ＝＋＋…＋x＋，求 ＋＋…＋ 的值． 24．（10 分，第（1）（2）问各 2 分，第（3）（4）问各 3 分）完全平方公式 ＝±2ab＋ 经过适当变形，可以解决很多问题。例如：若 (2024−x)(x−2019)＝4，求 ＋ 的值。 解：设 2024−x＝s，x−2019＝t，则 st＝4，s＋t＝(2024−x)＋(x−2019)＝5， 所以 ＋＝＋＝−2st＝−2×4＝17。 请用上面的方法解决下列问题： （1）若 a＋b＝8，ab＝12，求 ＋ 的值； （2）若 a＋b＝6，＋＝18，求 ab 的值； （3）若 (4＋x)(5−x)＝8，求 ＋ 的值； （4）如图，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC，CB 为边在 AB 同侧作正方形，两个正方形的面积和为 48，AB＝8，求图中阴影部分（△ECD）的面积． 25．（12 分，每小题 4 分）我们把"代数式的值与某个字母的取值无关"转化为"含该字母的项的系数为 0"来处理。例如：代数式 (ax−y＋6)＋(3x−5y−1) 的值与 x 的取值无关，求 a。合并同类项得 (a＋3)x−6y＋5，由含 x 项的系数为 0 得 a＋3＝0，所以 a＝−3。 （1）若关于 x 的代数式 mx−4x＋3 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； （2）已知 A＝(2x＋1)(x−2)，B＝x(m−x)，且 A＋2B 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； （3）如图，7 张形状、大小完全相同的小长方形（长为 a、宽为 b，a＞b＞0）不重叠地放入大长方形 ABCD 中，未被覆盖的两部分都是长方形：右上角空白部分记为 ，左下角空白部分记为 ，记 AB＝x。当 x 变化时，− 的值始终保持不变，求 a 与 b 满足的等量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 综合练习卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共30分 ） 1．下列运算正确的是（　　） A．·＝ B．＝ C．÷＝ D．＝4 【答案】D 【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；同底数幂相除，底数不变、指数相减；积的乘方等于各因式分别乘方。逐项计算即可判断。 【解答】A 项：·＝＝，原式错误； B 项：＝＝，原式错误； C 项：÷＝＝，原式错误； D 项：＝＝4，正确。故选 D。 2．设 a≠0，则 与 的结果分别是（　　） A．都是 − B．都是 C．前者是 −，后者是 D．前者是 ，后者是 − 【答案】C 【解析】两个式子都先用幂的乘方，再判断负号的奇偶：指数为奇数时负号保留，指数为偶数时负号被消去。 【解答】＝−＝−（5 是奇数，负号保留）； ＝＝（2 是偶数，负号消去）； 故前者为 −，后者为 ，选 C。 3．已知 ＝2，＝−3，则 的值为（　　） A．12　　B．2　　C．−12　　D．−3 【答案】C 【解析】把 拆成 ·，其中 由幂的乘方得 ，再整体代入。 【解答】＝· ＝· ＝×(−3)＝4×(−3)＝−12。故选 C。 4．若 2××＝，则 x 的值为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】B 【解析】把 8、16 都化为以 2 为底的幂，左边合并为一个以 2 为底的幂，再由指数相等列方程。 【解答】8＝，16＝， 左边＝2××＝＝， 由 ＝ 得 1＋7x＝22，解得 x＝3。故选 B。 5．设 a＝，b＝，c＝，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．b＞a＞c　　B．a＞b＞c C．c＞b＞a　　D．b＞c＞a 【答案】A 【解析】三个幂的指数 55、44、33 的最大公因数是 11，把它们都化成指数为 11 的幂，再比较底数。 【解答】a＝＝＝， b＝＝＝， c＝＝＝。 因为 256＞243＞125，所以 b＞a＞c。故选 A。 6．下列计算正确的是（　　） A．2x·(−3y)＝−6 B．(12−6＋3a)÷3a＝4−2a C．＝− D．(x−2y)(x＋2y)＝−4 【答案】D 【解析】A 项错在单项式乘法时把同底字母的指数相乘（应为相加）；B 项错在多项式除以单项式漏除最后一项；C 项错在把完全平方混同平方差；D 项符合平方差公式。 【解答】A 项：2x·(−3y)＝−6，原式把 x、y 的指数写成 2，错误； B 项：3a÷3a＝1，故结果应为 4−2a＋1，原式漏掉常数项 1，错误； C 项：＝−2xy＋，原式漏掉 −2xy，错误； D 项：(x−2y)(x＋2y)＝−＝−4，正确。故选 D。 7．若 ＋my＋9 是一个完全平方式，则 m 的值为（　　） A．6　　B．−6　　C．3　　D．6 或 −6 【答案】D 【解析】＋my＋9 的首项是 y 的平方、末项 9＝，中间的 my 应等于 ±2·y·3，因此 m 有两个值。 【解答】因为 ＋my＋9＝＋my＋， 若它是完全平方式，则中间项 my＝±2·y·3， 所以 m＝±6，即 m＝6 或 m＝−6。 验证：m＝6 时原式＝；m＝−6 时原式＝，均成立。故选 D。 8．如图，图（1）是边长为 a 的正方形剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b＞0）后的图形，图（2）是把剪下的部分重新拼成的长方形。由两幅图形面积相等可以验证的等式是（　　） A．＝＋2ab＋ B．＝−2ab＋ C．−＝(a＋b)(a−b) D．＋＝(a＋b)(a−b) 【答案】C 【解析】图（1）是边长 a 的正方形挖去边长 b 的小正方形，面积为 −；图（2）的宽为 a−b、长为 a＋b，面积为 (a＋b)(a−b)。两图由同一块纸片剪拼而成，面积相等，由此得平方差公式。 【解答】图（1）中剩余的图形面积为 −； 图（2）是把剩余部分重新拼成的长方形，其长为 a＋b、宽为 a−b，面积为 (a＋b)(a−b)； 剪拼前后面积不变，所以 −＝(a＋b)(a−b)。故选 C。 9．下列说法中，正确的是（　　） A．(−a−b)(a＋b) 能用平方差公式计算 B．(a−b)(a＋b＋c) 能用平方差公式计算 C．(−x＋2y)(−x−2y) 能用平方差公式计算，结果为 −4 D．(2a＋b)(a−2b) 能用平方差公式计算 【答案】C 【解析】平方差公式的结构要求：两个二项式相乘，且一项相同、另一项互为相反数。逐项比对结构，A、B、D 都不具备"一项相同、一项相反"的特征。 【解答】A 项：(−a−b)(a＋b)＝−(a＋b)·(a＋b)＝−，属于完全平方结构，不能用平方差，错误； B 项：(a＋b＋c) 是三项式，与二项式相乘，结构不符，错误； C 项：(−x＋2y)(−x−2y) 中 −x 相同、2y 与 −2y 互为相反数，可用平方差，结果为 −＝−4，正确； D 项：(2a＋b)(a−2b) 中两项均不相同也不相反，结构不符，错误。故选 C。 10．对实数 a，b 定义新运算"※"：a※b＝−。给出下列四个结论：① a※b＝4ab 对任意实数 a，b 都成立；② a※b＝b※a 对任意实数 a，b 都成立；③ 若 a※b＝0，则 a＝0 且 b＝0；④ 若 a＋b＝5，ab＝3，则 a※b＝12。其中正确结论的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】先把新运算化简：两个平方相减可用平方差公式展开，也可直接展开相加。化简后 a※b＝4ab，再把四个结论逐个代回检验，最后数出正确结论的个数。 【解答】a※b＝− ＝[＋2ab＋]−[−2ab＋] ＝＋2ab＋−＋2ab−＝4ab。 ① 由上式知 a※b＝4ab 对任意实数 a，b 都成立，正确； ② b※a＝4ba＝4ab＝a※b，正确； ③ 若 a※b＝4ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，两者不必同时为 0（例如 a＝0，b＝1 时 4ab＝0 也成立）， 所以"a＝0 且 b＝0"的说法错误； ④ a＋b＝5，ab＝3 时，a※b＝4ab＝4×3＝12，正确。 综上，正确的结论是①②④，共 3 个，故选 C。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知 a 为非零实数，m，n 为正整数。若 ＝3，＝18，则 的值为 ___6___． 【答案】6 【解析】把 按同底数幂的乘法拆成 ·，再整体代入 ＝3。 【解答】因为 ＝·， 所以 3·＝18， 解得 ＝6。 12．已知 x−y＝3，xy＝5，则 ＋ 的值为 __19____． 【答案】19 【解析】利用 ＋＝＋2xy 这一变形（完全平方公式的逆用），把两个已知条件整体代入。 【解答】由 ＝−2xy＋ 得 ＋＝＋2xy ＝＋2×5＝9＋10＝19。 13．若 (x＋m)(x−3) 的展开式中不含 x 项，则实数 m 的值为 ___3___． 【答案】3 【解析】先按多项式乘法展开、合并同类项，再令 x 项的系数为 0。 【解答】(x＋m)(x−3)＝−3x＋mx−3m＝＋(m−3)x−3m， 因为展开式中不含 x 项，所以 x 项的系数 m−3＝0， 解得 m＝3。 14．计算 (2＋1)(＋1)(＋1)(＋1)(＋1) 的结果是 ___−1___． 【答案】−1 【解析】在算式前面乘 (2−1)＝1，原式的值不变，但可以使相邻两因式反复使用平方差公式，形成连锁化简。 【解答】原式＝(2−1)(2＋1)(＋1)(＋1)(＋1)(＋1) ＝(−1)(＋1)(＋1)(＋1)(＋1) ＝(−1)(＋1)(＋1)(＋1) ＝(−1)(＋1)(＋1) ＝(−1)(＋1)＝−1。 15．已知 a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝37，则 ＋＋ 的值为 ___70___． 【答案】70 【解析】把三项式的完全平方公式 ＝＋＋＋2ab＋2bc＋2ca 变形，整体代入。 【解答】由 ＝＋＋＋2(ab＋bc＋ca) 得 ＋＋＝−2(ab＋bc＋ca) ＝−2×37＝144−74＝70。 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 a＋b（a＞b＞0），它被两条线段分成四块：边长为 a 的正方形、两个长 a 宽 b 的长方形（图中阴影）和边长为 b 的正方形。若 a＋b＝10，两块阴影长方形的面积之和为 42，则：（1）ab＝___21___；（2）a−b＝___4___；（3）−＝___40___． 【答案】（1）21；（2）4；（3）40 【解析】三问是递进的：先由"两块阴影面积之和＝2ab"求出 ab；再用完全平方公式的变形 ＝−4ab 求出 ，并由 a＞b 判断 a−b 的正负、舍去负值；最后用平方差公式求 −。 【解答】阴影部分为两块长 a、宽 b 的长方形，面积之和为 ab＋ab＝2ab， 所以 2ab＝42，得 ab＝21； 由 ＝−4ab 得 ＝−4×21＝100−84＝16， 因为 a＞b，所以 a−b＞0，故 a−b＝4（若取 a−b＝−4 则与 a＞b 矛盾，舍去）； 由平方差公式得 −＝(a＋b)(a−b)＝10×4＝40。 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（8 分）计算（每小题 2 分）： （1）＋(−mn)·(−)·n； （2）(12＋6−3a)÷3a； （3）(x−y)(x−2y)−(3−6y)÷3x； （4）4−(2x−5)(2x＋5)． 【答案】（1）；（2）4＋2a−1；（3）−xy＋2；（4）8x＋29 【解析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并；（2）多项式除以单项式，每一项分别除；（3）先算多项式乘多项式与多项式除单项式，再合并同类项；（4）先用完全平方与平方差展开，再合并。 【解答】（1）原式＝4＋· ＝＋＝； （2）原式＝12÷3a＋6÷3a−3a÷3a ＝4＋2a−1； （3）原式＝(−2xy−xy＋2)−(−2xy) ＝−3xy＋2−＋2xy＝−xy＋2； （4）原式＝4(＋2x＋1)−(4−25) ＝4＋8x＋4−4＋25＝8x＋29。 18．（6 分）先化简，再求值：−(2x＋y)(2x−y)−2y(x＋y)，其中 x＝，y＝−． 【答案】化简结果为 2xy，代入后得 −2 【解析】先用完全平方与平方差展开，合并同类项得到最简结果；再把 x、y 代回，用积的乘方的逆用 ＝ 把 与 合并成一个幂。 【解答】原式＝(4＋4xy＋)−(4−)−(2xy＋2) ＝4＋4xy＋−4＋−2xy−2 ＝2xy。 当 x＝，y＝− 时， xy＝×(−)＝−＝−＝−1， 所以原式＝2xy＝2×(−1)＝−2。 19．（8 分，每小题 4 分）已知 ÷＝8，·＝32． （1）求 m，n 的值； （2）求 (n＋2m)(2m−n) 的值． 【答案】（1）m＝2，n＝1；（2）15 【解析】把 4、8、32 都化成以 2 为底的幂，由指数相等得到关于 m、n 的二元一次方程组，解出 m、n；第（2）问把待求式看成平方差结构，代入由两个条件得到的 2m＋n 与 2m−n。 【解答】（1）因为 ＝＝，8＝， 所以 ÷＝＝，得 2m−n＝3　①； 又 ·＝·＝＝32＝，得 2m＋n＝5　②； ①＋②得 4m＝8，所以 m＝2；把 m＝2 代入 ② 得 4＋n＝5，所以 n＝1； （2）(n＋2m)(2m−n)＝(2m＋n)(2m−n)， 所以 (n＋2m)(2m−n)＝5×3＝15。 20．（6 分）甲、乙两人同做一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)。甲把第一个因式中的"＋a"误抄成"−a"，算得结果为 6＋11x−10；乙把第二个因式中的"3x"误抄成"x"，算得结果为 2−9x＋10．（1）（2）各 3 分） （1）求 a，b 的值； （2）求这道题的正确结果． 【答案】（1）a＝−5，b＝−2；（2）正确结果为 6−19x＋10 【解析】把两人的错误算式各自展开，与所得结果比较系数，得到关于 a、b 的方程组；求出 a、b 后再算正确算式。 【解答】（1）甲的错误算式：(2x−a)(3x＋b)＝6＋(2b−3a)x−ab＝6＋11x−10， 所以 2b−3a＝11，ab＝10； 乙的错误算式：(2x＋a)(x＋b)＝2＋(2b＋a)x＋ab＝2−9x＋10， 所以 2b＋a＝−9，ab＝10。 把两式相减：(2b＋a)−(2b−3a)＝−9−11，得 4a＝−20，所以 a＝−5； 把 a＝−5 代入 2b＋a＝−9，得 2b−5＝−9，所以 b＝−2； 再验证 ab＝(−5)×(−2)＝10，与两个等式中常数项均相符，故 a＝−5，b＝−2； （2）正确算式为 (2x−5)(3x−2)＝6−4x−15x＋10＝6−19x＋10。 21．（6 分）如图，某小区有一块长方形绿地，长为 a 米、宽为 b 米。现对它进行改造：长增加 n 米，宽增加 m 米，改造成一块更大的长方形绿地。（每小题 3 分） （1）用含 a，b，m，n 的式子表示改造后绿地的面积，并化简； （2）当 a＝6，b＝4，m＝2，n＝3 时，求改造后绿地的面积． 【答案】（1）ab＋am＋bn＋mn；（2）54 平方米 【解析】改造后的长为 (a＋n)、宽为 (b＋m)，面积用多项式乘法展开；再把数值代入。 【解答】（1）改造后绿地的长为 (a＋n) 米，宽为 (b＋m) 米， 面积为 (a＋n)(b＋m)＝ab＋am＋bn＋mn（平方米）； （2）当 a＝6，b＝4，m＝2，n＝3 时， ab＋am＋bn＋mn＝6×4＋6×2＋4×3＋2×3 ＝24＋12＋12＋6＝54（平方米）。 即改造后绿地的面积为 54 平方米。 22．（8 分，第（1）问 2 分，第（2）（3）问各 3 分）定义一种幂的新运算：⊕＝＋． （1）求 ⊕ 的值； （2）若 ＝4，＝8，求 与 的值； （3）若 9⊕ 的结果为 810，求 t 的值． 【答案】（1）96；（2）32，2；（3）t＝2 【解析】（1）按定义把指数相乘、相加后分别算幂；（2）逆用同底数幂的乘法与幂的乘方：＝·，＝；（3）把 9⊕ 化为 10· 后解方程。 【解答】（1）⊕＝＋＝＋＝64＋32＝96； （2）＝·＝4×8＝32； ＝÷＝÷＝÷8＝16÷8＝2； （3）9⊕＝＋＝＋9·＝10·， 由 10·＝810 得 ＝81＝， 所以 t＝2。 23．（8 分，每小题 4 分）【杨辉三角】我国南宋时期数学家杨辉在所著《详解九章算法》中记载了"开方作法本源图"，后人称为"杨辉三角"，它揭示了 展开式各项系数的规律。观察下图： （1）(a＋b) 展开式中 的系数是 ___6___，该展开式各项系数之和是 __16____； （2）已知 ＝＋＋…＋x＋，求 ＋＋…＋ 的值． 【答案】（1）6，16；（2）2 【解析】（1）杨辉三角第 n 行（对应 ）的系数依次是组合数，第 4 行为 1，4，6，4，1；各项系数之和为 。（2）用赋值法：令 x＝1 得所有系数（含 ）之和为 1，令 x＝0 得 ＝−1，两式相减即得所求。 【解答】（1）由杨辉三角，第 4 行系数为 1，4，6，4，1， 所以 (a＋b)＝＋4b＋6＋4a＋， 其中 的系数是 6；各项系数之和为 1＋4＋6＋4＋1＝16＝； （2）令 x＝0，得 ＝＝−1； 令 x＝1，得 ＋＋…＋＝＝1； 两式相减，得 ＋＋…＋＝1−(−1)＝2。 24．（10 分，第（1）（2）问各 2 分，第（3）（4）问各 3 分）【次压轴】完全平方公式 ＝±2ab＋ 经过适当变形，可以解决很多问题。例如：若 (2024−x)(x−2019)＝4，求 ＋ 的值。 解：设 2024−x＝s，x−2019＝t，则 st＝4，s＋t＝(2024−x)＋(x−2019)＝5， 所以 ＋＝＋＝−2st＝−2×4＝17。 请用上面的方法解决下列问题： （1）若 a＋b＝8，ab＝12，求 ＋ 的值； （2）若 a＋b＝6，＋＝18，求 ab 的值； （3）若 (4＋x)(5−x)＝8，求 ＋ 的值； （4）如图，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC，CB 为边在 AB 同侧作正方形，两个正方形的面积和为 48，AB＝8，求图中阴影部分（△ECD）的面积． 【答案】（1）40；（2）9；（3）65；（4）4 【解析】核心变形是 ＋＝−2st：只要知道"和"与"积"，就能求出"平方和"。（4）把两个正方形的边长设为 c、d，由 AB＝8 得 c＋d＝8，由面积和为 48 得 ＋＝48，从而求出 cd，阴影三角形面积为 。 【解答】（1）＋＝−2ab＝−2×12＝64−24＝40； （2）由 ＋＝−2ab 得 18＝−2ab， 所以 2ab＝36−18＝18，ab＝9； （3）设 4＋x＝s，5−x＝t，则 s＋t＝9，st＝8， 所以 ＋＝＋＝−2st＝−2×8＝81−16＝65； （4）设 AC＝c，CB＝d，因为点 C 在线段 AB 上且 AB＝8，所以 c＋d＝8； 两个正方形的面积分别为 、，由题意 ＋＝48； 由 ＝＋2cd＋ 得 ＝48＋2cd，所以 cd＝8； 阴影三角形 ECD 的面积＝＝＝4。 25．（12 分，每小题 4 分）【压轴】我们把"代数式的值与某个字母的取值无关"转化为"含该字母的项的系数为 0"来处理。例如：代数式 (ax−y＋6)＋(3x−5y−1) 的值与 x 的取值无关，求 a。合并同类项得 (a＋3)x−6y＋5，由含 x 项的系数为 0 得 a＋3＝0，所以 a＝−3。 （1）若关于 x 的代数式 mx−4x＋3 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； （2）已知 A＝(2x＋1)(x−2)，B＝x(m−x)，且 A＋2B 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； （3）如图，7 张形状、大小完全相同的小长方形（长为 a、宽为 b，a＞b＞0）不重叠地放入大长方形 ABCD 中，未被覆盖的两部分都是长方形：右上角空白部分记为 ，左下角空白部分记为 ，记 AB＝x。当 x 变化时，− 的值始终保持不变，求 a 与 b 满足的等量关系． 【答案】（1）m＝4；（2）m＝；（3）a＝2b 【解析】处理"与取值无关"的通法是：先把式子整理成关于该字母的一次式，再令其系数为 0。（2）中 A＋2B 展开后 项恰好相消，只剩含 x 的一次项与常数项。（3）用 x 表示 AB，把 、 都用 a、b、x 表示，整理后令含 x 项的系数为 0。 【解答】（1）mx−4x＋3＝(m−4)x＋3， 因为其值与 x 的取值无关，所以 m−4＝0，解得 m＝4； （2）A＝(2x＋1)(x−2)＝2−4x＋x−2＝2−3x−2， 2B＝2x(m−x)＝2mx−2， 所以 A＋2B＝(2−3x−2)＋(2mx−2)＝(2m−3)x−2， 因为 A＋2B 的值与 x 的取值无关，所以 2m−3＝0，解得 m＝； （3）由图可知 ＝a(x−3b)，＝2b(x−2a)， 所以 −＝a(x−3b)−2b(x−2a) ＝ax−3ab−2bx＋4ab＝(a−2b)x＋ab， 因为当 AB 的长 x 变化时，− 的值始终保持不变， 即该式与 x 的取值无关，所以 a−2b＝0， 故 a＝2b。 学科网（北京）股份有限公司 $