第7章 三角函数（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D B C D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得.（6分） （2）由题意可得：（13分） 16．【解析】（1）由的单调递增区间可得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 由正弦函数周期公式可得，， 所以函数的最小正周期为.（4分） （2）依题意得，题干右图轴上的坐标即为表格中要取的五点的坐标， 当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当，，， 填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示， 0 0 2 0 0 （10分） （3）因为， 所以在区间上的图象包含于在区间的图象， 因为，，所以当时，有最大值为2； 因为，在单调递减， 故当时，有最小值.（15分） 17．【解析】（1）由扇形的弧长计算公式（6分） （2），其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，.（15分） 18．【解析】（1），的最小正周期为.（4分） （2），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和.（9分） （3）， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为．（17分） 19．【解析】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以．（4分） （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为；（8分） ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为；（10分） ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集．（15分） （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 2．若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 5．已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 10．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式，则有（    ）    A． B． C． D． 11．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． __________． 13．已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 14．若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知. (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分） 函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 (3)利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 17．（15分） 已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 18．（17分） 已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 19．（17分） 已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 2．若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 5．已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 10．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式，则有（    ）    A． B． C． D． 11．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． __________． 13．已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 14．若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知. (1)求的值； (2)求的值． 16．（15分） 函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 (3)利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 17．（15分） 已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 18．（17分） 已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 19．（17分） 已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第7章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．把化成弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化成弧度为. 2．若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 3．把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位 C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【解析】函数的图象向右平行移动个单位得到函数，故B正确． 5．已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 则， 可得，所以. 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正切函数的周期是，定义域为， 在每个区间上单调递增， 由，在一个周期内，解得， 所以解集为. 7．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 要求函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间， 因为， 所以， 所以函数的单调递减区间是， 即函数的单调递增区间是. 8．已知函数，若在上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正弦函数的对称轴方程为， 所以令，可解得的对称轴方程为. 因为，即，可解得. 要使在区间上有且仅有2条对称轴，则符合条件的整数只能为， 因此需满足，解得， 故的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的有（    ） A．是第一象限角 B．若与的终边关于轴对称，则 C．若，且角与角的终边相同，则的值是或 D．终边在直线上的角的集合可以表示为 【答案】BC 【解析】，故是第四象限角，A错误； 若与的终边关于轴对称，则，B正确； 若角与角的终边相同，则，即， 又，故的值是或，C正确； 终边在直线上的角的集合为，故D错误. 10．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，则， 又水轮每分钟旋转4圈，故转1圈需要15 s， 则，可得，故选项B和C正确. 11．已知函数（，），对任意均有，且，在上单调递减，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期 C． D． 【答案】CD 【解析】因为，所以的图象关于点对称，故A错误； 又因为，所以当时，取得最值，即的图象关于直线对称. 又因为在上单调递减，，， 所以点和直线是相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，所以，故B错误； 所以，解得，故C正确； 所以，又的图象关于直线对称， 所以，所以，又，所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． __________． 【答案】0 【解析】 13．已知函数，，若为奇函数，则__________　，若为偶函数，则________　. 【答案】 【解析】由函数是奇函数，得，而，则； 由函数是偶函数，得，而，则. 14．若将函数的图像向右平移个单位长度后所得图像关于原点对称，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】所得函数解析式为： ， 因为的图像关于原点对称，故为奇函数，所以 ， 解得 ， 由得，解得， 因为，故可取的最大整数为，代入得： ， 即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知. (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）因为，即， 若，则，不符合， 所以，可得.（6分） （2）由题意可得：（13分） 16．（15分） 函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； x 0 y 2 (3)利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值． 【解析】（1）由的单调递增区间可得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 由正弦函数周期公式可得，， 所以函数的最小正周期为.（4分） （2）依题意得，题干右图轴上的坐标即为表格中要取的五点的坐标， 当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当，，， 填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示， 0 0 2 0 0 （10分） （3）因为， 所以在区间上的图象包含于在区间的图象， 因为，，所以当时，有最大值为2； 因为，在单调递减， 故当时，有最小值.（15分） 17．（15分） 已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【解析】（1）由扇形的弧长计算公式（6分） （2），其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，.（15分） 18．（17分） 已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【解析】（1），的最小正周期为.（4分） （2），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和.（9分） （3）， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为．（17分） 19．（17分） 已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以．（4分） （2）已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为；（8分） ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为；（10分） ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集．（15分） （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是．（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $