高中数学单元测试——第7章三角函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学第7章三角函数单元复习卷（较易版），覆盖三角函数基础与核心应用，通过基础巩固、情境问题及创新定义题，培养数学抽象、运算能力与应用意识，适配单元基础检测与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|终边相同角、定义域、三角函数定义、化简、奇偶性与周期|基础概念辨析，注重数学抽象与几何直观| |多选题|3题18分|象限角三角函数值、函数性质、图像特征|多角度考查知识关联，培养推理意识| |填空题|3题15分|诱导公式、图像变换、周期与对称中心|综合应用知识，强化符号意识| |解答题|5题67分|五点法作图、实际情境（庐山索道）、创新定义（正弦周期函数）|结合现实问题与新定义，发展应用意识与创新思维|

高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两角是否相差整数倍即可. 【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误； 对于B，，所以与角终边相同，故B正确； 对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误； 对于D，，所以与角终边不相同，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项. 【详解】原式 ． 故选：C. 5．（本题5分）下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误； 对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确； 对于C ：的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，且最小正周期为，C错误； 对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以为偶函数，最小正周期为，D错误. 6．（本题5分）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】函数在上单调递增,函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 由为偶函数，故 又，而，即， 故. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用诱导公式求解A选项，利用同角三角函数平方关系求解B选项，再利用同角三角形函数的商数关系求解C选项，利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求解D选项. 【详解】A选项，由诱导公式得：，A正确； B选项，因为，且为第二象限角，，所以，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确； 对于D，由，可得，所以， 解得，故D错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 三、填空题 12．（本题5分）已知.则_____. 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】由结合诱导公式可得：， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，．若在上存在最大值，则实数的最小值是____． 【答案】 【分析】由周期求出，再根据对称性求出，即可得到函数解析式，由的取值范围，求出，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】，，，即， 又， ， ， 当时，，因为在上存在最大值， 所以，解得，即． 故答案为： 14．（本题5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，且函数的最小正周期．已知，则______． 【答案】 【分析】根据题设得到，再利用条件，可得或，再利用，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 得函数的图象， 再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 因为，有，又，则， 得到，由，得， 所以或， 解得或， 函数的最小正周期，则，则， 当时，有符合条件. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： 16．（本题15分）已知函数的最小正周期为4，且满足. (1)求的解析式； (2)求方程在区间上所有解的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的最小正周期为4求得，由得的图象的对称中心，并结合，求出的值及的解析式， （2）由，得，解得或，，再由，可求出的值，从而可求得它们的和. 【详解】（1）因为的最小正周期为4，所以. 因为满足，所以的图象关于点对称， 所以，所以，即， 又，所以. 的解析式为. （2）由， 得，所以或，， 解得或，， 因为，所以方程的解集为， 所以所有解的和为. 17．（本题15分）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若函数在上没有最小值，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数的平移伸缩变换求得函数解析式，结合正弦函数图像确定对称中心即可； （2）由（1）中函数解析式和给定区间求出整体角范围，结合正弦函数图像确定参数m范围即可. 【详解】（1）根据题意，， 由，得，， 所以函数图象的对称中心为，． （2）由（1）知：， 因为，所以， 要使在上没有最小值， 则，解得，即实数的取值范围为． 18．（本题17分）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分； (2)（ⅰ）分；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦函数的性质求解. （2）（ⅰ）根据给定条件建立不等式，再解正弦函数不等式即可；（ⅱ）设出新的函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】（1）函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. （2）（ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 19．（本题17分）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为正弦周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据正弦周期函数的定义求解； （2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解． （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【详解】（1），证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）化简（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中是奇函数且周期为的函数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，且为第二象限角，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 三、填空题 12．（本题5分）已知.则_____. 13．（本题5分）已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，．若在上存在最大值，则实数的最小值是____． 14．（本题5分）将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，且函数的最小正周期．已知，则______． 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 16．（本题15分）已知函数的最小正周期为4，且满足. (1)求的解析式； (2)求方程在区间上所有解的和. 17．（本题15分）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数的图象． (1)求图象的对称中心； (2)若函数在上没有最小值，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 19．（本题17分）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为正弦周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $