高中数学单元测试——第5章三角函数（较难版01）

**基本信息** 高中数学三角函数单元复习卷（较难版），以基础概念、性质应用及创新情境为核心，适配单元复习提升，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边象限、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|三角恒等式、函数奇偶性与周期|性质综合判断，培养推理意识| |填空题|3/15|三角求值、函数值域|运算能力与几何直观结合| |解答题|5/77|五点作图、摩天轮建模、高斯函数创新题|实际情境应用（如摩天轮高度模型）与创新探究，发展模型意识与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（本题5分）已知，且，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（本题5分）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 三、填空题 12．（本题5分）已知，则___________ 13．（本题5分）已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________. 14．（本题5分）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 16．（本题15分）已知函数的最小正周期为4，且满足. (1)求的解析式； (2)求方程在区间上所有解的和. 17．（本题15分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体代入法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D 3．（本题5分）若角的终边过点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由任意角的三角函数定义直接可得. 【详解】因为角的终边过点，所以，，， 由三角函数定义，即. 故选：A 4．（本题5分）已知，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化简得到，进而求得的值. 【详解】因为，可得， 即，所以，即， 因为，可得，所以. 故选：C. 5．（本题5分）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误； 对B，设，定义域为，且，则其为偶函数， 因为周期为，则的周期为，故B正确； 对C，是奇函数，周期为，故C错误； 对D，是奇函数，周期为，故D错误. 故选：B. 6．（本题5分）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除. 【详解】，所以是偶函数， 的图象关于轴对称，排除A，B． ，排除D，所以只有C正确． 故选：C． 7．（本题5分）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题成立时的取值范围，再判断哪个选项对应集合是该范围的子集，即为的充分条件. 【详解】由，可得. 因为且区间的长度为， 所以要使函数在区间内单调递增， 则，可得. 即命题：. 所以的一个充分条件为，故C正确. 8．（本题5分）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助、与的单调性可得，再利用函数对称性与单调性判断即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以， ，， 故，，，则， 又因为函数满足，即， 所以的图象关于轴对称，即为偶函数， 则，， 又因为对任意不相等的两个正实数，，都有成立， 所以在上单调递增， 则，即. 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式逐个选项判断即可. 【详解】根据诱导公式四，，A正确； 对于B，，B正确； 根据诱导公式五，，C错； 根据诱导公式三，，D正确. 故选：ABD 10．（本题6分）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BC 【分析】根据正切型函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】令，则，A错； 由，则，故在上单调递增，B对； 由，显然是的一个对称中心，C对； 由正切型函数的性质知，的最小正周期为，D错. 故选：BC 11．（本题6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的有（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．函数在上的值域为 D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】AD 【分析】根据函数图象求函数 的解析式,即可得到选项 A 正确; 利用 可知选项 B 错误; 根据 可得 ,结合函数的单调性可知选项 C 错误；利用函数图象平移的原则可知选项 D 正确. 【详解】选项 A ：设函数的最小正周期为 ，由图可知，，故 . 因为所以. 因为函数图象最高点为 ，所以， 所以，故 ， 因为，所以，选项 A 正确. 选项 B ：由 A 可得 ， 故直线 不是函数 的对称轴，选项 错误. 选项 C ：当 时，，，， 故函数 在 上的值域为 ，选项C错误. 选项 D ：由题意得，， 将函数 的图象向左平移 个单位后的函数表达式为： ，选项D正确. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则___________ 【答案】/ 【分析】由诱导公式化简即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出的范围，利用余弦函数的图像与性质根据值域分析得出右端点的范围，即可列不等式求解. 【详解】因为，所以， 因为函数（其中）在上的值域为， 所以，解得. 故答案为： 14．（本题5分）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则________． 【答案】/ 【分析】根据题意作图，通过图象可知，等腰直角三角形的斜边的长度为三角函数的一个周期，利用等腰直角三角形的性质求出边长，再由三角函数的周期公式求得的值. 【详解】 如图所示（根据对称性，其它情况与此本质相同）， 在函数与的交点中，， 令，又，所以， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 【答案】(1)列表: 0 图象如图所示： (2)值域为，递增区间为. 【分析】（1）完善表格，然后描点连线可得； （2）根据正弦函数的有界性和单调性，利用整体代入法可得. 【详解】（1）列表: 0 图象如图所示： （2）因为，则，即值域为. 由解得， 所以函数的递增区间为出 16．（本题15分）已知函数的最小正周期为4，且满足. (1)求的解析式； (2)求方程在区间上所有解的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的最小正周期为4求得，由得的图象的对称中心，并结合，求出的值及的解析式， （2）由，得，解得或，，再由，可求出的值，从而可求得它们的和. 【详解】（1）因为的最小正周期为4，所以. 因为满足，所以的图象关于点对称， 所以，所以，即， 又，所以. 的解析式为. （2）由， 得，所以或，， 解得或，， 因为，所以方程的解集为， 所以所有解的和为. 17．（本题15分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为. (1)求的值及函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）借助三角恒等变形来整理，利用周期性来求，结合正弦函数的单调增区间，即可求出该函数的单调递增区间； （2）利用图象的变换求出函数的解析式，再通过定义域求出值域，从而来找到满足不等式恒成立的条件，最后可求解的取值范围. 【详解】（1）由， 由其图象的相邻两条对称轴间的距离为，可知最小正周期为， 因为，所以，即， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）将函数的图象向右平移个单位长度可得，， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 即， 对任意的，有，此时， 此时有， 要使得不等式恒成立，则只需要满足，解得或， 故实数的取值范围这. 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案； （2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案； （ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案. 【详解】（1）根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时， 周期， 所以，解得， ，解得， 所以，当，，即，解得， 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， （2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以，即， 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是. （ii）由题，，即， 所以，解得，时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数． (1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论） (2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明； (3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值． 【答案】(1)是函数，不是函数 (2)，证明见解析 (3)不是， 【分析】（1）根据函数的定义直接判断函数，是否是函数； （2）取，再利用函数的定义证明即可； （3）利用反证法证得，再举特殊函数说明成立，从而得解. 【详解】（1）对于， 令，则， 则，， 所以存在，，使得，所以函数是“函数”. 对于函数，函数的最小正周期为， 不妨研究在这个周期的性质， 当时，，则， 当时，，则， 综上，，所以函数不是“函数”. 所以得函数是“函数”，函数不是“函数”. （2）取，为函数，证明如下： 令，则，又， 此时，， 则，所以是函数． （3）的最小值为1，理由如下： 因为是以为最小正周期的周期函数，所以． 假设，则，所以，矛盾； 所以必有， 而函数的周期为1，且显然不是是函数， 综上，的最小值为1． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $