专题06 一次函数与二元一次方程11大题型53题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06一次函数与二元一次方程 题型图谱导航总览 题型1求两直线交点坐标 题型2图象法解二元一次方程组（重点） 基础固本强基 题型3根据函数解析式求定点 题型4已知直线与坐标轴围成的面积（重点） 题型5一次函数解答题基础（重点） 题型6根据图象判断选项是否正确（重点） 题型7函数与已知直线有交点求参数取值范围（选填） 提升·进阶突破 题型8已知直线与坐标轴围成的面积求参数 题型9一次函数解答题之面积倍数问题 题型10一次函数解答题压轴之角度相等（重点） 拔高·压轴破难 题型11一次函数解答题压轴之新定义类（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1求两直线交点坐标（共5小题） 【模型】顶交点联立模型→已知y=kx+b,、y=k,X+b,:联立y三kx+b,方程组的解：，)就是网 y=k2x+b 直线交点坐标；k1=k2,b1≠b2无交点；k1=k2,b1=b2重合无数交点。 1/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】①写出两条直线解析式：②联立得到二元一次方程组：③解方程组；④把解写成坐标形式。 【易错】解方程组计算符号出错；横纵坐标写反；分不清平行、重合、相交三种情况。 1. (26-27八年级上·安徽合肥期中)直线y=2x-1与直线y=-x+2的交点坐标是() A.-1,1 B.1,-1 c.1,1 D.2,1 2.（25-26八年级下.云南临沧期中)在平面直角坐标系中，直线y=x+2与y=2x-1的交点坐标为 () A.3,5 B.2,4 c.1,3 D.0,2 X=4 3.(25-26八年级下.山西吕梁期中)已知方程组 x-y=-1 2x-y=3 的解为 y=-5 则直线y=x+1与直线 y=2x-3的交点坐标是() A.（4,5 B.(5,4) c.(4,0 D.(5,0 4.(25-26八年级下.陕西渭南·期中)若一次函数y=x+3与y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)的图象交 于点A,且点A的纵坐标为5，则关于X、y的二元一次方程组 y=x+3 y=ax+b 的解是() x=5 x=5 x=-2 A. X=2 y=8 B y=2 C. y=5 D. y=5 5.(25-26八年级下.河北承德期中)直线y=x+b和y=ax-3交于点P2,1,则关于X,y的方程组 y=x+b y=ax-3的解是() 2 e. 题型2图象法解二元一次方程组（共5小题) 【模型】图像解方程组模型→方程组的解对应两条直线交点坐标；方程化为y=kx+b,画图找交点。 【步骤】①将方程组内两个方程整理成一次函数形式；②在坐标系画出两条直线；③读取交点横、纵坐 标，即为方程组的解。 【易错】画图误差导致读数不准：不会把一般式化成y=kx+b:混淆交点坐标和方程组解的对应关系。 6.(25-26八年级下云南德宏期中)如图，直线y=kx+b与y=x+1的图象交于点P1,2,则关于，y y=kx+b 的二元一次方程组 y=x+1 的解是() 2/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b P(1,2) . B.x2) x=3 y=3 y=4 7.(25-26八年级下，广东广州期中)如图，直线y=3x与y=-4x+n相交于点P(m,3,则关于x的方程 3x=-4x+n的解是() y=3x P(m,3) y=-4x+n A.x=1 B.X=2 C.X=3 D.X=6 8.（25-26八年级下·江西赣州期中)直线y=2x与直线y=mx-n的图象如图所示，则方程组 2x-y=0 mx-y=n 的解为() c. 0.=2 9.（25-26八年级上河南平顶山期中)如图，一次函数y=-2x和y=心+b的图象相交于点A-2,4, 则关于X、y的方程组：乙的解是 3/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 10.(25-26八年级下河南商丘期中)如图，函数y1=ax+b,y2=kx的图象交于点P,若y1=y2,则x= -2 2=x -1 y1=ax+b 题型3根据函数解析式求定点（共4小题) 【模型】定点恒成立模型→含参一次函数y=k(x-m)+n,参数k无论取何值式子都成立，令含参数的整体等 于O,求出固定x,再算y。 【步骤】①整理解析式，把含参数项合并；②令参数的系数等于O,解出x;③代入求对应的y,得到定 点。 【易错】不会拆分、分组含参项；代入求值计算错误；误以为定点随参数变化 11. (25-26八年级下，湖北期中)如果常数k取任何实数时，直线 kx+3y+2x-5y-6k-1=0总是经过一个定点，则这个定点的坐标为 12. (2526八年级上湖北襄阳期中)直线y=x+2k-4(k≠1.无论k取除1外的任何数， k-1 都经过一个定点，定点坐标为 13,（25-26八年级下·重庆沙坪坝，期中)不论实数k取何值时，直线 4/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k+1x+1-3ky+2k-2=0恒过一定点，则该点的坐标是 14.(25-26八年级上四川达州期中)无论k为何值，一次函数2k-1x-k+3y-k-11=0的图象恒 过定点 题型4已知直线与坐标轴围成的面积（共5小题） 【模型】坐标轴三角形面积模型一直线交x轴(x,0),交y轴(0，y,,S=号x,y, 长度必须取绝对 值。 【步骤】①求直线与x轴、y轴交点；②读出横截距、纵截距；③代入面积公式计算；④带上绝对值避免 负数 【易错】忘记绝对值，面积算成负数；漏掉公式里的：横截距、纵截距混淆。 15. (25-26八年级下.上海·期中)求直线y=-2x+1与两坐标轴所围成图形的面积 16. (2026西藏拉萨.三模)将直线y=一X+5向下平移3个单位，平移后的直线分别交：辅、y轴于A、 B两点，点O为坐标原点，则S△AB0=一· 17.(24-25八年级下·甘肃临夏·期中)己知一次函数y=x+m和y=-3x+n的图象都经过点A-2,0,且 与y轴分别交于B,C两点，那么△ABC的面积是 18.(25-26八年级上四川成都期中)如图，直线1是一次函数y=kx+b的图象，1与两坐标轴所围成的三 角形的面积为 234 -2 (3,-3) 19.（2025八年级上江苏期中)如图，直线y=-4, 3水+4与y轴交于点A,与直线y二号x+是交于点B 且直线y= x与交于点C,则△AC而积为 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5一次函数解答题基础（共5小题） 【模型】一次函数基础解答模型一待定系数法求解析式，再求交点、自变量范围、简单函数值。【步骤】 ①设y=kx+b(k≠0)；②代入已知点列方程组求出k,b:③写出解析式：④按题干要求求函数值、交点等。 【易错】忽略k≠0：解方程组算错k、b:答句书写不规范。 20.(26-27八年级上安徽阜阳期中)如图，直线y=kx+bk≠0经过点A-5,0,B-1,4. (1)求直线AB的表达式： (2)直线AB与y轴交于点D,直线CE:y=-2x-4与直线AB交于点C,与y轴交于点E,求△CDE的面积. 21.(25-26八年级下·云南红河·期中)己知，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x+2与X轴交于点A, 直线l2与直线l1交于点B1,4,直线l2与x轴交于点C3,0 Y 1y=2x+2 y=2x+2 B(1,4) /B(1,4) 备用图 (1)求2的解析式： 6/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点M在l2上且在x轴上方，若△MAB的面积为6，求出此时点M的坐标； 2.（2526八年级下陕西检林期市)如图。一次函数y=克x+3的图象与×、转分别文于点A、B 经过点A的另一条直线交y轴于点C(0,-6. B (1)求直线AC的函数解析式： (2)点D是线段AC上任意一点，连接BD,DEy轴交直线AB于点E,若△ABD的面积为9，求点E的坐 标. 23.(25-26八年级下云南昭通·期中)如图，直线y=-x+6交x轴于点A,交直线y=2x于点P. y y=2x y=-x6 (1)求点P的坐标. (2)求△AOP的面积. 24.(25-26八年级下广西河池期中)如图，直线l1y=2x-2与x轴交于点D,直线l2:y=k心+b与x轴 交于点A,且经过点B,直线1,12交于点C(m,2). (1)求m的值： 7/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求直线l2的解析式： (3)△ACD的面积. 提升进阶突破 题型6根据图象判断选项是否正确（共5小题） 【模型】图像信息判定模型→从图像读取k、b正负、增减性、交点、自变量取值范围，逐个检验选项。 【步骤】①观察图像判断k、b符号；②判断增减性、特殊点坐标；③逐条核对选项：④排除错误说法。 【易错】看错图像上升下降；混淆k、b作用；不等式解集方向判断反。 25. (2026新疆昌吉模拟预测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=aX+b(a≠0)与 y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是() 片=ax+b'个 y,=mx+n A.y随x的增大而减小 B.b<n C.当x<2时，y1>y2 D.关于x,y的方程组 av二y-b的解为3 mx-y=-n y=3 26.(25-26八年级下河北保定期中)如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点2,0，与y=x+1的 图象交于点P1,2,则下列说法错误的是() 8/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+1 10 入34 v=kx+b A.方程kx+b=0的解是x=2 B.关于x,y的方程组 y=x+1 y=&x+b的解是 x=1 y=2 C.不等式组0≤kx+b≤x+1的解集是1≤x≤2 D.当x<1时，k+b<2 27.（25-26八年级下广东阳江期中)如图，一次函数y1=ax+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点 P1,3,则下列说法正确的个数是（) y2=kr+4、 y=ax+b 3 ①x=1是方程aX+b=3的一个解.②方程组 y=ax+b y=x+4的解是 =3 y=1 ③不等式ax+b>x+4的解集是 x>1. A.0 B.1 C.2 D.3 28.(25-26八年级下辽宁阜新期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0与 y=mx+nm≠0的图象如图所示，则下列结论错误的是() -4-3-2101 23 y-mx+n 3 y-ax+b A.由图象可知b<n B.当x>-3时，ax+b>mx+n 9/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.方程aX+b=-2的解为x=0 D.方程组 y-ax=b 的解为 X=-3 y-mx=n y=2 2.（25-26八年级下-黑龙江齐齐哈尔期中）一次函数y=ax+b与y,=Cx+da≠0，c≠01的图象如图所 示，则下列结论： ①ad+bc>0;②3a-c=d-b;③x的值每增加1，y2-y1的值增加d-b;④a+b>c+d.其中正确 的是() y2=cx+d 3 y=ax+b A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 题型7函数与已知直线有交点求参数取值范围（共5小题） 【模型】交点存在性模型→联立两个函数得到方程，有交点等价于方程有解：结合图像边界情况确定参数 范围。 【步骤】①联立两个解析式：②化简得到含参方程；③根据有解条件列不等式：④求出参数范围，检验边 。 【易错】边界能否取等判断错误；忽略平行时无交点的情况；不等号方向写反。 30. (2526八年级上安徽蚌埠.期中)在平面直角坐标系中，线段AB的端点是A-4,1,B3,5,直线 y=kx-2k-3 （1)直线y=kx-2k-3恒过一定点，该点的坐标为 (2)若直线y=kX-2k-3与线段AB有交点，则k的取值范围为 31.(25-26八年级上安徽合肥，期中)在平面直角坐标系中，有两点A(2,2、B(3,-3)和一条直线 1:y=kx-1, (1)直线l恒过的定点坐标是 (2)若直线I与线段AB有且只有一个交点，则k的取值范围是 10/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(26-27八年级上.安徽蚌埠期中)已知一次函数y=kx-4-2kk≠0. (1)无论k取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是 (2)在平面直角坐标系中有一条线段AB,其中A-1,2,B4,1,若这个一次函数的图象与线段AB相 交，则k的取值范围是 33.(25-26八年级上安徽合肥期中)已知点A1,3,B4,6,直线l:y=x-2. (1)直线1恒过定点C,点C坐标为一 (2)若直线1与线段AB有交点，则k的取值范围为 34.(25-26八年级下·安微阜阳期中)已知平面直角坐标中有直线y=kx-3k+3k≠0. (1)该直线恒过一定点，则该点的坐标是： (2)若平面直角坐标系中有三点A-1,0,B3,3,C9,0,该直线将△ABC分成面积相等的两部分， 则k的值是 题型8已知直线与坐标轴围成的面积求参数（共5小题） 【模型】面积反求参数模型→先求截距，S=x0,面积已知列方程，绝对值方程一般两解。 【步骤】①求出直线与坐标轴交点（含参数）；②代入面积公式，建立带绝对值的方程；③解方程求出参 数：④检验结果。 【易错】绝对值方程只算一个解，漏掉多解情况：忘记：坐标正负处理失误。 35.(26-27八年级上江苏盐城期中)在直角坐标系xOy中，直线l1:y=-x+5与x轴、y轴分别交于点 A,点B.直线l2:y=mx+mm>0j与l1交于点E,点E坐标为1，n.点P在直线l2上，若SAP=3,则 点P的坐标 B D 36.(26-27八年级上江苏盐城期中)如图，直线PA是一次函数y=X+nn>0的图象，直线PB是一次 .5 y三2x+mm>n的图象，若PH与y轴交于点O,月S边老oaB三6AB=2,则M 2m+n 11/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P OD B\ 37.(25-26八年级上广东深圳期中)己知一次函数y=k心+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 16,则k= 38.(25-26八年级上河南平顶山期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=k心+3分别交x轴、y轴的 正半轴于A,B两点，且△AOB的面积为4.5. B D 0 (1)k的值为 (2)Fm,2为第二象限内的一点，连接FA,交y轴于点D,且OD=1,连接FB,则△ABF的面积为 39.(25-26九年级上辽宁鞍山期中)如图，直线AB与直线AC交于点A,直线AB的解析式为y=x+1, 直线AC的解析武为y=-2x+6,点D为直线AB上的点，且SAACDSAADE,则点D的坐标为 12/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型9一次函数解答题之面积倍数问题（共5小题） 【模型】面积比例模型→先算出基础图形面积，根据倍数关系得到目标面积，再转化为线段长度，列方程 求解。 【步骤】①先求己知图形面积；②根据倍数算出目标面积；③转化成底或者高的条件；④设未知数求解参 数或者点坐标。 【易错】倍数关系颠倒；割补法拆分图形出错：底高对应错误。 40. (25-26八年级下山东聊城期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x-6交x轴于点C,交 y轴于点D,点A,B的坐标分别为1,0，(0,2，直线AB与直线CD相交于点P: (1)求直线AB的表达式： (2)求点P的坐标： (3)若直线CD上存在一点E,使得△BDE的面积是△APO的面积的4倍，求出点E的坐标 41.(26-27八年级上安徽合肥期中)如图，经过点A3,0,B(6,4的直线l1:y=kx+b与直线l2: y=-2x+n相交于点M,已知点M的纵坐标为2. (1)求直线l1的表达式及点M的坐标： (2)根据图象，直接写出当k心+b≥-2x+n时，x的取值范围； (3)记2与X轴的交点为D,若点P在直线l1上，且SAADP=2S△ADM,求点P的坐标. 42.（26-27八年级上安徽合肥，期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=-x+b与x轴、y轴分别交 13/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于A、B两点，且直线l1经过点C-2,6,与直线l2:y=x+m相交于点D,点D的纵坐标为1，直线l2交y 轴负半轴于点E,且OE=OA. y 6 12:y=k+m/ -20 A l:y=-x+b (1)求直线2的解析式： (2)直接写出kx+m>-x+b≥0的解集： 3S△BDE,求出点P的坐标. 1 (3)若点P在直线L2:y=kx+m的图象上，且满足S△BDP= 43.(26-27九年级上陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=kx+b(k≠0)与x轴交于点 A160y与y抽交于点D与直线，：yx相交于点Mm m 3 Ml2 A (1)求直线马1的函数表达式： (2)点C为直线l1上一点，若S△CM0=3S△Aw0,求点C的坐标. 44.(26-27八年级上安徽六安期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+12的图象分别交 x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点. 14/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B 0 (1)求直线AM的函数解析式： (2)若点C是射线AM上的动点，且SAAOM=2S△BCM,求点C的坐标. 拔高压轴破难 题型10一次函数解答题压轴之角度相等（共5小题） 【模型】角坐标模型→等角可以用平行线、角平分线、等腰、斜率、对称构造，转化成线段相等或者斜率 关系。 【步骤】①标记相等角：②选择合适模型（对称/等腰/平行）；③转化为坐标、线段等量关系：④列方程 求解，分类讨论。 【易错】漏分类；等角转化模型选错；斜率计算符号出错。 X+m与y轴交于点A0,6,与x轴交于点E, 3 45.(25-26八年级下·湖南株洲期中)如图，直线11：y1=- 直线l2:y2=kx+b经过点B-2,0和点C0,1,且与l1相交于点D,连接AB. D B (1)求直线l1和l2的函数表达式： (2)当x取何值时，y1>y2? (3)求△ABD的面积： (4)已知点P为x轴上一点，且在y轴的左侧，当∠PAB=∠ABD时，请直接写出满足条件的点P的坐标. 46,(2526八年级下陕西安康期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=X+与x铕、y轴分别交 2 15/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点C、E,与直线BD交于点A1,m,点D的坐标为O,3,点B在x轴上. 6 (1)求m的值； (2)求直线BD的函数解析式： (3)若点P是直线AC上一动点（不与点C重合），连接BP,当∠CPB=∠AED时，求点P的坐标. 47.(2026河北邢台二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,0,B(0,3),直线y=3x+3与直线 4 4 AB交于点D,与x轴交于点C 备用图 (1)求直线AB的函数表达式： (2)点Q是直线CD上一点，若∠ABO=∠BAQ,求Q点坐标. 48.(25-26八年级下重庆期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴 交于点B,点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA=OD.点E(-1,m)是直线CD与线段AB的交点. VA B E E D 图1 图2 (1)求直线CD的解析式： 16/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2若F为直线AB上一动点，连接FC,FD,当S&cF-2 SAADER时，求点F的坐标： 3)如图2，连接AC,在直线AC上是否存在动点M,使得∠CDM+∠ABC=∠BCE,若存在，请直接 写出点M的坐标，若不存在.请说明理由， 9。（25,26八年级下重庆期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线：y=-号x+5与x轴交于点A,与 y轴交于点B,直线l2:y=kx+b与x轴交于点C,与y轴交于点D,且5OC=OB,直线l1与l2交于点E,E 点横坐标为4， 图1 图2 图3 (1)求直线2的解析式： 2如图2，点P为直线L,上一点，且在直线L上方，连接AP,当SAmE=SAo时，求点P的坐标，比时 在x轴上有一动点Q,连接PQ,EQ,求PQ+EQ的最小值： 3)如图3，将l1向右平移6个单位长度得到直线l3,直线l3与y轴交于点G,点M为l2上一动点，当 ∠MBA=∠BAG时，请写出所有满足条件的点M的坐标，并写出求其中一个点M坐标的过程. 题型11一次函数解答题压轴之新定义类（共5小题) 【模型】新定义阅读理解模型→读懂题干给出全新定义、规则，转化为一次函数、坐标、方程问题。 【步骤】①圈画新定义的条件；②把文字定义翻译成式子或者几何条件：③结合一次函数知识列式求解： ④检验结果满足定义。 【易错】理解错新定义；忽略定义里面隐藏限制条件；直接套用旧结论不看题干规则。 50.(25-26八年级下湖北宜昌期中)如图，已知直线l1:y=-3x与直线l2:y=kx+bk≠0交于点 A-1,n,直线l2与x轴交于点B4,0. 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B (1)求n的值和直线2的表达式： (2)过x轴上的点C作X轴的垂线分别交直线l1,直线l2于点D,E,若5CE=3CD,求点C的坐标； (3)在平面直角坐标系xOy中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线3： y=mx-4m(m>0)与直线1：直线，围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求m的取值范围. 51.（25-26八年级下广东深圳期中)综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点Px,y,当x≥0时有点Qx,y+2,当x<0时有点Qx,y-2, 则称点Q是点P的“跃迁点”. 【应用】 (1)①点0，-1的“跃迁点”坐标为：点-3,2的“跃迁点”坐标为： ②若点M1,4是点N的“跃迁点”，则N的坐标为： 【探究】 (2)已知点Px,y在某函数图象上，对于任意实数x,点P的“跃迁点”Q的图象如下图所示.当x之20时， 点Q在直线y=2x-1上，当x<0时，点Q在直线y=-x+3上，求点P所在函数的表达式： 7 6 5 2 543.21912.3.456x 2 18/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展】 (3)在(2)的条件下，若直线y=m与点P所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出m的取值范围. 52.(25-26八年级下潮南长沙期中)定义：当x'y'xy满足x+y+x+y=0且x+y0 时，称点x1,y,与点(X,y,为一对“芙蓉点”·若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数 为“芙蓉函数”.请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点-2，-6与点 是一对“芙蓉点”； ②判断：点2,1的“芙蓉点” 一（选填“在”或“不在”）函数y=2x-3的图象上. (2)当点A在直线y=2x-3上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系， (3)若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(b1,b2都是常数，且b1b2<0)均是“芙蓉函数”，求这两个函 数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和！ 53.(25-26八年级下北京：期中)在平面直角坐标系x0y中，已知点AX1,y,和点BX,y,对于实数 2y2 线段AB的两个“k-加权点”，线段MN(含端点)是线段AB的“k加权线段”. 已知点A-2,1,B2,3. 6 54 -L 3 6-5-4-3-2-1⊙123456x 2 3 =4 -5 6什 备用图 (线段AB的“2加权点”是 (2)若线段PQ是线段AB的“k加权线段”，则当线段PQ与x轴有交点时，k的取值范围是」 19/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)记直线y=x和直线y=-x组成的图形为X.对于点C-3,4,D3,0,线段PQ和RS分别是线段AB和 CD的“k加权线段”，满足以线段PQ和RS为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是 45.(25-26八年级下北京朝阳期中)在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点Px,y与原点的“坐标 距离”，给出如下定义： 若x≤y,则点P与原点的“坐标距离”为y;若x>y,则点P与原点的“坐标距离”为x. (1)点-5,3与原点的“坐标距离”为 (2)若直线y=x+b上存在与原点的“坐标距离”为1的点，直接写出b的取值范围： 3)直线y=x+号n-1n≠2与X轴、y轴分别交于点A、B.若线段AB上存在与原点“坐标距离”为n的 点，直接写出n的取值范围. 20/20 专题06一次函数与二元一次方程 基础·固本强基 题型1求两直线交点坐标 题型2图象法解二元一次方程组（重点） 题型3根据函数解析式求定点 题型4已知直线与坐标轴围成的面积（重点） 题型5一次函数解答题基础（重点） 提升·进阶突破 题型6根据图象判断选项是否正确（重点） 题型7函数与已知直线有交点求参数取值范围（选填） 题型8已知直线与坐标轴围成的面积求参数 题型9一次函数解答题之面积倍数问题 拔高·压轴破难 题型10一次函数解答题压轴之角度相等（重点） 题型11一次函数解答题压轴之新定义类（重点） 基础·固本强基 题型1求两直线交点坐标（共5小题） 【模型】顶交点联立模型→已知，联立，方程组的解(x,y)就是两直线交点坐标；无交点；重合无数交点。 【步骤】①写出两条直线解析式；②联立得到二元一次方程组；③解方程组；④把解写成坐标形式。 【易错】解方程组计算符号出错；横纵坐标写反；分不清平行、重合、相交三种情况。 1．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：联立两直线解析式，得， 解得， ∴直线与直线的交点坐标是． 2．（25-26八年级下·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两直线交点的坐标同时满足两个直线的解析式，联立解析式求解即可得到交点坐标． 【详解】解：联立， 解得， ∴两直线交点坐标为． 3．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标． 【详解】解：将已知方程组中的两个方程变形得到， ， ∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标是． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点纵坐标结合已知一次函数求出横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标， 又∵交点的纵坐标为，且在上， ∴将代入，得， 解得， ∴交点的坐标为，即原方程组的解为． 5．（25-26八年级下·河北承德·期中）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可直接得到答案. 【详解】解：∵直线和交于点， ∴方程组的解就是两直线交点的坐标，即. 题型2图象法解二元一次方程组（共5小题） 【模型】图像解方程组模型→方程组的解对应两条直线交点坐标；方程化为y=kx+b，画图找交点。 【步骤】①将方程组内两个方程整理成一次函数形式；②在坐标系画出两条直线；③读取交点横、纵坐标，即为方程组的解。 【易错】画图误差导致读数不准；不会把一般式化成y=kx+b；混淆交点坐标和方程组解的对应关系。 6．（25-26八年级下·云南德宏·期中）如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 8．（25-26八年级下·江西赣州·期中）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把代入求出，即可得出两条直线的交点坐标为，从而得出方程组的解． 【详解】解：把代入得：， ∴两条直线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，函数，的图象交于点P，若，则______． 【答案】 【分析】数形结合思想，图象法求解． 【详解】如图，时，对应图象交点，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查两个一次图象交点与方程组的联系，图象法求解，理解点坐标与方程（组）的联系是解题的关键． 题型3根据函数解析式求定点（共4小题） 【模型】定点恒成立模型→含参一次函数y=k(x-m)+n，参数k无论取何值式子都成立，令含参数的整体等于0，求出固定x，再算y。 【步骤】①整理解析式，把含参数项合并；②令参数的系数等于0，解出x；③代入求对应的y，得到定点。 【易错】不会拆分、分组含参项；代入求值计算错误；误以为定点随参数变化 11．（25-26八年级下·湖北·期中）如果常数k取任何实数时，直线总是经过一个定点，则这个定点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标，直线过定点问题，转化成两条直线的交点问题是解题的关键．直线方程即，一定经过直线和直线的交点，解方程组即可求得． 【详解】解∶直线即， 根据k的任意性可知， 解得 所以，k取任何实数时，直线总是经过一个定点， 则这个定点的坐标为． 故答案为∶． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）直线．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合题，利用函数与k值无关得出k的系数等于零，不含k的项等于零是解题关键． 将原直线方程化成关于k的直线方程，再让k的系数等于零，不含k的项等于零，据此可列出关于x、y二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：将两边同乘以得：， 整理得：， 令，解得：， ∴直线必经过定点． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期中）不论实数k取何值时，直线恒过一定点，则该点的坐标是______． 【答案】 【分析】化简等式，得出与的值无关，得出，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ 即 ∵不论实数k取何值时，直线恒过一定点， ∴ 解得： ∴该点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，根据题意列出方程组是解题的关键． 14．（25-26八年级上·四川达州·期中）无论为何值，一次函数的图象恒过定点______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解二元一次方程组，将一次函数方程化为关于的表达式，令的系数和常数项分别为零，建立方程组求解定点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：一次函数可化为， ∵无论为何值，图象恒过定点， ∴， 解得， ∴图象恒过定点， 故答案为：． 题型4已知直线与坐标轴围成的面积（共5小题） 【模型】坐标轴三角形面积模型→直线交x轴，交y轴，，长度必须取绝对值。 【步骤】①求直线与x轴、y轴交点；②读出横截距、纵截距；③代入面积公式计算；④带上绝对值避免负数 【易错】忘记绝对值，面积算成负数；漏掉公式里的；横截距、纵截距混淆。 15．（25-26八年级下·上海·期中）求直线与两坐标轴所围成图形的面积___________． 【答案】/ 【分析】分别求出与坐标轴的交点，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：令，则，故与轴交于点， 则， 令，即，解得，故与轴交于点， 则， 所以围成图形的面积． 16．（2026·西藏拉萨·三模）将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 【答案】 【分析】先根据直线平移规律得到平移后的解析式，再分别求出直线与轴、轴交点、坐标，最后利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：直线上下平移规律：向下平移个单位，解析式变为 ， 原直线：，向下平移3个单位 ， 时，， ； 时，， ， ， ， ． 17．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是_____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，；，， ∴ 解得： ∴， 把代入得：，解得： ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成三角形的面积为：． 故答案为：． 19．（2025八年级上·江苏·期中）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 题型5一次函数解答题基础（共5小题） 【模型】一次函数基础解答模型→待定系数法求解析式，再求交点、自变量范围、简单函数值。【步骤】①设y=kx+b(k≠0)；②代入已知点列方程组求出k,b；③写出解析式；④按题干要求求函数值、交点等。 【易错】忽略k≠0；解方程组算错k、b；答句书写不规范。 20．（26-27八年级上·安徽阜阳·期中）如图，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)直线与轴交于点，直线与直线交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，得到，再联立函数解析式求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 由，解得， ∴， ∴． 21．（25-26八年级下·云南红河·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线交于点，直线与轴交于点 (1)求的解析式； (2)点在上且在轴上方，若的面积为6，求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）使用待定系数法，把直线上两个已知点坐标代入一次函数一般式，解二元一次方程组即可； （2）先求出交点的坐标，算出的面积，根据相对于的位置分两类，利用共底三角形面积差表示的面积，列方程求解参数进而求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为（）， 将，代入得， ， 解得，， 直线的解析式为． （2）解：设， ，，， ， ， ①当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，   ②当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 22．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：令，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 在中，当时，， 点的坐标为． ，，， ，，，则， ． ， ， ， 解得，则， 点的坐标为． 23．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立两个函数求解即可； （2）由函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由，解得 即点P的坐标为． （2）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，，即． ∵， ∴． 24．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法代入求解即可； （3）根据题意得出，；；，然后结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵直线，交于点，， ∴， 解得：； （2）由（1）得，直线经过点， ∴， 解得：， ∴； （3）当时，， 解得：， ∴， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴的面积为：． 提升·进阶突破 题型6根据图象判断选项是否正确（共5小题） 【模型】图像信息判定模型→从图像读取k、b正负、增减性、交点、自变量取值范围，逐个检验选项。 【步骤】①观察图像判断k、b符号；②判断增减性、特殊点坐标；③逐条核对选项；④排除错误说法。 【易错】看错图像上升下降；混淆k、b作用；不等式解集方向判断反。 25．（2026·新疆昌吉·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象的走向可判断A选项，由一次函数与y轴的交点判断B选项，由两个函数的交点坐标判断CD选项． 【详解】解：A选项，由图象可知，函数从左向右呈下降趋势， ∴随的增大而减小，故A选项正确； B选项，函数与y轴的交点为， 函数与y轴的交点为， 由图象可知，点位于点的上方，即，故B选项错误； C选项，由图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴当时，，故C选项正确； D选项，由图象可知，一次函数与的交点为， ∴关于的方程组的解为，故D选项正确． 26．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．关于，的方程组的解是 C．不等式组的解集是 D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与轴交点判断方程解，根据两直线交点判断方程组解及不等式解集，根据图象走势判断函数值大小． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ∴方程的解是，则A正确； ∵一次函数与的图象交于点， ∴方程组的解是，则B正确； 由图象可知，当时，的图象在轴上方且在的图象下方， ∴不等式组的解集是，则C正确； 由图象可知，随的增大而减小，且过点， ∴当时，，则D错误． 27．（25-26八年级下·广东阳江·期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则下列说法正确的个数是（     ） ①是方程的一个解．②方程组的解是．③不等式的解集是． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：①一次函数的图象过点， 当时，，即， 是方程的一个解，故①正确； ②一次函数与一次函数的图象交于点， 方程组的解是，故②错误； ③由图象可知，当时，直线在直线的上方， 不等式的解集是，故③正确； 故选：C． 28．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．当时， C．方程的解为 D．方程组的解为 【答案】B 【分析】由图象可得，一次函数的图象与轴交于负半轴，即， 一次函数的图象与轴交于正半轴，即，即可判断A正确；当时，由一次函数的图象在一次函数的图象的上方，即可判断B错误；由一次函数的图象与轴交于点，即可判断C正确；由一次函数与的图象的交点为，即可判断D正确． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象与轴交于负半轴，即， 一次函数的图象与轴交于正半轴，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，即，故B选项错误，符合题意； 一次函数的图象与轴交于点，故方程的解为，故C选项正确，不符合题意； 一次函数与的图象的交点为，故方程组的解为，故D选项正确，不符合题意． 29．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一次函数与的图象如图所示，则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ．∴， ．∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，， 由图象可得：当时，，即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 题型7函数与已知直线有交点求参数取值范围（共5小题） 【模型】交点存在性模型→联立两个函数得到方程，有交点等价于方程有解；结合图像边界情况确定参数范围。 【步骤】①联立两个解析式；②化简得到含参方程；③根据有解条件列不等式；④求出参数范围，检验边界。 【易错】边界能否取等判断错误；忽略平行时无交点的情况；不等号方向写反。 30．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线． （1）直线恒过一定点，该点的坐标为________． （2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质， （1）通过因式分解提取，令求得定点坐标； （2）利用直线过定点，利用待定系数法解得直线、直线的解析式，结合一次函数的图像与性质确定的取值范围． 【详解】解：（1）直线方程可化为， 当时，，与无关， 故恒过定点； （2）如下图，设直线恒过定点， 由（1）可知，， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析为， 结合一次函数的图像与性质，可知若直线与线段有交点，则k的取值范围为或． 故答案为：（1）；（2）或． 31．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】； 【分析】本题考查一次函数的定点问题以及一次函数与线段的交点问题，关键在于掌握恒过定点的求法，以及通过计算直线经过线段端点时的值来确定的取值范围． （1）对于直线，令含的项的系数为0，即可求出恒过的定点坐标； （2）先分别求出直线经过线段的两个端点、时的值，再结合定点与线段的位置关系，确定直线与线段有且只有一个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 32．（26-27八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数． （1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是_________； （2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则k的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】（1）整理一次函数解析式为，令，即可求得定点坐标； （2）分别将线段端点、代入函数求出对应值，结合函数恒过定点的性质，即可得到图象与线段相交时的范围． 【详解】解：（1）整理一次函数，可得 当，即时，， 该结果与的取值无关， 因此无论取何非零值，函数图象都经过定点； （2）将代入，可得 解得． 将代入，可得 解得． ∵一次函数图象恒过定点，要使一次函数图象与线段相交 ∴的取值范围为或． 33．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点，直线． （1）直线l恒过定点C，点C坐标为______． （2）若直线l与线段有交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质和应用． （1）过定点，说明与值无关，即，得到，即可； （2）分别求出直线l经过点和点时的值，即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，， ∴直线l恒过定点， ∴； 故答案为：； （2）当直线l经过点时：，解得：， 当直线l经过点时：，解得：， ∵直线l与线段有交点， ∴k的取值范围为； 故答案为：． 34．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）已知平面直角坐标中有直线． （1）该直线恒过一定点，则该点的坐标是______； （2）若平面直角坐标系中有三点，，，该直线将分成面积相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【分析】（1）将变形为，则可得出该点的坐标； （2）直线将分成面积相等的两部分，分析出直线与x轴的交点，代入解析式即可得k的值． 【详解】解：（1）∵， ∴直线必经过定点， ∴直线恒过一点，则该点的坐标是， 故答案为：； （2）∵，直线将分成面积相等的两部分， ∴直线过点B平分的面积， ∴直线为的边上的中线所在的直线， ∵，， ∴的中点坐标为：， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线过定点的计算、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型8已知直线与坐标轴围成的面积求参数（共5小题） 【模型】面积反求参数模型→先求截距，，面积已知列方程，绝对值方程一般两解。 【步骤】①求出直线与坐标轴交点（含参数）；②代入面积公式，建立带绝对值的方程；③解方程求出参数；④检验结果。 【易错】绝对值方程只算一个解，漏掉多解情况；忘记；坐标正负处理失误。 35．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E，点E坐标为．点P在直线上，若，则点P的坐标________________． 【答案】 或 【分析】先确定直线的解析式，再求出点的坐标，设点的坐标，利用铅垂高法表示面积建立方程求解； 【详解】解：点在直线：上， ，即， 点在直线：上， ，解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， ， 设点的横坐标为，则， 过点作轴交直线于点，则， ， ， ， ， 或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 点的坐标为或． 36．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．若与y轴交于点Q，且，，则__________________． 【答案】/ 【分析】先求出两直线与坐标轴的交点坐标，进而得到，，，求出，联立两直线求出交点的坐标，进而得到点的纵坐标为，再根据，求出，即可得解． 【详解】解：令，解得，则；令，得，则； 令，解得，则； ，，， ， ， ， 联立，解得：， ，即， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ． 37．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，则___________________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再依据三角形的面积公式建立关于k的方程，通过解方程并结合绝对值的性质求出k的值． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，则该函数图象与y轴的交点为， 当时，，解得，则该函数图象与x轴的交点为， 已知该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为， 根据三角形面积公式可得， 化简得，即， 由绝对值的性质可知， 因此． 38．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 39．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线与直线交于点，直线的解析式为，直线的解析式为，点为直线上的点，且，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的性质以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，注意分类讨论是解题关键． 根据一次函数的性质求出交点，，结合题意，设点，分三种情况分析：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，当点D在的延长线上时，结合图形，列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，解得：， ∴； ，当时，， ，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点， 当点D在线段上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，如图所示： ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点D在的延长线上时，不符合题意； 综上可得：点的坐标为或， 故答案为：或． 题型9一次函数解答题之面积倍数问题（共5小题） 【模型】面积比例模型→先算出基础图形面积，根据倍数关系得到目标面积，再转化为线段长度，列方程求解。 【步骤】①先求已知图形面积；②根据倍数算出目标面积；③转化成底或者高的条件；④设未知数求解参数或者点坐标。 【易错】倍数关系颠倒；割补法拆分图形出错；底高对应错误。 40．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P； (1)求直线的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到答案； （3）求出的面积，则可得到的面积，再求出点D的坐标，得到的长，根据三角形的面积公式求出点E的横坐标，进而可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：联立得，解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由（2）得点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的4倍， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点E的坐标为或． 41．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）如图，经过点，的直线：与直线：相交于点，已知点的纵坐标为2． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围； (3)记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）将，两点坐标代入解析式求出直线表达式，再把点纵坐标代入，算出横坐标得到点坐标； （2）观察图像，以两直线交点的横坐标为分界，直接读出不等式对应的取值范围； （3）先求出解析式与点坐标，算出的面积，再根据面积关系列出方程求出点纵坐标，代回得到的完整坐标． 【详解】（1）解：将点，代入直线：， 得方程组，解得， 故直线的表达式为． 已知点M在上，且纵坐标为2， 令，则， 解得． 故点的坐标． （2）解：借助图象可得直线在直线上方时，自变量的取值范围为， 所以当时，的取值范围是． （3）解：已知点在直线：上， 则，解得 已知与轴的交点为， 则令，代入，得， 解得， 所以 因为，点M的纵坐标为2， 所以， 所以， 所以， 设在上，即， ，则， 解得，即或， 当时，代入直线中， 则，解得，故； 当时，代入直线中， 则，解得，故． 综上，点的坐标为或． 42．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)直接写出的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）分别求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）根据函数图象解答即可； （）利用三角形面积公式可得，即得，再分点在点上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， ∴， 当时，；当时，， ，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，且在轴负半轴， ∴， 把和代入直线， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由图象可知，当时，直线位于直线的上方，且位于轴上方（含轴）， ∴不等式的解集为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 当点在点上方时，， ∴， 解得， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 43．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点为直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）利用三角形的面积公式可得，即得，再分点在轴上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得， ， ∵点在直线上， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ， ， ∵， ，   当点在轴上方时，如图， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴下方时，如图， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴综上，点的坐标为或． 44．（26-27八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点C是射线上的动点，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由分别令和求出、坐标，再由为中点得坐标，用待定系数法求直线解析式． （2）由题意，求出，，设点的横坐标为，用表示的面积，求即可． 【详解】（1）解：令，，解得， ， 令，， ， 为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：，，，， ， ， ， 点、均在轴上，， 设点的横坐标为， ， ，解得， 点在射线上，射线从出发经过向第二象限延伸， ， 当时，代入得， ， 当时，代入得， ， 点的坐标为或． 拔高·压轴破难 题型10一次函数解答题压轴之角度相等（共5小题） 【模型】角坐标模型→等角可以用平行线、角平分线、等腰、斜率、对称构造，转化成线段相等或者斜率关系。 【步骤】①标记相等角；②选择合适模型（对称/等腰/平行）；③转化为坐标、线段等量关系；④列方程求解，分类讨论。 【易错】漏分类；等角转化模型选错；斜率计算符号出错。 45．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：；直线的表达式为：； (2)时， (3)15 (4)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线，求得交点的横坐标，结合图形判断即可； （3）先求出点坐标，利用求三角形的面积即可； （4）可判断，再利用待定系数法求出直线，即可作答． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 则直线的表达式为：； 将点和点分别代入直线得：， 解得， 则直线的表达式为：； （2）解：令，得， 解得， 则点，结合图象可知时，； （3）解：将代入，得到，解得， ∴点， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点在轴左侧时， ， ． 设的解析式为， 把代入解析式，得， 故直线的表达式为， 令得， 则点的坐标为． 46．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、E，与直线交于点，点D的坐标为，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若点P是直线上一动点（不与点C重合），连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入直线即可求出答案； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）先求出点B的坐标为，根据得到，即轴，则点P的横坐标为3，将代入，得，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 将代入，得． （2）解：由（1）得点A的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将、代入得，           解得， 直线的函数解析式为． （3）解：令，解得， 点B的坐标为．           ，即轴， 点P的横坐标为3，           将代入，得， 点P的坐标为 47．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上一点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）分在直线右侧和在直线左侧两种情况进行求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式， ，解得， 则直线的函数表达式； （2）解：当在直线右侧时， ， ，又， 所以点的横坐标为， 时，， 此时； 当在直线左侧时，设直线与轴交于点， ， ，设， 又，， ，则， 在中，， 即，解得，则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， ，解得， 则； 综上，或． 48．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 49．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，直线与交于点，点横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点为直线上一点，且在直线上方，连接，当时，求点的坐标，此时在轴上有一动点，连接，，求的最小值； (3)如图3，将向右平移个单位长度得到直线，直线与轴交于点，点为上一动点，当时，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出求其中一个点坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点、的坐标，根据，可求得点的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）设，根据点的坐标特征分别得出，，再根据可求得点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则，此时的最小值等于的长度，利用勾股定理求解即可得解； （3）分点在直线左侧和右侧两种情况讨论，通过构造辅助线与推导角度关系，联立解析式即可解答． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，， ， ， ， ， 将点，代入直线中得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：点为直线上一点， 设， 对于直线， 令，得，解得， ， ， ，， ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于，则，此时的最小值等于的长度， ， ， ， 即的最小值为； （3）解：将向右平移个单位长度得到直线， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当点在直线左侧，时，则有， 设直线的解析式为， 将点代入得，， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 当点在直线右侧，时，延长交于点，则有，过点作直线交于点，交于点，连接， ， ，即垂直平分， ，， 在中，， 即，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 综上，点的坐标为或． 题型11一次函数解答题压轴之新定义类（共5小题） 【模型】新定义阅读理解模型→读懂题干给出全新定义、规则，转化为一次函数、坐标、方程问题。 【步骤】①圈画新定义的条件；②把文字定义翻译成式子或者几何条件；③结合一次函数知识列式求解；④检验结果满足定义。 【易错】理解错新定义；忽略定义里面隐藏限制条件；直接套用旧结论不看题干规则。 50．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，得，把和代入，求解即可； （2）设，则，，分类求解即可； （3）根据题意，得，直线过定点，由题意得：当时，，求解即可； 【详解】（1）解：把代入，得，把和代入， ， 解得， ：． （2）解：设，则，， 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得（舍）， 综上：点C坐标为或． （3）解：， ∴直线过定点， 当直线经过点，前面有共有9个整点，正好不包含第10个整数点， 此时，，解得，， 当直线经过点，共有如下整点： ，正好包含第10个整数点，此时，，解得，， 故直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点的的取值范围． 51．（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”． 【应用】 (1)①点的“跃迁点”坐标为；点的“跃迁点”坐标为； ②若点是点的“跃迁点”，则的坐标为； 【探究】 (2)已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如下图所示．当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式； 【拓展】 (3)在（2）的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) (3) 【分析】（1）①根据“跃迁点”的定义，横坐标不变，再结合时与时纵坐标的变化求解即可； ②设出点的坐标，结合，求解点的纵坐标即可； （2）根据“跃迁点”的定义，分类讨论时与时纵坐标的变化求解即可； （3）作出点所在的函数图象，数形结合求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：①点中，则有， ∴点的“跃迁点”坐标为， 点中，则有， ∴点的“跃迁点”坐标为； ②∵点是点的“跃迁点”， ∴点的横坐标为，且， 设点的坐标为， ∴点的纵坐标，可得， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的“跃迁点”为点， 又∵当时，点在直线上， ∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∵当时，点在直线上， ∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∴点所在函数的表达式为； （3）解：点所在的函数以及直线如图， 根据图象可知，当时，直线与点所在的函数图象有且只有两个交点， 52．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：当，，，满足，且时，称点与点为一对“芙蓉点”．若某函数图象上至少存在一对“芙蓉点”，就称该函数为“芙蓉函数”．请你根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ①点与点___________是一对“芙蓉点”； ②判断：点的“芙蓉点”___________（选填“在”或“不在”）函数的图象上． (2)当点A在直线上运动时，求点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系． (3)若一次函数与（，都是常数，且）均是“芙蓉函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和． 【答案】(1)①；②不在 (2) (3) 【分析】（1）①根据“芙蓉点”的定义，设出所求点的坐标，列出方程求解； ②先求出点的“芙蓉点”，再代入函数判断是否在其图象上； （2）设出点A和点B的坐标，根据“芙蓉点”的定义列出方程，进而得到点B的横、纵坐标满足的数量关系； （3）先根据“芙蓉函数”的定义求出两个一次函数的表达式，再分别求出它们与两坐标轴围成的平面图形的面积，最后求和． 【详解】（1）解：①根据题意可知，，， ∵点为， ∴，解得：；，解得：， ∴点与点是一对“芙蓉点”； ②设“芙蓉点”为，则，， ∴，， ∴点的“芙蓉点”为， 代入函数验证：当时，， ∴点的“芙蓉点”不在函数的图象上． （2）解：设点，点， ∵点A在直线上， ∴， 又∵点A与点B是一对“芙蓉点”， ∴，且， ∴， 将代入， 可得， ∴， 由可得， 将代入， 得， 即， ∴点A的“芙蓉点”B的横、纵坐标满足的数量关系为． （3）解：设一次函数上的一对“芙蓉点”为，， 则， ∴，即， ∵，在上， ∴， 将代入可得， 两式相减， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， 对于，令，则；令，则， ∴它与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴， ∴这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和为． 53．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，对于实数，定义：点和是线段的两个“k-加权点”，线段（含端点）是线段的“k-加权线段”． 已知点，． (1)线段的“-加权点”是________； (2)若线段是线段的“k-加权线段”，则当线段与x轴有交点时，k的取值范围是________； (3)记直线和直线组成的图形为X．对于点，，线段和分别是线段和的“k-加权线段”，满足以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，则k的值是________． 【答案】(1)和 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得到，，，，，代入点M和点N的表达式即可求出结果； （2）先求出点P，Q的表达式，再根据线段与x轴有交点，判断出P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上），列出不等式组求解即可； （3）先求出点R，S的表达式，令，求出点P，Q，R，S的坐标，结合图象可得出，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形，利用待定系数法分别求出直线，的解析式，要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点，结合图像可得有两种情况，情况一：P点在上，将代入即可得解；情况二：过O点，先求出直线的表达式，由且过O点，可得直线的表达式，再将代入即可得解． 【详解】（1）解：由题可知，点，，， ∴，，，， ∴， 即； ， 即， ∴线段的“-加权点”是和． （2）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， ∵线段与x轴有交点， ∴P，Q两点在x轴两侧（含落在x轴上）， ∴或， 解得：， ∴k的取值范围是． （3）解：由题意知，点，的“k-加权点”为，， 由（2）知，，， 令，则，，， ∴，，，， 由图可知，点C与点R重合，点D与点S重合，点P与点A重合，点Q与点B重合， ∴，为对角线的四边形顶点是中心为的平行四边形， 设直线的解析式为， 将点P代入得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点R代入得：， ∴直线的解析式为， 要使以线段和为对角线的四边形与图形X恰有3个不同的交点， 情况一：如图，P点在上， 把代入得， 解得． 情况二：如图，过O点． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵，且过O点， ∴直线的表达式为， 把代入得， 解得． 综上k的值是或． 45．（25-26八年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点与原点的“坐标距离”，给出如下定义： 若，则点与原点的“坐标距离”为；若，则点与原点的“坐标距离”为． (1)点与原点的“坐标距离”为________； (2)若直线上存在与原点的“坐标距离”为1的点，直接写出的取值范围； (3)直线与轴、轴分别交于点、．若线段上存在与原点“坐标距离”为的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据题目中的定义直接求解即可； （2）与原点的“坐标距离”为1的点在边长为2，中心点为的正方形的边上，分别求出直线经过两个临界点和时的的值，即可得解； （3）先求出、两点的坐标，进而得到线段的中点坐标，由题意可知，与原点“坐标距离”为的点在边长为，中心点为的正方形的边上，分情况讨论，分别求出临界值——线段的中点与点重合和点、在正方形的边上，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：点，， 点与原点的“坐标距离”为5； （2）解：如图，与原点的“坐标距离”为1的点在边长为2，中心点为的正方形的边上， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 的取值范围为； （3）解：直线与轴、轴分别交于点、， 令，则；令，则，解得：， ，， 的中点坐标为， 由题意可知，与原点“坐标距离”为的点在边长为，中心点为的正方形的边上， 当时，，则直线经过第一、二、三象限，如图，此时， 若线段的中点与点重合，则，， 解得：，不符合题意； 若点、在正方形的边上，则，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，，则直线经过第一、三、四象限，如图，此时， 若线段的中点与点重合，则，， 解得：； 若点、在正方形的边上，则，， 解得：， 的取值范围为； 当时，与原点“坐标距离”为的点是原点，即线段经过原点， 直线中， 线段不可能经过原点，不符合题意； 当时，，则直线经过第一、三、四象限，如图，此时， 若线段的中点与点重合，则，， 解得：； 若点、在正方形的边上，则，， 解得：， 的取值范围为 综上可知，的取值范围为或． 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $