专题03 函数14大题型70题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03函数 基础·固本强基 题型1常量与变量的判断（重点） 题型2用表格表示变量之间的关系（重点） 题型3用关系式表示变量之间的关系（重点） 题型4用图象表示变量之间的关系（重点） 题型5判断是否为函数（重点） 题型6列函数关系式（重点） 题型7求函数自变量的取值范围（重点） 题型8已知自变量求函数值、已知函数值求自变量（重点） 提升·进阶突破 题型9函数图像的识别（重点） 题型10根据图像读取信息（重点） 题型11列表法、解析式法、图像法互相转化（重点） 拔高·压轴破难 题型12用描点法画函数图象（重点） 题型13动点生成函数图像问题（重难点） 题型14从图象中获取信息解答题压轴行程问题（难点） 基础·固本强基 题型1常量与变量的判断（共5小题） 【模型】变化关系模型：在一个变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量 【步骤】①先找准题目描述的变化过程；②区分哪些量固定不变，哪些量会改变；③标注出常量、变量 【易错】π是常量，容易误当成变量；忽略指定研究过程，错把暂时不变的量判定为常量 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（     ） A．金额是因变量，金额随油量的增加而增加 B．油量是自变量，金额随油量的增加而减少 C．单价是常量，油量随单价的增加而增加 D．油量是常量，油量随金额的增加而增加 【答案】A 【分析】本题考查变量和常量，根据一个变化过程中，变化的量为变量，固定不变的量叫做常量，因变量随着自变量的变化而变化，据此进行判断即可． 【详解】解：由题意，油的单价固定不变，金额随着油量的增大而增大，故单价是常量，油量为自变量，金额为因变量；故符合题意的只有选项A． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）某市居民生活用水的价格为5元，记某户的月用水量为，月应缴水费为y元，其中的常量是（     ） A．生活用水每吨的价格 B．某户的月用水量x C．月应缴水费y D．某户的月用水量x和月应缴水费y 【答案】A 【分析】根据定义判断变化过程中数值不变的量即为常量． 【详解】由题意得，， ∵水的单价始终保持5元不变，月用水量和月应缴水费都会发生变化， ∴常量是生活用水每吨的价格． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，变量是（     ） A．单价 B．质量 C．金额 D．质量和金额 【答案】D 【分析】在一个变化过程中，数值不发生变化的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量． 【详解】解：在购买过程中，单价由商家确定，是固定不变的，是常量， 质量是可以变化的，故是变量， 金额单价质量，金额会随着质量的变化而变化，是变量， ∴在这三个量中，变量是质量和金额． 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期中）神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【详解】解：由题意，燃料的体积随飞船飞行高度的增加而减少，即燃料体积随飞行高度的变化而变化．主动发生变化的量是飞船的飞行高度，即自变量是飞船的飞行高度． 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 【答案】C 【分析】先确定固定不变的苹果总数，再判断，的数值是否变化，即可区分常量与变量． 【详解】解：苹果总数为，是固定常量，故D错误． 苹果随意放入两个篮子，的数值可以变化， 的数值也随之变化，即，是变量， 、错误，正确． 题型2用表格表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】表格对应模型：表格第一行、第二行分别对应自变量、因变量，一一对应 【步骤】①看懂表头含义；②读取每行两组数据；③分析随着自变量变化，因变量的变化趋势 【易错】搞反自变量、因变量；只看局部几组数据，错误总结整体变化规 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的体现．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位高度（）和时间（）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据： （） … … （） … … (1)以上两个变量中，自变量是（选填“”或“”），当时，； (2)从表格中的数据看，随着时间的增加，水位高度的值是增大还是减小？ 【答案】(1)， (2)随着时间的增加，水位高度的值增大 【分析】根据表中的多组对应数据，进行自变量的判断、查表求值、变化趋势判断，从而解题． 【详解】（1）解：根据题意，时间是自主流逝的量，水位高度随时间的变化而变化，因此自变量为时间，根据表中数据，当时，； （2）解：从表格中的数据看，随着时间的增加，水位高度的值增大． 7．（25-26七年级下·广东河源·期中）刹车距离是指车辆从驾驶员踩下制动踏板开始到车辆完全停止时所行驶的距离．某汽车的刹车性能（车速不超过）测试数据如下表所示： 刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 … 刹车距离 0 2.4 4.8 7.2 9.6 … (1)直接写出刹车时车速v（）与刹车距离s（m）之间的关系式； (2)若该汽车以的速度前行，且与前车始终保持直线距离，通过计算说明，当遭遇紧急情况时，司机紧急制动后是否会发生追尾？ 【答案】(1) (2)会 【分析】（1）根据表格中的数据可知当刹车时车速每增加时，刹车距离增加，由此可得． （2）将代入，进而比较距离的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，当刹车时车速每增加时，刹车距离增加， ∴，其中． （2）解：当时，， 因为， 所以会发生追尾． 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 【答案】D 【分析】A、先明确自变量和因变量的定义，判断剩余水量和放水时间的对应关系． B、因为放水时间时，对应的剩余水量是初始装满水的水量，所以可直接得到蓄水池的容积． C、计算相邻时间点的剩余水量差值，判断单位时间的放水量规律． D、根据得到的水量变化规律，推导放水时间为时的剩余水量，再逐一对应选项判断正误． 【详解】A、∵池内剩余水量随放水时间的变化而变化， ∴池内剩余水量是因变量，A正确； B、∵放水时间为时水池装满水，此时剩余水量为， ∴蓄水池容积为，B正确； C、对比表格中相邻两组数据，放水时间每增加，剩余水量减少，C正确； D、∵放水时间每增加，剩余水量减少， ∴当时，剩余水量， ∴D错误． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】先计算相邻质量对应的费用差值，得到费用增量规律，再判断各选项正误． 【详解】解：选项A：由表格数据可知，寄送物品质量越大，快递费用越高，A说法正确； 选项B：查表得，寄送物品质量为时，快递费用为元，B说法正确； 选项C：由表格规律，每增加，费用增加元，故估计质量为时，费用为元，C说法正确； 选项D：寄送物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 10．（26-27九年级上·广西南宁·期中）科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 【答案】A 【分析】先根据声速随温度的变化趋势判断A、B的正误，再验证对应温度下的声速判断C、D的正误． 【详解】解：∵由表格数据可知，温度升高时声速逐渐增大， ∴声速随温度的增大而增大，温度越高声速越快，A说法错误，符合题意；B说法正确，不符合题意． ∵由表格中对应数据可知，时声速为，声速为， ∴C、D说法均正确，不符合题意． 题型3用关系式表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】解析式对应模型：y（因变量）可以用含x（自变量）的代数式表示 【步骤】①找到题目中的等量关系；②用字母代替各个量，列出等式；③整理成用自变量表示因变量的关系式 【易错】等量关系找错；单位不统一就列式；关系式化简出错 11．（26-27八年级上·全国·期中）七年级下册《变量之间的关系》一章中有如下三个问题，能否将其中变量之间的关系看成函数： (1)在车速一定时，反应时间与反应距离之间的关系； (2)三角形一边上的高一定时，三角形面积y与该边的长度x之间的关系； (3)由某港口某天从到的水深变化曲线所确定的水深与时间之间的关系． 【答案】(1)能看成函数 (2)能看成函数 (3)能看成函数 【分析】根据函数的定义，即可求解． 【详解】（1）能看成函数，该变化过程中有反应时间和反应距离两个变量，对于每一个确定的反应时间，都有唯一确定的反应距离与之对应，符合函数的定义； （2）能看成函数，该变化过程中有该边长度x和面积y两个变量，三角形一边上的高h为定值，由面积公式得，对于每一个确定的x，都有唯一确定的y与之对应，符合函数的定义； （3）能看成函数，该变化过程中有时间和水深两个变量，由到的水深变化曲线可知，对于每一个确定的时间，都有唯一确定的水深与之对应，符合函数的定义． 12．（26-27八年级上·陕西西安·期中）一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； (2)若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 【答案】(1)与的关系式为，的取值范围是 (2)汽车已行驶了 【分析】（1）用油箱中现有的油量减去行驶消耗的油量即可得到对应的关系式，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将剩余油量代入关系式，求解对应的行驶里程． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 解得， 答：汽车已行驶了． 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示．根据这个关系式，当时记为，当时记为，求的值． 【答案】4 【分析】分别将和代入计算即可解答． 【详解】解：由题意知：当时，， 当时，， ． 14．（26-27八年级上·四川成都·期中）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 【答案】(1)梯形的高，梯形的面积，上底，下底 (2) (3)面积从变化到 【分析】（1）根据自变量，因变量，常量的定义解答； （2）根据梯形的面积公式解答即可； （3）将分别代入关系式，再求出解即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，上底和下底是常量； （2）解：； （3）解：当时，； 当时，， 所以梯形的面积从变化为． 15．（26-27八年级下·全国·期中）某中学八年级（2）班的同学平均每人一学期要使用某种笔记本8本，这种笔记本的售价是3元/本．n名同学一学期买这种笔记本的总金额为m元．请指出问题中的常量和变量，并写出m与n之间的关系式． 【答案】 常量：3，8 变量：学生人数，总金额 与的关系式为（为正整数） 【分析】根据常量与变量的定义区分对应量，结合总金额的计算逻辑推导与的关系式. 【详解】解：∵问题中笔记本售价为3元/本，平均每人一学期使用8本笔记本，数值固定不变， ∴常量为3，8， ∵学生人数可取不同的正整数值，总金额随的变化而变化， ∴变量为，， ∵名同学一学期使用的笔记本总数量为本， ∴，其中为正整数． 题型4用图象表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】图像对应模型：横轴代表自变量，纵轴代表因变量，图像上每一点是一组对应值 【步骤】①看清横、纵坐标轴代表的实际意义；②顺着图像走向，读取每个阶段的变化；③描述自变量与因变量变化关系 【易错】分不清坐标轴含义；把图像当成物体实际运动路线（行程图高频错误） 16．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化（），观察图象的变化过程，回答下列问题： (1)自变量是___________； (2)这个病人当天的最高体温是___________，最低体温是___________； (3)若人体体温为及以上时即为发烧，则这位病人发烧的时间段为几时到几时？ 【答案】(1)时间 (2)； (3)时到时 【分析】（1）根据函数图象的横纵轴定义，横轴代表的量即为自变量； （2）找到图象的最高点和最低点，读取对应的纵轴数值即可； （3）先找到体温为对应的两个时间点，这位病人发烧的时间段在这两个时间点之间． 【详解】（1）解：观察图象可知，自变量是时间； （2）解：观察图象可知，这个病人当天的最高体温是，最低体温是； （3）解：观察图象可知，这位病人发烧的时间段为时到时． 17．（26-27八年级下·全国·期中）人们对于学过的知识会遗忘，遗忘曲线（如图）描述了人类大脑对新事物记忆保存量减少的规律． (1)图中横轴表示初次记忆后经过的时间，纵轴表示记忆保存量，是的函数吗？为什么？ (2)观察遗忘曲线，对于新学习的知识，你能否给出复习的建议？ 【答案】(1)是的函数，理由：因为对于t的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应． (2)建议及时复习巩固，减少对新学习的知识的遗忘．（答案不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26八年级下·云南德宏·期中）如图，小红家、公园、早餐店在同一条直线上．小红周末从家出发，先匀速跑步到公园晨练，在公园锻炼一段时间后，步行到早餐店吃早餐，最后匀速散步回家．该图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： (1)公园距离早餐店，小红从早餐店回家用时； (2)求小红从家到公园的平均速度是多少？ 【答案】(1)0.9，40 (2)小红从家到公园的平均速度是 【分析】（1）首先分析函数图象各阶段的实际意义：y轴表示离家距离，x轴表示出发后的时间，水平线段对应小红停留的状态，上升或下降线段对应移动状态．求公园到早餐店的距离：因为公园对应离家距离为，早餐店对应离家距离为，所以用两者的距离作差即可得到．求早餐店回家的用时：因为小红从早餐店出发的时间对应，到家的时间对应，所以用两个时间作差即可得到． （2）求从家到公园的平均速度：因为从家到公园的路程为，对应的时间为，所以根据速度公式计算即可． 【详解】（1）解：从图象可知：公园距离家，早餐店距离家， ∴公园到早餐店的距离为； ∵小红在第时结束吃早餐开始返程，第时回到家， ∴从早餐店回家用时为． （2）解：由图可知，小红家距离公园，小红从家到公园用了， ∴． 答：小红从家到公园的平均速度是． 19．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 【答案】(1)时间 (2)1500；4 (3)450 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）利用速度等于路程除以时间，计算出各个区段的速度即可作答． 【详解】（1）解：图中自变量是时间； （2）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了（分钟）； （3）解：在分钟之间，小李花了6分钟走了米， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了：（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了4分钟做了停留，即此时速度为（米/分钟）； 在分钟之间，小李花了2分钟走了（米）， 即此时速度为（米/分钟）； 即小李的最快速度为米/分钟． 20．（25-26七年级下·四川成都·期中）天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 【答案】(1)电动艇的速度为 (2) 皮划艇在整个过程中共用了，补全图形如下： (3)或 【分析】（1）由图可知，至段，两船之间的距离增长较快，结合题意可知，这个时段为皮划艇休整的10分钟，根据速度、时间、路程之间关系即可求解； （2）由图可知，30分钟时电动艇到达码头，皮划艇行驶了20分钟，结合（1）中结论可得皮划艇的速度，进而即可求解； （3）先根据两船速度求出、和汇合时的时间，再分段讨论，根据两船行驶路程的倍数关系列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 即电动艇的速度为； （2）解：皮划艇的速度为：， ， 即皮划艇在整个过程中共用了， 补全图形略； （3）解：由题意知， ， 两船汇合时所用时间为：， 设时间为时，电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍， 分情况讨论： 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 综上可得，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间为或． 21．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 【答案】(1)2；30 (2) 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … (3) (4)骑行或时，东东与家相距 【分析】（1）由图象信息，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家； （2）略 （3）解：第小时的速度：（km/h）， 所以，． （4）解：去时：当时，代入得：，． 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行或时，东东与家相距． 题型5判断是否为函数（共5小题） 【模型】函数定义模型：在一个变化过程，对于自变量x每取一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应（垂直x轴直线检验法：竖线法） 【步骤】①确定自变量；②任取一个自变量值，看对应的因变量是不是只有一个；③竖线法：任意画垂直x轴的直线，和图像最多只有一个交点 【易错】理解成“一个y对应一个x”；竖线判断时漏看交点数量 22．（26-27八年级上·全国·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图像可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在A、B、D这三个选项中都存在某个的值使得有两个值与之对应，故y不是x的函数， C选项中，对于任意的的值，都有唯一的值与之对应，故y是x的函数． 24．（26-27八年级上·安徽蚌埠·期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【详解】解：A项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； B项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； C项：当x取正数时，y会有两个值与之对应，则y不是x的函数，符合题意； D项：对于任意一个x，代入后都能得到唯一的y值，符合函数的定义，不符合题意． 25．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 26．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）变量、有如下关系：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是的函数的个数(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题根据函数的定义判断，即对于的每一个确定的值，若有且仅有唯一确定的值与之对应，则是的函数，统计符合条件的关系式个数即可得到答案． 【详解】解：根据函数定义：对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，就是的函数，逐个判断如下： ①可变形为，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ②，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ③，当取正数值时，有两个不同的值与之对应，不是的函数． ④，对的每一个非负确定值，都有唯一值对应，是的函数． ⑤，对任意，都有唯一值对应，是的函数． ⑥，当取正数值时，有两个不同的值与之对应，不是的函数． 综上，符合是的函数的关系式共个． 题型6列函数关系式（共5小题） 【模型】函数建模模型：依托实际等量关系，写出y关于x的表达式 【步骤】①审题，找到等量公式；②设出自变量、函数；③列式化简，写出关系式 【易错】没有结合实际限制条件；混淆自变量和因变量；漏写平方、倍数等关系 27．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 28．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求解． 【详解】∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的水量为升， 又∵剩余水量总水量流出水量，总水量为升， ∴． 29．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】篱笆总长应恰好为25米，据此列出等式．根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可知，， 所以． 30．（25-26八年级下·河北衡水·期中）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总金额由上门费和购买树苗的费用组成，将两部分费用相加得到总金额，即可推导出函数解析式． 【详解】解：由题意得，． 31．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菜园的三边的和为，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， ， ， ，， ， 解得， ． 题型7求函数自变量的取值范围（共5小题） 【模型】取值限制模型：整式：全体实数；分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0；实际问题：还要符合现实意义 【步骤】①看解析式类型（整式/分式/二次根式）；②列出限制不等式；③解不等式，写出取值范围 【易错】二次根式忘记“≥0”写成＞0；分式忘记分母不能为0；实际问题忽略不能取负数 32．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】∵分式的分母不能为， ∴， 解得． 33．（25-26八年级下·四川·期中）已知函数，则自变量的取值范围为___． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围、立方根和分式有意义的条件，令分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，分母不为0， 即， 解得， 任意实数的立方根都有意义， 分子对的取值没有限制， 综上，． 34．（25-26八年级下·全国·期中）函数，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：由题意得，，解得且． 35．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数有意义，需满足以下条件： 1.根式的被开方数，解得． 2.零次幂的底数，解得． 3.分母．当时，，此时分母为，因此，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 36．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围为_____． 【答案】全体实数 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围计算，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 故自变量x的取值范围为全体实数， 故答案为：全体实数． 题型8已知自变量求函数值、已知函数值求自变量（共5小题） 【模型】代入求值模型：把已知数代入解析式，解方程 【步骤】①已知x求y：直接代入计算代数式的值；②已知y求x：把y代入，解关于x的方程 【易错】代入的时候符号出错；解方程漏根；代入时分母为0的情况没有舍去 37．（26-27九年级上·上海金山·期中）已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【答案】 【分析】将代入二次函数解析式计算，即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入，得， ∴当x的值为时，对应的函数值为． 38．（25-26七年级下·河北张家口·期中）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 【答案】 【分析】将代入给定的气温与海拔的关系式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入， 得． 39．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）汽车行驶前，油箱中有油，已知每100千米汽车耗油，油箱中的余油量与它行驶的距离s（千米）之间的关系式为__________；当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了__________千米． 【答案】500 【详解】解：由题意，， 当时，，解得， 即当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了千米． 40．（25-26八年级下·全国·期中）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 【答案】15 【分析】将的数值代入函数关系式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将代入得， 解得， 因此它的摄氏度数是． 41．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度和点燃后的时间之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为_____． 【答案】 【分析】先将已知的重力加速度g、初速度代入高度关系式，得到离地面的高度和点燃后的时间之间的关系式，再将代入关系式即可求得离地面的高度． 【详解】解：将和代入关系式， 得， 将代入关系式，得， ∴在点燃后的时，离地面的高度为． 提升·进阶突破 题型9函数图像的识别（共5小题） 【模型】变化匹配模型：图像增减趋势匹配题目描述的变化过程 【步骤】①梳理题干事件的变化阶段；②判断每一段自变量、因变量上升、下降、不变；③匹配对应图像 【易错】忽略平台段（不变阶段）；增减趋势判断相反 42．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）明明晚饭后出门散步，散步行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设明明家为点O，可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，然后分析每段运动过程对应的图像，并作出选择． 【详解】如图，设明明家为点O，可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点， 当明明由O点到A点时：h随着t的增加而增加， 当明明由A点到B点时：随着t的增加h不变， 当明明由B点到O点时：h随着t的增加而减小， 所以函数图像变化趋势为，先增加，再不变，最后减小， 故B选项与题意相符． 43．（2026·四川德阳·中考真题）一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开始内只进水不出水，每分钟的进水量是常数， ∴前10分钟水量匀速增加，图象是一条倾斜上升的直线； 由选项C，D可得，水塔内的水量继续增多， ∵在随后的内既进水又出水，出水量是常数， ∴图象是一条倾斜上升的直线，但倾斜程度要比第一段平缓． ∴C选项符合题意． 44．（26-27七年级上·河南郑州·期中）“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”意思是一群孩子在庭院里玩耍，一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里．其他孩子都被吓跑了，只有司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来，那个孩子得救了．——《司马光砸缸》出自《宋史》．下面哪幅图较符合故事情节（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】水面本身有一定高度，随着“一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里”，水面会越来越高直到这个孩子完全浸没在水里后水面高度不变，随着“司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来”，水面高度会一直下降直到水无法再涌出． 【详解】解：由题意得水面高度会经历保持不变，逐渐升高，保持不变，逐渐下降的过程，故选B． 45．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）早上，小明乘坐爸爸的电动车从家出发去图书馆看书，看了一会儿书后，走路回家，下列图象能正确描述小明当天离家的距离y（千米）与用时x（分钟）之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据小明的行程分为三个阶段：去图书馆（距离增加）、看书（距离不变）、回家（距离减小），结合交通工具速度差异判断图象走势及倾斜程度． 【详解】解：第一阶段，小明乘电动车从家去图书馆，离家距离y随时间x的增大而增大，图象表现为上升线段； 第二阶段，小明在图书馆看书，离家距离y保持不变，图象表现为平行于x轴的水平线段； 第三阶段，小明走路回家，离家距离y随时间x的增大而减小直至为0，图象表现为下降线段；因为电动车速度大于走路速度，所以第一阶段图象比第三阶段图象更陡峭； 综上所述，图象A符合题意． 46．（25-26八年级下·吉林长春·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面上升越快，容器越细，据此分析判断即可． 【详解】解：由图像可知，水面高度h随时间t的变化分为两段， 第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗）， 第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细）， ∴容器的形状应为下部较粗，上部较细， 观察各选项，A、C上下粗细相同，D下部细上部粗，B下部粗上部细， 故选项B符合题意． 题型10根据图像读取信息（共5小题） 【模型】图像信息提取模型：图像上点坐标代表一组对应数据 【步骤】①读懂坐标轴；②找到目标横坐标/纵坐标对应的点；③读出坐标，结合问题计算作答 【易错】看错坐标轴刻度；没有看清楚图像拐点的含义 47．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息，下列说法正确的个数为（     ） ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图象可知当时，点P在上运动，当，点P在上运动，据此可判断①；则，，根据当点P运动到直线与交点处时，y的值为0，得到，据此可判断②；则当P点运动到F点时，y对应的值为，据此可判断③；分当时，当时，当时，三种情况求出x的值即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动， 当时，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得当上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 综上，只有①③正确． 48．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 【答案】D 【详解】解：A、由图象可知，甲出发时间为，乙出发时间为，所以甲、乙两人不是同时出发，A选项错误； B、甲的速度为，B选项错误； C、乙的速度为，C选项错误； D、甲到达时间为，乙到达时间为，甲比乙晚到，D选项正确． 49．（26-27八年级上·安徽淮北·期中）如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据函数图象获得线段的长度以及三角形的面积，然后利用长方形的性质得出相等的线段，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形和四边形为长方形， ∴，， 由函数图象可知，当点与点重合时， ， 解得， ∴． 50．（26-27九年级上·广西南宁·期中）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图像可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为，根据快递车的速度不变列方程求解即可． 【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为，根据题意得： ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以，快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 【点睛】分式方程一定要检验． 51．（2026·江苏常州·中考真题）如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 【答案】C 【分析】分析图2，原点纵坐标上对应点释放位置，而后小球开始摆动，在、处位于最低点，判断相应选项是否符合即可． 【详解】选项，由图2对照分析可知，释放小球的位置位于点处，此时距离操作台台面的高度是，选项正确； 选项，小球分别在、处位于最低点，此时高度为，选项正确； 选项，小球自释放开始，先向左摆动，经过后到达左侧的最高点，而后向右摆动，在处到达最低点，故当时，小球位于左侧，选项错误； 选项，小球在位于最低点，而后向右摆动至，即时间从至时，小球离操作台面的高度越来越大，选项正确； 故选择选项． 题型11列表法、解析式法、图像法互相转化（共5小题） 【模型】三法互化模型：表格、关系式、图像表达的是同一组变量对应关系 【步骤】①表格→解析式：找数据规律列式；②解析式→表格：取x算y填表；③解析式/表格→图像：描点连线 【易错】转化前后对应数值不匹配；描点连线时盲目延长图像 52．（25-26八年级下·北京·期中）快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后1至6小时不同工作时长（单位：小时）对应的累计分拣总量（单位：万件），数据如下： 工作时长 1 2 3 4 5 6 甲分拣机 2 6 8 10 12 乙分拣机 (1)观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出的值； (2)在平面直角坐标系中，大致画出，在范围内的图象； (3)结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为小时（结果保留一位小数）； (4)如果有20.1万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 【答案】(1) (2)解：如图， (3)． (4) 【分析】（1）由表格信息可得答案； （2）先描点，再画图即可； （3）结合图象可得答案； （4）甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作，可得，进一步解方程即可． 【详解】（1）解：观察甲分拣机的数据变化规律，可得：． （2）略 （3）解：结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长约为小时． （4）解：由表格信息可得：甲分拣机每小时完成万件，乙分拣机小时完成万件， 设在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． ∴， 解得：， ∴甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 53．（25-26九年级下·北京·期中）现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 (1)两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为________； (2)在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； (3)某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡；运动70分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡（保留整数）． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)117；335 【分析】（1）观察表格数据可知，时间每增加10分钟，能量消耗值增加50千卡，即可得出结果； （2）根据表格数据画出图象即可； （3）结合题意题及图象，按照两张算法的规则求解即可． 【详解】（1）解：观察数据，可知时间每增加10分钟，能量消耗值增加50千卡，所以与x的函数关系式为； （2）解：根据表中的数据描点，连线，图形如下： （3）解：根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡， 手环显示B种算法的能量消耗值为117千卡； 运动70分钟时，，， ， 第一次计算平均数为：， ， 第二次计算平均数为：，且， 第三次计算平均数为：，且， 手环显示的能量消耗值是335千卡． 54．（2026·北京·模拟预测）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 【答案】(1) 画图如下： (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【详解】（1）解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过， （2）解：对添加剂A，根据图象可得在时，，即可达到； 对添加剂，令，解得， ∴满足要求的浓度更低，选添加剂． 根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， ∴的范围是． （3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， ∴成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 55．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点为处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）的变化情况．得出如下几组实验数据： /cm 10 15 25 30 30 20 a 10 (1)表中的值是__________； (2)小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像； (3)根据以上数据与图像判断，当增大时，是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3) 解：根据以上数据与图像判断，当增大时，是减小， 理由：根据函数图象发现随着值的增大，对应的值越来越小；或由可得当增大时，是减小． 【详解】（1）解：由表格发现， ∴当时，， 解得； （2）略 （3）略 拔高·压轴破难 题型12用描点法画函数图象（共5小题） 【模型】描点作图模型：列表→描点→连线 【步骤】①表格→解析式：找数据规律列式；②解析式→表格：取x算y填表；③解析式/表格→图像：描点连线 【易错】转化前后对应数值不匹配；描点连线时盲目延长图像 56．（26-27八年级上·安徽六安·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_________； (2)①列表，找出y与x的几组对应值，其中，m＝_____； x … 0 1 2 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中，描出以上表中对应数据坐标的点，并画出该函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集：_____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①2；② (3)或 【分析】（1）根据绝对值函数的自变量取值范围可知对于函数，无论x取任何实数，都有意义； （2）①将代入函数求解即可；②描出补全后的表中各组对应值所对应的点，画出该函数的图象，图象呈“V”字形，顶点为； （3）分析可知，指的是图象在的部分对应的x的取值范围，据此可直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：在函数中，自变量的取值范围是x为任意实数； （2）①由表格可知，函数值为m时对应的x的值为， 所以，当时，，即m的值是2； ②略 （3）当时，在坐标系中画出直线，观察函数的图象，找出图象在直线上方（包括交点）的部分； 由图象可知，当时，；当时，； 所以，不等式的解集是或． 57．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 【答案】(1)； (2) (3)图象关于直线对称；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）按表格描点，连线即可； （3）观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：当时，；当时，； （2）略 （3）略 58．（25-26七年级下·山东临沂·期中）综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 (1)画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． (2)判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； (3)观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． (4)【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)点，； (3)， (4) 【分析】（1）二元一次方程的图象是直线，依据几何基本事实两点确定一条直线，只需找出直线上两个点描点连线，就能画出完整图象． （2）判断点是否在直线上，将各点横坐标代入解析式计算y，若计算出的y与点纵坐标相等，则该点在图象上，筛选出符合条件的点，再取两点作图． （3）两个一次函数图象交点的横、纵坐标，就是对应二元一次方程组的解，联立方程求出交点坐标，直接得到方程组的解． （4）不等式对应图象上直线位于下方的部分，结合两直线交点，确定满足位置关系的x取值范围． 【详解】（1）解：画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：两点确定一条直线； （2）解：当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 当时，，，所以点不在图象上． 当时，，，所以点在图象上． 综上，在图象上的是点，． 作图：略 （3）解：观察图象，两条直线的交点为， 所以方程组的解为． （4）解：从图象看是下降直线，是上升直线，两直线交于． 不等式的几何含义：直线在直线下方时的取值． 从图象看：交点右侧，的图象更低，即． 59．（25-26八年级下·山东临沂·期中）【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为_________； (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； (4)此函数图象与直线的交点坐标是________________． 【答案】(1) (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 2 1 0 1 2 … 描点、连线，绘制函数的图象如图： (3)①函数图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (4)和 【分析】（1）根据两点间距离公式解答即可； （2）将依次代入计算，再填表，描点、连线，绘制函数的图象即可； （3）根据函数图象解答即可； （4）根据函数图象即可解答； 【详解】（1）解：根据题意可得，A点坐标为， ∵在x轴上， ∴两点距离为， ∴解析式为； （2）解：时，； 时，； 时，； 时，； 填表，画图见答案； （3）略 （4）解：根据函数图象可得函数的图象与直线的交点坐标为和． 60．（25-26八年级下·山东临沂·期中）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日（可取，，或）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图1所示． (1)观察曲线，当整数的值为时，的值首次超过； (2)求出表中的值，并在给出的图2的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？说明理由． 【答案】(1)6 (2)46，； (3)解：小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书，理由如下： 单日制成不少于45个合格品的只有与， 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ． 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ． ， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书． 【分析】（1）在图象上找出的值首次超过35时的值即可； （2）根据从第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系中描点画出函数图象； （3）根据单日制成不少于45个合格品的只有与，：，时，，得；：，时，，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数的值为6时，的值首次超过35． （2）解：日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， 相差（个，且第6日比第5日多2个， 第4日增加3个，第5日增加2个． ． 画出时的曲线 （3）略 题型13动点生成函数图像问题（共5小题） 【模型】分段变化模型：动点在不同线段运动时，因变量随时间的变化规律不一样，图像分段 【步骤】①分析动点运动路线，划分运动阶段；②写出每一段对应的函数变化趋势；③判断每一段图像上升、下降、水平 【易错】分段分界点找错；分不清速度变化带来图像斜率变化 61．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图1，与长方形的一条边重合，动点从出发沿折线运动到点停止，运动速度为每秒1个长度单位，在点运动过程中，的面积与运动时间（秒）的关系如图2所示，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积公式：，是点到直线的垂直高度． 在上：到达，得；此时面积最大值，可求出长度． 在上：从到，时长，长方形水平边长；此阶段到高度不变，面积保持不变． 在上：时对应，到停止，高度逐渐减小，面积线性下降至． 【详解】解：时，到，，此时． ， 代入：，，， 故选项A：，错误． 从到用时秒，速度1单位/秒，长方形对边相等： ， ，，，选项B错误． 到达，时，在上运动了单位， 剩余竖直高度：， ， 选项C：，正确． ，从到需要6秒，到达时刻： ， 选项D：，错误． 62．（2026·海南海口·二模）如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：由图象得，当时，点与的中点重合， 当时，点B运动到的中点， ∴， ∴正方形的边长为6． 63．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】分别判断出点在线段、、上运动时，的面积的变化趋势，对应函数图象求出线段、的长，在判断点在哪条线段上运动时是直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：①当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而增大； ②当点在线段上运动时， 的面积保持不变； ③当点在线段上运动时， 的面积随着点运动的路程的增大而减小； 由函数图象可得，，， ． 当点在线段和线段上运动时，是直角三角形， 当，时，是直角三角形． 只有B选项不在此范围内． 64．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿的路线运动到点C停止，过点P作于点M．设点P运动的路程为x，，y与x之间的函数关系图象如图2所示，则的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】由题意，知当点P运动到点B时，，，即，，确定当时，，即，此时点P在BC边上，记此时点P的位置为，此时点M与点C重合，结合题意求解即可． 【详解】解：由题意，知当点P运动到点B时，，，即，． 由题图2得：当时，，即， 此时点P在边上，记此时点P的位置为， 如图，此时点M与点C重合． ∴，． ∴． ∵， ∴． 65．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：结论①， 在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； 结论②， 总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒，结论②错误； 结论③点从点运动到点用时秒； ∵长，速度为， ∴用时秒，结论③正确； 结论④当的值为时，点运动的路程为厘米 前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是；结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 题型14从图象中获取信息解答压轴行程问题（共5小题） 【模型】行程图像模型：横轴时间、纵轴路程，斜率代表速度，拐点代表状态改变（到达、停留、相遇） 【步骤】①标注坐标轴含义，找出拐点信息；②计算每一段速度、时间、路程；③结合相遇、追及等量关系列式求解 【易错】混淆相遇点、到达点；停留阶段斜率不为0；单位换算出错 66．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，某商场有一双向运行的自动扶梯，扶梯上行和下行的速度保持不变且相同，甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以的速度往上跑，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，两人在途中相遇，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯，同时以的速度往下跑，而乙到达底端后则在原地等候甲．图2中折线表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，两人之间沿着扶梯方向的距离（m）与所用时间（s）之间的关系，结合图象解答下列问题： (1)甲、乙两人在乘坐扶梯过程中相遇时，甲距离扶梯底端的路程是多少米？ (2)求图2中，的值． (3)求甲、乙两人之间沿着扶梯方向的距离为时，所用的时间． 【答案】(1)甲距离扶梯底端的路程是18米 (2)， (3)所用的时间为或或 【分析】（1）设电梯的运行速度为，根据图象列出方程求解； （2）根据（1）求出的电梯运行速度，结合图象进行求解； （3）根据图象，分三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设电梯的运行速度为，根据图象可得， ， 解得， ， 所以，甲距离扶梯底端的路程是18米； （2）解：， ， ∴； ， ， ∴； （3）解：在相遇前：； 相遇后：； 甲追及乙时：； 所以，所用的时间为或或． 67．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B． 甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)出发时，甲和乙之间的距离是_____米； (2)乙在补给站休息了多少分钟？ (3)甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 【答案】(1)600； (2)10分钟； (3)10或22或分钟. 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）求出乙步行和骑车的速度，再计算时间即可； （3）求出甲乙的速度，再按甲追上乙前后分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0分时，距离是600米， 即出发时甲和乙之间的距离为600米. （2）解：乙步行速度为（米/分钟）， 骑车速度为（米/分钟）. 骑行时间为（分钟）. ∴乙休息时间为（分钟）． 答：乙在补给站休息10分钟. （3）解：甲速度为（米/分钟）， 甲追上乙的时间为（分钟） 由（2）可知：. 设甲步行t分钟，甲、乙两人之间的距离为400米， 甲追上乙前即时， 列方程得 解得：，符合题意； 甲追上乙后，乙骑行前即时， 则， 解得，符合题意； 乙骑行后即时，则 解得，符合题意； 答：甲步行10或22或分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 68．（25-26七年级下·四川成都·期中）小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： (1)求妈妈购物花了多少时间？ (2)求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ (3)求为何值时，妈妈和小明相距360米． 【答案】(1)分钟 (2)600米 (3)，，分钟 【分析】（1）由图象求出两人速度和为米/分，妈妈速度120米/分．再求出妈妈总用时和路上的时间，进而求出购物时间； （2）小明30分钟到家，妈妈15分钟到超市，购物5分钟，第20分钟开始返回．到第30分钟时，妈妈已返回10分钟，返回路程米，离家距离米，故两人相距600米． （3）分五个时间段讨论：①相遇前相向而行，距离得；②相遇后背向而行，距离得；③妈妈在超市购物，小明离开超市，不符合题意；④妈妈返回同向追及，距离得，超出范围；⑤小明已到家，妈妈继续返回，距离得． 【详解】（1）解：由图象可知，家与超市A的距离为1800米． 两人10分钟相遇， 速度和为：米/分， 小明速度为60米/分， 妈妈的速度为米/分， 妈妈从家到超市的单程时间分钟， 小明走完全程回家的总时间分钟， 小明比妈妈早到家5分钟， 妈妈全程总用时分钟， 妈妈购物时间为分钟． （2）解：由（1）得小明30分钟到家， 妈妈15分钟到达超市，购物5分钟，第20分钟开始返回； 到第30分钟时，妈妈已返回分钟， 返回的路程为米， 妈妈距离家的距离为米， 此时小明已到家，两人相距600米． （3）解：分阶段讨论： ①：两人相向而行，未相遇， 由题意得，，解得， ②：两人相遇后背向而行， 由题意得，，解得， ③：妈妈在超市购物， 两人距离为小明离开超市的距离，此时距离大于，不符合题意， ④：妈妈返回，同向追及小明， 当时，两人相距米， 由题意得，，解得，不符合题意． ⑤：小明已到家，妈妈继续返回， 此时，两人距离等于妈妈离家的距离， ，解得， 综上，当，，分钟时，妈妈和小明相距360米． 69．（25-26七年级下·重庆·期中）已知A，B两地之间有一条公路，甲车从A地匀速前往B地，乙车从B地匀速前往A地，两车同时出发，各自到达目的地后即停止相应的运动．出发18分钟后，甲与乙第一次相遇，相遇后甲再行驶分钟到达目的地B处．当甲到达目的地时，乙刚好到达加油站，用了6分钟排队加油，加满油后，乙按照加油前的速度继续前行到达目的地A．甲乙两车之间的距离与运动时间的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)AB两地相距________千米，甲车的速度为________千米/分钟，乙车的速度为________千米/分钟； (2)________，________，________； (3)在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，求出此时的值． 【答案】(1)，， (2)，， (3)在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，此时的值为8分钟或者36分钟 【分析】（1）图像时，直接得AB总路程；两车18分钟相遇，速度和总路程；乙全程从B到A共用60分钟，可先求乙速度，再求甲速度． （2）：相遇后甲走的路程=相遇前乙走的路程，用路程÷甲速得； ：甲走完全程总时间=，即； ：时甲到达B停止，此时乙行驶了分钟，乙已走路程． （3）分三个阶段讨论：①相遇前：两车未碰面，距离=总路程−两车路程和；②相遇后、甲到达B前：两车错开背向，距离=两车路程和−总路程；③甲到达B后、乙加油阶段：甲停在B，只有乙向前走；④乙加油结束后：甲静止，乙继续向A走．分别列方程求解，舍去不在区间内的解． 【详解】（1）解：时两车未出发，距离即为全程：． 乙从到全程用时分钟，匀速： ， 出发分钟相遇，路程和=，设甲速度： ， 代入： ， ， ． （2）解：相遇前乙18分钟走的路程：km，这是相遇后甲要走完的路程： ， 甲走完全程总时间： ， 时甲到达B停止，乙持续行驶分钟，乙走过路程： ． （3）解：已知，，总路程． 阶段1：相遇前，两车距离， 令：解得，有效解． 阶段2：相遇后，甲到B前，， 令：解得，，超出区间，舍去； 阶段3：甲已到B，乙加油时段， 甲静止在B，两车距离，不为，舍去； 阶段4：乙加油结束后， 甲静止在B，乙继续向A走，两车距离为， 令，得，有效解． 所以在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，此时的值为8分钟或者36分钟． 70．（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知A，B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程（千米）与甲车行驶的时间（分钟）之间的关系如图①所示，请解决以下问题： (1)由图象可得：A，B两地之间路程是千米，甲车的速度是千米/分钟； (2)在图①中画出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系的图像，由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了次； (3)求出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式；（不需写自变量的取值范围） (4)在图②中画出大致反映甲、乙两车之间的距离（千米）随乙车行驶时间（分钟）的变化而变化情况的图像． 【答案】(1)60，2 (2)，2 (3) (4) 【分析】（1）观察图像，根据速度等于路程除以时间即可解答； （2）根据题意作图，并根据两图像交点的个数判断甲、乙两车在行驶过程中相遇的次数即可； （3）根据速度、路程、时间的关系并结合图像列出关系式即可； （4）分、、三种情况求得图像要过的拐点，然后作图即可． 【详解】（1）解：由图①可知∶A，B两地之间路程是60千米，甲车的速度是（千米/分）． （2）解：作图略 由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了2次． （3）解：乙车的速度是（千米/分）， ∴乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式为，即． （4）解：甲车的速度是（千米/分） ①当时，甲从A去往B，，； ， 当时，； 当第一次相遇，，解得：； 当时，，，此时； ②当时，甲从B地返回A地， ∵甲车的速度是（千米/分）， ∴甲车行使的路程为， ∵时，，甲从B地返回A地， ∴ ， 当第二次相遇，，解得：； 当时，，，此时； ③当时，甲已返回A地，； 即， 当时，， 综上，函数图像过点，画出函数图像略． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数 基础·固本强基 题型1常量与变量的判断（重点） 题型2用表格表示变量之间的关系（重点） 题型3用关系式表示变量之间的关系（重点） 题型4用图象表示变量之间的关系（重点） 题型5判断是否为函数（重点） 题型6列函数关系式（重点） 题型7求函数自变量的取值范围（重点） 题型8已知自变量求函数值、已知函数值求自变量（重点） 提升·进阶突破 题型9函数图像的识别（重点） 题型10根据图像读取信息（重点） 题型11列表法、解析式法、图像法互相转化（重点） 拔高·压轴破难 题型12用描点法画函数图象（重点） 题型13动点生成函数图像问题（重难点） 题型14从图象中获取信息解答题压轴行程问题（难点） 基础·固本强基 题型1常量与变量的判断（共5小题） 【模型】变化关系模型：在一个变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量 【步骤】①先找准题目描述的变化过程；②区分哪些量固定不变，哪些量会改变；③标注出常量、变量 【易错】π是常量，容易误当成变量；忽略指定研究过程，错把暂时不变的量判定为常量 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期中）如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（     ） A．金额是因变量，金额随油量的增加而增加 B．油量是自变量，金额随油量的增加而减少 C．单价是常量，油量随单价的增加而增加 D．油量是常量，油量随金额的增加而增加 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）某市居民生活用水的价格为5元，记某户的月用水量为，月应缴水费为y元，其中的常量是（     ） A．生活用水每吨的价格 B．某户的月用水量x C．月应缴水费y D．某户的月用水量x和月应缴水费y 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图是某顾客在超市购买铁皮西红柿时电子秤上的数据显示牌，则在这三个量中，变量是（     ） A．单价 B．质量 C．金额 D．质量和金额 4．（25-26八年级下·贵州安顺·期中）神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 题型2用表格表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】表格对应模型：表格第一行、第二行分别对应自变量、因变量，一一对应 【步骤】①看懂表头含义；②读取每行两组数据；③分析随着自变量变化，因变量的变化趋势 【易错】搞反自变量、因变量；只看局部几组数据，错误总结整体变化规 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的体现．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位高度（）和时间（）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据： （） … … （） … … (1)以上两个变量中，自变量是（选填“”或“”），当时，； (2)从表格中的数据看，随着时间的增加，水位高度的值是增大还是减小？ 7．（25-26七年级下·广东河源·期中）刹车距离是指车辆从驾驶员踩下制动踏板开始到车辆完全停止时所行驶的距离．某汽车的刹车性能（车速不超过）测试数据如下表所示： 刹车时车速v/（） 0 10 20 30 40 … 刹车距离 0 2.4 4.8 7.2 9.6 … (1)直接写出刹车时车速v（）与刹车距离s（m）之间的关系式； (2)若该汽车以的速度前行，且与前车始终保持直线距离，通过计算说明，当遭遇紧急情况时，司机紧急制动后是否会发生追尾？ 8．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（寄送物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（     ） A．寄送物品的质量越重，快递费用就越高 B．当寄送物品的质量为时，快递费用为元 C．估计当寄送物品的质量为时，快递费用为元 D．寄送物品的质量每增加，快递费用增加元 10．（26-27九年级上·广西南宁·期中）科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（     ） A．声速随温度的增大而减小 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，声速为 D．当空气温度为时，声速为 题型3用关系式表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】解析式对应模型：y（因变量）可以用含x（自变量）的代数式表示 【步骤】①找到题目中的等量关系；②用字母代替各个量，列出等式；③整理成用自变量表示因变量的关系式 【易错】等量关系找错；单位不统一就列式；关系式化简出错 11．（26-27八年级上·全国·期中）七年级下册《变量之间的关系》一章中有如下三个问题，能否将其中变量之间的关系看成函数： (1)在车速一定时，反应时间与反应距离之间的关系； (2)三角形一边上的高一定时，三角形面积y与该边的长度x之间的关系； (3)由某港口某天从到的水深变化曲线所确定的水深与时间之间的关系． 12．（26-27八年级上·陕西西安·期中）一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； (2)若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示．根据这个关系式，当时记为，当时记为，求的值． 14．（26-27八年级上·四川成都·期中）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 15．（26-27八年级下·全国·期中）某中学八年级（2）班的同学平均每人一学期要使用某种笔记本8本，这种笔记本的售价是3元/本．n名同学一学期买这种笔记本的总金额为m元．请指出问题中的常量和变量，并写出m与n之间的关系式． 题型4用图象表示变量之间的关系（共5小题） 【模型】图像对应模型：横轴代表自变量，纵轴代表因变量，图像上每一点是一组对应值 【步骤】①看清横、纵坐标轴代表的实际意义；②顺着图像走向，读取每个阶段的变化；③描述自变量与因变量变化关系 【易错】分不清坐标轴含义；把图像当成物体实际运动路线（行程图高频错误） 16．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化（），观察图象的变化过程，回答下列问题： (1)自变量是___________； (2)这个病人当天的最高体温是___________，最低体温是___________； (3)若人体体温为及以上时即为发烧，则这位病人发烧的时间段为几时到几时？ 17．（26-27八年级下·全国·期中）人们对于学过的知识会遗忘，遗忘曲线（如图）描述了人类大脑对新事物记忆保存量减少的规律． (1)图中横轴表示初次记忆后经过的时间，纵轴表示记忆保存量，是的函数吗？为什么？ (2)观察遗忘曲线，对于新学习的知识，你能否给出复习的建议？ 18．（25-26八年级下·云南德宏·期中）如图，小红家、公园、早餐店在同一条直线上．小红周末从家出发，先匀速跑步到公园晨练，在公园锻炼一段时间后，步行到早餐店吃早餐，最后匀速散步回家．该图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x之间的对应关系． 根据图象回答下列问题： (1)公园距离早餐店，小红从早餐店回家用时； (2)求小红从家到公园的平均速度是多少？ 19．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图． 根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是______； (2)出发地到派送点的距离是______米，小李在便利店停留了______分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是______米/分钟． 20．（25-26七年级下·四川成都·期中）天府新区兴隆湖水上运动项目体验活动自今年1月面向大众开放以来，受到游客广泛关注及好评．一艘皮划艇和一艘电动艇沿同一线路从游客中心同时出发驶往白泽台码头，两船均匀速行驶（电动艇速度大于皮划艇速度），在行驶过程中，皮划艇休整了10分钟后按原速度继续行驶．两船之间的距离与时间的关系部分图象如图所示，当时，电动艇到达白泽台码头． (1)求电动艇的速度； (2)若两船到达白泽台码头后均停止行驶，求皮划艇在整个过程中共用了多少时间，并补全图象； (3)若电动艇到达白泽台码头后立即调头在原速度基础上降速行驶与皮划艇汇合，汇合后两船停止行驶．在整个行驶过程中，当电动艇行驶的路程是皮划艇行驶路程的2倍时，电动艇行驶的时间是多少? 21．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 题型5判断是否为函数（共5小题） 【模型】函数定义模型：在一个变化过程，对于自变量x每取一个确定的值，y有唯一确定的值与之对应（垂直x轴直线检验法：竖线法） 【步骤】①确定自变量；②任取一个自变量值，看对应的因变量是不是只有一个；③竖线法：任意画垂直x轴的直线，和图像最多只有一个交点 【易错】理解成“一个y对应一个x”；竖线判断时漏看交点数量 22．（26-27八年级上·全国·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 24．（26-27八年级上·安徽蚌埠·期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）变量、有如下关系：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是的函数的个数(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 题型6列函数关系式（共5小题） 【模型】函数建模模型：依托实际等量关系，写出y关于x的表达式 【步骤】①审题，找到等量公式；②设出自变量、函数；③列式化简，写出关系式 【易错】没有结合实际限制条件；混淆自变量和因变量；漏写平方、倍数等关系 27．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级下·河北衡水·期中）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型7求函数自变量的取值范围（共5小题） 【模型】取值限制模型：整式：全体实数；分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0；实际问题：还要符合现实意义 【步骤】①看解析式类型（整式/分式/二次根式）；②列出限制不等式；③解不等式，写出取值范围 【易错】二次根式忘记“≥0”写成＞0；分式忘记分母不能为0；实际问题忽略不能取负数 32．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在函数中，自变量x的取值范围是________． 33．（25-26八年级下·四川·期中）已知函数，则自变量的取值范围为___． 34．（25-26八年级下·全国·期中）函数，自变量x的取值范围是________． 35．（25-26八年级上·上海·期中）函数中的取值范围为___________． 36．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围为_____． 题型8已知自变量求函数值、已知函数值求自变量（共5小题） 【模型】代入求值模型：把已知数代入解析式，解方程 【步骤】①已知x求y：直接代入计算代数式的值；②已知y求x：把y代入，解关于x的方程 【易错】代入的时候符号出错；解方程漏根；代入时分母为0的情况没有舍去 37．（26-27九年级上·上海金山·期中）已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 38．（25-26七年级下·河北张家口·期中）在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似地用表示，当时，________． 39．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）汽车行驶前，油箱中有油，已知每100千米汽车耗油，油箱中的余油量与它行驶的距离s（千米）之间的关系式为__________；当油箱中的油还剩下时，汽车在此次加满油后行驶了__________千米． 40．（25-26八年级下·全国·期中）同一温度的华氏度数y（）与摄氏度数x（）之间的函数关系是，如果某一温度的华氏度数是，那么它的摄氏度数是________． 41．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度和点燃后的时间之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为_____． 提升·进阶突破 题型9函数图像的识别（共5小题） 【模型】变化匹配模型：图像增减趋势匹配题目描述的变化过程 【步骤】①梳理题干事件的变化阶段；②判断每一段自变量、因变量上升、下降、不变；③匹配对应图像 【易错】忽略平台段（不变阶段）；增减趋势判断相反 42．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）明明晚饭后出门散步，散步行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系大致是（     ） A． B． C． D． 43．（2026·四川德阳·中考真题）一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（    ） A． B． C． D． 44．（26-27七年级上·河南郑州·期中）“群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．”意思是一群孩子在庭院里玩耍，一个孩子爬上了水缸，不小心脚滑掉进了水里．其他孩子都被吓跑了，只有司马光拿着石头砸破了水缸，水涌了出来，那个孩子得救了．——《司马光砸缸》出自《宋史》．下面哪幅图较符合故事情节（     ） A． B． C． D． 45．（26-27九年级上·云南曲靖·期中）早上，小明乘坐爸爸的电动车从家出发去图书馆看书，看了一会儿书后，走路回家，下列图象能正确描述小明当天离家的距离y（千米）与用时x（分钟）之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级下·吉林长春·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（     ） A． B． C． D． 题型10根据图像读取信息（共5小题） 【模型】图像信息提取模型：图像上点坐标代表一组对应数据 【步骤】①读懂坐标轴；②找到目标横坐标/纵坐标对应的点；③读出坐标，结合问题计算作答 【易错】看错坐标轴刻度；没有看清楚图像拐点的含义 47．（26-27八年级上·安徽合肥·期中）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息，下列说法正确的个数为（     ） ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． A．1 B．2 C．3 D．4 48．（25-26八年级下·湖南郴州·期中）暖水镇坐拥温泉资源，是汝城知名文旅小镇．甲、乙两人沿同一路线从汝城县城匀速前往暖水镇，两地路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两人同时出发 B．甲的速度是 C．乙的速度是 D．甲比乙晚到 49．（26-27八年级上·安徽淮北·期中）如图1，在长方形中剪去一个小长方形，动点从点出发，沿的路线绕多边形匀速运动到点时停止，三角形的面积随着点的运动路程变化的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．2 B． C．3 D．4 50．（26-27九年级上·广西南宁·期中）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程（米）与时间的函数关系如图所示，根据图像可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 51．（2026·江苏常州·中考真题）如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（     ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 题型11列表法、解析式法、图像法互相转化（共5小题） 【模型】三法互化模型：表格、关系式、图像表达的是同一组变量对应关系 【步骤】①表格→解析式：找数据规律列式；②解析式→表格：取x算y填表；③解析式/表格→图像：描点连线 【易错】转化前后对应数值不匹配；描点连线时盲目延长图像 52．（25-26八年级下·北京·期中）快递站点使用甲、乙两台自动分拣机分拣包裹，统计开机后1至6小时不同工作时长（单位：小时）对应的累计分拣总量（单位：万件），数据如下： 工作时长 1 2 3 4 5 6 甲分拣机 2 6 8 10 12 乙分拣机 (1)观察甲分拣机的数据变化规律，直接写出的值； (2)在平面直角坐标系中，大致画出，在范围内的图象； (3)结合表格数据分析，两台机器累计分拣包裹总量相等时，对应的工作时长为小时（结果保留一位小数）； (4)如果有20.1万件的包裹需要分拣，在甲乙两台机器同时工作3小时后乙分拣机出现了故障，甲分拣机还需要再单独工作小时后才能完成剩下包裹的分拣工作． 53．（25-26九年级下·北京·期中）现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 (1)两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为________； (2)在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； (3)某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡；运动70分钟时，手环显示的能量消耗值是________千卡（保留整数）． 54．（2026·北京·模拟预测）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 55．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100米的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点为处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）的变化情况．得出如下几组实验数据： /cm 10 15 25 30 30 20 a 10 (1)表中的值是__________； (2)小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像； (3)根据以上数据与图像判断，当增大时，是增大还是减小？请说明理由． 拔高·压轴破难 题型12用描点法画函数图象（共5小题） 【模型】描点作图模型：列表→描点→连线 【步骤】①表格→解析式：找数据规律列式；②解析式→表格：取x算y填表；③解析式/表格→图像：描点连线 【易错】转化前后对应数值不匹配；描点连线时盲目延长图像 56．（26-27八年级上·安徽六安·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是_________； (2)①列表，找出y与x的几组对应值，其中，m＝_____； x … 0 1 2 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … ②在平面直角坐标系中，描出以上表中对应数据坐标的点，并画出该函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出不等式的解集：_____________． 57．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）探究函数的图象和性质． (1)补全列表： 0 1 2 3 4 5 4 2 1 0 1 3 (2)描点，并用平滑的曲线连接这些点； (3)任意写一条该函数的性质． 58．（25-26七年级下·山东临沂·期中）综合与探究 七年级下册教材中我们曾探究了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 【观察与发现】 我们知道，任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解， 如， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，… 将上面各组值列表： … … … … 将以上每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，然后，用一条平滑的线将这些点连起来如图所示． 观察：这些点在一条直线上，我们称直线是二元一次方程的图象． 发现：方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解． 【应用与探究】 (1)画方程的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：__________． (2)判断点，，，在方程的图象上的是__________；并在图中画出方程的图象； (3)观察图象：方程的图象与方程的图象交点为__________，则方程组的解为__________． (4)【拓展与延伸】如图，该同学在同一个平面直角坐标系中画出了直线和，发现这两条直线相交于点．那么不等式的解集是__________． 59．（25-26八年级下·山东临沂·期中）【发现问题】设定点是轴上表示的点，点为轴上的一个动点，，两点的距离随着点的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述． 【提出问题】设动点到点的距离为，探究与自变量之间的函数关系并研究其图象和性质． 【解决问题】 (1)填空：该函数的解析式为_________； (2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象； … … … 0 … (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①________________；②________________； (4)此函数图象与直线的交点坐标是________________． … … … 2 1 0 1 2 … 描点、连线，绘制函数的图象如图： 60．（25-26八年级下·山东临沂·期中）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日（可取，，或）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图1所示． (1)观察曲线，当整数的值为时，的值首次超过； (2)求出表中的值，并在给出的图2的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第几日可获得“优秀学员”证书？说明理由． 题型13动点生成函数图像问题（共5小题） 【模型】分段变化模型：动点在不同线段运动时，因变量随时间的变化规律不一样，图像分段 【步骤】①分析动点运动路线，划分运动阶段；②写出每一段对应的函数变化趋势；③判断每一段图像上升、下降、水平 【易错】分段分界点找错；分不清速度变化带来图像斜率变化 61．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图1，与长方形的一条边重合，动点从出发沿折线运动到点停止，运动速度为每秒1个长度单位，在点运动过程中，的面积与运动时间（秒）的关系如图2所示，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 62．（2026·海南海口·二模）如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 63．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿路线做匀速运动，图2是运动过程中的面积与点运动的路程之间的函数图象，当是直角三角形时，下列路程错误的是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 64．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿的路线运动到点C停止，过点P作于点M．设点P运动的路程为x，，y与x之间的函数关系图象如图2所示，则的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 65．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图是点P出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①，；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型14从图象中获取信息解答压轴行程问题（共5小题） 【模型】行程图像模型：横轴时间、纵轴路程，斜率代表速度，拐点代表状态改变（到达、停留、相遇） 【步骤】①标注坐标轴含义，找出拐点信息；②计算每一段速度、时间、路程；③结合相遇、追及等量关系列式求解 【易错】混淆相遇点、到达点；停留阶段斜率不为0；单位换算出错 66．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，某商场有一双向运行的自动扶梯，扶梯上行和下行的速度保持不变且相同，甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以的速度往上跑，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，两人在途中相遇，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯，同时以的速度往下跑，而乙到达底端后则在原地等候甲．图2中折线表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，两人之间沿着扶梯方向的距离（m）与所用时间（s）之间的关系，结合图象解答下列问题： (1)甲、乙两人在乘坐扶梯过程中相遇时，甲距离扶梯底端的路程是多少米？ (2)求图2中，的值． (3)求甲、乙两人之间沿着扶梯方向的距离为时，所用的时间． 67．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在一条笔直的城市绿道上，有驿站A（起点），观景台B（终点），补给站C三处打卡点，补给站C位于驿站A和观景台B之间．甲从驿站A出发前往观景台B，全程匀速步行打卡；乙同时出发，匀速步行15分钟到达补给站C，休息一段时间后，再骑观光自行车匀速前往观景台，已知乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，最终两人同时到达观景台B． 甲、乙两人各自离驿站A的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)出发时，甲和乙之间的距离是_____米； (2)乙在补给站休息了多少分钟？ (3)甲步行多少分钟时，甲、乙两人之间的距离为400米． 68．（25-26七年级下·四川成都·期中）小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： (1)求妈妈购物花了多少时间？ (2)求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ (3)求为何值时，妈妈和小明相距360米． 69．（25-26七年级下·重庆·期中）已知A，B两地之间有一条公路，甲车从A地匀速前往B地，乙车从B地匀速前往A地，两车同时出发，各自到达目的地后即停止相应的运动．出发18分钟后，甲与乙第一次相遇，相遇后甲再行驶分钟到达目的地B处．当甲到达目的地时，乙刚好到达加油站，用了6分钟排队加油，加满油后，乙按照加油前的速度继续前行到达目的地A．甲乙两车之间的距离与运动时间的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)AB两地相距________千米，甲车的速度为________千米/分钟，乙车的速度为________千米/分钟； (2)________，________，________； (3)在运动过程中，当甲乙两车相距千米时，求出此时的值． 70．（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知A，B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程（千米）与甲车行驶的时间（分钟）之间的关系如图①所示，请解决以下问题： (1)由图象可得：A，B两地之间路程是千米，甲车的速度是千米/分钟； (2)在图①中画出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系的图像，由图像可看出甲、乙两车在行驶过程中相遇了次； (3)求出乙车距A地的路程（千米）与乙车行驶时间（分钟）之间的关系式；（不需写自变量的取值范围） (4)在图②中画出大致反映甲、乙两车之间的距离（千米）随乙车行驶时间（分钟）的变化而变化情况的图像． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $