专题07 三角形三边关系与内角和15大题型75题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题07三角形三边关系与内角和 基础·固本强基 题型1三角形的识别与有关概念 题型2三角形的个数问题 题型3三角形的分类 题型4根据等腰三角形的定义求边长（基础考点） 题型5根据等腰三角形的定义求角度（高频） 题型6构成三角形的条件（重点） 题型7确定第三边的取值范围（必考点） 提升·进阶突破 题型8利用三角形三边关系化简绝对值 题型9几何图形中利用三边关系比较边的大小 题型10等腰三角形被中线分成两个部分问题（重点） 题型11与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型12与三角板有关的内角和问题 题型13三角形内角和中折叠问题 拔高·压轴破难 题型14利用三角形三边关系求最值（重点） 题型15三角形内角和定理的应用（重点） 基础·固本强基 题型1三角形的识别与有关概念（共5小题） 【模型】三角形识别模型→由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形 【步骤】①看线段数量：共3条；②看位置：不在同一直线；③看连接方式：首尾顺次相接、封闭 【易错】把线段在同一直线上的图形、未封闭图形误认为三角形 1．（26-27八年级上·陕西西安·期中）如图，以为边的三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察图形可知，的边为，的边为，的边为，的边为， 以为边的三角形是． 2．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，以为边的三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的定义，观察图形找出以线段为边的三角形即可． 【详解】解：观察图形可知，的三条边分别为、、，其中包含边； 的边为、、； 的边为、、； 的边为、、，均不含； 的边为、、，是以为边的三角形，符合题意． 3．（26-27八年级上·河南信阳·期中）将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：由图可知，以为边的三角形有、、，共三个． 4．（25-26八年级上·广西崇左·期中）在中，边所对的角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 题型2三角形的个数问题（共5小题） 【模型】数三角形计数模型→按顺序、不重不漏枚举 【步骤】①固定一条边或者一个顶点；②依次搭配其他顶点；③累加计数，做好标记 【易错】重复数、漏数小三角形，拆分组合三角形时出错 6．（26-27八年级上·安徽滁州·期中）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以为公共角的“共角三角形”有（     ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】C 【分析】数出以为其中一个内角的三角形的个数即可得出结果. 【详解】解：由图可知，以为其中一个内角的三角形有， 故以为公共角的“共角三角形”有和，和，和，和，和，和共6对. 7．（26-27八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（     ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 【答案】D 【分析】先列出图中全部三角形，再根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，逐一识别图中的所有三角形即可． 【详解】解：首先列出图中全部三角形，分别为，，，，，，再进行分类统计：锐角三角形只有，共个；直角三角形有，，，，共个；钝角三角形只有，共个． 8．（26-27八年级上·新疆和田·期中）在如图所示的图形中，三角形的个数为（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义，即可得结论． 【详解】解：由图可得，图形中的三角形有：，，，，，， ∴图形中三角形的个数有6个． 9．（25-26七年级下·四川乐山·期中）在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及有序枚举的方法，不重不漏地找出所有满足周长为12的整数边长组合，并验证其能否构成三角形． 【详解】解：设三角形三边的火柴数为，均为正整数，． 总火柴数12根：． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边： 又，所以是最大边， ． 的取值为：4、5 当时，，又，得， 当时， ， ， 或， 得到三组：、、 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 题型3三角形的分类（共5小题） 【模型】三角形两种分类模型→按边分、按角分两套标准分开判断 【步骤】①按角：看最大内角，分锐角、直角、钝角三角形；②按边：看边长是否相等，分不等边、等腰（等边是特殊等腰） 【易错】混淆两套分类标准；误认为等边三角形不是等腰三角形 11．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）一个三角形的一个内角为，其余两个内角度数的比是，这个三角形是（     ）三角形． A．直角 B．锐角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】先由三角形内角和定理求出其余两个内角之和，再根据比例求出每一个角度，比较后得出结论． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴其余两个内角的和为， ∵其余两个内角度数的比是， ∴每份的度数为， ∴两个内角分别为，， ∵三个内角均为锐角，且两两不相等， ∴这个三角形是锐角三角形． 12．（26-27七年级上·江西赣州·期中）一个三角形的三个内角度数之比是，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】三角形的类型由最大内角决定，只需计算最大内角的度数即可判断． 【详解】解：∵三角形内角和为，三个内角度数比为， ∴最大内角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 13．（26-27八年级上·全国·期中）的三个内角满足下列条件： ①； ②； ③．其中能判定是直角三角形的是（     ） A．①②③ B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】有一个角为直角的三角形是直角三角形． 【详解】解：①最大角，不是直角三角形； ②，， ， ，是直角三角形； ③设，则， ， ， 解得， 最大角，不是直角三角形． 14．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）在中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为时，则该条件符合题意，进而可得答案． 【详解】①∵，则， 又， ∴， ∴ ∴ 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ②∵，则，， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ③∵， ∴最大角， 则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意； ④∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：C． 15．（26-27八年级上·全国·期中）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（     ） A．①是三边都不相等的三角形 B．②③是等腰三角形 C．②③是等边三角形 D．③是等边三角形 【答案】C 【分析】根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A．①三边，是三边都不相等的三角形，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B．②有两边相等，③三边都相等（等边属于特殊等腰），所以②③都是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C．②边长是3、3、4，三边不全部相等，不是等边三角形；只有③三边都是3，才是等边三角形．所以这个分类错误，符合题意； D选项：③三边都为3，是等边三角形，分类正确，不符合题意． 题型4根据等腰三角形的定义求边长（共5小题） 【模型】等腰三角形边长模型→等腰三角形有两条边相等，同时满足三边关系 【步骤】①分情况讨论：已知边是腰/已知边是底；②算出三边长；③检验：较短两边之和＞第三边；④舍去不满足三边关系的情况 【易错】忘记分类讨论；求出边长后不检验三边关系，出现无效解 16．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．3 B．7 C．4 D．3或7 【答案】B 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 17．（26-27八年级上·湖北荆州·期中）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分的边为腰、底边两种情况讨论，结合三角形三边关系验证． 【详解】解：当长为的边为腰时， 底边长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴不能构成三角形，此情况舍去. 当长为的边为底边时， 腰长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴能构成三角形，底边长为． 18．（26-27八年级上·湖北·期中）已知等腰三角形一边长为4，一边长为9，则这个等腰三角形的周长为（     ） A．17 B．22 C．17或22 D．19 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形三边关系，三角形的周长，分类计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，一边的长为9， ∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9， 当三边为4，4，9时，，三角形不存在，无法计算周长； 当三边为4，9，9时，，三角形存在， 故三角形的周长为． 19．（26-27八年级上·浙江嘉兴·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（     ） A．16 B．20 C．16或20 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】先根据绝对值和偶次幂的非负性求出x，y的值，再分x是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 分两种情况： 当是等腰三角形的腰长时，，不能构成三角形，不符合； 当是等腰三角形的底长时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为． 20．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ②当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 题型5根据等腰三角形的定义求角度（共5小题） 【模型】等腰三角形角度模型→等边对等角，内角和180° 【步骤】①分情况：已知角是顶角/已知角是底角；②利用“两底角相等+内角和180°”计算；③检验内角是否大于等于180°，舍去不合理情况 【易错】默认已知角一定是底角；忽略三角形内角大于0°的限制 21．（26-27八年级上·浙江宁波·期中）若等腰三角形中有一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数是__________． 【答案】或/或 【分析】已知等腰三角形的一个内角为，为锐角，既可以是顶角也可以是底角，需分两种情况结合三角形内角和计算顶角度数． 【详解】解：分两种情况讨论： 当的角为顶角时，等腰三角形的顶角度数为； 当的角为底角时，根据三角形内角和为，顶角度数为． 综上，这个等腰三角形的顶角度数为或． 22．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一个内角是，则底角为___________，若一个内角是，则底角为___________． 【答案】或 【分析】分情况讨论已知内角，钝角只能作为等腰三角形的顶角，锐角既可以是顶角也可以是底角，结合三角形内角和为计算即可． 【详解】解：①∵等腰三角形的一个内角是，且， ∴内角只能是等腰三角形的顶角，则底角为． ②∵等腰三角形的一个内角是， ∴当为等腰三角形的底角，此时顶角为，符合三角形内角和定理，即底角为； ∴当为等腰三角形的顶角时，底角为． 综上，底角为或． 23．（25-26七年级下·四川达州·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 24．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题根据新定义，结合等腰三角形性质分类讨论，再利用三角形内角和定理计算，结合锐角三角形的条件舍去不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：设等腰中，，顶角为，底角．根据新定义，分情况讨论如下： 情况1：二分角是顶角的角平分线与一腰的夹角，由定义得， 解得， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 情况2：二分角是底角的角平分线与一腰的夹角． 子情况2.1：二分角是底角的角平分线与该底角所在腰的夹角，可得， 解得， 顶角， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 子情况2.2：二分角是底角的角平分线与另一腰的夹角，即夹角为 设，则，底角平分线分得的角为， 由三角形内角和定理，得， 代入整理得，无符合题意的正解； 若该夹角的邻补角为， 解得，为钝角三角形，不符合题意，舍去． 综上，等腰顶角的度数为或． 25．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）在等腰中，若，则的度数为_____． 【答案】 60 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴当为顶角时，， ∵， ∴， 解得，； 当为底角，为顶角时，， 则； 当为底角时，， 综上，的度数为， 故答案为：． 题型6构成三角形的条件（共5小题） 【模型】三边关系基础模型→三角形任意两边之和大于第三边 【步骤】①找出三条线段；②只需检验：较短两条线段之和＞最长线段；③满足则可以构成三角形 【易错】机械检验三组不等式，不会简化；误认为两边之差大于第三边 26．（26-27八年级上·广东珠海·期中）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（     ） A．15，15，25 B．15，15，30 C．10，15，25 D．10，10，25 【答案】A 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A.∵， ∴15，15，25能组成三角形，符合题意； B.∵， ∴15，15，30不能组成三角形，不符合题意； C.∵， ∴10，15，25不能组成三角形，不符合题意； D.∵， ∴10，10，25不能组成三角形，不符合题意． 27．（26-27八年级上·甘肃定西·期中）下列各组数中，能构成三角形三边长的是（     ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，8 【答案】C 【详解】解：A.，不能构成三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C.，能构成三角形，符合题意； D.，不能构成三角形，不符合题意． 28．（26-27八年级上·江苏·期中）已知三角形两条边的长分别为，，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，先求出已知两边2和5的差为3、和为7，得到第三边的取值范围是第三边，再对照选项选出符合该范围的数值即可． 【详解】解：设第三边长为． ∵三角形两边长分别为，． ∴． 即． 选项中仅符合该取值范围． 故选：． 29．（26-27八年级上·天津南开·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】验证较短两边之和大于最长边，即可判断三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形； B选项，，不能组成三角形； C选项，，能组成三角形； D选项，，不能组成三角形． 30．（26-27七年级上·湖南长沙·期中）下面分别是三根小棒长度的比，其中（     ）组中的三根小棒能围成三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，利用较短两边之和大于最长边的判定方法，将长度比按每份为转化为具体边长验证即可． 【详解】解：设每份长度为， A选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形； B选项：三边长为，最长边为，，满足三边关系，能围成三角形； C选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形； D选项：三边长为，最长边为，，不满足三边关系，不能围成三角形． 题型7确定第三边的取值范围（共5小题） 【模型】第三边范围模型→两边之差＜第三边＜两边之和 【步骤】①算出已知两边的和与差；②写出范围；③如果是整数边长，再取整数 【易错】写范围时不等号方向写反；忽略题目整数、周长限制条件 31．（26-27八年级上·全国·单元复习）若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，把当作第三边，列出不等式求出的范围，再解不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系得， ， ． 32．（26-27八年级上·山东日照·期中）已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合已知条件表示出和，再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共部分得到的取值范围． 【详解】解：∵，，为的三边，满足，， ∴联立两个等式相加得，即，两个等式相减得，即， 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式，代入得，解得； 代入得，解得； 代入得，解得； 取三个不等式解集的公共部分，得． 33．（26-27八年级上·河南南阳·期中）已知三角形三边为、、，其中，两边满足，最大边是偶数，则三角形的周长是________． 【答案】24或26 【分析】利用完全平方公式和算术平方根的非负性得到，，然后利用三角形三边关系和最大边是偶数得到或12，然后分别计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系得，， ∴， ∵最大边是偶数， ∴或12， ∴当时，三角形的周长是； 当时，三角形的周长是； 综上所述，三角形的周长是24或26． 34．（26-27七年级上·山东东营·期中）已知三角形的两边长a、b满足，第三边长c为奇数，则__________. 【答案】 或 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数得到结果. 【详解】解：，，且， ，， 解得， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得： ， 代入得， 为奇数， 或. 35．（26-27八年级上·云南临沧·期中）临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为6米和8米．若第三条边长为整数，则第三条边长最大为________米． 【答案】13 【分析】根据三角形的三边关系即可列不等式组，解出即可得的取值范围，再根据x为整数，即可得x的最大值为13． 【详解】解：设第三条边长为x，则根据三角形三边关系得: ， ∴． ∵x为整数， ∴x的最大值为13． 提升·进阶突破 题型8利用三角形三边关系化简绝对值（共5小题） 【模型】三边关系去绝对值模型→根据两边之和＞第三边，判断绝对值内部式子正负 【步骤】①根据三边关系判断每个括号内代数式正负；②正数直接去绝对值，负数去绝对值加负号；③合并同类项化简 【易错】符号判断错误，去绝对值时变号出错 36．（26-27八年级上·福建莆田·期中）已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：根据三角形的三边关系得： ． 37．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c为的三边长，若a，b满足， (1)求c的取值范围； (2)若c是整数，且为等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为或． 【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负数性质求出a、b，再根据三角形三边关系确定c的取值范围； （2）结合c的取值范围和等腰三角形的定义，对腰进行分类讨论确定c的值，进而求三角形周长． 【详解】（1）解：∵， ∴且， 解得，， ∵a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵c是整数，且为等腰三角形， ∴当a、c为腰时，即时，满足，的周长为：， 当b、c为腰时，即时，满足，的周长为：， ∴的周长为或． 38．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b满足等式，且c为整数，求周长的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)周长的最小值为11 (2)化简结果为 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴，即， ∵c为整数， ∴c的最小值为3， ∴周长的最小值为； （2）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 39．（26-27八年级上·四川广安·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1) 的周长为. (2) 化简结果为. 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据题意判断第三边，即可得出答案； （2）根据三角形的三边关系可得，再去掉绝对值，然后根据整式的加减计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即． ∵c为奇数， ∴， 所以的周长为； （2）解：根据题意，得， ∴ ． 40．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）已知：的三边长分别为，，． (1)化简：； (2)的两边长为2和7，周长为偶数，求出周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形三边关系，判断绝对值内部代数式的正负，去掉绝对值符号，再合并同类项化简． （2）利用三角形三边关系求出第三边取值范围，结合周长是偶数的条件确定第三边长度，计算周长． 【详解】（1）解：是的三边长， ，． ，． ； （2）解：设第三边长为． 根据三角形三边关系： ， 即， 三角形边长为整数，且周长为偶数， 已知两边和，是奇数，奇数+奇数=偶数， 第三边必须是奇数． 在范围内的奇数只有． 周长． 答：的周长为16． 题型9几何图形中利用三边关系比较边的大小（共5小题） 【模型】线段比较模型→在同一个三角形中，两边之和大于第三边 【步骤】①把要比较的线段放到同一个或多个三角形中；②列出三边不等式；③不等式叠加推导大小关系 【易错】找不到合适三角形，不会构造三边关系不等式 41．如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【答案】 证明：如图所示，延长交于点E， 在中，． 在中，． 上述两式相加，得， ， ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，把这些分散的线段集中在三角形中，利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】略 42．（25-26八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 【答案】(1)，，， (2) 解：在中，， 在中， 在中，， 将三个不等式相加得：， 即． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系； （1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）利用三角形三边关系进行证明即可． 解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边． 【详解】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，， 将不等式两边相加得：， 即； 故答案为：；；；． （2）略 43．（25-26八年级上·全国·期中）如图，P为中任意一点．证明：． 【答案】 证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键． 如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论． 【详解】略 44．（25-26八年级下·山东·期中）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； (3) 证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）略 （3）略 45．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】 证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 题型10等腰三角形被中线分成两个部分问题（共5小题） 【模型】等腰三角形中线周长分割模型→中线平分对边，周长分为两部分（不含中线长） 【步骤】①设腰长、底边长；②分两种情况：腰+半腰=一部分周长/底+半腰=一部分周长；③求解后检验三边关系 【易错】分不清分割的是周长（不含中线）；忘记检验三边关系 46．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的底边长． 【答案】这个等腰三角形的底边长为或 【详解】解：设腰长为，底边长为，则中线把周长分成与两部分． ①若， 则，， 所以， 此时腰长为，因为，能构成三角形； ②若，则，， 所以， 此时腰长为，因为，能构成三角形； 综上，这个等腰三角形的底边长为或． 47．（26-27八年级上·湖北黄冈·期中）在中，，为的中线，且将周长分为与两部分，求三角形各边长． 【答案】，，或， 【分析】根据为的中线，得到，设，根据当时，和当时，分情况讨论，解方程得到三角形各边长． 【详解】解：如图， 为的中线， ， 设，则， 当时，解得， ，解得， 此时的三边长为：，； 当时，解得， ，解得， 此时的三边长为：，． 48．（26-27八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，是的中线，是的中线．若四边形的周长与的周长差为5，求的长． 【答案】5 【分析】由三角形中线的定义得到，根据四边形的周长与的周长差为5推出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∵四边形的周长与的周长差为5， ∴， ∴， ∴． 49．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在等腰中，，中线将周长分为9和15两部分，求它的底边的长． 【答案】4 【分析】根据三角形中线的定义得到，再分两种情况：当时，当时，求出此时的长，再利用构成三角形的条件验证即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵中线将周长分为9和15两部分， ∴分两种情况： 当时， 则， ∴，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当时， 则， ∴，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，． 50．（26-27八年级上·浙江金华·期中）在中，，是边上的中线，且把的周长分成6和9的两部分，求边的长． 【答案】边的长为3或7 【分析】由题意可得，设，则，再分两种情况：当，时，当，时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴设，则， ∵把的周长分成6和9的两部分， ∴当，时， ， 解得， ∴， 此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当，时， ， 解得， ∴， 此时三边长为、、，满足三角形三边关系， 综上所述，边的长为3或7． 题型11与平行线有关的三角形内角和问题（共5小题） 【模型】平行线+内角和模型→平行线同位角、内错角相等，三角形内角和180° 【步骤】①由平行线得到等角；②把等角转移到三角形内；③利用内角和计算未知角 【易错】平行线性质记错，角的等量代换出错 51．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 52．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 53．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 54．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．（25-26七年级上·广西桂林·期中）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 题型12与三角板有关的内角和问题（共5小题） 【模型】三角板角度固定模型→一副三角板角度固定：45°、45°、90°；30°、60°、90° 【步骤】①记住两块三角板固定角度；②找到图中角的和差关系；③结合内角和、对顶角计算 【易错】记错三角板自带角度；重叠图形中找错角之间的和差 56．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 57．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 58．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 59．（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 60．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 题型13三角形内角和中折叠问题（共5小题） 【模型】折叠角度模型→折叠前后对应角相等 【步骤】①标记折叠前后相等的角；②利用平角180°、三角形内角和180°列等式；③解方程求角度 【易错】找不到折叠重合的等角；分不清折叠后新增角的关系 61．（26-27八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，点是上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则___________ 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由折叠的性质可得的度数，由平角的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴． 62．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______． 【答案】 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可得， ． 63．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，由三角形内角和定理得，利用平角定义得，再代入计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 64．（26-27八年级上·四川南充·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______． 【答案】/205度 【分析】首先由折叠的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， 由折叠得，， ∴， ∴． 65．（26-27八年级上·山东日照·期中）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________． 【答案】/118度 【分析】在中利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质，可知：，，结合的度数可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出结论． 【详解】解：中，，， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型14利用三角形三边关系求最值（共5小题） 【模型】三边关系最值模型→两点之间线段最短；两边之差＜第三边＜两边之和 【步骤】①把所求线段看作某个三角形的一边；②根据三边范围，确定最大值、最小值；③取等号条件（三点共线） 【易错】忽略三点共线才可以取到最值；分不清最大、最小值 66．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【详解】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 67．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 68．（25-26八年级下·四川成都·期中）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． (1)用配方法将分解因式； (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． (3)当x，y为何值时，代数式取得最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)当时，代数式取最大值，最大值为16 【分析】（1）根据，再根据平方差公式分解即可； （2）将原式化为，再根据完全平方公式整理成平方和等于0的形式求出a，b的值，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答； （3）根据完全平方公式整理为，再讨论极值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∴三边长为2，2，1，则周长为； （3）解： ， ∵，， ∴当时，， 所以当时，代数式取最大值，最大值为16． 69．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）先阅读后解题： 若，求m和n的值． 解：等式可变形为： 即， 因为，， 所以， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： (1)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长是______； (2)求代数式的最小值是多少？并求出此时a，b满足的数量关系； (3)请比较多项式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)9 (2)3， (3)，理由： 【分析】（1）根据配方法，可得a，b的值，在根据三角形三边的关系，可得c的值，根据三角形的周长，可得答案； （2）根据配方法，可得非负数的和，根据非负数的性质，可得答案； （3）根据多项式的减法计算，然后根据配方法化简多项式的差，可得结论． 【详解】（1） 已知的三边长a，b，c都是正整数， 的周长是 故答案为： （2） 当时，的最小值为3 （3）略 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解题关键． 70．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1；0 (2) (3)11 【分析】（1）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答； （2）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答； （3）根据配方法和非负数的性质求出a，b的值，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即， 则，， 解得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴, 则，， 解得：，， ∵， 即，且是正整数， ∴， 即三角形三边的长分别为1，5，5， 所以，的周长为． 题型15三角形内角和定理的应用（共5小题） 【模型】平行线判定与性质+平移不变性+角平分线模型→平移前后对应线段平行且相等、对应角相等；角平分线等分角度；平行线内错角、同旁内角转化，结合8字模型、分类讨论 【步骤】①第一问：利用三角形内角、等角条件算出内错角，判定两直线平行；②第二问①：由平移得到AB∥CD，结合平行线拐点模型（铅笔头/猪蹄模型）进行角度转化计算；③第二问②：角平分线条件，设未知数表示角，结合交点O，分位置分类讨论，列等式求解； 【易错】1.平移性质理解错误，找不到相等、平行的角； 2.拐点处不会构造辅助线，不会使用平行线拐角模型； 3.第二小问②没有分类，漏掉点O的不同位置情况； 4.角平分线角度代换时倍数关系搞错。 71．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，，一块三角板的顶点在直线上，、分别交于点、．已知，，． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，当和的角平分线交于点时，求的度数． (3)如图3，点在的角平分线上，连接，使，且，此时的度数为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作，可得，从而得到，即可求解； （2）设交于点M，根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可求解； （3）设交于点M，由（1）得：，设，则，，再由角平分线的定义以及，可得，， 根据，可得，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，设交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设交于点M， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即． 72．（25-26七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 问题情境：综合实践活动课上，老师提出如下问题： 如图①，点A，B分别在直线，上，，的平分线交于点E，且．试判断直线和的位置关系，并说明理由． (1)请你解答老师提出的问题． 深入探究： (2)若将图①中的线段沿直线向右平移得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，连接． ①如图②，当时，求的度数； ②在平移的过程中，直线与的平分线所在直线交于点O，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)． 理由：∵是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴． (2)①；②或 【分析】（1）利用角平分线的性质，得到，通过等量代换得到，根据内错角相等，两直线平行即可说明； （2）①利用平行线的性质，求出和的度数，通过平移前后两直线平行，得到，再利用（1）中的关系，求出的度数，利用三角形内角和求解即可； ②分类讨论点O在下方与上方两种情况，画出草图，仿照（2）①的求解过程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：①∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质，得， ∴， ∴； ②或，理由如下： 分两种情况： 情况一：如图，点O在下方，过点O作，则． ∴，，． ∴， ∵平分， ∴， ∴； 情况二：如图，点O在上方，过点O作，则． ∴，，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 73．（25-26七年级下·山东淄博·期中）综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边，与分别交于点，． (1)若，则的度数为_____； (2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，求的度数． 【答案】(1)； (2)与之间的数量关系为：， 理由如下：， ， ，， ， 又，， ； (3)的度数为或 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，根据角的和差关系得到. （2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可证明结论． （3）根据当时，即时，以及当时，即时，分情况讨论，利用（2）中的结论得出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：分以下情况讨论： ①当时，如图①，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，由（2）的结论可得，， ②当时，如图②，直线与相交所成的锐角的范围是，可能为， 当时，， 由（2）的结论可得，， 综上所述，的度数为或． 74．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）在数学活动课上，善思小组的同学以“两条平行线，和一块含的直角三角板（，，逆时针方向排列，其中，）”为主题展开数学活动，点始终在直线上． (1)如图1，当时，边，分别交于点，，求的度数； (2)如图2，三角板绕点旋转，当点在下方，点在两条平行线之间时，的延长线交于点，的平分线与的平分线交于点，请探究的度数是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，三角板的顶点在直线上，边交于点，将三角板沿翻折，点落在点处，，为边延长线上一点，连接，的平分线所在直线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)的度数不发生变化，理由如下： 分别过点，作的平行线，，如图， 设，， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的度数不发生变化； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质及三角形内角和即可求解； （2）的度数不发生变化；分别过点，作的平行线，，设，，利用平行线的性质及角的和差运算可求得，即； （3）由翻折得，再由可求得、的度数，由平行线的性质得，；设，则可表示出相关角，进而可得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由翻折知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 则，， ∵的平分线所在直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 75．（25-26七年级下·北京东城·期中）已知直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线，外一点，连接，．的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点M． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，当点P位于直线与直线之间，直线右侧时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3．当点P在直线上方时，补全图形并写出与之间的数量关系． 【答案】(1)90 (2)；理由如下： 作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3)点P位于直线左侧时，； 或点P位于直线右侧时，， 【分析】（1）作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）作，设，，求得，再利用平行线的判定和性质结合三角形内角和定理求解即可； （3）分两种情况讨论，同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：点P位于直线左侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 点P位于直线右侧时，作，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07三角形三边关系与内角和 题型图谱·导航总览 题型1三角形的识别与有关概念 题型2三角形的个数问题 题型3三角形的分类 基础固本强基 题型4根据等腰三角形的定义求边长（基础考点） 题型5根据等腰三角形的定义求角度（高频） 题型6构成三角形的条件（重点） 题型7确定第三边的取值范围（必考点） 题型8利用三角形三边关系化简绝对值 题型9几何图形中利用三边关系比较边的大小 题型10等腰三角形被中线分成两个部分问题（重点） 提升进阶突破 题型11与平行线有关的三角形内角和问题（重点） 题型12与三角板有关的内角和问题 题型13三角形内角和中折叠问题 题型14利用三角形三边关系求最值（重点） 拔高·压轴破难 题型15三角形内角和定理的应用（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 1/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1三角形的识别与有关概念（共5小题） 【模型】三角形识别模型一由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形 【步骤】①看线段数量：共3条；②看位置：不在同一直线：③看连接方式：首尾顺次相接、封闭 【易错】把线段在同一直线上的图形、未封闭图形误认为三角形 1.(2627八年级上·陕西西安期中)如图，以AC为边的三角形是() A.△ADE B.△BDE C.△ABC D.△ABD 2.(26-27九年级上陕西安康期中)如图，以BD为边的三角形是() A.△AOE B.△ACD C.△ABD D.△AOC 3.(26-27八年级上河南信阳·期中)将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以AB为边的三 角形有() D E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.(25-26八年级上广西崇左·期中)在△ABE中，AB边所对的角是() B D A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 5.(25-26八年级上江西宜春期中)如图，在△ABC中，顶点C所对的边是() 2/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D A.AD B.AB c.AC D.BE 题型2三角形的个数问题（共5小题） 【模型】数三角形计数模型→按顺序、不重不漏枚举 【步骤】①固定一条边或者一个顶点；②依次搭配其他顶点；③累加计数，做好标记 【易错】重复数、漏数小三角形，拆分组合三角形时出错 6.(26-27八年级上·安徽滁州期中)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则图中以 ∠B为公共角的“共角三角形”有() A.8对 B.7对 C.6对 D.5对 7.(26-27八年级上河南周口期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,点E在线段 BD上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各() D B A.1,3,1个 B.1,3,2个 C.2,4,1个 D.1,4,1个 8.(26-27八年级上·新疆和田·期中)在如图所示的图形中，三角形的个数为() E B 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 9.（25-26七年级下.四川乐山期中)在平面内，分别用3根、4根、5根、6根…火柴首尾依次相接（不 能折断，且需全部用完)，能搭成不同的三角形.小嘉发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成如下表所 示的三角形： 火柴数 3 5 6 示意图 以此类推，12根火柴能搭成（)种不同的三角形. A.2 B.3 c.4 D.5 10.(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于 F,DF交AC于E,图中有()个直角三角形. B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型3三角形的分类（共5小题） 【模型】三角形两种分类模型→按边分、按角分两套标准分开判断 【步骤】①按角：看最大内角，分锐角、直角、钝角三角形：②按边：看边长是否相等，分不等边、 等腰 (等边是特殊等腰) 【易错】混淆两套分类标准：误认为等边三角形不是等腰三角形 11. (26-27八年级上天津滨海新区期中)一个三角形的一个内角为40°，其余两个内角度数的比是3：2， 这个三角形是()三角形. A.直角 B.锐角 C.钝角 D.等腰 12.(26-27七年级上江西赣州期中)一个三角形的三个内角度数之比是3：1：4，那么这个三角形是 4/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 13.(26-27八年级上·全国·期中)△ABC的三个内角满足下列条件： ①∠A:∠B:∠C=3:4:5: ②∠B+∠C=∠A: ③∠A=∠B=3∠C.其中能判定△ABC是直角三角形的是() A.①②③ B.② C.①③ D.②③ 14.(26-27八年级上辽宁鞍山期中)在△ABC中，满足下列条件：①∠A=2∠B=2∠C;② ∠A-∠B=∠C;③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④∠A=90°-∠C,能确定△ABC是直角三角形的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.（26-27八年级上全国期中)在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据 它们的边长进行分类.其中，分类错误的是（) ① ② ③ A.①是三边都不相等的三角形 B.②③是等腰三角形 C.②③是等边三角形 D.③是等边三角形 题型4根据等腰三角形的定义求边长（共5小题） 【模型】等腰三角形边长模型→等腰三角形有两条边相等，同时满足三边关系 【步骤】①分情况讨论：己知边是腰/已知边是底；②算出三边长；③检验：较短两边之和>第三边；④ 舍去不满足三边关系的情况 【易错】忘记分类讨论；求出边长后不检验三边关系，出现无效解 16. (2627八年级上黑龙江哈尔滨期中)若一个等腰三角形的两条边的长度分别为3和7，则这个等腰 三角形的腰长为() A.3 B.7 C.4 D.3或7 17.（26-27八年级上湖北荆州期中)若一个等腰三角形的周长是21cm,且其中一边的长为5cm,则这 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个等腰三角形的底边长是() A.5cm B.11cm C.5cm或11cm D.5cm或8cm 18.(26-27八年级上湖北期中)已知等腰三角形一边长为4，一边长为9，则这个等腰三角形的周长为 () A.17 B.22 C.17或22 D.19 19.（26-27八年级上浙江嘉兴·期中)已知实数，y满足x-4+y-8=0则以，y的值为两边长的 等腰三角形的周长为() A.16 B.20 C.16或20 D.以上答案均不对 20.(25-26七年级下.四川内江期中)已知等腰三角形的三边长分别为2a,3a-1,4a-3,则这个等腰 三角形的周长是() A.5 B.5或9.5 c.9.5或14 D.5或9.5或14 题型5根据等腰三角形的定义求角度（共5小题) 【模型】等腰三角形角度模型→等边对等角，内角和180 【步骤】①分情况：己知角是顶角/已知角是底角；②利用“两底角相等+内角和180°”计算；③检验内 角是否大于等于180°，舍去不合理情况 【易错】默认已知角一定是底角：忽略三角形内角大于0°的限制 21. (26-27八年级上·浙江宁波期中)若等腰三角形中有一个角为0°，则这个等腰三角形的顶角度数是 22.(25-26八年级下.宁夏银川小期中)等腰三角形的一个内角是100°，则底角为 若一个内 角是40°，则底角为 23.(25-26七年级下四川达州期中)已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是68°，那么这个 等腰三角形的顶角的度数是 24.(25-26七年级下河南郑州期中)定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”， 若等腰△ABC是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为35°，则等腰△ABC顶角的度数为 25.(25-26八年级下陕西渭南·期中)在等腰△ABC中，若∠A=60°，则∠B的度数为°， 6/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6构成三角形的条件（共5小题） 【模型】三边关系基础模型→三角形任意两边之和大于第三边 【步骤】①找出三条线段：②只需检验：较短两条线段之和>最长线段：③满足则可以构成三角形 【易错】机械检验三组不等式，不会简化；误认为两边之差大于第三边 26.（2627八年级上广东珠海期中)下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是() A.15,15,25 B.15,15,30 C.10,15,25 D.10,10,25 27.（26-27八年级上甘肃定西·期中)下列各组数中，能构成三角形三边长的是（) A.1,1,2 B.2,3,6 C.1,2,2 D.3,4,8 28.(26-27八年级上江苏期中)已知三角形两条边的长分别为2,5，则第三边的长可能是() A.2 B.3 C.4 D.8 29.(26-27八年级上·天津南开期中)以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.1cm,2cm,3cm B.2cm,5cm,8cm C.3cm,4cm,5cm D.4cm,5cm,10cm 30.(26-27七年级上湖南长沙期中)下面分别是三根小棒长度的比，其中()组中的三根小棒能围 成三角形 A.3:4:7 B.4:5:7 c.8:5:2 D.10:5:5 题型7确定第三边的取值范围（共5小题） 【模型】第三边范围模型→两边之差<第三边<两边之和 【步骤】①算出已知两边的和与差；②写出范围；③如果是整数边长，再取整数 【易错】写范围时不等号方向写反：忽略题目整数、周长限制条件 31. (26-27八年级上全国单元复习)若一个三角形的三边长分别是m+2,10,2,则m的取值范围为 32.(26-27八年级上山东日照，期中)已知，b,c为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2, a-b=6-2c,则c的取值范围是 33.(26-27八年级上河南南阳期中)已知三角形三边为a、b、c,其中Q,b两边满足 a2-12a+36+Vb-8=0,最大边c是偶数，则三角形的周长是 34。(26-27七年级上-山东东营：期中)已知三角形的两边长a、b满足1a-31+b-4=0°第三边长c为 7/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 奇数，则c= 35.（26-27八年级上·云南临沧期中)临沧市临翔区某中学的校园花坛是三角形的，其中两条边长分别为 6米和8米.若第三条边长为整数，则第三条边长最大为 米 提升进阶突破 题型8利用三角形三边关系化简绝对值（共5小题） 【模型】三边关系去绝对值模型→根据两边之和>第三边，判断绝对值内部式子正负 【步骤】①根据三边关系判断每个括号内代数式正负：②正数直接去绝对值，负数去绝对值加负号：③合 并同类项化简 【易错】符号判断错误，去绝对值时变号出错 36.(26-27八年级上福建莆田·期中)已知在△ABC中，AB=5,BC=2,且AC为奇数， (1)求△ABC的周长： (2)已知a、b、c为三角形三边，化简：a+b-c-a-b-c-a-b+c. 37.(26-27八年级上江苏无锡期中)已知a,b,c为△ABC的三边长，若a,b满足1a-6+b-4=0 (1)求c的取值范围： (2)若c是整数，且△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长. 38.(26-27八年级上四川绵阳期中)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (回若a,b满足等式a-3+b-5=0且c为整数，求△ABC周长的最小值. (2)化简：b+c-a+c-a-b-a-b+c. 39.(26-27八年级上四川广安期中)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a=2,b=5,c为奇数，求△ABC的周长： (2)化简：b-a-c+a+b-c. 40.(26-27八年级上辽宁鞍山期中)已知：△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)化简：a+b-c-a-b-c; (②△ABC的两边长为2和7，周长为偶数，求出周长. 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型9几何图形中利用三边关系比较边的大小（共5小题） 【模型】线段比较模型→在同一个三角形中，两边之和大于第三边 【步骤】①把要比较的线段放到同一个或多个三角形中；②列出三边不等式；③不等式叠加推导大小关系 【易错】找不到合适三角形，不会构造三边关系不等式 41. 如图所示，D是△ABC内任意一点，连接BD,DC,证明：AB+AC>BD+CD D B 42.(25-26八年级上湖北鄂州·期中)数学课本第29页复习题的第9题如下： 如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD> PD+CD> 将不等式左边、右边分别 相加，得AB+AD+PD+CD> ,即AB+AC> M B 图1 图2 (1)补全上面步骤： (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交AB,AC于M,N,证明：AB+AC>PB+PC. 43.(25-26八年级上全国期中)如图，P为△ABC中任意一点.证明：AB+BC+CA>PA+PB+PC. P B 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.（25-26八年级下山东期中)【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从 而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加.核心原理：如果a>b,C>d,那么 a+c>b+d. 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题， B 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)(基础应用) 如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC PA+PB.(填 <”, “>”，“=”) (2)(核心方法) 如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC>PB+PC, (3)(能力提升) 如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC,使B、P、Q、C构成凸四边形.请参考第二 问的证明方法，求证：AB+AC>BP+PQ+QC. 45.(25-26八年级上·安徽合肥期中)如图，D为△ABC的边BC上一点，试判断2AD与△ABC的周长 之间的大小关系，并加以证明， B 题型10等腰三角形被中线分成两个部分问题（共5小题） 10/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】等腰三角形中线周长分割模型→中线平分对边，周长分为两部分（不含中线长） 【步骤】①设腰长、底边长；②分两种情况：腰+半腰=一部分周长/底+半腰=一部分周长；③求解后检验 三边关系 【易错】分不清分割的是周长（不含中线）；忘记检验三边关系 46.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边 长 47. (26-27八年级上湖北黄冈期中)在△ABC中，AB=AC,DB为△ABC的中线，且BD将△ABC 周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长. 48.(26-27八年级上陕西榆林期中)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,CD是△ABC的中线，DE是 △BDC的中线.若四边形ADEC的周长与△BDE的周长差为5，求AB的长. B 49.(26-27八年级上·重庆巫山期中)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,中线BD将△ABC周长分为 9和15两部分，求它的底边BC的长. D 50.(26-27八年级上浙江金华.期中)在△ABC中，AB=BC,AD是BC边上的中线，且AD把△ABC 的周长分成6和9的两部分，求AC边的长. 题型11与平行线有关的三角形内角和问题（共5小题） 【模型】平行线+内角和模型→平行线同位角、内错角相等，三角形内角和180° 【步骤】①由平行线得到等角：②把等角转移到三角形内：③利用内角和计算未知角 【易错】平行线性质记错，角的等量代换出错 51. (26-27八年级上.重庆巫山.期中)已知如图，在△ABC中，∠BAC=86°，∠B=46°，CD平分 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB,AE‖CD,则∠EAC的度数为() D E A.43° B.23° C.24° D.44° 52.(2026江苏扬州模拟预测)如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC 于点D,DE‖AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是() A.30 B.40° C.50° D.60 53.(25-26六年级下山东烟台期中)如图，直线CF‖DE,∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=16°， 则∠2等于() F 2 A.44° B.40° C.38° D.34° 54.(25-26七年级下.北京期中)如图，直线a‖b,CD⊥AB于点D,若∠1=130°，则∠2等于 () A D B b C A.70° B.60° c.50° D.40° 55.(25-26七年级上广西桂林期中)如图是一架婴儿车的示意图，其中AB‖CD,∠1=110°， 12/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠3=40°，那么∠2的度数为() 3入D A.80° B.90° c.100° D.70° 题型12与三角板有关的内角和问题（共5小题） 【模型】三角板角度固定模型→一副三角板角度固定：45°、45°、90°；30°、60°、90 【步骤】①记住两块三角板固定角度：②找到图中角的和差关系：③结合内角和、对顶角计算 【易错】记错三角板自带角度；重叠图形中找错角之间的和差 56,(25-26七年级下福建厦门期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则 ∠2的度数是() A.20° B.25° C.30° D.35o 57.(2026内蒙古通辽.二模)如图，某同学将一块含30°角的直角三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2= () A.70° B.80° C.90° D.100° 58.(25-26七年级下四川绵阳·期中)将一个直角三角尺GF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置， 其中∠EFG=30°，点F,E分别落在边AB,CD上，GF与CD交于点H,若∠CEG=140°，则 ∠AFE的度数为() 13/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.40° B.35° C.30° D.20 59.(2025安徽滁州.三模)两个直角三角板如图摆放，其中∠ABC=∠BDE=90°，∠A=45°， ∠E=30°，若C是DE上一点且ACBD,则∠ABE的大小为() A.50° B.60° C.75 D.80 60.(24-25八年级上新疆吐鲁番期中)如图，将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直 角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为() A.100° B.120° C.135° D.105° 题型13三角形内角和中折叠问题（共5小题） 【模型】折叠角度模型→折叠前后对应角相等 【步骤】①标记折叠前后相等的角；②利用平角180°、三角形内角和180°列等式：③解方程求角度 【易错】找不到折叠重合的等角：分不清折叠后新增角的关系 61. (26-27八年级上福建龙岩期中)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠A=30°，点D是AC上 点，将△ABC沿BD折叠，使C点落在AB边上的点C处，则∠ADC= 14/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62.(26-27八年级上全国期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好 落在AC边上的点E处.若∠A=21°，则∠BDC等于一· C B----- 63.(26-27七年级上山东东营期中)如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC上的点，将∠C沿DE 折叠，使点C落在△ABC的内部点C'处.若∠C=50°，则∠1+∠2=°. D 64.(26-27八年级上四川南充·期中)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的 外部时，测量得，∠A=25°，则∠1+∠2= D 65.(26-27八年级上山东日照期中)如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=70°，将纸片的 一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=18°，则∠1的度数为， B D E 拔高压轴破难 15/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型14利用三角形三边关系求最值（共5小题) 【模型】三边关系最值模型→两点之间线段最短；两边之差<第三边<两边之和 【步骤】①把所求线段看作某个三角形的一边；②根据三边范围，确定最大值、最小值：③取等号条件 (三点共线) 【易错】忽略三点共线才可以取到最值；分不清最大、最小值 66. (2526七年级下四川成都期中)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部 分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形，并结合 非负数的意义来解决问题。 例如X2+4x+6=x2+4x+4+2=(x+2}P+2可知当(x+2}=0:即x=-2时，X+4x+6有最小值， 最小值是2. 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式x2-4x-7的最小值为 (2)已知△ABC的三边长a,b,c,且满足a+b2-6a-10b+34=0,求边c的取值范围： (3)已知P=3m2+4n+19,Q=m2-n2+12m-4,试比较P,Q的大小. 67.(2526八年级上江苏苏州：期中)利用完全平方公式a+bP=a+2b+b2利a-bP=02-2b+b2的 特点可以解决很多数学问题.下面给出两个例子： 例1.分解因式： x2+2x-3 =x2+2X+1-4 =x+12-4 =x+1+2x+1-2 =x+3x-1. 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,求M的最小值. a2-2ab+2b2-2b+2 =a2-2ab+b2+b2-2b+1+1 =a-b2+b-12+1 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b2≥0'b-12≥0 当a=b=1时，M的最小值是1. 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：a+12a+35: (2)当x、y为何值时，多项式2x+y-8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值： (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a+b2=8a+6b-25,求△ABC周长的最大值， 68.(25-26八年级下四川成都期中)我们把多项式a+2ab+b及a2-2ab+b叫做完全平方式.如果一 个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为 完全平方式，然后进行因式分解.例如：x2+4x+3=x2+4x+4-1(此处可看作在原式上添加“+4-4 ”,也可看作将3拆分为“+4-1”）=x+2-12=x+2+1x+2-1=x+3x+1 (1)用配方法将x2-6x-16分解因式： (2)已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a+b2-4a-2b+5=0,求该等腰三角形的周长. (3)当x,y为何值时，代数式-x+2y-2y+6y+7取得最大值，最大值为多少？ 69.(25-26七年级下江苏苏州期中)先阅读后解题： 若m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值. 解：等式可变形为：m2+2m+1+n-6n+9=0 即m+1P+n-32=01 因为m+1P≥0'n-3≥0 所以m+1=0,n-3=0 即m=-1,n=3」 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”· 请利用配方法，解决下列问题： (1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a+2b2-2a-16b+33=0,则△ABC的周长是 (2)求代数式a+4b2+4ab-4a-8b+7的最小值是多少？并求出此时a,b满足的数量关系： 3)请比较多项式x2+3x-4与2x2+2x-3的大小，并说明理由 70.(25-26七年级下江苏盐城期中)阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值. 17/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：.m2-2mn+2n2-8n+16=0, m2-2mn+n2+n2-8n+16=0 m-n2+n-42=0' m-n2=0且n-42=0 ∴.m=n=4. 根据你的观察，探究下面的问题： a2-2a+1+b2=0则a a= --’b= (2)已知x2+2y-2Xy+4y+4=0,求x'的值： (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a+b2-4a-10b+27=0,求△ABC的周长. 题型15三角形内角和定理的应用（共5小题） 【模型】平行线判定与性质+平移不变性+角平分线模型→平移前后对应线段平行且相等、对应角相等：角 平分线等分角度；平行线内错角、同旁内角转化，结合8字模型、分类讨论 【步骤】①第一问：利用三角形内角、等角条件算出内错角，判定两直线平行；②第二问①：由平移得到 AB∥CD,结合平行线拐点模型（铅笔头/猪蹄模型）进行角度转化计算：③第二问②：角平分线条件，设 未知数表示角，结合交点O,分位置分类讨论，列等式求解： 【易错】1.平移性质理解错误，找不到相等、平行的角； 2.拐点处不会构造辅助线，不会使用平行线拐角模型： 3.第二小问②没有分类，漏掉点0的不同位置情况： 4.角平分线角度代换时倍数关系搞错。 71. (25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)如图，FCHK,一块三角板的顶点A在直线HK上，BC、 AC分别交FG于点D、E.已知∠BAC=60°，∠B=90°，∠C=30°. 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G D D B B◇ H H A 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAH=40°，求∠FDB的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，当∠CDE和∠CAK的角平分线交于点I时，求∠I的度数， (3)如图3，点I在∠EDC的角平分线上，连接AI,使∠CAI,∠KAI=1,3,且∠I=35°，此时 ∠FDB的度数为 。 72.（25-26七年级下山西朔州期中)综合与实践 E N MA CE N M A E N P B O PB D P B ① ② 备用图 问题情境：综合实践活动课上，老师提出如下问题： 如图①，点A,B分别在直线MN,PQ上，∠NAB=104°，∠ABQ的平分线交MN于点E,且 ∠AEB=∠ABE.试判断直线MN和PQ的位置关系，并说明理由. (1)请你解答老师提出的问题. 深入探究： (2)若将图①中的线段AB沿直线MN向右平移得到线段CD,点A,B的对应点分别是点C,D,连接ED, ①如图②，当∠BED=20°时，求∠EDC的度数： ②在平移的过程中，直线BE与∠EDQ的平分线所在直线交于点O,当∠BOD=15°时，请直接写出 ∠BED的度数. 73.(25-26七年级下·山东淄博期中)综合与实践： 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线MN,PQ和一块含45°角的直角三角尺ABC”为 主题展开数学活动. 【探究发现】 19/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图①，小明把三角尺中45°角的顶点B放在PQ上，边AB,AC与MN分别交于点D,E. D/ MD C P B B ① ② ③ (1)若∠1=70°，则∠2的度数为 (2)如图②，请你探究∠Q与∠B之间的数量关系，并说明理由： (3)【延伸拓展】如图③，AB⊥PQ,把三角尺ABC从图③的位置开始绕点B顺时针旋转n°(0<n<90), 当直线AC与MN相交所成的锐角是63°时，求∠PBA的度数、 74.(25-26七年级下·湖北荆门期中)在数学活动课上，善思小组的同学以“两条平行线MN,PQ和一 块含45°的直角三角板ABC(A,B,C逆时针方向排列，其中∠ABC=45°，∠ACB=90)”为主题 展开数学活动，点B始终在直线PQ上。 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB⊥PQ时，边AB,AC分别交MN于点E,D,求∠CDN的度数： (2)如图2，三角板ABC绕点B旋转，当点C在PQ下方，点A在两条平行线之间时，CA的延长线交MN于 点D,∠CDN的平分线与∠QBC的平分线交于点O,请探究∠BOD的度数是否发生变化，并说明理由： (3)如图3，三角板ABC的顶点C在直线MN上，边AB交MN于点E,将三角板沿AB翻折，点C落在点F 处，∠CBQ=5∠FBP,G为边BC延长线上一点，连接EG,∠MEG的平分线所在直线交PQ于点K, 直接写出∠EGB与∠EKQ之间的数量关系. 75.(25-26七年级下北京东城期中)已知直线ABCD,点E,F分别在直线AB,CD上，点P为直线 AB,CD外一点，连接PE,PF.∠BEP的平分线所在直线与∠EPF的平分线所在直线交于点M. 20/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P· E B E -B A B M D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BEP=150°，∠DFP=120°，则∠EPF=°： (2)如图2，当点P位于直线AB与直线CD之间，直线EF右侧时，试探究∠EMP与∠PFD之间的数量关 系，并说明理由： (3)如图3.当点P在直线AB上方时，补全图形并写出∠EMP与∠PFD之间的数量关系. 21/21