2026-2027年八年级上数学期中测试解答压轴题汇编（Word版）-2026-2027年初中数学上册期中测试压轴题汇编（人教版）

【人教版】2026-2027年8年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 一．完全平方公式的几何背景（共1小题） 1．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． （1）由图①和图②可以得到的等式为____________________ （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； （2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图③，已知C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝22，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 二．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 2．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3（立方和公式），请据此完成以下任务： （1）任务一：①请你类比立方和公式，化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝__________ ； ②利用立方和公式计算：（503+1）÷（502﹣50+1）＝_______ ； （2）任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为a，正方体B的棱长为b．正方体C的棱长为请你判断正方体A、正方体B体积之和与正方体C体积的大小关系，并说明理由； （3）任务三：已知：a3﹣27b3＝（a﹣3b）（2+6ab），a，b为正数，当a﹣3b为非零整数时，求ab的值． 三．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 3．定义：若多项式有一个大于1的整数因子，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当m，n为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有_______ ． ①（2m）2；②16m﹣32mn；③m2+8m+16；④（3m+2）2﹣（m+2）2． （2）若关于x的多项式2x2+ax﹣27是（x﹣a）的完美多项式，求a的值． （3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+11＜ab+6b，且n＝b﹣a﹣1，若关于x的多项式x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2（t为常数）是（x﹣n）的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为2t+4，求n，t的值． 四．二次根式的化简求值（共1小题） 4．在数学小组探究学习中，小明所在的小组遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们这样解答： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）化简： _________________ ； （2）化简：； （3）若， ①求a2﹣4a的值； ②求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 五．配方法的应用（共1小题） 5．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式x2﹣2xy+y2可以配成完全平方式（x﹣y）2，因为（x﹣y）2具有非负性，所以x2﹣2xy+y2≥0，这样的非负性有非常广泛的应用．比如：对任意正实数a，b，用代替x，y可得： a﹣20， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2， 当且仅当a＝b时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当x＞0时，x2，当且仅当x，即x＝1时，x有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），我们也可以通过配方的方式把它变形为（x+h）2＝k（k≥0），从而解出该方程的解为x＝±h． 例：若2x2﹣4x﹣3＝0，则变形为（x﹣1）2， ∴该方程的解为x＝±1， 化简后得：x＝±1． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若x＞0，当x＝_____ 时，式子3﹣x的最大值为_______ ． （2）若x＞﹣2，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于x（x＞0）的代数式M：，求M的最小值及此时a和x的值． 六．一次函数综合题（共1小题） 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形ABC，其中∠ABC＝90°，BA＝BC． （1）直线l对应的函数表达式是 ____________________ ，点C的坐标是 ___________ ； （2）如图2，点D是AC的中点，点M是直线l上的一个动点，连接MD、MC，求MD+MC的最小值，并求出MD+MC取最小值时点M的坐标； （3）点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得△PHA是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 七．一次函数_复杂函数探究（共1小题） 7．对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足AB2+MA2＝MB2或AB2+MB2＝MA2，则称M为线段AB的垂点．特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）． （1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是____________________ ； （2）直线分别交坐标轴于点Q（2t，0）和点P（0，t）． ①如图2，当t＝1时，若直线上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，已知M为线段PQ的等垂点且MQ＝PQ，问线段AB上是否存在等垂点M，若存在，求出等垂点M的坐标；若不存在，说明理由． 八．一次函数几何综合_运动型（共1小题） 8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝_______ °； ②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝_____ ； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝_________ ． 九．全等三角形的判定与性质（共4小题） 9．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 10．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A、C重合）．连接BP，过点A作BP的垂线段，垂足为点D，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE． （1）求证：BD＝CE； （2）延长ED交BC于点F． ①求∠CED的度数； ②若AB＝10，求BF的长． 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于点H．求证：EH＝BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M，求证：BM＝EM； （3）当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝7CM，请直接写出的值． 12．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由． 十．全等三角形的判定与性质（共1小题） 13．【问题背景】如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．可使用倍长中线法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． （1）【探究应用】如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由； （2）【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由． 十一．线段垂直平分线的性质（共1小题） 14．在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB时，垂足分别为D、E，则有：CD＝CE． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当CO⊥AB，垂足为O，AO＝BO时，则有：CA＝CB． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，点P为线段BD上一动点． （1）试说明：PE＝PC；（2）若∠A＝α，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，求∠CPE的度数（用含α的式子表示）． 十二．三角形综合题（共5小题） 15．如图，点A（a，0），B（0，b），满足|a﹣b|+（b﹣2）2＝0． （1）直接写出△AOB的面积为_____ ． （2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，求证：CD＝AC+BD． （3）如图2，F（2，2），点E是x轴上一动点（点E在点A的左边且不与点O重合），点K是y轴正半轴上一动点，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝45°，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并说明理由． 16．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于直线l1对称，点P1和点P2关于直线l2对称，则称点P2为点P关于直线l1，直线l2的“双对称点”． 已知点A（2，4）． （1）如图1，若直线l1为x轴，直线l2为y轴，则点A关于x轴，y轴的“双对称点”坐标为____________ ； （2）若直线l1为y轴，直线l2为过（m，0）且与y轴平行的直线． ①若点A关于直线l1，直线l2的“双对称点”为点A2，且AA2＝6，则m值为_______ ； ②已知点E（2+m，5），若线段AE上存在点M，使得点M关于直线l1，直线l2的“双对称点”M2恰好在y轴上，求m的取值范围； （3）如图2，已知B（3，4），C（3，5）．若直线l1为y轴，直线l2为过（n，0）且与一、三象限角平分线平行的直线．若△ABC上存在点N，使得点N关于直线l1，直线l2的“双对称点”N2恰好在坐标轴上，请直接写出n的取值范围：____________________ ． 17．已知在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上某一点，点P是第二象限内一动点． （1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a+15|+（5﹣b）2＝0，则a＝_______ ，b＝_____ ． （2）如图2，在第（1）问的条件下，若PA⊥PB，点B在x轴上，将∠APB绕点P顺时针旋转至如图所示位置，点C和点D均在坐标轴上，求OD+OC的值． （3）如图3，若点B与点B′关于y轴对称，且AG⊥PB′，动点P满足∠BPB′＝2∠BAO，请直接写出S△AGP，S△APB和S△APB′三个三角形之间的面积关系． 18．如图，平面直角坐标系中，点A，点B分别在的x轴，y轴上，点C是△ABO的三条角平分线的交点． （1）如图1，连接CA，CB，直接写出∠ACB的度数：_________ ； （2）如图2，连接AC并延长交OB于点D，若OA＝OB，S△ABD＝16，求AD的长； （3）如图3，连接CA，CB，CO，若OB＝OA+AC，求∠ACO的度数． 19．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A，C分别在x轴、y轴上，斜边AB交y轴于点D．直角边BC交x轴于点E． （1）如图1，若C（0，﹣2），A（﹣4，0），求点B的坐标． （2）如图2，y轴正半轴上有一点F，连接BF，则∠FBC＝90°．当E恰为BC的中点时，连接DE，求证∠AEC＝∠DEB． （3）若AE是∠BAC的平分线，请直接写出OC，OE，AE之间的数量关系． 十三．三角形综合题（共1小题） 20．小明遇到这样一个问题：△ABC是边长为6cm的等边三角形，点M，N分别是边AB，BC上的动点．点M从点A出发沿线段AB向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段BC向点C运动．如果M，N都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为ts．请问BM＝ __________ cm（用含t的式子表示），当t＝ ____________ s时，△BMN是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接AN，CM交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现∠CEN的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明△ABN≌△CAM，从而得到∠BAN＝∠ACM，再利用外角的性质得出∠CEN＝∠BAC＝60°，即∠CEN的度数不变． 如图3，若点M，N分别在AB，BC的延长线上运动，作直线AN，CM交于点E，其余条件不变，∠CEN的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线BC方向运动，连接MN交AC于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究△MDC和△DCN的面积之间的数量关系，并说明理由． 十四．三角形综合_基本型（共1小题） 21．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求BF的长． 十五．三角形综合_基本型（共1小题） 22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点． （1）如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°，求证：△ABE≌△ACF； （2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD； （3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF． ①∠AFB的度数是________ ； ②若AH为△ABF中BF边上的高，求证：BF＝CF+2AH． 十六．三角形综合_运动型（共2小题） 23．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），连接AB，点P，Q是线段OB上的动点（P，Q两点不重合），且OP＝BQ．连接AQ，过点O作OD⊥AQ交AQ于点E，交直线AB于点D，连接DP，交AQ于点F． （1）求证：∠DOB＝∠QAO； （2）试猜想∠BPD与∠AQO的数量关系，并说明理由； （3）当PQ＝FQ时，连接OF，求△AOF的面积． 24．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段CB上时，BD与CE的数量关系是 __________ ． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ _______ 度． （3）设∠BAC＝α，∠DCE＝β． ①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请探究α与β之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系 ________ ． 十七．三角形综合_最值型（共1小题） 25．已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE． （1）如图1，点D在线段BC上，连接CE，求证：AB∥CE． （2）如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，猜想线段AF、CF、CD之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线AQ∥BC，P为射线AQ上一点，G为AC上的动点，连接PG和EG．若AB＝8，△ABC的面积为16，求PG+EG的最小值． 十八．三角形综合_创新型（共2小题） 26．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC为锐角，以AB，AC为边作等边△ABP和等边△ACQ，连接PC，交AB于点D，连接BQ，交AC于点E，交PC于点O，连接AO． 求证：①∠APC＝∠ABQ； ②OA+OB＝OP． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把OA+OB转换为OP），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有A，B两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线MN，先在河岸MN上找一点C建引水站，再在图中阴影区域找一点O建分水站，从而把河水引到A，B两村．请在图中找到C，O的位置，使全程管道部分（OA+OB+OC）用料最少． 请你在先图2中找到点C和点O的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 27．【问题提出】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的点．连接AD，以AD为边作△ADE（E、D在AC同侧），使DA＝DE、∠ADE＝∠BAC，连CE．若∠BAC＝90°，判断CE与AC的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段BC上，∠BAC＝60°时，直接写出∠ACE的度数 ________ ； （2）再探究具体情形、如图1，判断CE与AC的位置关系，并说明理由． （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC．点E为△ABC外一点，AD⊥BE于D，∠BEC＝∠BAC，DE＝3，EC＝2．则BD的长为 _____ ． 十九．三角形综合_创新型（共1小题） 28．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BAC＝∠AEC＝α． （1）如图1，当∠BDA＝α＝90°时，直接写出线段DE，BD，CE之间的数量关系是_____________ ； （2）如图2，当∠BAC是钝角，且CE＝DA时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠BAC是钝角，且CE＝DE时，直接写出∠BDA与∠AEC之间的数量关系． 二十．四边形综合题（共2小题） 29．综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了，为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1，把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标x、纵坐标y与它的两部分的重心位置的横坐标x1、x2纵坐标y1、y2之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图1所示． ∴点G的坐标为（2，2），点H的坐标为（5，1）． 又正方形EOFD的面积为4×4＝16，正方形CFAB的面积为2×2＝4． ∴点Q的横坐标． 点Q的纵坐标． 即点Q（2，6，1，8）． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图2所示． ∴点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（3，1）． 又长方形EFCD的面积为2×4＝8，长方形ABFO的面积为6×2＝12， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标． 即点Q（2.6，1，8）． 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为（x，y），两个简单平面图形的面积分别为S1，S2，重心坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标x，纵坐标y与它的两部分的重心位置的横坐标x1，x2，纵坐标y1，y2之间有什么数量关系？ （2）图3是一个工件的横截面，请通过推理，计算确定它的重心位置． 30．【问题背景】如图1，四边形ABCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是EF＝AE+CF． （1）【探究延伸1】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； （2）【探究延伸2】如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离． 二十一．几何变换综合题（共3小题） 31．已知，△ABC是等边三角形，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD、AD，点E在边AC上，连接BE，点F是射线BE上一点，连接AF、CF． （1）如图1，若点D在△ABC边AB左侧平面内，且点F与点E重合，∠D＝50°，∠ABE＝20°，AE＝2，BE＝6，H在BD边上，连接AH，当AB平分∠DBE和∠HAE时，求线段BD的长； （2）如图2，若点D在线段CA延长线上，过点C作CH∥BD交BE延长线于点H，当AB＝BF，且∠HBC＝2∠ABD时，求证：BD＝AF+CH； （3）如图3，若点D在射线CA上，点L、I是线段BC上两定点（均不与点B、C重合），连接AL、AI，满足∠AIL+∠ALI°．点M、R、S分别是线段LI、AI和AL上一点，连接MR、MS、RS．当△MRS的周长最小时，作点M关于AC的对称点N，连接AN，点P和点Q分别为射线AN、BD上一点，连接CP、AQ，记∠ABD＝α．若AP＝BQ，则当AQ+CP的值最小时，用含α的式子直接写出∠PAQ的度数． 32．汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a2+b2＝c2 （1）如图1，已知a＝6，b＝8，则c＝_______ ； （2）如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动．连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N．当BN＝2时，求运动时间t； （3）如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ＝MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为时，求此时m的值． 33．完成下列各题： （1）问题的提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B＝∠C． （2）知识的运用：如图2，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为_________________ ． （3）拓展延伸：如图3，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G．GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【人教版】2026-2027年8年级上数学期中测试解答压轴题汇编（3-3） 参考答案与试题解析 一．完全平方公式的几何背景（共1小题） 1．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． （1）由图①和图②可以得到的等式为　（a+b）2＝a2+2ab+b2 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； （2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； （3）如图③，已知C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝22，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）图②整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图②中四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，而卡片A的面积为a2，卡片B的面积为b2，卡片C的面积为ab， ∴需要A卡片2张，B卡片2张，C卡片5张； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则a+b＝AB＝6，a2+b2＝S1+S2＝22， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即36＝22+2ab， ∴ab＝7， ∴图中阴影部分的面积为ab． 二．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 2．在多项式乘法的学习中，公式变形是解决复杂问题的重要方法．已知（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3（立方和公式），请据此完成以下任务： （1）任务一：①请你类比立方和公式，化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 ； ②利用立方和公式计算：（503+1）÷（502﹣50+1）＝　51　 ； （2）任务二：小明制作了三个正方体模型，正方体A的棱长为a，正方体B的棱长为b．正方体C的棱长为请你判断正方体A、正方体B体积之和与正方体C体积的大小关系，并说明理由； （3）任务三：已知：a3﹣27b3＝（a﹣3b）（2+6ab），a，b为正数，当a﹣3b为非零整数时，求ab的值． 【解答】解：（1）①（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝a•a2+a•ab+a•b2﹣b•a2﹣b•ab﹣b•b2 ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 ＝a3﹣b3， ②∵（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3， ∴a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）， ∴（503+1）+（502﹣50+1） ＝（503+13）÷（502﹣50+1） ＝（50+1）（502﹣50×1+12）÷（502﹣50+1） ＝（50+1）（502﹣50+1）÷（502﹣50+1） ＝51； 故答案为：a3﹣b3；51； （2）根据题意得，正方体A的体积为，正方体B的体积为，正方体C的体积为， ∵ ， ∵a+b＞0，（a﹣b）2≥0，（a+b）2＞0， ∴， ∴VA+VB﹣VC＞0，即VA+VB＞VC； （3）∵a3﹣27b3＝（a﹣3b）（2+6ab）， ∴（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）＝（a﹣3b）（2+6ab）， ∵a﹣3b为非零整数， ∴a2+3ab+9b2＝2+6ab， ∴（a﹣3b）2+3ab＝2， 设m＝a﹣3b，则m2+3ab＝2m2≥1， 当m2＝1时，1+3ab＝2， ∴ 当m2≥4时，3ab＝2﹣m2≤﹣2不满足a，b为正数的条件， 故ab的值为． 三．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 3．定义：若多项式有一个大于1的整数因子，则称该多项式是这个整数的半完美多项式，若多项式有一个一次因式，则称该多项式是这个因式的完美多项式． （1）当m，n为整数时，下列式子中是16的半完美多项式的有　②④　 ． ①（2m）2；②16m﹣32mn；③m2+8m+16；④（3m+2）2﹣（m+2）2． （2）若关于x的多项式2x2+ax﹣27是（x﹣a）的完美多项式，求a的值． （3）已知正整数a，b，c满足不等式a2+b2+11＜ab+6b，且n＝b﹣a﹣1，若关于x的多项式x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2（t为常数）是（x﹣n）的完美多项式，此完美多项式的另一个因式最小值为2t+4，求n，t的值． 【解答】解：（1）①（2m）2＝4m2，是一个单项式，故①不符合题意； ②16m﹣32mn＝16m（1﹣2n），该式有因子16，是16的半完美多项式，故②符合题意； ③m2+8m+16＝（m+4）2，没有等于16的因子，故③不符合题意； ④（3m+2）2﹣（m+2）2＝8m（m+1）， 因为m，n为整数，所以m与m+1中必有一个为偶数，则 m（m+1）是2的倍数， 所以 8m（m+1）是16的倍数，是16的半完美多项式，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）设2x2+ax﹣27＝（x﹣a）（2x+b）， ∴2x2+ax﹣27＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab， ∴， ∴a＝±3； （3）∵a2+b2+11＜ab+6b， ∴， ∵a，b为正整数， ∴当b＝4时，a＝2， 当b取其它值时，与题意不符，舍去； ∴n＝b﹣a﹣1＝1， ∵x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2是（x﹣n） 的完美多项式， ∴x3+（2t﹣n）x2﹣4tnx+2tn2 ＝x3﹣nx2+2tx2﹣4tnx+2tn2 ＝x2（x﹣n）+2t（x﹣n）2 ＝（x﹣n）（x2+2tx﹣2tn） ＝（x﹣1）（x2+2tx﹣2t）， ∴此完美多项式的另一个因式为x2+2tx﹣2t， ∵x2+2tx﹣2t＝（x+t）2﹣t2﹣2t且最小值为2t+4， ∴﹣t2﹣2t＝2t+4， ∴t＝﹣2． 四．二次根式的化简求值（共1小题） 4．在数学小组探究学习中，小明所在的小组遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们这样解答： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）化简： 　2　 ； （2）化简：； （3）若， ①求a2﹣4a的值； ②求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 【解答】解：（1）2； 故答案为：2； （2）原式1⋯ 1 ＝13﹣1 ＝12； （3）①∵a2， ∴a﹣2， ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5， ∴a2﹣4a＝1； ②∵a2﹣4a＝1， ∴2a4﹣8a3﹣8a+4 ＝2a2（a2﹣4a）﹣8a+4 ＝2a2﹣8a+4 ＝2+4＝6． 五．配方法的应用（共1小题） 5．阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式x2﹣2xy+y2可以配成完全平方式（x﹣y）2，因为（x﹣y）2具有非负性，所以x2﹣2xy+y2≥0，这样的非负性有非常广泛的应用．比如：对任意正实数a，b，用代替x，y可得： a﹣20， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2， 当且仅当a＝b时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当x＞0时，x2，当且仅当x，即x＝1时，x有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），我们也可以通过配方的方式把它变形为（x+h）2＝k（k≥0），从而解出该方程的解为x＝±h． 例：若2x2﹣4x﹣3＝0，则变形为（x﹣1）2， ∴该方程的解为x＝±1， 化简后得：x＝±1． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若x＞0，当x＝　3　 时，式子3﹣x的最大值为　﹣3　 ． （2）若x＞﹣2，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于x（x＞0）的代数式M：，求M的最小值及此时a和x的值． 【解答】解：（1）∵， 当x时，x2＝9， ∵x＞0时，x＝3， ∴当x＝3，3﹣x取到的最大值是﹣3； 故答案为：3，﹣3； （2）∵2x2+5x+12＝2（x+2）2+10﹣3（x+2）， ∴2（x+2）43， 当2（x+2）时，（x+2）2＝5， ∵x＞﹣2， ∴x2时，式子取到最小值是43； （3）令t，t＞1， ∴， ∴x＝（t﹣1）2，∴整理得，Mt21， ∵a2+a+2＝（a）2， 当a，M能够取到最小值， 此时t，t， ∴x＝（）2， ∴x． 六．一次函数综合题（共1小题） 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形ABC，其中∠ABC＝90°，BA＝BC． （1）直线l对应的函数表达式是 　　 ，点C的坐标是 　（14，6）　 ； （2）如图2，点D是AC的中点，点M是直线l上的一个动点，连接MD、MC，求MD+MC的最小值，并求出MD+MC取最小值时点M的坐标； （3）点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得△PHA是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线l解析式为y＝kx+b，将点A（0，8），点B（6，0）代入得， ， 解得， ∴直线l的解析式为； 如图，过C作CG⊥x轴于点G， 则∠AOB＝∠ABC＝∠BGC＝90°， ∴∠ABO＝∠BCG＝90°﹣∠CBG， ∵AB＝BC， ∴△AOB≌△BGC（AAS）， ∴CG＝OB＝6，BG＝OA＝8， ∴C（14，6）； 故答案为：；（14，6）； （2）∵点D是AC的中点， ∴D（7，7）， 作点C关于直线l对称的点C′， 则C'（﹣2，﹣6）， 由点C'和点D坐标可知直线C′D解析式：， 联立直线C′D与l的解析式得， 解得：， 即M（4，）时，MD+MC取最小值， 此时MD+MC的最小值为C'D5； （3）存在，有6个满足条件的点H，P（56，0）或或； 由题可知A（0，8），直线l的解析式：； 若以A为直角顶点，∠PAH＝90°，AP＝AH，有以下①②两种情况： ①如图， 则△PAO≌△AHN（AAS）， ∴NH＝OA＝8，，， ∴， ∴； ②如图，①情况下不动，H点移动到A下方，与①情况中的H关于PA对称的位置，也符合题意； 若以P为直角顶点，即∠APH＝90°，PA＝PH，有以下③④两种情况： ③如右所示，P在直线左侧，设P（a，0）（a＜0）， 则△APO≌△PHN（AAS）， ∴PN＝AO＝8，NH＝PO＝﹣a，ON＝8﹣（﹣a）＝8+a， ∴H（8+a，a）， 代入得：， 解得：， ∴； ④如图所示，P在直线右侧，设P（a，0）（a＞0）， 则△APO≌△PHN（AAS）， ∴PN＝AO＝8，HN＝OP＝a，ON＝OP﹣PN＝a﹣8， ∴H（a﹣8，﹣a）， 代入得：， 解得：a＝56， ∴P（56，0）； 若以H为直角顶点，即∠AHP＝90°，HA＝HP，有两种情况： ⑤即情况③的P点位置不动，过P作PH⊥AH，此时P点坐标同③， ⑥即情况④的P点位置不动，过P作PH⊥AH，此时P点坐标同④， 综上所述，有6个满足条件的点H，3个满足条件的点P，分别是P（56，0）或或． 七．一次函数_复杂函数探究（共1小题） 7．对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足AB2+MA2＝MB2或AB2+MB2＝MA2，则称M为线段AB的垂点．特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）． （1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是D（1，2），F（﹣1，﹣1）　 ； （2）直线分别交坐标轴于点Q（2t，0）和点P（0，t）． ①如图2，当t＝1时，若直线上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，已知M为线段PQ的等垂点且MQ＝PQ，问线段AB上是否存在等垂点M，若存在，求出等垂点M的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1）， ∴AB2＝（1+1）2＝4， ∵C（0，4）， ∴CA2＝（﹣1﹣0）2+（1﹣4）2＝10，CB2＝（1﹣0）2+（1﹣4）2＝10， ∴AB2+CA2≠CB2， ∴点C不是线段AB的垂点； ∵D（1，2）， ∴DA2＝（1+1）2+（2﹣1）2＝5，DB2＝（1﹣1）2+（2﹣1）2＝1， ∴AB2+DB2＝DA2， ∴点D是线段AB的垂点； ∵E（3，﹣2）， ∴EA2＝（3+1）2+（﹣2﹣1）2＝25，EB2＝（3﹣1）2+（﹣2﹣1）2＝13， ∴AB2+EB2≠EA2， ∴点E不是线段AB的垂点； ∵F（﹣1，﹣1）， ∴FA2＝（﹣1+1）2+（﹣1﹣1）2＝4，FB2＝（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2＝8， ∴AB2+FA2＝FB2， ∴点F是线段AB的垂点； 综上所述，点D、F是线段AB的垂点； 故答案为：D（1，2），F（﹣1，﹣1）； （2）①当t＝1时，点P（0，1），Q（2，0）， 设点M是直线上存在线段PQ的等垂点， 如图2，过点M作MG⊥y轴于点G，或过点M作MH⊥y轴于点H， ∴MP＝PQ，MP⊥PQ， ∴∠PGM＝∠QOP＝90°， ∴∠MPG+∠PMG＝90°，∠QPO+∠MPG＝90°， ∴∠PMG＝∠QPO， 在△PMG和△QPO中， ， ∴△PMG≌△QPO（AAS）， ∴MG＝OP＝1，PG＝OQ＝2， ∴OG＝OP+PG＝3， ∴M（1，3）， ∴， 解得：； 同理可得：M′（﹣1，﹣1）， ∴， 解得：； 综上所述，b的值为或； ②线段AB上存在等垂点M；理由如下： ∵M为线段PQ的等垂点且MQ＝PQ， ∴MQ2+PQ2＝MP2， 即△MQP是以MP为斜边的等腰直角三角形． ∵Q（2t，0）和点P（0，t）， ∴， ∴， 设线段AB上存在等垂点M（m，1）（﹣1≤m≤1）， 如图3，当t＞0时，若线段AB上存在等垂点M， 则（1﹣t）2+m2＝10t2，12+（m﹣2t）2＝5t2， 即1+t2﹣2t+m2＝10t2，12+m2+4t2﹣4mt＝5t2， 整理得1+m2＝9t2+2t，12+m2＝t2+4mt， 即9t2+2t＝t2+4mt， 8t2+2t＝4mt， 4t+1＝2m， 则， ∴，， 解得，即， 将代入12+（m﹣2t）2＝5t2得， ， ， 解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， ∴； 如图4，当t＜0时，若线段AB上存在等垂点M， 则（1﹣t）2+m2＝10t2，12+（m﹣2t）2＝5t2， 即1+t2﹣2t+m2＝10t2，12+m2+4t2﹣4mt＝5t2， 整理得1+m2＝9t2+2t，12+m2＝t2+4mt， 即9t2+2t＝t2+4mt， 8t2+2t＝4mt， 4t+1＝2m， 则， ∴，， 解得：，则， 将代入12+（m﹣2t）2＝5t2得：， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 则； 综上所述，． 八．一次函数几何综合_运动型（共1小题） 8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点． （1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ． ①∠POQ＝　30　 °； ②求点P的纵坐标； （2）已知点M（m，0），N（m+t，0）． ①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　6　 ； ②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　3或﹣6　 ． 【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F， ∵M（2，0），N（4，0）， ∴MN＝2，OM＝2， ∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN， ∴QM＝MN＝2，MEMN＝1，∠QMN＝60°， ∴QE，OE＝OM+ME＝2+1＝3， ∵OM＝QM， ∴∠QOM＝∠OQM＝30°， ∵点P为M，N的45°点， ∴l与x轴所夹锐角为45°， ∵点P关于直线l的对称点为Q， ∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°， 故答案为：30． ②在△POF和△QOE中， ， ∴△POF≌△QOE（AAS）， ∴OF＝OE＝3，PF＝QE， ∴P（，3）； （2）①∵M（m，0），N（m+t，0）， ∴MN＝m+t﹣m＝t， ∴当t＝2时，MN＝2， 如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L， ∵点P为M，N的60°点， ∴QE，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°， ∴∠PKO＝30°， ∵P、Q关于直线l对称， ∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°， ∴OK＝4， ∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°， ∴∠OWK＝∠QKL， ∴OW＝OK＝4， ∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3， 在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN， ∴WQ＝2QE＝2， ∴WE3， ∴m﹣3＝3， ∴m＝6， 故答案为：6． ②∵m＝﹣2， ∴M（﹣2，0）， 如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧， ∵x＝2与l的夹角为60°， ∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°， ∴∠HTK＝60°， ∴△TOK是等腰三角形， ∴HK＝OH＝2， ∴∠Q1KM＝30°， ∵∠Q1MK＝60°， ∴Q1M⊥Q1K， ∴MK＝2Q1M，即6＝2t， ∴t＝3； 当t＜0时，点N2在点M的左侧， 同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t， ∴t＝﹣6； 综上所述，t＝3或﹣6， 故答案为：3或﹣6． 九．全等三角形的判定与性质（共4小题） 9．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【解答】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0， ∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0， ∴a＝2，b＝2， ∴A（2，0）、B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∴△AOB的面积2； （2）CD＝BD+AC． 证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF， ∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°， ∴∠DBF＝180°， ∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝45°， ∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°， 在△ODF与△ODC中，， ∴：△ODF≌△ODC（SAS）， ∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC． （3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD， ∵∠BAO＝∠PDF＝45°， ∴∠PAB＝∠PDE＝135°， ∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°， ∴∠BPA＝∠PED， 在△PBA与△EPD中， ， ∴△PBA≌△EPD（AAS）， ∴AP＝ED， ∴FD+ED＝PF+AP， 即：FE＝FA， ∴∠FEA＝∠FAE＝45°， ∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°， ∴OA＝OQ＝2， ∴BQ＝4． 10．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A、C重合）．连接BP，过点A作BP的垂线段，垂足为点D，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE． （1）求证：BD＝CE； （2）延长ED交BC于点F． ①求∠CED的度数； ②若AB＝10，求BF的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：①∵AD⊥BP， ∴∠ADB＝90°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣60°＝30°； ②过点C作CH∥BP交DF的延长线于点H，如图， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠BDF＝30°， ∵BP∥CH， ∴∠H＝30°， 由①知∠CED＝30°， ∴∠H＝∠CED， ∴CH＝CE， ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BD＝CH， 在△BDF和△CHF中， ， ∴△BDF≌△CHF（AAS）， ∴BF＝CFBC， ∵AB＝10＝BC， ∴BF＝5． 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于点H．求证：EH＝BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M，求证：BM＝EM； （3）当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝7CM，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，EH⊥AC， ∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°， ∴∠EAH＝∠ADC， 又∵AE＝AD，∠AHE＝∠ACD＝90°， ∴△EAH≌△ADC（AAS）， ∴EH＝AC， ∴EH＝BC； （2）证明：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于点N， ∵AE⊥AD，EN⊥AM， ∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°， ∴∠EAN＝∠ADC， 又∵AE＝AD，∠ANE＝∠ACD＝90°， ∴△ANE≌△DCA（AAS）， ∴EN＝AC， ∵BC＝AC， ∴BC＝NE， 又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°， ∴△BCM≌△ENM（AAS）， ∴BM＝EM； （3）解：如图3，当点D在线段CB的延长线上时，连接BE交直线AC于M，过点E作EN⊥AC，交AC的延长线于N， ∵2AC＝7CM， ∴设AC＝7a，则CM＝2a，BC＝AC＝7a， ∵AE⊥AD，EN⊥AC， ∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAN＝90°， ∴∠EAN＝∠ADC， 又∵AE＝AD，∠ANE＝∠ACD＝90°， ∴△ANE≌△DCA（AAS）， ∴EN＝AC＝BC＝7a，AN＝CD， 又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°， ∴△BCM≌△ENM（AAS）， ∴CM＝NM＝2a， ∴AM＝AC+CM＝7a+2a＝9a， ∴CD＝AN＝AC+CM+MN＝11a， ∴BD＝CD﹣BC＝11a﹣7a＝4a， ∴． 如图4，点D在线段BC上，过点E作EG⊥AC， 同理可得：EG＝AC＝BC，CM＝MG， 设CM＝GM＝n，则BD＝CG＝2n， ∵2AC＝7CM， ∴ACCM， ∴AMCM﹣CMCMn， ∴S△ADBDB•AC2n•AC＝n•AC，S△AEMAM•EGn•ACn•AC， ∴， 综上所述，或． 12．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形， ∵A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1）， ∴OA＝3，OB＝1， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， 在△ABO和△BCD中， ∴△ABO≌△BCD， ∴BO＝CD＝1，OA＝DB＝3， ∴DO＝BO+BD＝4，EO＝CD＝1 ∴C（﹣1，4）； （2）OA＝OD+CD； ∵CD⊥y轴， ∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， 在△ABO和△BCD中， ∴△ABO≌△BCD， ∴BO＝CD，OA＝DB， ∵BD＝OB+OD， ∴OA＝CD+OD． （3）AE＝2CF， 如图3，延长CF，AB相交于G， 证明CF＝FG，△ABE≌△CBG． ∵x轴恰好平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠GAF， ∵CF⊥x轴， ∴∠AFE＝∠AFG＝90°， 在△AFC和△AFG中， ∴△AFC≌△AFG（ASA）， ∴CF＝GF， ∵∠AEB＝∠CEF，∠ABE＝∠CFE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG， ∴AE＝CF+GF＝2CF． 十．全等三角形的判定与性质（共1小题） 13．【问题背景】如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．可使用倍长中线法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围． （1）【探究应用】如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由； （2）【问题拓展】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）BE+CF＞EF，理由如下： 延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）AF+CF＝AB，理由如下： 如图③，延长AE，DF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中， CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS）， ∴CG＝AB， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G， ∴AF＝GF， ∵FG+CF＝CG， ∴AF+CF＝AB． 十一．线段垂直平分线的性质（共1小题） 14．在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB时，垂足分别为D、E，则有：CD＝CE． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当CO⊥AB，垂足为O，AO＝BO时，则有：CA＝CB． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，点P为线段BD上一动点． （1）试说明：PE＝PC；（2）若∠A＝α，点P为线段BC的垂直平分线与BD的交点，求∠CPE的度数（用含α的式子表示）． 【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴DE＝DC，∠EBD＝∠CBD，∠BED＝∠ACB＝90°， ∴△BED和△BCD都是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL）， ∴BE＝BC， 在△EBP和△CBP中， ， ∴△EBP≌△CBP（SAS）， ∴PE＝PC； （2）解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴设∠EBD＝∠CBD＝β， ∴∠ABC＝2β， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α， ∴∠ABC＝90°﹣∠A， ∴2β＝90°﹣α， ∵点P在BC的垂直平分线上， ∴PB＝PC， 由（1）可知：PE＝PC， ∴PB＝PC＝PE， ∴△PBC和△PBE都是等腰三角形， ∴∠PCB＝∠CBD＝β，∠PEB＝∠EBD＝β， ∵∠CPD是△PBC的外角，∠EPD是△PBE的外角， ∴∠CPD＝∠PCB+∠CBD＝2β，∠EPD＝∠PEB+∠EBD＝2β， ∴∠CPE＝∠CPD+∠EPD＝4β＝180°﹣2α． 十二．三角形综合题（共5小题） 15．如图，点A（a，0），B（0，b），满足|a﹣b|+（b﹣2）2＝0． （1）直接写出△AOB的面积为　2　 ． （2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，求证：CD＝AC+BD． （3）如图2，F（2，2），点E是x轴上一动点（点E在点A的左边且不与点O重合），点K是y轴正半轴上一动点，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝45°，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣2＝0， ∴a＝2，b＝2， ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△AOB的面积OA•OB2×2＝2， 故答案为：2； （2）证明：过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E， ∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°， ∴∠BOD＝∠AOE， ∵∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴∠OAE＝∠OBD＝135°， 在△OBD和△OAE中， ， ∴△OBD≌△OAE（ASA）， ∴OD＝OE，BD＝AE， ∴BD+AC＝AC+AE＝CE， 在△DOC和△EOC中， ， ∴△DOC≌△EOC（SAS）， ∴CD＝CE＝BD+AC； （3）①如图2，当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE，交y轴于点M，连接FB，FA， ∵F（2，2），A（2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴， ∵∠FBO＝∠FAO＝90°，∠AOB＝90°， ∴四边形AOBF是矩形， ∵OA＝OB， ∴矩形AOBF是正方形， ∴AF＝BF，∠AFB＝90°， ∴∠EFA＝90°﹣∠BFE， ∵FM⊥FE， ∴∠EFM＝90°， ∴∠MFB＝90°﹣∠BFE， ∴∠MFB＝∠EFA， 在△MFB与△EFA中， ， ∴△MFB≌△EFA（ASA）， ∴MB＝EA，MF＝EF， ∵∠KFE＝45°， ∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°， 在△KFM和△KFE中， ， ∴△KFM≌△KFE（SAS）， ∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA， 即KE＝BK+EA； ②如图3，当E在O左侧时，同理可证△BFM≌△AFE（ASA）， ∴EA＝MB， 同理可证△KFM≌△KFE（SAS）， ∴MK＝KE， ∴EA＝BK+KE． 综上所述，线段BK，KE，EA之间的数量关系是KE＝BK+EA或EA＝BK+KE． 16．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于直线l1对称，点P1和点P2关于直线l2对称，则称点P2为点P关于直线l1，直线l2的“双对称点”． 已知点A（2，4）． （1）如图1，若直线l1为x轴，直线l2为y轴，则点A关于x轴，y轴的“双对称点”坐标为　（﹣2，﹣4）　 ； （2）若直线l1为y轴，直线l2为过（m，0）且与y轴平行的直线． ①若点A关于直线l1，直线l2的“双对称点”为点A2，且AA2＝6，则m值为　±3　 ； ②已知点E（2+m，5），若线段AE上存在点M，使得点M关于直线l1，直线l2的“双对称点”M2恰好在y轴上，求m的取值范围； （3）如图2，已知B（3，4），C（3，5）．若直线l1为y轴，直线l2为过（n，0）且与一、三象限角平分线平行的直线．若△ABC上存在点N，使得点N关于直线l1，直线l2的“双对称点”N2恰好在坐标轴上，请直接写出n的取值范围：　﹣3≤n≤﹣2或﹣5≤n≤﹣4　 ． 【解答】解：（1）直线l1为x轴，直线l2为y轴，则点A（2，4）关于x轴的对称点为（2，﹣4），点（2，﹣4）关于y轴的对称点为（﹣2，﹣4）， ∴点A（2，4）关于x轴，y轴的“双对称点”坐标为（﹣2，﹣4）， 故答案为：（﹣2，﹣4）； （2）点A关于直线l1即y轴的对称点为（﹣2，4）， ∵直线l2为过（m，0）且与y轴平行的直线， ∴直线l2为直线x＝m， ①设点（﹣2，4）关于直线x＝m的对称点A2的坐标为， 则， ∴， ∴A2（2m+2，4）， ∴AA2＝|2+2m﹣2|＝6， ∴m＝±3； 故答案为：±3； ②设M2（0，t），则M1（2m，t），M（﹣2m，t）， ∵点M在线段AE上， 则2≤﹣2m≤2+m或2+m≤﹣2m≤2， 解得； （3）l1为y轴，l2为直线y＝x﹣n，A（2，4），A1（﹣2，4），A2（n+4，﹣2﹣n）， B（3，4），B1（﹣3，4），B2（n+4，﹣3﹣n），C（3，5），C1（﹣3，5），C2（n+5，﹣3﹣n）， 示意图如图所示， 当A2（n+4，﹣2﹣n）落在x轴上时，﹣2﹣n＝0，解得n＝﹣2； 当B2（n+4，﹣3﹣n）落在x轴上时，﹣3﹣n＝0，解得n＝﹣3； 综上两种情形，可得﹣3≤n≤﹣2； 当A2（n+4，﹣2﹣n）落在y轴上时，n+4＝0， 解得n＝﹣4； 当C2（n+5，﹣3﹣n）落在y轴上时，n+5＝0， 解得n＝﹣5； 综上两种情形，可得﹣5≤n≤﹣4； 综上所述，可得﹣3≤n≤﹣2或﹣5≤n≤﹣4． 故答案为：﹣3≤n≤﹣2或﹣5≤n≤﹣4． 17．已知在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上某一点，点P是第二象限内一动点． （1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a+15|+（5﹣b）2＝0，则a＝　﹣5　 ，b＝　5　 ． （2）如图2，在第（1）问的条件下，若PA⊥PB，点B在x轴上，将∠APB绕点P顺时针旋转至如图所示位置，点C和点D均在坐标轴上，求OD+OC的值． （3）如图3，若点B与点B′关于y轴对称，且AG⊥PB′，动点P满足∠BPB′＝2∠BAO，请直接写出S△AGP，S△APB和S△APB′三个三角形之间的面积关系． 【解答】解：（1）由题可知3a+15＝0，5﹣b＝0， ∴a＝﹣5，b＝5； 故答案为：﹣5，5； （2）如图，过点P作PF⊥y轴，PE⊥x轴， ∴∠PED＝∠PFO＝90°， ∵∠DOC＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPC+∠FPC＝90°， 又∵∠DPE+∠EPC＝90°， ∴∠DPE＝∠FPC， 由（1）知PE＝PF＝5， 在△PED和△PFC中， ， ∴△PED≌△PFC（ASA）， ∴DE＝CF， ∴OD+OC＝OE+DE+OF﹣CF＝OE+OF＝10； （3）S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP； 证明：过点A作AH⊥BP，记AB与PB'交于点K， 由对称可知，AB＝AB'，∠BAO＝∠B'AO， ∴∠BAB'＝2∠BAO， ∵∠BPB'＝2∠BAO， ∴∠BPB'＝∠BAB'， ∵∠BKP＝∠B'KA， ∴∠ABH＝∠AB'G， ∵AG⊥PB'，AH⊥PB， ∴∠AHB＝∠AGB'＝90°， 在△ABH和△AB'G中， ， ∴△ABH≌△AB'G（AAS）， ∴AH＝AG，BH＝B'G， 在Rt△APH和△Rt△APG中， ， ∴Rt△APH≌△Rt△APG（HL）， ∴PH＝PG， ∴BH＝BP+PH＝PB'﹣PG， ∴PB'﹣PB＝2PG， 两边同时乘以AG得，PB'PB＝2AG•PG， ∴S△APB'﹣S△APB＝2S△AGP． 18．如图，平面直角坐标系中，点A，点B分别在的x轴，y轴上，点C是△ABO的三条角平分线的交点． （1）如图1，连接CA，CB，直接写出∠ACB的度数：　135°　 ； （2）如图2，连接AC并延长交OB于点D，若OA＝OB，S△ABD＝16，求AD的长； （3）如图3，连接CA，CB，CO，若OB＝OA+AC，求∠ACO的度数． 【解答】解：（1）由题意可知∠ABO+∠BAO＝90°， ∵点C是△ABO的三条角平分线的交点， ∴∠ABC∠ABO，∠CAB∠BAO， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°（∠ABO+∠BAO）＝180°135°， 故答案为：135°； （2）如图，在AO的延长线上取点F，使AF＝AB，连接BF交AD的延长线于E． ∵AF＝AB，AC平分∠BAO， ∴AE⊥BF， ∵BO⊥AF，AE⊥BF， ∴∠AOD＝∠BOF＝90°，∠OAD+∠BFO＝∠OBF+∠BFO＝90°， ∴∠OAD＝∠OBF． 在△OAD和△OBF中， ， ∴△OAD≌△OBF（ASA）， ∴AD＝BF， ∴， ∵AE⊥BF， ∴， ∴， ∴AD＝8． （3）如图，在OB上截取OG＝OA，连接CG． 设∠GBC＝x． ∵点C是△ABO的三条角平分线的交点， ∴OC平分∠AOB，AC平分∠BAO，BC平分∠ABO， ∴∠BAO＝2∠OAC，∠ABO＝2∠GBC＝2x，∠AOB＝2∠AOC＝2∠GOC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠GOC＝45°， ∵OB＝OA+AC＝OG+GB，OG＝OA， ∴AC＝GB， 在△OAC和△OGC中， ， ∴△OAC≌△OGC（ASA）， ∴AC＝GC，∠OAC＝∠OGC， ∴GB＝GC， ∴∠GCB＝∠GBC＝x，∠OGC＝∠OAC＝∠GCB+∠GBC＝2x， ∴∠BAO＝2∠OAC＝4x， ∵∠ABO+∠BAO＝2x+4x＝90°， ∴x＝15°.2x＝30°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OAC﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 即∠ACO＝105°． 19．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A，C分别在x轴、y轴上，斜边AB交y轴于点D．直角边BC交x轴于点E． （1）如图1，若C（0，﹣2），A（﹣4，0），求点B的坐标． （2）如图2，y轴正半轴上有一点F，连接BF，则∠FBC＝90°．当E恰为BC的中点时，连接DE，求证∠AEC＝∠DEB． （3）若AE是∠BAC的平分线，请直接写出OC，OE，AE之间的数量关系． 【解答】解：（1）过点B作BH⊥y轴于点H，如图所示： ∵三角形ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵∠BHC＝90°， ∴∠BCO+∠HBC＝90°， ∴∠ACO＝∠HBC， ∵∠AOC＝∠CHB＝90°， ∴△ACO≌△CHB（AAS）， ∴∠OAC＝∠DCB，AO＝CH，OC＝BH， ∵A（﹣4，0），C（0，﹣2）， ∴OC＝BH＝2，AO＝CH＝4， ∴OH＝CH﹣CO＝4﹣2＝2， ∴B（2，2）； （2）证明：由（1）可知，AC＝BC，∠OAC＝∠DCB， ∵∠ACE＝∠FBC＝90°， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴∠AEC＝∠CFB，CE＝FB， ∵BE＝CE， ∴BF＝BE， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵∠FBC＝∠ACB＝90°， ∴∠FBC+∠ACB＝90°+90°＝180°， ∴BF∥AC， ∴∠FBA＝∠BAC＝45°， ∴∠FBA＝∠ABC， ∵BD＝BD，FB＝EB， ∴△FBD≌△EBD（SAS）， ∴∠BFD＝∠BED， ∴∠AEC＝∠DEB； （3）过点B作BH⊥y轴于点H，如图所示： 由（1）可知，△ACO≌△CHB， ∴∠OAC＝∠HCB，AO＝CH，CO＝BH， ∵OA平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠BHD＝∠AOD＝90°， ∴BH∥AO， ∴∠HBD＝∠OAD， ∴HBD＝∠OCE， ∵BH＝OC，∠BHD＝∠EOC＝90°， ∴△BHD≌△COE（AAS）， ∴HD＝OE， ∵AE＝AO+OE，AO＝CH， ∴AE＝CH+OE＝CO+OD+2OE， ∵AO＝AO，∠BAE＝∠CAE，∠AOD＝∠AOC＝90°， ∴△AOD≌△AOC（AAS）， ∴OD＝OC， ∴AE＝2OC+2OE． 十三．三角形综合题（共1小题） 20．小明遇到这样一个问题：△ABC是边长为6cm的等边三角形，点M，N分别是边AB，BC上的动点．点M从点A出发沿线段AB向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段BC向点C运动．如果M，N都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为ts．请问BM＝ 　（6﹣t）　 cm（用含t的式子表示），当t＝ t＝2或t＝4　 s时，△BMN是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接AN，CM交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现∠CEN的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明△ABN≌△CAM，从而得到∠BAN＝∠ACM，再利用外角的性质得出∠CEN＝∠BAC＝60°，即∠CEN的度数不变． 如图3，若点M，N分别在AB，BC的延长线上运动，作直线AN，CM交于点E，其余条件不变，∠CEN的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线BC方向运动，连接MN交AC于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究△MDC和△DCN的面积之间的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6cm的等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝6， 由题意，得：AM＝BN＝t， ∴BM＝6﹣t， 当△BMN是直角三角形时，分两种情况： ①当∠BNM＝90°时，则：∠BMN＝30°， ∴2BN＝BM，即2t＝6﹣t，解得t＝2； ②当∠BMN＝90°时，则：∠BNM＝30°， ∴BN＝2BM，即t＝2（6﹣t）， 解得t＝4； 综上：当t＝2或t＝4时，△BMN是直角三角形； 故答案为：（6﹣t），t＝2或t＝4； （2）不变，∠CEN＝120°， ∵∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠CBM＝∠ACN＝180°﹣60°＝120°， 又∵BM＝CN，BC＝AC， ∴△CBM≌△ACN（SAS）， ∴∠CAN＝∠BCM， 又∵∠NCE＝∠BCM， ∴∠CAN＝∠NCE， ∵∠ANC+∠NCE+∠CEN＝180°，∠CAN+∠ANC+∠ACN＝180°， ∴∠CEN＝∠ACN＝120°； （3）△MDC和△DCN的面积相等，理由如下： 过点N作NH⊥AC，过点M作ME⊥AD，则：∠MEA＝∠NHC＝90°， ∵∠NCH＝∠ACB＝60°， ∴∠NCH＝∠A， 由题意，AM＝CN， ∴△AEM≌△CHN（AAS）， ∴EM＝HN， ∵，， ∴S△CDM＝S△CDN． 十四．三角形综合_基本型（共1小题） 21．全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在△ABC中，已知∠B＝∠C，可证AB＝AC，小聪同学的作法是作BC边上的高线AD．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，点E为边AC上一点，点F为边AB延长线上一点，连结EF与边BC交于点D，若点D恰为线段EF中点，试探究线段CE与线段BF的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和中线，过点E作EF⊥AD与线段AD的延长线交于点G，与边AB的延长线交于点F，已知△ABC的面积是30，线段AF的长为8，求BF的长． 【解答】（1）证明：过A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵∠B＝∠C，AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC（AAS）． ∴AB＝AC． （2）解：线段CE与线段BF的数量关系：CE＝BF， 理由：如图，过E作EG∥AB交BC于G， ∴∠ABC＝∠EGC，∠F＝∠DEG，∠FBD＝∠EGD， ∵点D恰为线段EF中点， ∴DF＝DE． ∴△BFD≌△GED（AAS）． ∴BF＝EG． ∵∠ABC＝∠EGC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EGC＝∠ECG． ∴EG＝CE， ∴CE＝BF； （3）解：如图，延长FE交AC于点H，过B作BM∥AC， ∵AD是角平分线， ∴∠FAG＝∠HAG． ∵AD⊥EF， ∴∠AGH＝∠AGF． ∵AG＝AG， ∴△AGF≌△AGH（ASA）． ∴AF＝AH＝8，∠AHG＝∠AFG． ∵BM∥AC， ∴∠C＝∠EBM，∠CHE＝∠BME． ∵AE是中线， ∴CE＝BE． ∴△CHE≌△BME（AAS）． ∴CH＝BM， ∴∠AHG＝∠BMF＝∠AFG． ∴BM＝BF． 设BF＝x，则AB＝8﹣x，BM＝CH＝x， ∴AC＝AH+CH＝8+x． ∵， ∴， 整理得：64﹣x2＝60， ∴x2＝4． ∵x＞0， ∴x＝2． ∴BF＝2． 十五．三角形综合_基本型（共1小题） 22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点． （1）如图1，点E、点F均是射线BM上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°，求证：△ABE≌△ACF； （2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD； （3）如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于点F，连接AF． ①∠AFB的度数是　45°　 ； ②若AH为△ABF中BF边上的高，求证：BF＝CF+2AH． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90° ∴∠BAE＝∠CAF 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）证明：∵∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠BDA＝90°， 由（1）得△ABE≌△ACF， ∴∠ABE＝∠ACF， ∴∠BDA+∠ACF＝90°， 又∵∠BDA＝∠CDF， ∴∠CDF+∠ACF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CF⊥BD； （3）①解：过点A作AF的垂线交BM于点E， ∵CF⊥BD， ∴∠BAC＝90°． ∴∠ABD+∠BDA＝90°， 同理∠ACF+∠CDF＝90°， ∵∠CDF＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ACF， 同（1）理得∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AFB＝45°． 故答案为：45°； ②证明：过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G， ∵∠AHD＝∠HFG＝∠G＝90°， ∴四边形AHFG是矩形， ∵∠AFB＝45°， ∴AH＝HF， ∴四边形AHFG是正方形， ∴AG＝AH＝FG， ∵AB＝AC， ∴Rt△ABH≌Rt△ACG（HL）， ∴BH＝CG＝CF+FG， ∴BF＝BH+HF＝CF+FG+AH ＝CF+2AH． 十六．三角形综合_运动型（共2小题） 23．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），连接AB，点P，Q是线段OB上的动点（P，Q两点不重合），且OP＝BQ．连接AQ，过点O作OD⊥AQ交AQ于点E，交直线AB于点D，连接DP，交AQ于点F． （1）求证：∠DOB＝∠QAO； （2）试猜想∠BPD与∠AQO的数量关系，并说明理由； （3）当PQ＝FQ时，连接OF，求△AOF的面积． 【解答】（1）证明：由题得∠AOQ＝90°， ∴∠AOE+∠DOB＝90°， 又∵OD⊥AQ， ∴∠AEO＝90° ∴∠AOE+∠QAO＝90°， ∴∠DOB＝∠QAO． （2）解：∠BPD＝∠AQO；理由如下： ①如图1，当P在Q点左边时，过B点作BM⊥OB于点B，交OD的延长线于点M， ∴∠MBO＝90°＝∠AOQ， ∵A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB，∠OAB＝∠ABO＝45°， 在△BOM和△OAQ中， ， ∴△BOM≌△OAQ（ASA）， ∴BM＝OQ，∠AQO＝∠OMB， 又∵OP＝BQ， ∴BP＝OQ， ∴BM＝BP， 又∵∠ABO＝45°， ∴∠MBD＝∠MBO﹣∠ABO＝45°＝∠DBP， 在△BMD和△BPD中， ， ∴△BMD≌△BPD（SAS）， ∴∠BPD＝∠BMD， 又∵∠AQO＝∠BMD， ∴∠BPD＝∠AQO； ②如图2，当P在Q点右边时，由OP＝BQ，PQ＝PQ，可知OQ＝BP， 同理可证△BOM≌△OAQ（ASA）， ∴OQ＝BM，则BP＝BM， 同理可证△BMD≌△BPD（SAS）， ∴∠BMD＝∠BPD， 又∵∠BMD＝∠AQO， ∴∠BPD＝∠AQO； （3）解：如图3，当P在Q左侧时， 由（2）可知∠BPD＝∠AQO， ∴△PQF是等腰三角形， ∴FQ＝FP， 又∵PQ＝FQ， ∴△PQF是等边三角形，∠PQF＝60°． 设PQ＝FQ＝PF＝2a， ∵OP＝BQ，OB＝2， ∴， ∵OP＝1﹣a，PQ＝2a， ∴OQ＝1﹣a+2a＝1+a， 在Rt△AOQ中，∠PQF＝60°， ∴∠OAQ＝30°，AQ＝2OQ， ∴AQ＝2+2a， 又∵FQ＝2a， ∴AF＝AQ﹣FQ＝2， 同理在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2， ∴， ∴； 如图4，当P在Q右侧时，此时OP＝BQ＞1，则OQ＜1， 由（2）知，∠AQO＝∠BPD， 故∠FQP＝∠FPQ， ∴FQ＝FP， 当PQ＝FQ时，∠FQP＝60°， ∴∠OAQ＝30°， ∴AQ＝2OQ＜2，与AQ＞AO＝2矛盾，故P在Q右侧时不成立， 综上，． 24．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上一动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段CB上时，BD与CE的数量关系是 BD＝CE ． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 　90　 度． （3）设∠BAC＝α，∠DCE＝β． ①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请探究α与β之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系 　α＝β　 ． 【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∵∠BAC﹣∠DAC＝∠BAD，∠DAE﹣∠DAC＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 故答案为：BD＝CE； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°， 故答案为：90； （3）①α+β＝180°； 证明：∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠B+∠ACB＝180°﹣α， ∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β， ∴α+β＝180°； ②补充图形，如图3即为所求； ∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠AEC＝∠ADB， ∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°， ∠CED＝∠AEC+∠AED， ∴α＝β， 故答案为：α＝β． 十七．三角形综合_最值型（共1小题） 25．已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE． （1）如图1，点D在线段BC上，连接CE，求证：AB∥CE． （2）如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，猜想线段AF、CF、CD之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，作射线AQ∥BC，P为射线AQ上一点，G为AC上的动点，连接PG和EG．若AB＝8，△ABC的面积为16，求PG+EG的最小值． 【解答】（1）证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE＝60°， ∴AB∥CE； （2）解：CF＝AF+CD． 证明：如图2，延长过FA到点N，使得AN＝DC， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， AD＝DE＝ED，∠ADE＝∠DEA＝∠EAD＝60°． ∴∠BAD＝60°﹣∠DAC＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∠BDA＝∠CEA， ∴60°+∠BDA＝60°+∠CEA， ∴∠ADE+∠BDA＝∠ACE+∠CEA， ∴∠CDE＝∠NAE， 在△NAE和△CDE中， ， ∴△NAE≌△CDE（SAS）， ∴EN＝EC， ∵EF⊥AC， ∴FN＝CF， ∴CF＝AF+AN＝AF+CD； （3）解：如图3，过A作AM⊥BC于点M， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝8， ∴，， 连接CE，同（1）可得△ABD≌△ACE（SAS），∠ABD＝∠ACE＝60°＝∠ACB， 在射线CB上截取CE'＝CE，连接GE'， 在△CEG和△CE'G中， ， ∴△CEG≌△CE'G（SAS）， ∴EG＝E'G， ∴PG+EG＝PG+E'G，PG+E'G≥PE'，且当PE'⊥BC'于点E′时，PE有最小值， ∵AQ∥BC，AM⊥BC于点M，PE′⊥BC于点E′， ∴， 即PG+EG 的最小值为． 十八．三角形综合_创新型（共2小题） 26．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC为锐角，以AB，AC为边作等边△ABP和等边△ACQ，连接PC，交AB于点D，连接BQ，交AC于点E，交PC于点O，连接AO． 求证：①∠APC＝∠ABQ； ②OA+OB＝OP． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把OA+OB转换为OP），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有A，B两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线MN，先在河岸MN上找一点C建引水站，再在图中阴影区域找一点O建分水站，从而把河水引到A，B两村．请在图中找到C，O的位置，使全程管道部分（OA+OB+OC）用料最少． 请你在先图2中找到点C和点O的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 【解答】（1）证明：①∵△ABP和△ACQ是等边三角形， ∴AB＝AP，AQ＝AC，∠PAB＝∠QAC＝60°， ∴∠PAC＝∠BAQ， 在△PAC和△BAQ中， ， ∴△PAC≌△BAQ（SAS）， ∴∠APC＝∠ABQ； ②如图1，过点A作AG⊥PC于E，AF⊥BQ于点F， ∵△PAC≌△BAQ， ∴∠APC＝∠ABQ， ∵∠APO+∠BPO+∠ABP＝180°﹣∠BAP＝120°， ∴∠ABO+∠BPO+∠ABP＝120°， ∴∠POB＝60°， ∵△PAC≌△BAQ， ∴BQ＝PC，S△ABQ＝S△APC， ∴BQ•AFPC•AG， ∴AG＝AF， 在Rt△AGO和Rt△AFO中， ， ∴Rt△AGO≌Rt△AFO（HL）， ∴∠AOG＝∠AOF，OG＝OF， ∴AO平分∠POQ， ∵∠AOG＝∠AOF，∠BOP＝60°， ∴∠AOG＝∠AOF＝60°， ∴∠OAF＝30°， ∴AO＝2OF， 在△AGP和△AFB中， ， ∴△AGP≌△AFB（AAS）， ∴PG＝BF， ∴PO＝PG+GO＝BF+GO＝BO+GO+FO＝BO+2FO＝BO+AO， ∴OA+OB＝OP； （2）解：如图2，以AB为边作等边△ABP，过点P作PK⊥MN，连接AK，作等边△AKE，连接BE交PK于点O，连接AO， 由（2）的结论可得OA+OB＝OP， ∴当点O，点K，点P三点共线，且PK垂直MN时，OA+OB+OK有最小值． 27．【问题提出】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的点．连接AD，以AD为边作△ADE（E、D在AC同侧），使DA＝DE、∠ADE＝∠BAC，连CE．若∠BAC＝90°，判断CE与AC的位置关系，并说明理由． （1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段BC上，∠BAC＝60°时，直接写出∠ACE的度数 　60°　 ； （2）再探究具体情形、如图1，判断CE与AC的位置关系，并说明理由． （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC．点E为△ABC外一点，AD⊥BE于D，∠BEC＝∠BAC，DE＝3，EC＝2．则BD的长为 　5　 ． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60° ∴△ABC为等边三角形 ∴∠B＝60° ∵∠ADE＝∠BAC ∴∠ADE＝60° ∵DA＝DE ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60° ∴∠DAE＝∠BAC ∴∠BAD＝∠CAE 又AB＝AC，DA＝DE ∴△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝60°． 故答案为：60°； （2）过D作DF⊥CD，交AC的延长线于F，如图所示：则∠FDC＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠FCD＝∠ACB＝45°， ∴△FDC为等腰直角三角形， ∴DC＝DF，∠CDF＝90°， ∵DA＝DE，∠ADE＝∠BAC， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ADE+∠ADC＝∠CDF+∠ADC，即∠ADF＝∠EDC， 在△AFD和△ECD中， ， ∴△AFD≌△ECD（SAS）， ∴∠FAD＝∠CED， ∵∠FAD+∠ACE＝∠CED+∠ADE， ∴∠ACE＝∠ADE＝90° ∴CE⊥AC （3）过A作AF⊥CE，交CE的延长线于F，如图所示：则∠AFC＝90°， ∵AD⊥BE， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD＝CF，AD＝AF， 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）， ∴DE＝EF＝3， ∴CF＝CE+EF＝5， ∴BD＝CF＝5． 故答案为：5． 十九．三角形综合_创新型（共1小题） 28．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BAC＝∠AEC＝α． （1）如图1，当∠BDA＝α＝90°时，直接写出线段DE，BD，CE之间的数量关系是DE＝BD+CE ； （2）如图2，当∠BAC是钝角，且CE＝DA时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠BAC是钝角，且CE＝DE时，直接写出∠BDA与∠AEC之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠AEC＝90°＝∠BDA， ∴∠BAD＝∠ACE＝90°﹣∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）∠BDA＝∠AEC；理由如下： ∵∠BAC＝∠AEC＝α， 又∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣α＝∠CAE+∠ACE， ∴∠BAD＝∠ACE， 在△ABD和△CAE中， ∵， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠BDA＝∠AEC； （3）2∠BDA＝180°+∠AEC；理由如下： 在CE上截取FE＝AE，连接AF， 则，∠CFA+∠AFE＝180°， ∵CE＝CF+EF＝DA+AE， ∴AD＝CF， ∵∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝∠AEC+∠ACE，∠BAC＝∠AEC， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△ACF≌△BAD（AAS）， ∴∠BDA＝∠CFA， ∴∠BDA+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BDA， ∴， ∴2∠BDA＝180°+∠AEC． 二十．四边形综合题（共2小题） 29．综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了，为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1，把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标x、纵坐标y与它的两部分的重心位置的横坐标x1、x2纵坐标y1、y2之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图1所示． ∴点G的坐标为（2，2），点H的坐标为（5，1）． 又正方形EOFD的面积为4×4＝16，正方形CFAB的面积为2×2＝4． ∴点Q的横坐标． 点Q的纵坐标． 即点Q（2，6，1，8）． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图2所示． ∴点M的坐标为（2，3），点N的坐标为（3，1）． 又长方形EFCD的面积为2×4＝8，长方形ABFO的面积为6×2＝12， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标． 即点Q（2.6，1，8）． 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为（x，y），两个简单平面图形的面积分别为S1，S2，重心坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标x，纵坐标y与它的两部分的重心位置的横坐标x1，x2，纵坐标y1，y2之间有什么数量关系？ （2）图3是一个工件的横截面，请通过推理，计算确定它的重心位置． 【解答】解：（1）设该平面组合图形的重心坐标为（x，y），两个简单平面图形的面积分别为S1，S2，重心坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 依据上述规律可得：； （2）如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分， 正方形ABFO的重心为G，长方形CDFE的重心为H，设该工件重心为P（x，y）， ∴， 又∵正方形ABFO的面积为：2×2＝4，长方形CDFE的面积为：1×2＝2， ∴， ∴该工件重心为． 30．【问题背景】如图1，四边形ABCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是EF＝AE+CF． （1）【探究延伸1】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； （2）【探究延伸2】如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离． 【解答】解：【探究延伸1】成立；理由如下： 如图2，延长FC到H，使CH＝AE，连接BH， ∵∠BCD＝90°，延长CF到H， ∴∠BCH＝∠BCD＝∠A＝90°， 在△BAE和△BCH中， ， ∴△BAE≌△BCH（SAS）， ∴BE＝BH，∠ABE＝∠CBH， ∵∠ABC＝2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF＝∠ABC﹣∠MBN＝2∠MBN﹣∠MBN＝∠MBN， ∴∠HBN＝∠CBH+∠CBF， ∴∠MBN＝∠HBN， 在△BFE和△BFH中， ， ∴△BFE≌△BFH（SAS）， ∴EF＝HF， ∵HF＝CH+CF，CH＝AE， ∴EF＝AE+CF； 【探究延伸2】上述结论仍然成立，理由如下： 如图3，延长FC到K，使CK＝AE，连接BK， ∴∠BCD+∠BCK＝180°， ∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BCD+∠BCK＝∠BCD+∠BAD，即∠BAD＝∠BCK， 在△BAE和△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠CBK， ∵∠ABC＝2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF＝∠ABC﹣∠MBN＝2∠MBN﹣∠MBN＝∠MBN， ∴∠KBF＝∠CBK+∠CBF， ∴∠KBF＝∠MBN， 在△BFE和△BFK中， ， ∴△BFE≌△BFK（SAS）， ∴EF＝HF， ∵KF＝CK+CF，CK＝AE， ∴EF＝AE+CF； 【实际应用】解法一：如图4，连接EF，延长FB到点Q，使得BQ＝AE，连接EF，设BF与x轴交于点R，过点B作BW⊥x轴于点W， 根据题意得：∠AON＝30°，∠NOR＝90°，∠BOR＝90°﹣70°＝20°，∠EOF＝70°，OA＝OB，∠WBF＝50°， ∴∠AOB＝∠AON+∠NOR+∠BOR＝30°+90°+20°＝140°， ∴∠AOE+∠BOF＝∠AOB﹣∠EOF＝140°﹣70°＝70°， ∵ON⊥AE，∠AON＝30°， ∴∠A＝60°， ∵BW∥y轴， ∴∠OBW＝70°， ∴∠OBF＝70+50＝120°， ∴∠OBQ＝60°＝∠A，且BQ＝AE，OB＝OA， ∴△OBQ≌△OEA（SAS）， ∴OE＝OQ，∠BOQ＝∠AOE， ∴∠BOQ+∠BOF＝70°＝∠EOF， 又∵OQ＝OE，OF＝OF， ∴△EOF≌△QOF（SAS）， ∴QF＝EF， ∵QF＝BQ+BF＝AE+BF， ∴EF＝AE+BF， ∵辽宁舰向正东方向以75海里/小时的速度前进，瓦良格号以100海里/小时的速度前进，行驶时间为1.2小时， ∴AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里）， ∴EF＝90+120＝210（海里）， ∴两舰艇之间的距离为210海里． 解法二：如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G， ∵辽宁舰在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，瓦良格号舰在指挥中心南偏东70°的B处， ∴∠AOB＝140°， ∵指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°， ∴∠EOF＝70°， ∴∠AOB＝2∠EOF． 依题意得，OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°， ∴∠A+∠B＝180°， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长． 根据探究延伸2的结论可得：EF＝AE+BF， 根据题意得，AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里）， ∴EF＝90+120＝210（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． 二十一．几何变换综合题（共3小题） 31．已知，△ABC是等边三角形，点D是△ABC所在平面内一点，连接BD、AD，点E在边AC上，连接BE，点F是射线BE上一点，连接AF、CF． （1）如图1，若点D在△ABC边AB左侧平面内，且点F与点E重合，∠D＝50°，∠ABE＝20°，AE＝2，BE＝6，H在BD边上，连接AH，当AB平分∠DBE和∠HAE时，求线段BD的长； （2）如图2，若点D在线段CA延长线上，过点C作CH∥BD交BE延长线于点H，当AB＝BF，且∠HBC＝2∠ABD时，求证：BD＝AF+CH； （3）如图3，若点D在射线CA上，点L、I是线段BC上两定点（均不与点B、C重合），连接AL、AI，满足∠AIL+∠ALI°．点M、R、S分别是线段LI、AI和AL上一点，连接MR、MS、RS．当△MRS的周长最小时，作点M关于AC的对称点N，连接AN，点P和点Q分别为射线AN、BD上一点，连接CP、AQ，记∠ABD＝α．若AP＝BQ，则当AQ+CP的值最小时，用含α的式子直接写出∠PAQ的度数． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AB平分∠DBE和∠HAE， ∴∠ABD＝∠ABE＝20°，∠BAH＝∠BAE＝60°， 在△ABH和△ABE中， ， ∴△ABH≌△ABE（ASA）， ∴AH＝AE＝2，BH＝BE＝6， ∵∠DHA＝∠ABH+∠BAH＝80°，∠D＝50°， ∴∠DAH＝50°＝∠DAH， ∴DH＝AH＝2， ∴BD＝BH+DH＝8； （2）证明：在BD上截取点J，使得BJ＝AF，连接BJ． 设∠ABD＝α，则∠HBC＝2∠ABD＝2α， ∴∠ABF＝∠ABC﹣∠HBC＝60°﹣2α， ∵AB＝BF， ∴∠BAF＝∠AFB60°+α， ∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝α， ∴∠CAF＝∠ABJ， 在△CAF和△ABJ中， ， ∴△CAF≌△ABJ（SAS）， ∴CF＝AJ，∠AJB＝∠AFC， ∵AB＝AC＝BC， ∴∠BFC＝∠BCF90°﹣α， ∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝150°， ∴∠AJB＝∠AFC＝150°， ∴∠AJD＝30°， ∵∠DBC＝60°+α，CH∥BD， ∴∠BCH＝180°﹣∠DBC＝120°﹣α，∠H＝∠ABH＝∠ABJ+∠ABF＝60°﹣α， ∴∠HCF＝∠BCH﹣∠BCF＝30°＝∠AJD， ∵∠D＝∠BAC﹣∠ABD＝60°﹣α， ∴∠H＝∠D， 在△HCF和△DJA中， ， ∴△HCF≌△DJA（AAS）， ∴CH＝JD， ∴BD＝BJ+JD＝AF+CH； （3）如图，作点M关于AI对称点M1，点M关于AL对称点M2，连接AM、AM1、AM2、M1M2， 则RM＝RM1，SM＝SM2，∠M1AM2＝2∠IAL，AM1＝AM＝AM2， ∴△MRS的周长＝MR+MS+RS＝RM1+SM2+RS≥M1M2， ∵∠AIL+∠ALI°，且∠AIL+∠ALI+∠IAL＝180°， ∴∠IALABC＝30°， ∴∠M1AM2＝2∠IAL＝60°， ∴△AM1M2是等边三角形， ∴M1M2＝AM1＝AM， ∴当AM最小时，△MRS的周长有最小值， 当AM⊥BC时，AM有最小值， ①当点D在CA延长线上时，如图，将AB绕点A逆时针旋转到AV，使∠PAV＝α， 则∠ABD＝∠PAV，AB＝AV， ∵BQ＝AP， ∴△ABQ≌△VAP（SAS）， ∴AQ＝PV，AB＝AV，∠QAB＝∠AVP， ∴AQ+CP＝VP+CP≥CV，当且仅当点C、P、V三点共线时取等， 连接CV交AN于点P'，即当点P与点P‘重合时，AQ+CP最小； ∵AB＝AV＝AC， ∴△ACV是等腰三角形， ∵∠CAN＝∠CAM＝30°， ∴∠CAV＝30+α， ∴∠AVC75°， ∴∠QAB＝∠AVP'＝75°， ∴∠PAQ＝∠QAB+∠BAC+∠CAN＝165°； ②当点D在线段CA上时，如图， 此时同理可得∠PAQ＝∠BAC+∠CAN﹣∠QAB＝15°； 综上，或． 32．汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a2+b2＝c2 （1）如图1，已知a＝6，b＝8，则c＝　10　 ； （2）如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动．连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N．当BN＝2时，求运动时间t； （3）如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ＝MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为时，求此时m的值． 【解答】解：（1）由勾股定理得：a2+b2＝c2， ∴， 故答案为：10； （2）如图2，过点D作DE⊥y轴于点E， ∵点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动，设运动时间ts， ∴OA＝t，OB＝OC＝2t， ∵将AC绕点C逆时针旋转90°至CD， ∴AC⊥CD，AC＝CD， 又∵∠AOC＝∠CED＝90°， ∴∠OAC+∠OCA＝∠OCA+∠ECD＝90°， ∴∠OAC＝∠ECD， 在△DEC和△COA中， ， ∴△DEC≌△COA（AAS）， ∴DE＝OC＝OB＝2t，CE＝AO＝t， ∴OE＝OC+CE＝2t+t＝3t， 又∵∠BON＝∠DEN＝90°，∠BNO＝∠DNE， ∴△DEN≌△BON（AAS）， ∴， 在△BON中，BN＝2， 由勾股定理得：BO2+ON2＝BN2， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故运动时间t为秒； （3）如图3，M为OG的中点，作QK⊥y轴于点K， ∴． ∵MQ⊥MP，且MQ＝MP， 又∵∠PGM＝∠MKQ＝90°， ∴∠KMQ+∠MQK＝∠KMQ+∠PMG＝90°， ∴∠MQK＝∠PMG， 在△MKQ和△PGM中， ， ∴△MKQ≌△PGM（AAS）， ∴， ∴点Q在平行于y轴，且到y轴的距离为的直线n上， 作点O关于直线n的对称点O1，则OQ＝O1Q， ∴OQ+MQ＝O1Q+MQ， ∴连接MO1，MQ1与直线n的交点时OQ+QM最小， 在Rt△MOQ1中，由勾股定理得：， ∴， 解得：m＝2（负值已舍去）， 故MQ+OQ达到最小，且最小值为时，此时m的值为2． 33．完成下列各题： （1）问题的提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B＝∠C． （2）知识的运用：如图2，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为　120°或30°或75°　 ． （3）拓展延伸：如图3，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G．GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系． 【解答】（1）证明：如图， △ABC中，若AB＝AC，取BC中点D，则BD＝CD，连接AD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B＝∠C； （2）解：由（1）可知△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵△PAD为轴对称图形， ∴△PAD为等腰三角形， 如图： 当P1A＝P1D时，则∠ADP1＝∠DAC＝30°， ∴∠AP1D＝120°； 当DA＝DP2时，则∠AP2D＝∠CAD＝30°； 当AD＝AP3时，则∠AP3D75°； 故答案为：120°或者30°或75°； （3）解：AC+CD＝2AH． 理由：如图，连接AG，作GN⊥BC于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵BQ＝BD， ∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC， ∴∠BQD＝60°， ∴∠AQD＝120°， ∵CG是∠ACB的外角平分线， ∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°， ∵∠ADG＝60°， ∴∠ADB+∠GDC＝120°， ∵∠QAD+∠ADB＝120°， ∴∠QAD＝∠CDG， ∴△AQD≌△DCG（ASA）， ∴AD＝DG， ∵∠ADG＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AG＝DG， ∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM， ∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°， ∵CG＝CG， ∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN（HL）， ∴CH＝CN，AH＝DN， ∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $