专题06 反比例函数的性质与应用（期中重难点复习）2026-2027学年人教版九年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题06 反比例函数的性质与应用（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1 【题型2 判断反比例函数的增减性】 4 【题型3 判断反比例函数图象所在象限】 6 【题型4 已知反比例函数的增减性求参数】 8 【题型5 比较反比例函数值或自变量的大小】 10 【题型6 已知比例系数求特殊图形的面积】 13 【题型7 根据图形面积求比例系数（解析式）】 19 【题型8 求反比例函数解析式】 24 【题型9 反比例函数与几何综合】 32 【题型10 一次函数与反比例函数的交点问题】 43 【题型11 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 53 【题型12 实际问题与反比例函数】 58 【题型1 】 1．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的分布特征确定比例系数的符号，列不等式求解． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象两支分布在第二、四象限， ∴， 解得． 2．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象得出，再根据一次函数与二次函数的图象和性质对选项一一分析即可得出答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上，故选项正确，符合题意； B、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 3．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】反比例函数图象位于第二、四象限时，比例系数小于0，据此建立关于m的不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得． 4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴在每一个象限内，随着值的增大而减小， ∵点、、在该反比例函数的图象上， ∴，即. 【题型2 】 5．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的正负，确定反比例函数图象分布象限与增减性；再分象限比较函数值． 【详解】解：， ， ． 反比例函数图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 点、横坐标为负，在第二象限，． ，且在第二象限内随增大而增大， ． 点横坐标为正，在第四象限， ． 综上：． 6．已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】先根据时的最大值推导与的关系，再结合反比例函数的增减性求解时的最值． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， ∴时，取最大值，即，得； 当时，， ∴时，取最大值，最大值为． 7．给出下列说法：①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．其中说法正确的是______． 【答案】①②/②① 【分析】根据反比例函数中自变量x的取值范围是，即可判断①；将点的坐标代入反比例函数的解析式中即可判断②；根据反比例函数其中即可判断③． 【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，故说法正确； ②将点的横坐标代入反比例函数中得出与点的纵坐标相等，等式成立，故说法正确； ③因为，反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误； 综上：说法正确的有①②． 8．已知反比例函数：． (1)求m的值； (2)若该函数的图象如图所示，当时，求y的值； (3)在（2）的条件下，结合图象，直接写出：当时，y的取值范围是_________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数定义可知：反比例系数不为0，指数为，由此即可解题. （2）结合图象可知：即，故，由此即可得,进而解题； （3）结合图象即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得或． （2）解：由图象可知：函数图象在第二、四象限， ∴，故， ∴； 当时，． （3）解：由图象可知：当时，. 【题型3 】 9．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的取值范围确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性比较的大小． 【详解】点，在反比例函数的图象上，且， 点，均在第二象限，，， ∵ ， 在每个象限内，随的增大而增大， ， ， ． 10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． 11．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，结合给定的的取值范围，先判断各点对应值的正负，再利用同一象限内的函数增减性比较同象限的值大小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 反比例函数的比例系数， ∴ 函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点、位于第二象限的函数分支上，对应的、均为正数，且， ∵ ， ∴ 点位于第四象限的函数分支上，对应的为负数，即， 综上可得． 12．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象上任取点和点．如果，那么和的大小关系是________（用“>”、“<”或“=”表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象的特征作答即可； （2）根据反比例函数图象作答即可． 【详解】（1）解：∵图象的一支位于第一象限， ∴图象的另一支位于第三象限，， ∴； （2）解：由反比例图象可知，当时，． 【题型4 】 13．已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两点坐标代入双曲线解析式，得到、关于的表达式，结合列不等式求解． 【详解】解：将，代入，得 ，， ， ， 两边同乘得 ， 移项得 ， 解得 ． 14．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 15．已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． 【题型5 】 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴. 17．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，需要先判断反比例函数的单调性，再根据各点横坐标的位置来比较纵坐标的大小． 【详解】解：在反比例函数中，因为，则，即， 所以该反比例函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 已知点，的横坐标为负， 所以这两点在第三象限；点的横坐标为正，所以该点在第一象限， 因为第一象限的点的纵坐标大于第三象限的点的纵坐标， 所以，，。 在第三象限内，随的增大而减小，且，所以， 又因为，，所以． 故选：D． 18．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的象限分布和增减性，先判断的符号，再比较第一象限内与的大小. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小； ∵， ∴点在第三象限，可得； ∵， ∴点，都在第一象限，可得； 综上可得. 19．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 【题型6 已知比例系数求特殊图形的面积】 20．如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为反比例函数图象关于原点中心对称，所以过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数．设点A的坐标为，由点A在反比例函数上，可得，同时可得点B的坐标为．因为平行于y轴、平行于x轴，所以点C的横坐标与A相同、纵坐标与B相同，即，由此可求出的长度．由是直角三角形，利用直角三角形面积公式代入的长度和的关系即可计算面积． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的两个交点A、B关于原点中心对称， 设点A的坐标为，则点B的坐标为． ∵A、B在反比例函数上， ∴代入解析式得：，即． ∵平行于y轴， ∴C的横坐标和A相同为； ∵平行于x轴， ∴C的纵坐标和B相同为， 即． 由图可知是直角三角形， ∵，， ∴ ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①错误； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④正确； 综上，正确的结论为②④． 22．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 23．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 【题型7 】 24．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义可得，，进而根据同底等高可求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，过原点的直线与双曲线的两个交点A、B关于原点对称， ∴， ∵双曲线在第一、三象限， ∴， ∵双曲线为， ∴， ∵，和以、为底时，底相等，且高都是点C到直线的距离（同高）， ∴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴． 25．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（     ） A．1 B． C． D．6 【答案】B 【分析】作于点E，设，根据，建立方程求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点E，设， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即 ∴， ∴ ∴． 26．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】连接，由菱形的性质得到，由平行线的性质得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且其面积为6， ∴， ∵轴， ∴轴，且， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 27．如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为_________． 【答案】10 【分析】设点则 )，然后根据的面积是24列关于k的方程解答即可． 【详解】解：设点则 )， ， 的面积是， ， 解得 . 28．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． 【题型8 求反比例函数解析式】 29．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据网格特征确定点 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标积为定值 列方程求解． 【详解】解：由点 的坐标为 及网格图可知，点 在点 左侧 个单位，下方 个单位处， 点 的坐标为 ， 点 ， 都在反比例函数 的图象上 ， ， 解得， ∴． 30．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 31．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积为3，则___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，的面积等于，由此求出的值，再根据函数图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 轴于点， 在中，，， ， ， ， ， 反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 32．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 【答案】 【分析】由矩形顶点坐标确定各顶点位置，代入中点坐标求出反比例函数解析式；设的横坐标为，用表示坐标，再以为底、点到的距离为高，利用面积公式列方程求解． 【详解】解：∵矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为， ∴，，． 的中点的坐标为． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 当时，，故点的坐标为． 设的横坐标为，则点的坐标为，垂足的坐标为（其中）． ∵轴， ∴的长为，点到直线的距离为． 由，得． 整理得，即， 解得． ∴点的横坐标为． 33．已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)当时，求的值． (3)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2) (3) 点不在这个反比例函数的图象上 【详解】（1） 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴这个反比例函数的表达式为； （2） 解：当时， ； （3） 解：当时， ， ∵， ∴点不在这个反比例函数的图象上． 34．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数解析式； (2)若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)、、 【分析】第问：先用三角形面积求出点的纵坐标，再由借助两点间距离公式求出横坐标，得到点坐标后代入反比例函数求参数． 第问：等腰三角形存在性问题，题目限定为腰，只需分、两类讨论；点在轴上设可简化距离计算，最后要舍去与重合的无效点． 【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴． 设，，由面积： 由，、： 由图象知A在第一象限且，故，，即． 把代入： 反比例函数解析式为． （2）解：设，，以为腰分两类： 当时：， 得或， 即、； 当时：， 得， 或（与重合，舍去）， 即． 答：点的坐标为、、． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与等腰三角形存在性的综合题．面积法求点坐标是反比例函数综合题的常用第一步：由面积得纵坐标，再由距离得横坐标；等腰三角形存在性，先看清谁是腰、谁是底，分类标准不能乱；点在坐标轴上时设，距离公式只剩一个未知量，计算更简；求出坐标后必须检验三点能否构成三角形，重合的点舍去；区分两种问法：以为腰只有两类；是等腰三角形还要加一类． 35．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，当时，x的取值范围是______； (3)点P在x轴上，且满足的面积等于12，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的自变量的取值范围即可求解； （3）设点P的坐标为，先求出直线与x轴的交点坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式列方程求出a的值，进一步可求得点P的坐标 ． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得，则， 将，代入中，得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：由图可得：当或时，，即； （3）解：∵点P在x轴上， ∴设点P的坐标为， 由一次函数解析式，令，则， 解得 ∴直线与x轴交于点， 由的面积等于12，可得， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【题型9 】 36．如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由平行四边形性质得，，证得，结合及反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点，在轴上， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ． 37．在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】设，故，，根据反比例函数k的几何意义，图形的面积性质，解答即可． 【详解】解：设，故，， 的图象经过点C，D， ， 解得， ，， ， 根据反比例函数k的几何意义，得，，， ， 都是定值， 故的值也是定值， 故甲同学的说法错误； ，是定值， 故乙同学的说法正确； 38．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】 【分析】过作轴于，轴于，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过作轴于，轴于， ， 四边形是矩形， ， ， 又四边形是正方形， ， ， ， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，则 ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 39．反比例函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作轴交x轴于点C，交的图象于点B．若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据轴可知点、横坐标相同，利用及图象位置确定纵坐标关系，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴，交轴于点， ∴点的横坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由图象可知，点、位于轴两侧， ∴与异号， ∴， ∵点在上，点在上， ∴，， ∴． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，则的x的取值范围为___________________； (3)连接，，则的面积为___________． 【答案】(1)； (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求得，得到；再把代入，得到，最后把，代入求解即可； （2）直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围即为不等式的解集； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，再求面积即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式是； 把代入，得， ， 把，代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：， ， 结合函数图象可知，不等式的解为或； （3）解：设直线与y轴相交于点C， 令，则， ， 的面积为． 41．如图，中，，点是上一点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的坐标为，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据待定系数法即可求得函数关系式； （2）求得点C的坐标，进而求得，过点作轴于点，求出，得出，然后根据即可求得结果． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：，点， 点的纵坐标为6． 令，则， ， ， 即，， ． 如图，过点作轴于点， 则， ， ． 42．如图，直线（k为正实数）交x轴于点A，交y轴于点B，直线交y轴于点C，直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)点E的横坐标为________． (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A的坐标． (3)连接、，两线段交于点F，当点F在图象L上时， ①求点F的坐标； ②若过点C的直线与图象L的段有交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①，② 【分析】（1）联立与得，，结合k为正实数，求出点E的横坐标； （2）由直线交y轴于点C确定，由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上，确定，得出，联立与得，确定，根据求出，从而确定反比例函数的解析式和直线，并求出点A的坐标； （3）联立与得，由直线（k为正实数）交x轴于点A，得到；由直线交y轴于点C，得到；由待定系数法得直线解析式为：和直线解析式为：，联立得到交点，将点F的坐标代入，结合k为正实数得到，进而确定点F的坐标；由（1）和（3）①得出，，将这两点分别代入得出m的取值范围． 【详解】（1）解：联立与得，， 整理得， ∵k为正实数， ∴， ∴， 即点E的横坐标为； （2）解：∵直线交y轴于点C， ∴， 由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∴， 联立与得，， 解得， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴反比例函数为，直线， 令直线得，， 解得， ∴； （3）解：①联立与得，， 解得， ∴， ∵直线（k为正实数）交x轴于点A， ∴令直线得，， 解得， ∴， ∵直线交y轴于点C， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入得，， 整理得，， ∵k为正实数， ∴， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 将点和代入得，， 解得， ∴直线解析式为：， 联立和得，， 解得， 将代入得，， ∴； 当点F在图象L上时，将代入得，， 解得，， ∵k为正实数， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知，点E的横坐标为，且点E在直线上， ∴， ∵， ∴，过点C的直线， ∵直线与图象L的段有交点， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； ∴m的取值范围：． 【题型10 】 43．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象确定,，确定对称轴在轴右侧,排除、；利用交点横坐标建立与的关系式，利用抛物线解析式确定与与轴交点纵坐标大于，从而排除，得出答案． 【详解】解：从图象看，一次函数自左到右下降，故, 反比例函数图象在第二、四象限，故， 二次函数对称轴为直线，在轴右侧, 故选项、不符合题意； 只限于双曲线交点横坐标是，这个点既在一次函数上，也在反比例函数上， 代入一次函数和反比例函数得 ：, 整理得：, 将代入二次函数得,故二次函数的图象过, 当时，, 故抛物线与轴交点纵坐标大于，从而选项不符合题意，选符合题意． 44．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设点在上，故；直线过原点，设，代入得，解得，利用勾股定理求出，进而即可求出，代入计算得． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在双曲线上， ∴， 直线过坐标原点， 直线是正比例函数， 设其解析式为， 点A在直线上， ∴，即， 点B也在直线上， ∴． 将代入上式，得， ∴， ∴点B的横、纵坐标与点A的横、纵坐标对应成比例， ∴设点B的坐标为， 点B在上， ∴， 将代入上式得，， ∴， 同理，设点C的坐标为，则点D的坐标为，且， ∵，， ∴ ， 将，代入得，， ∴． 45．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 【答案】6 【分析】根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，从而求得的面积；利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】∵ 函数与函数交于A、B两点， ∴ 点A和点B关于原点对称， ， ， 过点A作轴于点E（如下图）， ， ， ， 又∵ 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， ， ． 46．如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最小值为__________ 【答案】 【分析】联立函数解析式求出交点，的坐标，根据中心对称性得出为中点，是的中点，利用三角形中位线定理得出，将求最小值转化为求最小值，当三点共线时最小，利用勾股定理求出长，结合圆的半径即可求解． 【详解】解：联立，解得，， ， 连接， ∵点和点关于原点对称， 为中点， 是的中点， 是的中位线， ， 要使最小，则需最小． ∵点在以为圆心，半径的圆上， ∴当三点共线时最小，最小值为． 过点作轴于点，连接． ，， ． 在中，， 的最小值为， 则长的最小值为． 47．直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）不等式可变形为，即，再结合函数图象即可解答； （3）令直线与反比例函数的函数值为，求出的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数上， ∴，解得． （2）解：不等式可变形为，即， 两个函数在第一象限的交点为， 结合图象：当时，，即； （3）解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ， ， ∵直线与反比例函数的交点为， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 【答案】(1)， (2)和 (3)或 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． （2）解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． （3）解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 49．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用点的坐标求出的长度，从而确定点的坐标，使用待定系数法求解即可； （2）求出直线与轴的交点坐标，观察图象得出答案； （3）根据题意求出的面积，再将的面积表示出来，利用不等式求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， ， 把及代入， 则，解得， ∴． （2）解：令，代入中， 则， 解得， 直线与轴交于点， 根据图象可知，当时，的取值范围为； （3）解：由条件可得， ， ， ， 的面积不小于的面积， ， 或． 【题型11 】 50．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察到每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，，3个为一组依次循环， ， ， 故选：C． 51．如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和，先根据和，推出，设，，即可推出，，再求出直线的解析式，求出点的坐标，最后根据即可求解． 【详解】如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为和， 则， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵、两点在上， ∴，， ∵设直线的解析式为：， 将，代入中， ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴， ∴． 52．已知反比例函数（k为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)若反比例函数与一次函数的图象交于B，C两点，且当时，或，则k的值为________． 【答案】(1) (2) (3)15 【分析】（1）把的坐标代入求解即可； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）先确定时不符合题意，然后在时，求出A，B两点的坐标，再用待定系数法求k的值即可． 【详解】（1）解：把的坐标代入，得， 解得； （2）解：函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ， ； （3）解：当时，反比例函数的图象在二、四象限，反比例函数与一次函数的图象的交点只能在第四象限，这与“时，或”不符合，舍去； 当时，反比例函数的图象在一、三象限． 由不等式的解集可知，两函数图象交点的横坐标为和， 对于一次函数， 当时，， 当时，， 反比例函数与一次函数的图象的交点B、C的坐标为，， 将代入，得， 解得． 53．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 【答案】(1)2，2 (2) (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求出值，从而确定点坐标，代入一次函数即可求出值． （2）根据平行可判定横坐标相等，设，则，结合四边形的面积，利用割补法列关于的方程，解出即可求出的值． （3）设平移距离为，利用平移后点坐标依然在直线上，即可判断平移后的横纵坐标的变化，利用平移后所在的反比例函数即可求出的值，结合点坐标即可求出平移后坐标． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ． 点在一次函数上， ， ． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为 ， 设， 轴， 点的横坐标为， 在反比例函数上， ． 连接，过点作于点，设与轴交于点，如图所示， ，，． ， ， ， 或（舍去）， ， ． （3）解：由第（2）问可知，，， 设沿射线方向平移，得到，的解析式为，在直线上， ， ， 平移时横坐标增加，纵坐标则增加， ， ， 或（舍去）， ， ． 【题型12 】 54．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【分析】题目围绕电流I与电阻R的关系展开，因此先确定I与R的函数关系式，再借助该函数的增减性逐一验证选项． 【详解】解：由图象可知，I与R的图象是双曲线的一支，故I与R成反比例关系，设（）． 将点代入，得，解得 所以I与R的函数关系式是（），选项B正确，不符合题意． 因为，图象位于第一象限，所以I随R的增大而减小． 选项A，由增减性分析，当时，应有，选项A说法有误，符合题意． 选项C，当时，；当时，．由增减性分析，当时，的取值范围是，选项C正确，不符合题意． 选项D，当时，由得，选项D正确，不符合题意． 55．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各组与的乘积，判断函数类型后推导函数关系式． 【详解】解：，，，， 各组数据均满足， 与的函数关系式为． 56．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 57．如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 【答案】 【分析】先算出水温从升到需要分钟，之后水温按反比例函数下降，判断分钟在降温区间内，直接把代入反比例解析式求出水温． 【详解】解：， 经过，水温上升至， 在中，当时，，， 经过，水温从上升至后又下降到了， 当时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式， 当时，， 从杯内水温时开始通电，此时杯内的水温为． 58．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 59．某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当时，y是的反比例函数；当时，y是的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． (1)试求出当时的反比例函数关系式； (2)当眼睛的疲劳系数y的范围为时，直接写出睡眠时间的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图象经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当睡眠时间少于小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图象经过点，所以． 解得． 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∴睡眠时间的取值范围为． 60．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】(1)线段的函数解析式为；段的函数解析式为 (2)12小时 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案； （2）把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时． 61．乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 (1)为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． (2)结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； (3)【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 【答案】(1)如图， (2)反比例， (3)16 【分析】（1）描点，然后连线即可； （2）根据题意反比例函数特点判断，然后利用待定系数法求解； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，f与l满足的函数关系是反比例函数， 设f与l的解析式为 将，代入得， 解得 ∴f与l的解析式为； （3）解：将代入得， 解得 ∴唱名对应的吸管长度为． 62．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据图2将和代入求出，可知当时的值，结合题干公式即可求出此时总电阻的值； （2）设，由（1）可知，当时，，此时，代入求解即可； （3）求出R关于V的函数解析式，分别将、代入R关于V的函数解析式求出R的值，可知当时，R的取值范围，根据反比例函数的性质得到随的增大而减小，分别将、代入求出I的值，可知电流表显示电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数的性质与应用（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1 【题型2 判断反比例函数的增减性】 2 【题型3 判断反比例函数图象所在象限】 3 【题型4 已知反比例函数的增减性求参数】 3 【题型5 比较反比例函数值或自变量的大小】 4 【题型6 已知比例系数求特殊图形的面积】 5 【题型7 根据图形面积求比例系数（解析式）】 6 【题型8 求反比例函数解析式】 8 【题型9 反比例函数与几何综合】 10 【题型10 一次函数与反比例函数的交点问题】 13 【题型11 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 16 【题型12 实际问题与反比例函数】 17 【题型1 】 1．已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是_________． 4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求m的取值范围； (2)若点、、在该反比例函数的图象上，请直接写出函数值、、的大小关系（用“”连接）． 【题型2 】 5．已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数，若当时，y有最大值m，则当时，y有（     ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 7．给出下列说法：①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．其中说法正确的是______． 8．已知反比例函数：． (1)求m的值； (2)若该函数的图象如图所示，当时，求y的值； (3)在（2）的条件下，结合图象，直接写出：当时，y的取值范围是_________． 【题型3 】 9．已知点，在反比例函数的图象上，若，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 11．若点，，都在反比例函数的图象上，且．则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 12．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象上任取点和点．如果，那么和的大小关系是________（用“>”、“<”或“=”表示）． 【题型4 】 13．已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 15．已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 【题型5 】 16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 17．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系为______．（用“”连接） 19．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【题型6 已知比例系数求特殊图形的面积】 20．如图，经过点的直线与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，．给出下面四个结论： ①四边形不可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 22．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 23．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【题型7 】 24．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8 D．4 25．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（     ） A．1 B． C． D．6 26．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 27．如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为_________． 28．如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【题型8 求反比例函数解析式】 29．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 30．如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 31．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积为3，则___________． 32．在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 33．已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)当时，求的值． (3)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 34．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数解析式； (2)若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 35．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，当时，x的取值范围是______； (3)点P在x轴上，且满足的面积等于12，请求出点P的坐标． 【题型9 】 36．如图，点，在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 37．在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 38．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，则的值为___________． 39．反比例函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作轴交x轴于点C，交的图象于点B．若，则的值为______． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，则的x的取值范围为___________________； (3)连接，，则的面积为___________． 41．如图，中，，点是上一点，反比例函数的图象经过点，交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的坐标为，求的面积． 42．如图，直线（k为正实数）交x轴于点A，交y轴于点B，直线交y轴于点C，直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)点E的横坐标为________． (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A的坐标． (3)连接、，两线段交于点F，当点F在图象L上时， ①求点F的坐标； ②若过点C的直线与图象L的段有交点，直接写出m的取值范围． 【题型10 】 43．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 44．如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 45．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，函数与函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值为______． 46．如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，1为半径的圆上，是的中点，则长的最小值为__________ 47．直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 49．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)______，______； (2)满足不等式的x的取值范围是______； (3)为x轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出m的取值范围． 【题型11 】 50．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则（   ） A．2 B． C． D．-2 51．如图，点、分别在轴、轴的正半轴上，双曲线与直线相交于、两点，若．则的面积是________． 52．已知反比例函数（k为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求k的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)若反比例函数与一次函数的图象交于B，C两点，且当时，或，则k的值为________． 53．如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)________；________； (2)点是线段上一点，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接，，，若四边形的面积，求点的坐标； (3)将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点的对应点的坐标． 【题型12 】 54．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 55．某物理小组探究电热水壶的功率（单位：千瓦）与烧开一壶水所需的时间（单位：分钟）之间的关系，在电压恒定、水量相同的条件下，记录了个不同功率的电热水壶的实验数据如下： 功率/千瓦 时间/分钟 经分析，与之间满足某种函数关系，则与之间的函数关系式为（      ） A． B． C． D． 56．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 57．如图，某车载烧水杯在时开启速热档，水温每分钟上升，直至时停止加热，此后水温开始下降．水温下降时，水温y（单位：）与通电时间x（单位：）满足关系式．若从杯内水温时开始通电，则此时杯内的水温为________． 58．山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 59．某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当时，y是的反比例函数；当时，y是的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． (1)试求出当时的反比例函数关系式； (2)当眼睛的疲劳系数y的范围为时，直接写出睡眠时间的取值范围． 60．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 61．乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 (1)为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． (2)结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； (3)【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 62．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $