专题05 实际问题与二次函数 期中重难点专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05 实际问题与二次函数（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1 【题型2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 7 【题型3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 17 【题型4 销售问题(实际问题与二次函数)】 22 【题型5 投球问题(实际问题与二次函数)】 29 【题型6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 36 【题型7 其他问题(实际问题与二次函数)】 41 【题型1 】 1．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数与四边形的交点为各端点，求得对应h的值，根据抛物线开口向上可知y最小值不应大于所在的直线，得到，进而根据各个解的大小作答即可． 【详解】解：当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∵， ∴抛物线开口向上，y最小值为， ∵在直线上， ∴， 即， ∵， ∴． 3．用长的篱笆围成一个矩形场地，其中一面利用墙（墙长为）．设垂直于墙的一边长为，矩形场地的面积为．则S关于x的函数关系式是______．自变量x的取值范围是______，当______时，S取得最大值，最大值是______． 【答案】 【分析】根据篱笆总长得到平行于墙的边长，利用矩形面积公式推导函数关系式，结合墙长限制确定自变量取值范围，再根据二次函数单调性求最大值． 【详解】解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积， 整理得， ∵平行于墙的边长需满足大于0，且不超过墙长， ∴， 解不等式得。 二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 又， ∴当时，取得最大值， 代入得，即最大值为． 4．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 【答案】108 【分析】根据题意表示出的长，根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设长为x米，则米， 由题意得，， ∵墙长20米，且矩形的边长为正数， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为108． 5．要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积S最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形的性质求出，即可表示出S与x之间的函数关系式，再根据墙长16米，即可确定自变量x的取值范围； （2）由，得出当时，S随着x的增大而减小，所以当时，矩形场地面积S最大，最大面积是． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆的总长为40米， ∴， ∵墙长16米， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，S随着x的增大而减小， ∴当时，矩形场地面积S最大，，最大面积是平方米． 6．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出与的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 外墙长且， ， 解得：， 与的关系式为． 7．如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 令， 可得， ， 所以不存在这样的矩形，使它的周长为9． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，即可表示出矩形的周长p关于自变量x的函数解析式； （3）利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：A、D在抛物线上，点A在点D的左侧， ， 矩形在抛物线与x轴所围成的图形内， ， 抛物线的对称轴为轴， ， ， ， 令， 解得，， ； （3）略 【题型2 】 8．如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】设， ，则，，得到关于的函数关系式，根据抛物线与轴只有一个交点得到和的关系，进而把代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可． 【详解】解：设，， ，， ， 图象与轴只有一个交点， ， ， 函数经过， ， 解得：（取正值）， ， 当时，， 点的坐标为，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 解得：， 当时，或， 故B选项正确，符合题意； 当时，， 点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点， ， 故C选项错误，不符合题意； 当时，， 故D选项错误，不符合题意． 9．已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，分别确定重叠部分的形状，求出与的函数关系式，进而判断图象． 【详解】解：小等腰直角三角形的面积为． 当时，小三角形完全在大三角形内部，重叠部分面积等于小三角形面积，即； 当时，小三角形右侧移出大三角形，重叠部分为等腰直角三角形，其直角边长为，． 综上所述，关于的函数图象在时为水平线段，在时为开口向上的抛物线的一部分，且随增大减小，变化率逐渐变小． 即y关于x的函数图象大致是． 10．如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 【答案】2 【分析】根据题意表示出、直接计算面积，得到二次函数表达式，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：∵两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止，，， ∴运动时间， ∴， 根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为， ∵， ∴时，的面积最大． 11．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由函数图象终点可知运动总时间为，即；由图象最高点可知最大面积为，此时点到达点，点在上，可得；联立解得；当时，点在上，点在上，求出的值；当时，点在上，点在上，利用面积割补法列方程求解． 【详解】解：由图2可知，当时，，即两点相遇停止运动， ， 由图2可知，的最大值为，此时点运动到点，点运动到边上， ，即， ， ∴联立， 解得， ∴当时，点在上，点在上， 此时，； 当时，点在上，点在上， 此时， ； 当时，点在上，点在上， 此时，，， ； ∵图象经过点， ∴结合图2函数图象可知，当时，，当时，，且， ∴， 整理得， ， 解得， ∵， ∴． 12．在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 13．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 14．如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接． (1)点________（填M或N）能到达终点； (2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； 【答案】(1)M (2)，当时，S的值最大为 【分析】（1）利用速度公式可计算出点M到点A和点N到点C的时间，从而可判断点M能到达终点； （2）经过t秒时可得，根据推出的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值． 【详解】（1）解：点M需要秒运动到点A，点N需要秒运动到点C， 所以点M能到达终点； （2）解：经过t秒时，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，S的值最大为． 【题型3 】 15．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据桥下水面宽度为米，拱顶距水面米，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求出第个灯笼和第个灯笼的纵坐标即为的取值范围． 【详解】解：桥下水面宽度为米，拱顶距水面米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 拱顶到的距离是米， 悬挂了个灯笼， 拱顶的左、右各悬挂个灯笼， 设每个灯笼之间的水平距离为， 最左侧灯笼的坐标为， 则有，， ， 若在左侧再加一个灯笼，则这个灯笼的横坐标为， 第个灯笼的纵坐标为， 拱顶到的距离是米， 点的纵坐标为， 又灯笼的长度为米， 悬挂点的纵坐标最低为， 由题意可知， 整理可得：， 解得：或， 解得：或， ， ， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 16．如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 【答案】20 【分析】先读出顶点坐标，根据水面倒影是关于轴对称求出倒影点坐标，再计算两点距离． 【详解】解：由抛物线解析式，可得顶点的坐标为． 水面为轴，点在水中的倒影是点关于轴的对称点， 坐标为． 与之间的距离为（米）． 17．如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用点坐标求出，再根据水位上升高度求出所在直线的值，代入解析式求即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为. 水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为， 点的坐标为 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为. 水位上升达到警戒水位， 警戒水位对应的纵坐标， 当时，， 解得， . 18．塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米． (1)求抛物线的表达式； (2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据题意列方程组，即可得到结论； （2）设点，根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， 设抛物线的解析式为， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， ∴， 解得，（大于8，舍去）， ∴，， ∴． 19．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由题意知方案一中抛物线的顶点，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）在中，令求得或，从而可得，再根据计算面积，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴； ∴表达式为； （2）解：在中，令得； 解得或， ∴， ∴； ∵，， ∵， ∴， ∴． 【题型4 】 20．某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据销售额=单价×销量，列函数关系式即可． 【详解】解：设涨价x元，则涨价后单价为元，每天销量为件， 根据销售额=单价×销量，则由题意得：． 21．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 【答案】 15 【分析】已知利润是的二次函数，二次项系数为负，函数开口向下，最大利润对应二次函数的顶点，计算顶点横坐标即可得到结果． 【详解】解：展开函数关系式得 ∵该函数是二次函数，二次项系数 ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得 ∵二次函数顶点的横坐标为，此处， ∴ 即获得最大利润时销售单价为15元． 22．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 23．麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，因其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店销售一种麦秆画，成本为元幅．据调查，这种麦秆画的售价为元幅时，平均每天的销售量是幅，售价每降低元，平均每天就可以多售出幅．设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当这种麦秆画的售价定为每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当这种麦秆画的售价定为每幅元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大，最大利润是元． 【分析】设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元，根据题意得，然后化简即可； 由得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元， 则 ， ∵， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由得， ∵， ∴当时，即售价为元时，有最大值，最大值为， 答：当这种麦秆画的售价定为每幅元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大，最大利润是元． 24．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年6月份的销售量是500件，8月份的销售量是720件． (1)若该网店6月份到8月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能售出20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，但是网店规定降价比率不得超过，若使销售该模型每天获利最大，则售价应降低多少元？最大获利为多少元？（注：降价比率） 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低13元，最大获利为1242元 【分析】（1）根据6月、8月的销售量及月平均增长率相同的等量关系列一元二次方程求解； （2）先根据降价比率的限制确定降价金额的取值范围，再结合总利润的计算公式列函数关系式，进而求出最大值． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ∵6月份销售量为500件，月平均增长率为x， ∴8月份销售量为件， ∵8月份销售量为720件， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价降低x元，每天获利为W元， ∵降价比率不得超过，原售价为100元， ∴， 解得， 又∵降价金额非负， ∴， ∵每件利润为元，每天销量为件， ∴． ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值， 最大值为（元）， 答：售价应降低13元，最大获利为1242元． 25．某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； (3)若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 【答案】(1) (2)，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可得函数关系式，再得出的取值范围即可； （2）根据利润（每件的售价每件的成本）月销售量可得与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可； （3）先求出的取值范围，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得：， 解得， ∴， ∵该产品的成本为元/件， ∴，即， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为400， 答：与之间的函数关系式为，售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是400元； （3）解：∵该产品的成本为元/件，物价部门规定该产品售价不得高于元/件， ∴， ∵二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，随的增大而增大， 将代入得：， 解得或， ∵商店要求月销售利润不低于元，即， ∴． 26．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【分析】（1）选取表格中两组产量与总成本的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出系数,，再验证第三组数据符合即可； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数关系式，结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：将和代入， 得 ， 解得， ∴总成本与产量的函数关系式为； （2）解：设总利润为万元，由题意得，总销售额为万元， ， ∵二次项系数，对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为（万元）， 答：生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【题型5 】 27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，解方程可得的值，即可得①正确；求出二次函数的最大值即可得④、②正确；根据小球从地面竖直向上抛出可得小球落地的水平距离为，则可得③错误． 【详解】解：令，则，解得，， ∴小球从抛出到落地需要；结论①正确； ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为9， 即当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；结论④正确； ∵， ∴小球运动中的高度可以是；结论②正确； ∵小球是从地面竖直向上抛出， ∴小球落地的水平距离为；结论③错误； 综上，正确结论的个数为3个． 28．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度随着时间的增大而减小． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将解析式配方为顶点式，结合代入计算、函数最值与增减性判断结论． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵，∴当时，有最大值，故②错误； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③正确， 综上，正确结论为①③． 29．用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 【答案】 【分析】沙包高度是关于时间的开口向下的二次函数，最大高度对应该二次函数顶点的纵坐标，代入顶点纵坐标公式计算即可． 【详解】解：∵ ，其中二次项系数， ∴ 函数图象开口向下，存在最大值，最大值为二次函数顶点的纵坐标， 对于二次函数，顶点纵坐标为， 将，，代入得：， 因此沙包能达到的最大高度是． 30．某运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图，则足球到达最高点所需的时间是__________s． 【答案】2 【分析】观察函数图象，发现抛物线经过纵坐标相同的两点和，利用二次函数图象的对称性，对称轴的横坐标即为足球到达最高点的时间． 【详解】解：由图象可知，抛物线经过点和， ∵点和的纵坐标相等， ∴这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵足球到达最高点时对应抛物线的顶点，顶点在对称轴上， ∴足球到达最高点所需的时间是． 31．掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 【答案】(1) (2)这次投掷成绩能达到满分． 理由如下： 解：在中，令， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ，实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于6.9米时得满分， 这次投掷成绩能达到满分． 【分析】（1）由已知条件可知图象的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）令小问（1）的抛物线的关系式中的，求出的正值，跟米比较大小即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， ， ． （2）详解见答案． 32．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线解析式为，根据题意求出点A，D的坐标，代入解析式求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出的长，即可求解； （3）把代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于，且， ， ， 即乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 33．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】(1)最大高度为，； (2)． 【分析】（1）观察数据发现函数关于对称，顶点为，用待定系数法求二次函数关系式． （2）分别令求出两次训练实心球落地时的水平距离，比较大小． 【详解】（1）解：观察表格数据，当和时值相同，当和时值相同， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 实心球竖直高度的最大值为， 设， 将代入得：， 解得：， ． （2）解：第一次训练，令： ， ， ， ， ， 第二次训练，令： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【题型6 】 34．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 35．某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 【答案】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式为，可设移动后抛物线解析式为，函数图象的顶点坐标为，求出，由题意可得，，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴可设移动后抛物线解析式为， 即函数图象的顶点坐标为， 令，则，解得，， ∴， ∴， 由题意可得，， 解得． 36．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 37．某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． (1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； (2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把代入求出解析式，再求出点的坐标，即可求解； 【详解】（1）解：由题意可知消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的最高点的坐标为，， 则设消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 故消防员灭处的火源时水流路径所在抛物线的表达式为； （2）消防员灭、两处的火源时水流路径所在抛物线的形状相同，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等， 可设灭处的火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 抛物线过点， ， 解得， 故灭处火源时，水流路径所在抛物线的表达式为， 令，则， ， ． 【题型7 】 38．已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（     ） A．点火后和点火后升空高度相同 B．点火后火箭落于地面 C．点火后高度开始下降 D．火箭升空最大高度为 【答案】D 【分析】将二次函数的解析式化成顶点式，根据二次函数的对称性和增减性逐项判断即可． 【详解】解：，其对称轴为直线， ∴点火后和点火后升空高度相同；点火后和点火后升空高度相同；则选项A错误； 当时，， ∴点火后火箭未落地，则选项B错误； 抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； ∴点火后高度达到最大，之后开始下降， ∴点火后高度仍在上升，则选项C错误． 39．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，利用已知点的函数值大小关系，结合抛物线的对称性确定对称轴的大致范围，进而判断最节省燃气的角度． 【详解】解：由图像数据可知，当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴在与之间， ∵当时的函数值小于当时的函数值， ∴对称轴直线， ∵当时的函数值小于当时的函数值， ∴对称轴直线，即， 对比选项，只有在此范围内，故选项C符合题意． 40．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后要滑行__________才能停下来． 【答案】 【分析】飞机停下时滑行距离达到最大值，对应开口向下的二次函数的顶点纵坐标，将函数配方为顶点式即可求得该最大值． 【详解】解：对给定函数进行配方变形， ， ， ， ， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行才能停下来． 41．某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 【答案】 【分析】飞机停止时滑行距离达到最大值，对于开口向下的二次函数，最大值在顶点处，先求顶点横坐标得到停止时间，再计算滑行秒和秒的距离差，即可得到停止前最后秒滑行的距离． 【详解】解：飞机刹车后停止时不再滑行，此时滑行距离取得最大值， 该二次函数中，开口向下，最大值在顶点处， ∵顶点横坐标为，其中，， ∴，即飞机滑行秒停止． 对函数配方得： ， 当时，最大滑行距离米． 停止前最后秒，即求到滑行的距离，将代入得： ， ∴最后秒滑行距离为米． 42．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 【答案】(1)函数，的大致图像如下： (2)场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为 (3)该化学试剂在A场景下效果更好，理由如下： 令得，解得或（舍去）， 令得，解得， ，当时，， 两种场景有效时长相同，但同一时刻场景A剩余质量更高， 该化学试剂在A场景下效果更好． 【分析】（1）根据表格的数据在平面直角坐标系中依次描出点、，再分别用光滑曲线顺次连接对应点，画出函数，的大致图像； （2）场景A是二次函数，把表格里两组点坐标代入解析式，列二元一次方程组求出b，c，得到关系式；场景B是一次函数，代入一组点坐标求出a，得到关系式； （3）别令、，解方程求出两种场景下试剂降到最低有效质量克对应的时间，对比得到二者有效时长相等，再比较范围内同一时刻和的大小，结合“同一时刻剩余质量越高效果越好”的条件，判断场景A效果更好． 【详解】（1）略 （2）解：过点和， ，解得， ， 过点， ，解得， ， 综上所述，场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为； （3）略 43．综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得坐标；设上方抛物线的函数表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的抛物线函数表达式，令，求得，的坐标，进而求得的长． 【详解】（1）解：上方抛物线顶点到的距离为，最大宽度， 顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为．将点代入得： ， 解得：， 上方抛物线的函数表达式为； （2）解：将上方抛物线向下平移后，所得抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得：，， ，， ． 44．物体在空中只受重力作用时，由静止开始下落的运动，称为自由落体运动．自由落体时，下落的高度公式为（其中h为物体自由下落的高度，g为重力加速度，，t为物体下落的时间）．如图，从离地的塔顶处由静止开始自由释放一个钢球（在空旷无人的场地下进行）． (1)如图①，求钢球经过多长时间落到地面； (2)如图②，求钢球下落到塔的一半高度时所用的时间： (3)如图③，求钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）将代入求解即可； （3）由（1）可知钢球从下落到离到达地面的时间还有时，将代入求出的值，进而可知钢球离地面的高度． 【详解】（1）解：在中， ， ， 解得（负值已舍去）， 故钢球经过落到地面． （2）解：在中， ， ． 解得（负值已舍去）， 故钢球经过下落到塔的一半高度处． （3）解：由（1）知钢球经过落到地面， 在中， ， ， 故钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度为． 45．如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． (1)若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； (2)现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 【答案】(1) (2)30岁 【分析】（1）将代入即可求出答案． （2）将代入，转化成一元二次方程，然后将其因式分解即可求出的值，需要注意利用取值范围求出唯一的的值． 【详解】（1）解：砗磲样本的年龄为18岁，， ． （2）解：砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，， ， 去分母得， 移项得， ， ，． ， （舍去）． ． 它的年龄为30岁． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实际问题与二次函数（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1 【题型2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 3 【题型3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 7 【题型4 销售问题(实际问题与二次函数)】 9 【题型5 投球问题(实际问题与二次函数)】 11 【题型6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 14 【题型7 其他问题(实际问题与二次函数)】 16 【题型1 】 1．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，当抛物线与四边形的边有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．用长的篱笆围成一个矩形场地，其中一面利用墙（墙长为）．设垂直于墙的一边长为，矩形场地的面积为．则S关于x的函数关系式是______．自变量x的取值范围是______，当______时，S取得最大值，最大值是______． 4．2026年6月5日是第55个世界环境日，为响应倡议，杭州某中学的学生参与校园环保宣传．他们计划利用长20米的围墙，用总长度为34米的环保材料围成一个中间有一道隔断的矩形环保宣传区，且留如图所示的两个1米宽的小门．设长为x米，宣传区的面积为S米，则S的最大值是________． 5．要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 6．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． (1)由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； (2)设矩形羊圈的面积为，请写出与的关系式，并写出的取值范围； 7．如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． (1)求二次函数的解析式； (2)设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； (3)是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【题型2 】 8．如图，直线直线，垂足为点，点和点分别是直线和直线上两定点，点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线水平向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度，沿直线竖直向上运动，设运动时间为，面积为．如图，关于的函数图象与轴交于点，图象与轴只有一个交点，且经过和，点和点是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是（     ） A．点坐标为 B．当时，或 C． D．点在该函数图象上 9．已知有两个腰长分别为4和8的等腰直角三角形，按如图所示摆放在同一条直线上，使点A与点D重合，大直角三角形保持固定，把小直角三角形从左向右平移，直到完全移出大三角形后停止．设小直角三角形平移的距离为x，两个三角形的重叠部分面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 11．如图1，在矩形中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为__________． 12．在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 13．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 14．如图，四边形为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接． (1)点________（填M或N）能到达终点； (2)求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； 【题型3 】 15．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 16．如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 17．如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 18．塘西河公园有一处抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴）中，拱桥高度米，跨度米． (1)求抛物线的表达式； (2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形（分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”的三边所用钢材长度为14米（在地面上，无需使用钢材），求． 19．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【题型4 】 20．某商品原价 80元，每天可卖30件；每涨价1元，每天少卖2件．设涨价x元，每天的销售额y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 21．某商店销售一种商品，已知销售这种商品每天所获利润y（元）与销售单价x（元）满足关系式．若想获得最大利润，销售单价x应为________元． 22．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 23．麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，因其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店销售一种麦秆画，成本为元幅．据调查，这种麦秆画的售价为元幅时，平均每天的销售量是幅，售价每降低元，平均每天就可以多售出幅．设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当这种麦秆画的售价定为每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大？最大利润是多少元？ 24．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年6月份的销售量是500件，8月份的销售量是720件． (1)若该网店6月份到8月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能售出20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，但是网店规定降价比率不得超过，若使销售该模型每天获利最大，则售价应降低多少元？最大获利为多少元？（注：降价比率） 25．某商店试销一种文创产品，经市场调查发现：当售价定为元/件时，月销售量为件，且与之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知该产品的成本为元/件． (1)求与之间的函数关系式； (2)设月销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求出售价定为多少时月销售利润最大，最大利润是多少元； (3)若物价部门规定该产品售价不得高于元/件，且商店要求月销售利润不低于元，求售价的取值范围． 26．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本y（万元）与产量x（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见表： 产量x（万件） … 15 18 20 … 总成本y（万元） … 285 336 360 … （总利润＝总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20万元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 【题型5 】 27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 28．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度随着时间的增大而减小． 其中正确的结论是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 29．用手竖直向上抛出一个沙包，沙包离地面的高度h ( 单位：m) 与抛出后沙 包运动的时间t ( 单位：s) 之间的关系式是，沙包能达到的最大高度是______________． 30．某运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图，则足球到达最高点所需的时间是__________s． 31．掷实心球是中招体育考试的五选二项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，实心球行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球达到飞行过程中的最大高度，此时距地面． (1)求抛物线的函数表达式； (2)2026年沈阳中考女生实心球满分线为米（实心球落地时，距离出手点的水平距离大于等于米时得满分），请问这次投掷成绩能否达到满分？说明理由． 32．【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球方式的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)在图2所建的平面直角坐标系中，求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离_____m； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙在能接到球的情况下拍面距离球网的最大水平距离． 33．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【题型6 】 34．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 35．某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 36．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 37．某地消防中队在一座废弃高楼上开展消防技能比赛，在距离地面的点处和其正下方的点处各设置了一个火源，消防员站在水平地面上的点处拿着水枪向处喷水（水流出口与地面的距离忽略不计），水流路径为抛物线的一部分．据录像资料显示，水流路径的最高点到高楼的水平距离为，到水平地面的距离为．待处火熄灭后，消防员前进至点处，调整水枪，使水流刚好落在点处．已知点到高楼的距离为，且两次灭火时水流路径的最高点到高楼的水平距离相等，建立如图所示的平面直角坐标系，其中水流的高度为，水流到高楼的水平距离为． (1)求消防员灭处的火源时，水流路径所在抛物线的解析式； (2)若消防员灭、两处的火源时，水流路径所在抛物线的形状相同，求、两点之间的距离． 【题型7 】 38．已知某学校航模小组制作设计的火箭的升空高度与飞行时间满足关系式，则下列说法正确的是（     ） A．点火后和点火后升空高度相同 B．点火后火箭落于地面 C．点火后高度开始下降 D．火箭升空最大高度为 39．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（） A． B． C． D． 40．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后要滑行__________才能停下来． 41．某种型号飞机在跑道上刹车后滑行的距离S（米）与滑行的时间x（秒）的函数解析式是，则飞机滑行________秒停止，飞机停止前最后2秒滑行的距离为________米． 42．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 43．综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 44．物体在空中只受重力作用时，由静止开始下落的运动，称为自由落体运动．自由落体时，下落的高度公式为（其中h为物体自由下落的高度，g为重力加速度，，t为物体下落的时间）．如图，从离地的塔顶处由静止开始自由释放一个钢球（在空旷无人的场地下进行）． (1)如图①，求钢球经过多长时间落到地面； (2)如图②，求钢球下落到塔的一半高度时所用的时间： (3)如图③，求钢球从下落到离到达地面的时间还有时，钢球离地面的高度． 45．如图，砗磲是地球上最大的双壳类动物，被称为“贝王”，其幼年生长较快，随年龄增加生长速率持续放缓．某海洋研究院对南海地区的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（单位：微米/天）与年龄（单位：岁）近似满足关系：，其中． (1)若该砗磲样本的年龄为18岁，求它的平均日生长速率； (2)现测得该砗磲样本的平均日生长速率为20微米/天，求它的年龄． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $