专题04 二次函数与一元二次方程 期中重难点专题训练 2026-2027学年人教版九年级上册数学 ）

专题04 二次函数与一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1 【题型2 求抛物线与y轴的交点坐标】 8 【题型3 抛物线与x轴的交点问题】 12 【题型4 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 25 【题型5 图象法解一元二次不等式】 28 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围】 34 【题型7 根据交点确定不等式的解集】 37 【题型1 】 1．抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 【答案】C 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 2．如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线与坐标轴交点及对称轴，确定点、坐标，利用待定系数法求直线解析式，设点横坐标表示线段长，利用二次函数性质求最值． 【详解】解：令，得，解得． 点在点左侧， ． 令，得， ．抛物线的对称轴为直线． 点与点关于对称轴对称， ． 设直线的解析式为． 将代入得， 解得． 直线的解析式为． 设，则，， ∴． ， 当时，取最大值．此时． ． 3．如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】抛物线与轴的两个交点、关于其对称轴（直线）对称，利用中点坐标公式由已知交点即可求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点， 、关于对称轴对称． 设，则与的中点横坐标为， 由对称轴为直线得，解得， ． 4．已知抛物线（为常数，）的顶点为，点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． （1）当时，点在B的左边，则的长是_______； （2）当坐标是时，，则的值是_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意确定函数解析式，然后得出当时，方程的根，即可确定，再由当时，，确定，利用勾股定理求解即可； （2）将代入抛物线解析式，整理得出，确定；，然后利用直角三角形勾股定理得出 ， ， ，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 解得：， ∵点在B的左边， ∴， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∴； （2）∵已知点在抛物线上， ∴将代入抛物线解析式，得：， 整理得， ∵， ∴，即. 令得， ∴； 抛物线的顶点坐标为 ，即， 连接，如图所示： ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵，，坐标是， ∴ ， ， ， ∴ ， 整理得：， ∵， ∴， 解得或， 当时，顶点P的坐标为，与点D重合，不存在，故舍去， 将代入，得， 解得，符合的条件， 综上可得：． 5．已知抛物线过 与 且有最大值 ． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点和点的坐标可得，对称轴为，根据最大值为，得到顶点坐标为，根据二次函数的顶点式，可得，再把点代入解析式，即可求出二次函数解析式； （2）根据二次函数的图象和性质，先求出，设点，根据三角形的面积公式为：，求出，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ 与 ， ∴对称轴为， ∵抛物线的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， 把点代入， 解得：， ∴． （2）解：∵抛物线与 轴交于点 ，， ∴， 解得：，， ∴， 设点， ∴， ， 解得：， ∴； ①当时，， 整理得：， ，无解，不符合题意； ②当时，， 解得：，； ∴点的坐标为：或． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把，代入，即可求得抛物线的函数表达式，当时，即可求得点B的坐标； （2）设直线的表达式为，把，代入，即可求得直线的表达式，设，由轴，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴． （2）解：设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合）， ∴， ∴， ∵， ∴当时，长度的最大值为． 【题型2 】 7．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与轴交点的横坐标为，代入解析式计算纵坐标即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即二次函数与轴的交点坐标为． 8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 9．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】令求出点坐标，令求出点坐标，确定、的长度，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 10．已知抛物线（a为常数，且）过点． (1)求抛物线与y轴的交点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差． 【答案】(1) 抛物线与轴的交点坐标为 (2) 函数的最大值与最小值的差为 【分析】（1）把点代入抛物线，求出a的值，进而即可得到答案； （2）把函数解析式配方后，根据二次函数的性质求出函数的最大和最小值，进而即可求解． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得：， ∴， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，， 当时，， ∴函数的最大值与最小值的差为． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，连接、． (1)求的值； (2)点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求解的值． （2）先求点B的坐标，令代入已确定的抛物线解析式，得到B点纵坐标，确定的长度，设点的坐标为，因为的边在y轴上，所以三角形的高为点P横坐标的绝对值，根据三角形面积公式列方程，求解得到的值，再代入抛物线解析式得到对应纵坐标，即得点P坐标． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入中，得 ， ； （2）解：当时， ∴， 设， 的面积为4， ∴， ∴ ∴P点坐标为或． 【题型3 】 12．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④当时，y随x增大而减小；⑤；其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线的顶点为得抛物线的对称轴为，即可判断①；由抛物线与x轴有两个交点，即可判断②；由抛物线与x轴的另一个交点在和之间，且抛物线开口向下，即可判断③；由抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，即可判断④；由，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为，即， ∴． ∴①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， 又∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，且抛物线开口向下， ∴当时，，即， ∴③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小， ∴④正确； ∵当时，， 又∵， ∴， ∴⑤错误； 综上：正确的结论有①③④，共3个． 13．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】①由图象得，，再结合对称轴即可判断；②图象与轴有两个交点，即可判断；③由图象得当时，，即可判断；④由对称轴为直线得，即可判断；⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方，即可判断． 【详解】解：①由图象得，， ， ， ， 故此项错误； ②由图象得，图象与轴有两个交点， ； 故此项正确； ③由图象得， 当时，； ； 故此项正确； ④对称轴为直线， ， ， 故此项错误； ⑤当时，图象既有部分在轴上方，也有部分在轴下方， 有，也有， 故此项错误； 故正确的个数有个． 14．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，，且，则，；④若为任意实数，则．其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由对称轴和已知交点求出抛物线与轴的另一交点，将、用含的式子表示，结合二次函数性质逐一判断结论． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，与轴一个交点为， 抛物线与轴的另一交点坐标为，且，即， 将代入解析式得， 把代入得，即， ①抛物线开口向下，且与的交点为和， 当时，， 当时，，故①正确； ②计算各点到对称轴的距离： ，，， 抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，且， ，故②错误； ③方程的根等价于抛物线与直线的交点横坐标， 抛物线开口向下，与轴交于和，且， 两交点分别在左侧和右侧，即，，故③正确； ④将代入得：， ，， ， 又， ， ，即，故④正确. 综上，正确的结论有①③④，共3个． 15．若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴将，代入抛物线解析式，得， ∴， ∴． 16．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中，则下列结论：；；；；方程（为常数）有实数根．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及与坐标轴交点位置，确定，，的符号及关系；利用和时的函数值符号确定的取值范围；将方程根的问题转化为函数图象交点问题进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，顶点坐标为，与轴交于正半轴， ∴，对称轴为直线，， ∴，， ∴，故错误； ∵， ∴，故错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； ∵顶点坐标为， ∴， 把代入得， ∵抛物线与轴交点且， ∴当时，， ，即， 当时，， ，即， 联立，解得，故正确； 当时，方程，即方程，该方程显然有实数根； 当时，由方程可化为， 令，， ∴当时，， ∴直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根，故正确； 综上所述，正确的结论是． 17．已知二次函数． (1)若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； (2)若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【答案】(1)，， (2)① 证明：由得， ∴判别式， ∵， ∴， ∴二次函数的图象和轴有两个交点． ②的值为2 【分析】（1）根据对称轴公式计算得出，根据函数的最小值为计算得出，从而得解； （2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可； ②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为： 即， 解得， ∵函数有最小值，即顶点纵坐标为 3： ∴当时，， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：① 略； ②由于点在该二次函数图象上， 则， 由于，， 则，即， 所以， 当时，n的最小值是， 函数，开口向上，对称轴为， ∴第一种情况：当时，即， 当时，取最小值， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 第二种情况：当，即时，当时，n随着m的增大而增大， 则当时，取最小值， 则， 解得，不符合题意，舍去 综上所述，的值为． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过，顶点为P，抛物线与x轴没有交点，对称轴交x轴于点H． (1)若，求b的值． (2)直线经过点C，分别交抛物线对称轴于点M，交抛物线于点N，若，求b的值． (3)点C和点B关于抛物线对称轴对称，当为等边三角形时，抛物线沿射线方向平移，使点B落在坐标轴上．在平移后的新抛物线上有两点和点，当，满足，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线过点，直接得到常数项，抛物线解析式简化为，是顶点到轴的距离，等于顶点的纵坐标值，代入顶点纵坐标公式列方程，结合条件求解即可； （2）求出直线解析式为，联立直线和抛物线方程，直接求出两个交点的坐标，根据符合抛物线与轴无交点的条件，得到的值； （3）利用点C和点B关于对称轴对称，直接得到B点坐标，计算出的长度为b，结合等边三角形的高求出，得到B、P两点坐标，确定射线的方向，分点B落在y轴、点B落在x轴两种情况，列不等式求解得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 又抛物线的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 当时，， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， ∵，且， ∴； （2）解：∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，且在抛物线对称轴上， ∴点的坐标为， ∴ , ∵, ∴； 联立， 解得或， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在之间， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，对称轴为直线，且点C和点B关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴的中点就是对称轴上的点， ∵顶点， ∴等边的边上的高， 又， ∴， ∴， ∴原抛物线解析式为， ∴，， 点向点平移，向右平移距离为，向下平移的距离为， 即抛物线沿射线每向右平移个单位，则向下平移3个单位， 设向右平移个单位，向下平移个单位（）， ∴平移后点的对应点的坐标为， 情形一：当点在轴上时，，如图， ∴， ∵原抛物线形状及开口方向不变，顶点，向右平移个单位，向下平移6个单位， ∴平移后新抛物线的顶点坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴； 情形二：当点在轴上时，如图， 则， ∴， ∴横坐标增加，纵坐标减少8， ∴原抛物线的顶点平移后为， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴； 综上，的取值范围为． 【题型4 】 19．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 20．如图是二次函数（是常数，）的图象，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置及增减性，逐一判断各结论的正确性． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； 抛物线与轴交于正半轴，则； 对称轴为直线，则， ∴，故①错误； 由得，故②正确； 抛物线与轴有两个交点，则，故③正确； 当时，，由图象可知此时，即，故④错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故⑤正确； 综上，正确的结论是②③⑤． 21．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 【答案】 【分析】由图知，抛物线与x轴交于，代入求出a的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：． 22．一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】根的判别式说明一元二次方程有两个相等的实根，抛物线与轴只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，结合已知根即可求出顶点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴该方程有两个相等的实数根， ∵已知方程的一个根， ∴方程的两个根都为， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∵抛物线与轴只有一个交点时，该交点就是抛物线的顶点， ∴抛物线的顶点坐标为． 23．已知二次函数的图象如图所示， (1)求其函数解析式； (2)根据图象，直接写出方程的解和不等式的解集． 【答案】(1) (2)，； 【分析】（1）根据图象可知，二次函数与轴有两个交点，坐标已知，且顶点坐标已知，可将与轴交点坐标和顶点坐标代入二次函数的顶点式求解，再将顶点式化为一般式即可． （2）根据图象，方程的解是二次函数与直线交点处的值，可利用二次函数的对称性得到；不等式的解集是抛物线在直线上方时对应的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的顶点式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 化为一般式，得． （2）解：由于二次函数的顶点坐标为，对称轴为， 且图象中已给出与在轴上的交点，与对称轴的距离为， 根据二次函数的对称性可知与直线存在两个交点为和， 方程的解为，； 由图象可知，直线经过点和， 当时，二次函数的图象位于直线的上方， 不等式的解集是． 【题型5 】 24．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方，且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 25．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 26．已知二次函数 (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）一般式化为顶点式即可得出结果； （2）五点法作图即可； （3）根据图象直接作答即可． 【详解】（1）解：， 故顶点坐标为． （2）解：列表如下： 0 1 0 3 4 3 0 画图略； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 由图象可知，当时，的取值范围是． 27．如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线、与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)①当时，求出的取值范围； ②将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线；将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若函数其中，且函数y的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【分析】（1）使用待定系数法求出解析式； （2）连接与直线的交点即为点，连接，则的周长的最小值为，分别计算与即可； （3）①利用图象法分别解二次不等式与，并取结果的公共部分作为解集； ②先根据轴对称与平移的性质写出与的解析式，再求出函数与轴交点的横坐标，分析可知的图象与轴的交点个数为或，分两类讨论，舍去无解的情况即可． 【详解】（1）解：将点，，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接与直线的交点即为点，连接， 由二次函数的对称性可知，， ∴， ∴、、三点共线时，最小， ∵，，， ∴，， ∴的周长的最小值为； （3）解：①∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 综上所述，的取值范围为或； ②将抛物线沿轴翻折可得，即，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得，即， 将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得，即， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得或， ∵，自变量的取值范围关于原点对称， ∴同时符合题干要求或者同时不符合，即的图象与轴的交点个数为或， 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴或， ∴或； 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴， 该不等式组无解，故舍去； 综上，或． 【题型6 】 28．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】将恒成立的问题转化为两点到对称轴的距离关系，按抛物线开口方向分类讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点，，且为抛物线， ∴，对称轴为直线． ∵，， ∴两点到对称轴的距离分别为，． 当时，抛物线开口向上， ∵恒成立， ∴，即， ∵， ∴，解得． 当时，抛物线开口向下， ∵恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴． 综上，的取值范围为或． 29．已知抛物线（其中是常数，且）． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）若分别取，0，3，4这4个数所得的函数值中只有一个值小于0，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可； （2）得出对称轴为，根据点到对称轴的距离越远对应的函数值越小，结合题意可知时值小于0，时大于等于0，求出a的取值范围． 【详解】解：（1）， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 函数的对称轴为， ， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远对应的函数值越小， 与对应的函数值相等，到距离为2，到的距离为1，到的距离为3， 距离对称轴最远， 4个数所得的函数值中只有一个值小于0， 当时值最小于0，其他的值都大于等于0， 当时，，解得；当时，，解得， ． 30．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从表格选择两个点的坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）将二次函数表达式化为顶点式，根据函数图象的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得：， 所以，这个二次函数的表达式为； （2）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，在时，取得最小值， 根据二次函数图象的对称性可知，当时，在时，取得最小值，最大值在时取得，为， 所以，当时，的取值范围为． 31．已知二次函数（为常数） (1)求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； (2)已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 【答案】(1)证明：令，得方程, 则 , ∵ 不论为何值，， ∴ ，即 ∴ 不论为何值，该方程总有实数根，即该函数图象与轴必有公共点； (2) 【分析】（1）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论； （2）先把点的坐标代入解析式得到, , 则利用得到, 然后解不等式即可． 【详解】（1）略； （2）解：把分别代入中, 得,, , , ∴, 即的取值范围是 . 【题型7 】 32．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个函数值的大小，可先求出两图象交点的横坐标，以交点为分界点，判断抛物线在直线上方还是下方；由抛物线开口向上，可知其解集在两根之间． 【详解】解：联立两函数： ， 移项得， 即， 解得或． 当时，；当时，． 故两图象交于点和． 根据函数图象，可得，则的取值范围是． 33．如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由关于x的不等式可知：， ∴由函数图象及题意可知：关于x的不等式的解集为或． 34．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】观察函数图象，确定二次函数与一次函数交点的横坐标，根据，即抛物线在直线的上方，找出对应的 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 35．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 【答案】或或 【分析】先求直线与抛物线的交点，再判断交点横坐标是否落在线段的横坐标范围内；讨论时按的正负与临界值（含端点与相切的情形）分类，相切记作一个公共点． 【详解】解：由， 令，得， 两边同乘，得， 即，解得或， 故，． 令，得，故． 当时，、重合于原点，而原点不在抛物线上，线段与抛物线没有公共点，不合题意． 当时，直线过、，设直线的解析式为． 把、的坐标分别代入，得 解得，， 故直线的解析式为． 线段上点的横坐标范围：当时为；当时为． 联立直线与抛物线，得， 两边同乘并整理，得． 判别式． 当时，，直线与抛物线没有交点，不合题意； 当时，交点横坐标为． ①当时，线段上点的横坐标范围为． 其中，不在该范围内； 而在该范围内，当且仅当， 即． 当时，两边平方得， 即，． 而时，故，即． 于是当时恰有个公共点；当时没有公共点，不合题意． ②当时，线段上点的横坐标范围为． 在该范围内，当且仅当， 即． 当时，而，该不等式不成立； 当时两边平方得，即， 而时，故，即； 故当时在范围内． 而在该范围内，当且仅当， 即，得． 当时，此时、，故，即， 又，故，即； 当时． 于是当时没有公共点，不合题意； 当时恰有个公共点； 当时有个公共点，不合题意； 当时，，直线与抛物线相切于，且，恰有个公共点； 综上，线段与抛物线只有一个公共点时， 的取值范围是或或． 当时，、， 此时，满足， 线段与抛物线恰有一个公共点（如图）． 36．已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 【答案】(1)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 (2)与x轴的交点坐标为和，取值范围为 【分析】（1）因为二次函数二次项系数为正，所以可直接判断开口方向；如果用配方法将函数化为顶点式的形式，那么可直接得到对称轴为直线，顶点坐标为，也可使用对称轴公式、顶点纵坐标公式计算对应结果． （2）求图象与x轴的交点坐标时，因为x轴上点的纵坐标为0，所以令，解一元二次方程，得到的根就是交点的横坐标；因为该二次函数开口向上，所以当时，x的取值范围在两个交点横坐标之间． 【详解】（1）解：． ∵ ， ∴ 开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ． （2）解：令 ，得 ， 即 ， 解得 ， ∴ 与 x 轴的交点坐标为 和 ． ∵ 抛物线开口向上， ∴图象在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围为． 37．如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 38．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 【答案】(1)；直线 (2)图象如图： (3)或 【分析】（1）根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据待定系数法即可求得m、n的值； （2）列表画图即可； （3）观察图象可直接得出时，x的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 求抛物线与x轴的交点坐标】 1 【题型2 求抛物线与y轴的交点坐标】 3 【题型3 抛物线与x轴的交点问题】 4 【题型4 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 6 【题型5 图象法解一元二次不等式】 7 【题型6 利用不等式求自变量或函数值的范围】 9 【题型7 根据交点确定不等式的解集】 10 【题型1 】 1．抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 2．如图，抛物线与x轴交于点，点在点左侧，与轴交于点，点是点关于此抛物线对称轴的对称点，连接．点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点．当最大时，则点的坐标为（        ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________． 4．已知抛物线（为常数，）的顶点为，点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． （1）当时，点在B的左边，则的长是_______； （2）当坐标是时，，则的值是_______． 5．已知抛物线过 与 且有最大值 ． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B、与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)如图，点P为线段上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求所在直线的表达式与线段长度的最大值． 【题型2 】 7．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 9．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 10．已知抛物线（a为常数，且）过点． (1)求抛物线与y轴的交点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，连接、． (1)求的值； (2)点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 【题型3 】 12．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④当时，y随x增大而减小；⑤；其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 14．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，，且，则，；④若为任意实数，则．其中正确的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 16．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中，则下列结论：；；；；方程（为常数）有实数根．其中正确的是______． 17．已知二次函数． (1)若二次函数图象的对称轴为直线，且函数有最小值，求b和c的值以及该函数的解析式； (2)若， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过，顶点为P，抛物线与x轴没有交点，对称轴交x轴于点H． (1)若，求b的值． (2)直线经过点C，分别交抛物线对称轴于点M，交抛物线于点N，若，求b的值． (3)点C和点B关于抛物线对称轴对称，当为等边三角形时，抛物线沿射线方向平移，使点B落在坐标轴上．在平移后的新抛物线上有两点和点，当，满足，求t的取值范围． 【题型4 】 19．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 20．如图是二次函数（是常数，）的图象，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 21．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为__________． 22．一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则抛物线的顶点坐标为________． 23．已知二次函数的图象如图所示， (1)求其函数解析式； (2)根据图象，直接写出方程的解和不等式的解集． 【题型5 】 24．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 25．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 26．已知二次函数 (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 27．如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线、与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)①当时，求出的取值范围； ②将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线；将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若函数其中，且函数y的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【题型6 】 28．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则的取值范围为（     ） A． B．或 C．或 D． 29．已知抛物线（其中是常数，且）． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）若分别取，0，3，4这4个数所得的函数值中只有一个值小于0，则的取值范围是______． 30．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 31．已知二次函数（为常数） (1)求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； (2)已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 【题型7 】 32．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．如图，已知抛物线与直线交于、两点．则关于x的不等式的解集是（     ） A． B．或 C． D． 34．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 35．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，线段的端点坐标分别是，．若线段与抛物线只有一个公共点，则的取值范围是_______． 36．已知二次函数． (1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)求图象与x轴的交点坐标，并写出当时x的取值范围． 37．如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 38．抛物线与x轴的交点为， (1)抛物线解析式为___________，对称轴为___________； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为___________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $