专题08 中心对称（期中重难点复习）2026-2027学年人教版九年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题08 中心对称（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 成中心对称 】 1 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 5 【题型3 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 14 【题型4 中心对称图形的识别】 22 【题型5 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 25 【题型6 求关于原点对称的点的坐标】 29 【题型7 已知两点关于原点对称求参数】 36 【题型1  】 1．下列图形中，线段与线段成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：由中心对称的定义得，线段与线段成中心对称的是选项A． 2．如图所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】中心对称的定义：如果把两个图形绕某一点旋转后能重合，那么这两个图形成中心对称，以此作为判断依据． 【详解】解：图（2）（3）（4）都可以绕某一点旋转后能重合，左边数字与右边数字成中心对称； 图（1）不能绕某一点旋转后能重合，左边数字与右边数字不成中心对称； 左边数字与右边数字成中心对称的有 3组． 3．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解. 【详解】解：，， ，轴， ， ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 4．如图，将绕点旋转得到，点，的对应点分别为，．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，根据将绕点旋转得到，可知点、点关于点中心对称，据此即可作答． 【详解】解：设， ∵将绕点旋转得到， ∴点、点关于点中心对称， ∴，， 解得：，， ∴． 5．如图，和是成中心对称的两个三角形． (1)点______是对称中心，点B的对称点是点______，点C的对称点是点______； (2)______； (3)______，______，______，______； (4)若，则的周长为______． 【答案】(1)A；D；E (2) (3)；；； (4)10 【分析】根据成中心对称的性质，逐一进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：∵和是成中心对称的两个三角形， ∴， ∴的周长. 6．数轴上点，，表示的数分别为，和． (1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值． (2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围． 【答案】(1)的值为，，； (2)的取值范围是． 【分析】分三种对称中心的情况，利用数轴中点公式列方程求解； 先求出关于原点对称的点、表示的数，再根据点在线段上的不等关系列不等式组求解． 【详解】（1）解：数轴上两点关于某点成中心对称，则该点为两点的中点，中点表示的数为两点表示数的平均数， 分三种情况讨论： 若点是，的对称中心，则，解得； 若点是，的对称中心，则，解得； 若点是，的对称中心，则，解得； 综上所述，的值为，，； （2）解：∵线段与关于原点成中心对称， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴线段的左端点为表示为，右端点为表示为， ∵点在上， ∴， 解得． 【题型2 】 7．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图所示： 即为所求； (2)解：如图所示： 即为所求； (3) 【分析】（1）分别标出的三个顶点关于原点的对称点，连接这三个顶点即可得到； （2）分别将线段的端点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，连接即可得到线段； （3）先由旋转性质得到，然后在网格中写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示： 点的坐标为． 8．如图，平面直角坐标系内，网格中小正方形的边长均为 1 个单位长度，， 的顶点均在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)旋转后点的坐标为______，连接，则的长为______； (4)若是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)，， (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）先根据坐标系直接写出点的坐标，连接，由旋转可知：，，然后利用勾股定理求解即可． （4）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得旋转点的位置． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据坐标系可知点的坐标为， 连接图略； 由旋转可知：，， ∴． （4）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段，的垂直平分线上，即为图中点P； 由图可知，该点的坐标为． 9．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点按逆时针方向旋转度后的； (2)画出关于原点成中心对称的图形． (3)在（2）的条件下，请直接写出坐标 、 ． 【答案】(1)解：如图所示： (2)解：如图所示 (3)； 【分析】（1）根据旋转的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）根据图形在坐标系中的位置，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． (1)若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； (2)点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①先分别作出点关于点的对称点，再顺次连接可得； ②先判断四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）写出点的坐标，根据可求，结合已知得出，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①略； ②∵以点为对称中心的图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，对称中心为点P，即原点， ∵直线l平分四边形的面积， ∴直线l过原点， ∴直线l的表达式为（答案不唯一）； （2）解：关于成中心对称的点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上，或. 11．在下列正方形网格中，按照要求作图． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取几个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点A，B，C，O都是格点，作关于点O的中心对称图形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）根据中心对称图形的定义补充图形即可； （2）根据题意画出旋转图形即可； （3）根据题意画中心对称图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； (2)连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 【答案】(1)与如图所示： (2) 【分析】（1）根据平移和中心对称的概念进行作图即可； （2）使用割补法计算四边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ． 【题型3 】 13．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】中心对称的两个图形全等，对应边、对应角都分别相等，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，，， ①②③④正确， 14．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点的坐标为，作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，再作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，，按照这样的规律一直作下去，则的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找到点，，的横坐标和纵坐标的规律，然后求解即可． 【详解】解：∵题中的三角形都是等边三角形，且都是依次作中心对称得到， 根据题意得，，，， ∴横坐标分别为，，， ∴横坐标为， 当n为奇数时，纵坐标为；当n为偶数时，纵坐标为， ∴当时，101为奇数，， ∴的顶点的坐标为． 15．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【答案】 2 10 【分析】连接，由矩形的性质可得，，，证明得出，由题意可得，再结合梯形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵直线经过矩形的对角线的交点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为20， ∴， ∴四边形的面积为． 16．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 17．如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：与关于点O中心对称， ，，， ， 即， ，， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）根据与关于点O中心对称得到：，，，等角的补角相等，用证明，进而得到； （2）利用已知条件和第一问得到的结论，推导出，进而得到，设的边上的高为h，得到，列出四边形的面积表达式，代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：是边上一点，且，与关于点O中心对称，由（1）得， ，， ， ． 设的边上的高为h， ， ， ． 18．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点C的对称点为点Q，当点P不与点A，点B，点C重合时，过点P作的垂线交于点N，以，为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)点P在上运动时，当平行四边形为菱形时，求的长； (3)当点M在内部时，求t的取值范围； (4)为的中线，当点M落在中线上时，直接写出t的值． 【答案】(1)当，；当时，． (2) (3) 且 ； (4)或 【分析】（1）由题意可知，分点在上和当在上两种情况讨论，通过相似三角形的判定和性质即可求解； （2）当平行四边形为菱形时，根据邻边相等列方程即可求解； （3）观察图形可知，当点沿运动时，点M与的位置关系依次为在三角形外部→在三角形边界上→在三角形内部→在三角形边界上→在三角形外部，因此只要确定点M位于三角形边界上时对应的t值即可求解； （4）分点在上和当在上两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质以及前面得到的结论即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点在运动到点时，所需时间；点在运动到点时，所需时间， 如图1，当点在上运动时，，此时满足， 在中，，，则， 在和中， ， ， ，即 ， ， 如图2，当在上运动时，，此时， 则， 同理可证， ，即 ， ， 综上可知，当时，；当时，； （2）解：如图3，当点在上运动时，，则， 点、点关于点对称， ， 当平行四边形为菱形时，则有，即， 解得， ； （3）解：如图4，当点在上运动，点恰好落在边上时，则有， 在中，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即 ， 解得 ； 如图5，当点在上运动，点恰好落在边上时，则有，此时， 点、点关于点对称， ， 在中，， ， 同理可知， ，即 ， 解得 ， 综上可知，当时，点在内部， 由于点不与点重合，则 ， 即的取值范围为 且 ； （4）解：如图6，当点在上运动，点恰好落在上时，过点作于，设交于点， 是中点， ， 在和中， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，即 ， ； 如图7，当点在上运动，点恰好落在上时， 由前文已知 ， 同上一种情况的方法可知， ，即 ， ， ， 由前文已知， 则 ，， 同理可知， ，即 ， ． 综上可知，当或时，点落在中线上． 【题型4 】 19．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 20．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意， B．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， C．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 21．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 22．下列四个图形中不属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、旋转后与原图完全重合，是中心对称图形，故不符合题意； B、整体上下不对称，绕圆心旋转后，上下花纹朝向颠倒，无法与原图重合，不属于中心对称图形，故符合题意； C、地球经纬线样式图案，旋转与原图完全重合，是中心对称图形，故不符合题意； D、风车样式图案，旋转与原图完全重合，是中心对称图形，故不符合题意． 23．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】逐个判断四个图形的对称性，筛选出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的序号即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 因此符合要求的序号为②③④． 24．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是_______个． 【答案】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：从左往右，第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第三个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第四个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是1个 ． 【题型5 】 25．观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 【答案】（1）中的图案都是中心对称图形；每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的； 在图（2）中设计图案，如下图所示： 【分析】因为（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合，所以（1）中的图案都是中心对称图形；根据大正方形的面积和阴影的面积可知每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的；在大正方形中涂出的阴影是中心对称图形且面积是大正方形的即可． 【详解】解：如下图所示：（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合， （1）中的图案都是中心对称图形； 设网格中每个小正方形的边长为， （1）中大正方形的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形中正方形的边长为， 图案的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； 综上所述，每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的； 26．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 【答案】(1)答案不唯一， (2)答案不唯一， 【分析】（1）以为对角线，作矩形即可； （2）根据勾股定理可判断直角，根据割补法可判断面积，再根据题意画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称． (2)在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称． (3)在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质找到对称轴，即可求解； （2）根据中心对称的性质作图，即可求解； （3）根据题意画出实线，分割成两部分，每部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 28．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，以为腰作等腰三角形； (2)在图②中，作四边形，使其为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使其为中心对称图形． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：如图所示即为所求， 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，画出等腰三角形即可； （2）以为对称轴作四边形，即可； （3）作平行四边形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型6 】 29．关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可判断①正确；根据抛物线的开口方向由二次项系数的正负决定可判断②正确；根据若点在上，则点满足可判断③正确；根据若点在上，则点满足可判断④正确． 【详解】解：①抛物线和的顶点都是原点，对称轴都是y轴，二者顶点和对称轴完全相同，故①正确； ②的二次项系数是，的二次项系数是，和符号相反，因此两个抛物线开口方向必然相反，故②正确； ③若点在上，则点满足，也就是这两个点关于x轴对称，因此两条抛物线整体关于x轴成轴对称，故③正确； ④若点在上，则点满足，整理得，也就是这两个点关于原点中心对称，因此两条抛物线整体关于原点中心对称，故④正确． 综上可知，4个说法全部正确． 30．已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数得出点的坐标，根据点在第四象限即可得出a的取值范围，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点关于原点的对称点， 则， ∵点在第四象限， ∴， 解得：， 在数轴上表示如下： 31．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数即可解题． 【详解】解：∵ 若两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数，已知， ∴ 点B的横坐标为，纵坐标为，即． 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 33．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】已知点的坐标，结合平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标变化规律计算对应对称点的坐标. 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都分别互为相反数. ∵点的坐标为 ∴ 对称点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数 ∴ 所求对称点的坐标为． 34．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 【详解】解：， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得． 35．在平面直角坐标系中，已知，若点在第二象限，则点关于原点对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据绝对值性质得到的可能取值，结合第二象限点的坐标特征可确定的值，再利用关于原点对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 36．如图，三个顶点的坐标分别为 (1)画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 【答案】(1)如图所示：即为所求， (2)如图所示：即为所求， 【分析】（1）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形； （2）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形． 【详解】（1）略； （2）略． 37．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其点的对应点分别为点，； (2)直接写出点，的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据原点对称坐标变换公式，由，，求出，描点连线画出；再根据轴对称坐标变换公式求出，描点连线画出． （2）根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 38．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，的顶点，，． (1)填空：顶点的坐标为 ； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 解：如图所示即为所作， 由图知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【分析】（1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【题型7 】 39．已知点和关于原点对称，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】点和点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解后，代入求值即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 40．随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据“遥望函数”定义，结合关于原点对称的点的坐标特征，将问题转化为一元二次方程有实根的问题，通过判别式确定的取值范围． 【详解】解：设函数上的点与函数上的点关于原点对称， 将代入，得， 整理得， ∵两函数互为“遥望函数”， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴的值不可能是2026． 41．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，将直线沿轴向左平移个单位长度后，与直线交于点．若点与关于原点对称，则的值为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】联立两个一次函数解出点的坐标，根据题意得到的坐标，再利用一次函数的平移规律设出平移后的解析式，将代入求解． 【详解】解：∵点是直线与直线的交点， ∴联立两个一次函数，解得， ∴点坐标为， ∵点与关于原点对称， ∴， ∵直线沿轴向左平移个单位长度， ∴设，将代入，得：， 解得． 42．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则___________． 【答案】2026 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征，结合算术平方根与绝对值的非负性求出、的取值，再计算的结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两个点的横、纵坐标分别互为相反数， 即， 移项可得， ∵，， ∴两个非负数的和为0时，每个非负数均为0，即，， 即，， 解得，， ∴． 43．在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征列方程，结合点在第二象限的条件确定，的取值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数， 可得，，解得， 整理方程得， 因式分解得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，即，当时，，不符合第二象限点的要求，舍去， 当时，，符合条件， ∴，代入得． 44．点与点关于原点对称，则_________． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标性质，求出和的值，代入计算即可得到结果。 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 45．写出下列点的坐标和m、n的值． (1)点关于原点对称的点的坐标是_________； (2)将点绕原点旋转得到的点的坐标是________； (3)若点，关于原点对称，则_____，________． 【答案】(1) (2) (3)；2 【分析】（1）根据关于原点对称点的特点进行求解即可； （2）根据将一个点绕原点旋转即为这两个点关于原点对称进行求解即可； （3）根据关于原点对称点的特点求出m、n的值即可． 【详解】（1）解：点关于原点对称的点的坐标是； （2）解：将点绕原点旋转得到的点的坐标是； （3）解：∵点，关于原点对称， ∴，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 中心对称（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 成中心对称 】 1 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】 3 【题型3 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 5 【题型4 中心对称图形的识别】 7 【题型5 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 8 【题型6 求关于原点对称的点的坐标】 9 【题型7 已知两点关于原点对称求参数】 11 【题型1  】 1．下列图形中，线段与线段成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点旋转得到，点，的对应点分别为，．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 5．如图，和是成中心对称的两个三角形． (1)点______是对称中心，点B的对称点是点______，点C的对称点是点______； (2)______； (3)______，______，______，______； (4)若，则的周长为______． 6．数轴上点，，表示的数分别为，和． (1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值． (2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围． 【题型2 】 7．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 8．如图，平面直角坐标系内，网格中小正方形的边长均为 1 个单位长度，， 的顶点均在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)旋转后点的坐标为______，连接，则的长为______； (4)若是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 9．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点按逆时针方向旋转度后的； (2)画出关于原点成中心对称的图形． (3)在（2）的条件下，请直接写出坐标 、 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，． (1)若时． ①画出以点P为对称中心的图形； ②若直线l平分四边形的面积，写一个直线l的表达式__________； (2)点，的面积为S，若，则a的取值范围为__________． 11．在下列正方形网格中，按照要求作图． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取几个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点A为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点A，B，C，O都是格点，作关于点O的中心对称图形． 12．在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； (2)连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 【题型3 】 13．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 14．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的顶点的坐标为，作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，再作与关于点成中心对称的，顶点的坐标为，，按照这样的规律一直作下去，则的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 16．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 17．如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 18．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，点P关于点C的对称点为点Q，当点P不与点A，点B，点C重合时，过点P作的垂线交于点N，以，为邻边作平行四边形，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)点P在上运动时，当平行四边形为菱形时，求的长； (3)当点M在内部时，求t的取值范围； (4)为的中线，当点M落在中线上时，直接写出t的值． 【题型4 】 19．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 20．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ）． A． B． C． D． 21．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 22．下列四个图形中不属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 23．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 24．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是_______个． 【题型5 】 25．观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 26．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，请按下列要求作格点四边形． (1)在图1中以，为顶点作一个四边形，使四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． (2)在图2中以为边作一个四边形，使该四边形既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，且面积为10，并有一个内角为直角． 27．图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称． (2)在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称． (3)在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等． 28．如图，在的正方形网格中，点，均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，以为腰作等腰三角形； (2)在图②中，作四边形，使其为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使其为中心对称图形． 【题型6 】 29．关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30．已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 31．在平面直角坐标系中，，两点关于原点对称，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 33．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 34．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 35．在平面直角坐标系中，已知，若点在第二象限，则点关于原点对称的点的坐标为_______． 36．如图，三个顶点的坐标分别为 (1)画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 37．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其点的对应点分别为点，； (2)直接写出点，的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，的顶点，，． (1)填空：顶点的坐标为 ； (2)将绕原点O逆时针旋转得到，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，在图中画出，并写出其各顶点的坐标． 【题型7 】 39．已知点和关于原点对称，则的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 40．随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 41．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，将直线沿轴向左平移个单位长度后，与直线交于点．若点与关于原点对称，则的值为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 42．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则___________． 43．在平面直角坐标系中，第二象限内的点与另一点关于原点对称，则的值是_______． 44．点与点关于原点对称，则_________． 45．写出下列点的坐标和m、n的值． (1)点关于原点对称的点的坐标是_________； (2)将点绕原点旋转得到的点的坐标是________； (3)若点，关于原点对称，则_____，________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $