专题02 实际问题与一元二次方程（期中重难点复习）专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题02 实际问题与一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 传播问题(一元二次方程的应用)】 1 【题型2 增长率问题(一元二次方程的应用)】 3 【题型3 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 7 【题型4 营销问题(一元二次方程的应用)】 11 【题型5 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 15 【题型6 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 24 【题型7 其他问题(一元二次方程的应用) 】 27 【题型1 】 1．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：． 2．某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以两轮后总人数为64为等量关系，分别表示每轮新增会的人数后列方程． 【详解】解：初始有1人会手势舞，第一轮结束后，会的总人数为； 第二轮新增会的人数为； ∵两轮后总人数为64， ∴列方程为． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 【答案】 【分析】主干共1个，每个支干长出个小分支，则支干总数为，小分支总数为，根据三类的总数为21即可列方程． 【详解】解：∵主干只有1个，主干长出个支干，因此支干总数为， ∵每个支干长出个小分支，因此小分支总数为， 已知主干、支干和小分支的总数是21， 因此可得方程． 4．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 【答案】每轮平均1人传播给6人 【分析】根据两轮传播后总知晓人数为等量关系列一元二次方程，结合实际意义取正根． 【详解】解：设每轮平均1人传播给人， ∵初始有1人知晓，第一轮传播后知晓人数为，第二轮传播后知晓人数为， ∴可列方程 ， 解得，， ∵传播人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 答：每轮平均1人传播给6人． 5．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 【题型2 】 6．某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】月均增长率指每月产值在上月基础上增长，从6月到8月经过2次增长，据此推导8月产值表达式列方程． 【详解】解：∵6月份产值为千万元，月均增长率为． ∴7月份产值为千万元． ∴8月份产值为千万元． ∵8月份产值预计为千万元． ∴列方程得． 7．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住2024到2026年共经历2次增长的特点，用含x的式子表示2026年研发投入，建立等量关系． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为x， 2025年研发投入为亿元， 2026年研发投入为亿元， ∵ 2026年研发投入为50亿元， ∴． 8．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 9．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 【答案】 【分析】设每年市政府投资的增长率为，根据到2026年投资亿元人民币建设廉租房，列方程求解． 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为， ∵ 2024年投资亿元，每年增长率为， ∴ 2025年投资为亿元， ∴ 2026年投资为亿元， ∵ 预计2026年投资亿元， ∴ 列方程得． 10．为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 【答案】该吉祥物两次降价的平均百分率为． 【分析】找准两次降价后的售价与原价的等量关系，正确求解方程并结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该吉祥物两次降价的平均百分率为x． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为． 11．某超市2026年8月的营业额为200万元，10月的营业额为288万元．若8月到10月每月营业额的增长率相同． (1)求8月到10月营业额的月平均增长率； (2)若11月的营业额按（1）中的月平均增长率继续增长，求11月的营业额． 【答案】(1) (2)万元 【详解】（1）解：设8月到10月营业额的月平均增长率为， 根据题意得， ∴， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）， ∴月平均增长率为． （2）解：月的营业额为（万元）． 12．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 (2)该店下调后每辆汽车的售价为万元 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量和月份的销售量列一元二次方程求解即可； （2）设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆，根据平均每周的销售利润为万元列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设每辆汽车的售价降低万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， （万元） 答：该店下调后每辆汽车的售价为万元． 【题型3 】 13．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 14．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定拼合后矩形的长和宽是解题关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，由平移的性质，可将停车位拼合为一个矩形，该矩形的长为，宽为，根据题意得 ． 15．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 16．如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到，设，用含的代数式表示，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得，（舍去）， ． 17．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，要使装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】右边宽为2厘米 【分析】设右边宽为，根据右边宽与天头长的比为得到天头长为，则装裱后作品的长为，宽为，据此结合长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设右边宽为，则天头长为，根据题意，得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：右边宽为2厘米． 18．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； (1)若设，则_______（用含的代数式表示） (2)请求出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据矩形的性质则； （2）根据面积建立方程即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴． （2）解：∵，， ∴， 解得：，， 当时，不符合题意，舍去， ∴的长为． 19．如图，一块长、宽的矩形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为x的同样大小的正方形，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子．若盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长； 【答案】剪去的正方形的边长为 ． 【分析】设剪去的小正方形边长为，则折成的无盖长方体盒子的底面长为，宽为．根据底面积为列出一元二次方程，解方程后结合实际意义（底面边长大于0，即）检验并舍去不合题意的根，即得所求边长． 【详解】解：设剪去的小正方形边长为，则盒子的底面长为，宽为． 由底面积为，得 ． 解得，． 因为盒子的底面边长必须大于 0，即，解得，所以不合题意，应舍去． 所以． 答：剪去的正方形的边长为． 【题型4 】 20．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据利润售价进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低元，每周可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：当每件降低元时，每件销售利润为元，平均每周销售量为件． 根据题意得． 21．某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，以月销售利润为等量关系，分别表示出每件利润与月销售量即可列方程． 【详解】解：每件利润为元.销售单价比40元上涨元，月销售量减少件， 则月销售量为件， ∵月销售利润为10000元， ∴可列方程． 22．新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 23．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为______元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 24．某商店销售一种成本为每件40元的商品，据市场调查分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．当月销售利润为8000元时，在有利于顾客的情况下，销售单价应定为多少元． 【答案】 销售单价应定为60元. 【分析】根据月利润单件利润月销售量的等量关系列一元二次方程求解，结合有利于顾客的条件选取较低的销售单价. 【详解】解：设销售单价上涨了元，则单件利润为元，月销售量为件， 由题意得 ， 解得，， ∵要有利于顾客，需销售单价尽可能低， ∴， ∴销售单价为（元）. 答：销售单价应定为60元. 25．为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 【答案】(1)； (2)该款文创产品应该定价37元 【分析】（1）根据单件利润=现售价−成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解． 【详解】（1）解：每件利润为元， 每天销售量为件． （2）解：根据题意，得 整理，得 因式分解，得 要让利于游客，定价尽可能低， 取． （元） 答：该款文创产品应该定价37元． 26．“国补”是惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． (1)原售价为每台6000元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台3840元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ (2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是3000元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值． 【答案】(1)该款电视机每次降价的百分率为 (2)的值为 【详解】（1）解：设该款电视机每次降价的百分率是， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该款电视机每次降价的百分率为； （2）解：由题可得，售价为元，销售量为台， ， 解得， 答：m的值为． 【题型5 】 27．如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】根据动点的运动路径分两种情况讨论：在上运动和在上运动，分别表示出的底和高，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：由题意得，到达点所需时间为，到达点所需时间为， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴， 由题意得，点运动路程，则， 当时，在上，， ， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴， 当时，在上，此时到的距离为， ∴， 解得， 综上所述，或． 28．如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为． 【答案】或 【分析】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 如图，过点作于点，设交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∴， ∵， ∴，即点在矩形的上边所在直线上， 当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论： ①当未完全进入矩形时， 即此时点在点的左侧，，重叠部分面积， ∵ ∴左侧未进入部分为等腰直角三角形， 依题意，， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当穿出矩形时，即，此时点在点的右侧，超出部分长度为，重叠部分面积， ∵， ∴右侧穿出部分为等腰直角三角形， ∴同①得， 解得，， ∵， ∴， 综上所述，运动时间为或时，与矩形重叠部分的面积为． 29．如图所示，中，，，，点从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么______秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】 2 或 4 【分析】设运动时间为 秒，用含 的代数式表示 和 的长，根据三角形面积公式表示出 的面积，结合面积比列出方程求解，并注意检验时间 的取值范围． 【详解】解：设运动时间为 秒 ， 点的速度为 ，点的速度为 ， ， ， ， ， 当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，且， ， 点到达终点需，点到达终点需 ， ，， ， ， ， 线段将分成面积 的两部分 ， 或 ， 第一种情况： 当 时：， 整理得：， 解得：， 和均在范围内 或 符合题意 第二种情况：当时 整理得 该方程无实数根综上所述，或秒后，线段将 分成面积的两部分． 30．如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； (2)P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是； (3)经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形 【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，得出，确定运动时间为，然后结合梯形的面积公式即可求解； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作垂足为E，则，根据题意得出，然后利用勾股定理求解即可； （3）过点P作于M，于N，根据题意分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图形分别利用勾股定理及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， ∴， ∵点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动， ∴运动总时间为， 根据梯形的面积公式得， 解得， ∴P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ， ， 由勾股定理，得， 解得， ∴P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是； （3）解：过点P作于M，于N，连接， ∴， ∵点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， ∵， ∴； ②当时，在直角中， 由勾股定理得：， 整理，得， 解得；符合题意； ③当时，在直角中，由勾股定理得：， 解得(舍去) 综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 31．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据点速度为和点速度为即可求解； （2）由点到点停止，可确定时间范围为；矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、中用勾股定理表示、，根据列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点的速度为，运动时间为， ， ∵点的速度为， ， 又∵， ． （2）解：点运动到点时两点同时停止， ， 解得， 又， 的取值范围为； ∵四边形是矩形， ， 在中，， 将，，代入其中， 得， ， ， ， 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于． （3）解：连接，，如图： ∵四边形是矩形， ，，， ∵在中，，， ， ∵在中，，， ， ∵以为底边的三角形为等腰三角形， ， 则，即， 整理得， 解得（舍去）或； ∴符合条件的的值为． 【题型6 】 32．九（1）班全体同学在观看完2025年9月3日盛大的阅兵式后，内心激动不已．王老师抓住这个契机，组织九（1）班全体同学互相赠送勉励卡，以此激励大家努力学习、报效祖国．已知共赠送勉励卡1190张，问：九（1）班共有多少名学生．设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：每名学生需向除自己外的名学生赠送勉励卡，名学生共送出张， 根据题意可列方程． 33．2026年山东省齐鲁足球超级联赛（简称“鲁超”）常规赛期间采取单循环赛制（即每两支球队之间只进行一场比赛）．已知整个常规赛阶段共进行120场比赛，假设参加比赛的球队有支，则所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛1场，每场比赛涉及2支球队， 因此总比赛场数为． ∵总比赛场数为120， ∴． 34．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排场比赛，则本次比赛共有________个参赛棋手． 【答案】 【分析】设参赛棋手有x人，每两人赛一场属于单循环赛，总场次公式为，据此列出方程，整理后因式分解求解，舍去负数解即可． 【详解】解：设本次比赛共有个参赛棋手， 由题意得， 整理得， ， 或， 或（舍去）， 本次比赛共有个参赛棋手． 35．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛场，则参加小组赛的球队有________支． 【答案】 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴，即参加小组赛的球队有支． 36．绿茵争锋，“足”够精彩！闽超足球比赛正在激烈进行．为了认定我县中小学校为全国青少年校园足球特色学校，若我县学校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】 应邀请支球队参赛 【分析】根据单循环赛制下球队数量与总比赛场数的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍． 【详解】解：设应邀请支球队参赛， ∵赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场， ∴总比赛场数为， 根据题意得， 整理得， 解得，， ∵ 球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去． 答：应邀请支球队参赛． 37．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)有支球队参加比赛． 【分析】根据单循环赛制的定义推导得支球队总比赛场数为，然后把代入计算即可； 设有支球队参加比赛，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵单循环赛制为每两队之间都赛一场， ∴支球队中每队需与其余支球队各赛场，且每场比赛被重复计算次， ∴总比赛场数为， 当时，总场数为， 故答案为：； （2）解：设有支球队参加比赛， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴不符合题意，舍去， 答：有支球队参加比赛． 【题型7  】 38．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月历表数字排列规律，确定矩形框中最大数与最小数的差值，用含x的式子表示最小数，根据题意列方程即可． 【详解】解：由图可得，在个位置相邻的数中，最大数在右下角，最小数在左上角，左右相邻两数相差1，上下相邻两数相差7， 最小数与最大数相差， ∵最大数为x， 最小数为， ． 39．正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（    ）．（精确到，参考数据：） A．15 B．14 C．11 D．10 【答案】A 【分析】正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ， 设， 解得， 正方形边长为， 要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折， 正方形画框的内边长至少为． 40．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 【答案】 【分析】设雕像的上部高为，则下部高为，然后根据题意列出方程即可． 【详解】解：设雕像的上部高为，则下部高为， 由题意得：， 即． 41．小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 【答案】红桃 【分析】设抽出的纸牌点数为，花色代号为，可得，再进一步讨论即可. 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 整理得：， ∵为1，2，3，4，为正整数， 当时，，此时不是正整数； 当时，，此时不是正整数； 当时，， ∴（舍去）， ∴， ∴小红抽出的纸牌是红桃； 当时，，此时不是正整数． 综上小红抽出的纸牌是红桃． 42．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． (1)增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） (2)如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 【答案】(1)， (2)每平方米应种植株 【分析】（1）根据原有每平方米株数加增加株数列总株数，依据每增株单株减产千克，用原单株产量减去减产重量，列出对应代数式； （2）利用总面积乘每平方米株数再乘单株产量列总产量方程，求解后结合每平方米最多种株的限制舍去不合理解，算出每平方米种植株数； 【详解】（1）解：增加后每平方米株数：，单株产量：； （2）解：由题意得：， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， （株）． 答：每平方米应种植株． 43．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 【答案】(1)平均增长率为， (2)①；②分钟 【分析】（1）设平均增长率为，利用增长率模型建立一元二次方程，求解出，再求出的值； （2）①先计算出分钟的学习效率，再乘以学习时间即可； ②设作业时间为分钟，先用的代数式表示出学习效率，再建立方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为， 由题意可知，， 解得，（负值舍去）， ∴平均增长率为， ∴； （2）解：①， ， ∴学习时间为分钟的学习效能为； ②设作业时间为分钟， 由题意可知，学习效率为， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 答：小明同学当晚的作业时间是分钟． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 传播问题(一元二次方程的应用)】 1 【题型2 增长率问题(一元二次方程的应用)】 2 【题型3 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)】 3 【题型4 营销问题(一元二次方程的应用)】 6 【题型5 动态几何问题(一元二次方程的应用)】 7 【题型6 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 9 【题型7 其他问题(一元二次方程的应用) 】 10 【题型1 】 1．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 2．某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 4．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 5．有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【题型2 】 6．某公司算力芯片今年月份的产值为千万元，预计月份的产值将增至千万元．设该公司、两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．某国产芯片企业2024年研发投入30亿元，2026年研发投入达到50亿元，为计算这两年研发投入的平均年增长率，设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 9．2024年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2026年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为_______． 10．为迎接某学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为100元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为81元/个．求该吉祥物两次降价的平均百分率． 11．某超市2026年8月的营业额为200万元，10月的营业额为288万元．若8月到10月每月营业额的增长率相同． (1)求8月到10月营业额的月平均增长率； (2)若11月的营业额按（1）中的月平均增长率继续增长，求11月的营业额． 12．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆．求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【题型3 】 13．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 14．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 16．如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为_________． 17．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，要使装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 18．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成生态园的面积为； (1)若设，则_______（用含的代数式表示） (2)请求出的长． 19．如图，一块长、宽的矩形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为x的同样大小的正方形，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子．若盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长； 【题型4 】 20．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 21．某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 22．新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 23．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为______元． 24．某商店销售一种成本为每件40元的商品，据市场调查分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．当月销售利润为8000元时，在有利于顾客的情况下，销售单价应定为多少元． 25．为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 26．“国补”是惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． (1)原售价为每台6000元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台3840元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ (2)经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是3000元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值． 【题型5 】 27．如图，四边形中，，，动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；同时动点N从点C出发，以的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点M也随之停止运动，当的面积是时，则运动时间为（     ） A． B．或 C．或 D．或或 28．如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为． 29．如图所示，中，，，，点从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么______秒后，线段将分成面积的两部分． 30．如图，，，，为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动．当点P到达点B时，点Q也停止运动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)直接写出P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形． 31．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：________cm，________cm（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得以为底边的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【题型6 】 32．九（1）班全体同学在观看完2025年9月3日盛大的阅兵式后，内心激动不已．王老师抓住这个契机，组织九（1）班全体同学互相赠送勉励卡，以此激励大家努力学习、报效祖国．已知共赠送勉励卡1190张，问：九（1）班共有多少名学生．设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 33．2026年山东省齐鲁足球超级联赛（简称“鲁超”）常规赛期间采取单循环赛制（即每两支球队之间只进行一场比赛）．已知整个常规赛阶段共进行120场比赛，假设参加比赛的球队有支，则所列方程正确的是（） A． B． C． D． 34．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排场比赛，则本次比赛共有________个参赛棋手． 35．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛场，则参加小组赛的球队有______支． 36．绿茵争锋，“足”够精彩！闽超足球比赛正在激烈进行．为了认定我县中小学校为全国青少年校园足球特色学校，若我县学校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 37．学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． (1)如果有支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； (2)如果全校一共进行场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【题型7  】 38．如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 39．正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（    ）．（精确到，参考数据：） A．15 B．14 C．11 D．10 40．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是_______ 41．小明设计了一个纸牌魔术游戏，他准备了一副不含大、小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张纸牌，再让小红将这张纸牌的点数（、、、分别对应1，11，12，13，按数字取值）加上6，将上一步的结果乘这张纸牌的点数，再减去10．最后加上花色代号，其中花色黑桃、梅花、红桃、方块的代号分别是1、2、3、4，最后小红说出运算结果是9．由此，请你推断小红抽出的纸牌是___________． 42．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． (1)增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） (2)如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 43．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 2 / 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