28.2 中心对称 专项训练 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

中心对称5种高频考点专项训练 中心对称5种高频考点专项训练 考点目录 中心对称图形的识别 求关于原点对称的点的坐标 利用中心对称的性质求解 中心对称图形规律问题 中心对称作图问题 考点一 中心对称图形的识别 例1．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）下列是中国传统文化图案，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 例2．（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转能够和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、B、C中的图形绕中心旋转后均不能与原图形重合，不是中心对称图形；D中的图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形． 变式1．（26-27九年级上·天津·阶段检测）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； B项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； C项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； D项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形． 变式2．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形． 【详解】解：A、B、C图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以都不是中心对称图形，不符合题意； D图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意. 考点二 求关于原点对称的点的坐标 例1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 例2．（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为点关于原点对称的点的坐标为，所以将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵所求点与点关于原点对称， ∴所求点的坐标为． 例3．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 变式1．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 ． 变式2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 变式3．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】直线与双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∵一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为． 考点三 利用中心对称的性质求解 例1．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 例2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质可得，，接着根据可证得，进而得到，即可根据三角形的三边关系得到答案． 【详解】解：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故符合题意的为选项C． 例3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 例4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．绕点旋转得到，图形旋转后对应点关于对称中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，该选项正确； B：∵绕点旋转得到， ∴点和点关于点对称，该选项正确． C：由旋转性质可知，， ∴， 即，该选项正确． D：与是绕点旋转得到的， ∴是关于点成中心对称，而非点，该选项错误． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 变式3．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 变式4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】连接，设直线交于点，先推导出，平分，，得到是等边三角形，进而推导出，得到，同理可得，求出，得到，根据勾股定理，求出，在中，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：连接，设直线交于点，如图， ∵，分别为菱形和菱形的对称中心， ∴过点，，过点， 四边形，四边形是菱形，是的中点，， ，平分， 点在的延长线上，， ， ． 四边形是菱形， ，， ∴， 是等边三角形 是菱形的对称中心， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 四边形是菱形，， 平分，， ， ∴， ∴， ， 在中，， ． 考点四 中心对称图形规律问题 例1．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【详解】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 例2．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 例3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 考点五 中心对称作图问题 例1．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点旋转，画出旋转后的； (2)平移，若点B的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若和关于点M中心对称，请直接写出对称中心M的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)对称中心M的坐标为． 【分析】（1）先根据以点为旋转中心确定对应点，然后顺次连接即可； （2）根据以点B的对应点的坐标确定平移方式，然后确定对应点，最后顺次连接即可； （3）依据中心对称的性质，结合平移和旋转后对应点的坐标，即可得到对称中心M的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）（2）可知：， ∵和关于点M中心对称， ∴根据中心对称的性质可得，即． 例2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； (2)若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）先确定平移方式，再利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可得到，从而得出点的坐标； （2）利用中心对称变换的性质即可得出的坐标． 【详解】（1）解：点平移后的对应点 ， 平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度；图略； 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到； （2）解：图略； 和关于原点成中心对称，， ． 例3．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： ， ， ， (2) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出坐标并画出图形； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点． (1)请画出绕点O旋转得到的； (2)请画出关于点对称的图形． 【答案】(1)如答图①，即为所求． (2)如答图②，即为所求． 【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可． （2）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（225-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 【答案】(1)如图，即为所求， 的坐标为； (2)即为所求， 【分析】（1）根据关于原点对称的图形的性质作图即可，再写出点的坐标 （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知的三个顶点的坐标为，，． (1)作出关于原点O的中心对称图形，并写出点A的对称点的坐标为 ； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标为 ； 【答案】(1)如图所示，即为所求： ； (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，再作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式画出旋转后的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：画图见答案，则点的坐标为； （2）解：如图所示，即为旋转后的图形，则点的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $中心对称5种高频考点专项训练 中心对称5种高频考点专项训练 考点目录 中心对称图形的识别 求关于原点对称的点的坐标 利用中心对称的性质求解 中心对称图形规律问题 中心对称作图问题 考点一 中心对称图形的识别 例1．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）下列是中国传统文化图案，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 变式1．（26-27九年级上·天津·阶段检测）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）2026年是中国工农红军长征胜利90周年，下列四幅图案是同学们创作的纪念长征的主题徽标，其中图案部分为中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 考点二 求关于原点对称的点的坐标 例1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 变式1．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级上·云南德宏·期末）下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______． 考点三 利用中心对称的性质求解 例1．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，则的长可能是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 例3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 例4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 变式1．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 变式2．（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 变式3．（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 变式4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，．菱形的顶点是的中点，顶点在的延长线上．，分别为菱形和菱形的对称中心，过，的直线分别交，于点，，则线段的长为______． 考点四 中心对称图形规律问题 例1．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 例3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 变式1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 考点五 中心对称作图问题 例1．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点旋转，画出旋转后的； (2)平移，若点B的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若和关于点M中心对称，请直接写出对称中心M的坐标． 例2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； (2)若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 例3．（25-26九年级上·海南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标； (2)求的面积． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点． (1)请画出绕点O旋转得到的； (2)请画出关于点对称的图形． 变式2．（225-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)与关于原点对称，画出，并写出的坐标； (2)是绕点顺时针旋转得到的，画出． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知的三个顶点的坐标为，，． (1)作出关于原点O的中心对称图形，并写出点A的对称点的坐标为 ； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，直接写出点A的对应点的坐标为 ； 2 学科网（北京）股份有限公司 $