福建南平市2026-2027学年人教版数学九年级上册期中质量监测 试 题(模拟卷一)

南平市2026—2027学年九年级（上）期中质量监测 数 学 试 题（模拟卷一） （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆 [答案] D [详解] 等边三角形、正五边形只是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形，圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故选 D． 2、一元二次方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， [答案] A [详解] 移项得 ，两边加上 得 ，即 ，所以 ，即 ，．故选 A． 3、二次函数 的图象的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 [答案] C [详解] 由顶点式 知对称轴为直线 ，这里 ，所以对称轴是直线 ．故选 C． 4、如图，四边形 是正方形，点 在正方形内部，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．若 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． [答案] B [详解] 由旋转的性质得 ，，所以 是等腰直角三角形，．故选 B． 5、已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． [答案] D [详解] 因为 ，所以图象位于第一、三象限，在每一象限内 随 的增大而减小．点 、 在第三象限，且 ，所以 ；点 在第一象限，所以 ．故 ．故选 D． 6、某工程队承接一项修路任务，若每天修路 ，则需要 天完成，且 ．下列说法正确的是（　　） A． 是 的正比例函数 B． 是 的反比例函数，图象位于第一、三象限 C．当每天修路 时，需要 天完成 D． 随 的增大而增大 [答案] C [详解] 由 得 ， 是 的反比例函数；因为 ，图象只位于第一象限，B 错；当 时 ，C 对； 时 随 的增大而减小，D 错．故选 C． 7、某品牌运动鞋原价 元，经过连续两次降价后售价为 元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（　　） A． B． C． D． [答案] B [详解] 设每次降价的百分率为 ，由题意得 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 ．故选 B． 8、如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、．若矩形 的面积为 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 [答案] A [详解] 设 ，则 ，矩形 的面积 ，即 ．又 ，，所以 ．故选 A． 9、在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转 得到点 ，再作点 关于 轴的对称点 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． [答案] A [详解] 点 绕原点逆时针旋转 得 ，所以 ；点关于 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数，所以 ．故选 A． 10、已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，点 ，， 在该函数图象上，则（　　） A． B． C． D． [答案] C [详解] 开口向上时，点到对称轴的距离越小，函数值越小．、、 到直线 的距离分别为 、、，所以 ．故选 C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11、方程 的解是 ________． [答案] ， [详解] 两边开平方得 ，即 或 ，解得 ，． 12、点 关于原点对称的点的坐标是 ________． [答案] [详解] 关于原点对称的两点，横、纵坐标都互为相反数，所以所求坐标为 ． 13、抛物线 的顶点坐标是 ________． [答案] [详解] ，所以顶点坐标为 ． 14、如图，将 绕点 顺时针旋转角 得到 ，点 的对应点 恰好落在边 上．若 ，则 ________． [答案] [详解] 由旋转得 ，所以 是等腰三角形，，于是 ． 15、如图，在矩形 中，，，将矩形 绕点 顺时针旋转 得到矩形 （点 、、 分别是点 、、 的对应点），则 的长为 ________． [答案] [详解] 由旋转的性质得 ，． 在 中，． 16、若抛物线 与 轴没有公共点，则 的取值范围是 ________． [答案] [详解] 令 ，由 得 ． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 17、解下列方程： （1）；（4分） （2）．（4分） [答案] （1），；（2）， [详解] （1）移项得 ，两边加上 得 ，所以 ，即 ，． （2）移项得 ，提取公因式得 ，所以 或 ，即 ，． 18、先化简，再求值：，其中 是方程 的正根． [答案] [详解] 原式 ． 解方程 得 ，因为 是正根且 ，所以 ． 当 时，原式 ． 四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19、如图，四边形 是边长为 的正方形，点 在边 上，且 ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ． （1）求证：点 、、 在同一条直线上；（4分） （2）求线段 的长．（6分） [答案] （1）见解析；（2） [详解] （1）因为四边形 是正方形，所以 ． 由旋转的性质得 ，所以 ． 所以 ，即点 、、 在同一条直线上． （2）由旋转得 ，． 在 中，，所以 ． 在 中，． 20、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点都在格点上，点 、、 的坐标分别为 、、． （1）画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ；（4分） （2）直接写出点 、 的坐标，并求 的面积．（6分） [答案] （1）如图；（2），，面积为 [详解] （1）由 知 且 轴， 的横、纵方向差分别为 、．逆时针旋转 后， 与 垂直且 ， 与 垂直且 ，据此描点连线即得 ． （2） 相对 的坐标为 ，旋转后为 ，所以 ； 相对 的坐标为 ，旋转后为 ，所以 ． 因为 平行于 轴，，点 到 的距离为 ，所以 ． 21、某商场销售一款书包，进价为每件 元．当售价为每件 元时，每月可售出 件．市场调查表明：售价每上涨 元，每月销量就减少 件．设售价为每件 元（，且 为整数）． （1）若该商场每月销售这款书包的利润为 元，求售价 ；（5分） （2）售价定为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？（5分） [答案] （1） 元或 元；（2）售价 元，最大利润 元 [详解] （1）设售价上涨 元，则每件利润为 元，每月销量为 件． 依题意得 ，整理得 ，解得 ，，所以 或 ． （2）设每月利润为 元，则 ． 因为 ，所以当 ，即售价为 元时， 取最大值 元． 22、如图，某拱桥的桥洞呈抛物线形．当水面宽 时，桥洞顶部 到水面的距离为 ．以水面 所在直线为 轴、 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式；（4分） （2）当水位下降 时，水面宽为多少米？（3分） （3）一艘宽 、高出水面部分为 的游船能否从桥下通过？请说明理由．（3分） [答案] （1）；（2）；（3）不能通过 [详解] （1）由题意得抛物线顶点为 ，且经过点 、．设 ，把 代入得 ，，所以 ． （2）水位下降 时，水面所在直线为 ．令 ，得 ，，所以水面宽为 ． （3）不能通过．理由：船宽 时，船的两侧对应 ，此时桥洞高 ，船顶会与桥洞相碰，故不能通过． 23、如图，四边形 与四边形 都是正方形，点 是它们的公共顶点，连接 、． （1）求证：；（4分） （2）求证：；（3分） （3）若 ，，求 的最大值．（3分） [答案] （1）见解析；（2）见解析；（3） [详解] （1）因为四边形 、 都是正方形，所以 ，，． 所以 ，，即 ． 所以 ，故 ． （2）设 与 交于点 ， 与 交于点 ．由（1）得 ． 在 中，． 又 ，在 中，，所以 ． （3）在 中，由三角形三边关系得 ．因为 ，，所以 ． 当 、、 三点共线且点 在线段 上时取等号，故 的最大值为 ． 24、如图，抛物线 与 轴交于点 、，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式及点 的坐标；（3分） （2）点 是第四象限内抛物线上一动点，若 ，求点 的坐标；（4分） （3）点 是抛物线对称轴上一点，求 的最小值．（3分） [答案] （1），；（2） 或 ；（3） [详解] （1）把 、 代入得 ，解得 ，，所以 ．令 得 ，所以 ． （2）设 ，其中 ．直线 的解析式为 ，则点 到直线 的铅垂距离为 ． 所以 ，即 ，解得 ，．故 或 ． （3）抛物线对称轴为直线 ．因为 、 关于直线 对称，所以 ，． 当 为直线 与对称轴的交点时取等号，此时 ， 的最小值为 ． 25、【教材习题呈现】人教版九年级上册第 23 章复习题中有这样一道题：如图 1， 是等腰直角三角形，， 是边 上一点，把 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后的三角形． （1）【习题解决】在图 1 中画出旋转后的 ，并证明 ；（3分） （2）【习题延伸】连接 ，判断 的形状，并说明理由；（3分） （3）【习题拓展】若 ，，求 的长．（4分） [答案] （1）见解析；（2） 是等腰直角三角形；（3） [详解] （1）作图：过点 作 ，且使 （ 在 上方），连接 ， 即为所求． 证明：由旋转得 ，．因为 ，所以 ． 所以 （SAS）． （2） 是等腰直角三角形．理由：由旋转的性质得 ，，所以 是等腰直角三角形． （3）因为 是等腰直角三角形，，所以 ． 取 的中点 ，连接 ，则 ，，所以 ． 在 中，，所以 ． 由（2）得 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2026—2027学年九年级（上）期中质量监测 数 学 试 题（模拟卷一） （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆 2、一元二次方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 3、二次函数 的图象的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4、如图，四边形 是正方形，点 在正方形内部，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．若 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． 5、已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6、某工程队承接一项修路任务，若每天修路 ，则需要 天完成，且 ．下列说法正确的是（　　） A． 是 的正比例函数 B． 是 的反比例函数，图象位于第一、三象限 C．当每天修路 时，需要 天完成 D． 随 的增大而增大 7、某品牌运动鞋原价 元，经过连续两次降价后售价为 元．若两次降价的百分率相同，则这个百分率是（　　） A． B． C． D． 8、如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、．若矩形 的面积为 ，则 的面积为（　　） A． B． C． D．不能确定 9、在平面直角坐标系中，将点 绕原点 逆时针旋转 得到点 ，再作点 关于 轴的对称点 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10、已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，点 ，， 在该函数图象上，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11、方程 的解是 ________． 12、点 关于原点对称的点的坐标是 ________． 13、抛物线 的顶点坐标是 ________． 14、如图，将 绕点 顺时针旋转角 得到 ，点 的对应点 恰好落在边 上．若 ，则 ________． 15、如图，在矩形 中，，，将矩形 绕点 顺时针旋转 得到矩形 （点 、、 分别是点 、、 的对应点），则 的长为 ________． 16、若抛物线 与 轴没有公共点，则 的取值范围是 ________． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 17、解下列方程： （1）；（4分） （2）．（4分） 18、先化简，再求值：，其中 是方程 的正根． 四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19、如图，四边形 是边长为 的正方形，点 在边 上，且 ．将 绕点 顺时针旋转 得到 ． （1）求证：点 、、 在同一条直线上；（4分） （2）求线段 的长．（6分） 20、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点都在格点上，点 、、 的坐标分别为 、、． （1）画出 绕点 逆时针旋转 后得到的 ；（4分） （2）直接写出点 、 的坐标，并求 的面积．（6分） 21、某商场销售一款书包，进价为每件 元．当售价为每件 元时，每月可售出 件．市场调查表明：售价每上涨 元，每月销量就减少 件．设售价为每件 元（，且 为整数）． （1）若该商场每月销售这款书包的利润为 元，求售价 ；（5分） （2）售价定为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少元？（5分） 22、如图，某拱桥的桥洞呈抛物线形．当水面宽 时，桥洞顶部 到水面的距离为 ．以水面 所在直线为 轴、 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式；（4分） （2）当水位下降 时，水面宽为多少米？（3分） （3）一艘宽 、高出水面部分为 的游船能否从桥下通过？请说明理由．（3分） 23、如图，四边形 与四边形 都是正方形，点 是它们的公共顶点，连接 、． （1）求证：；（4分） （2）求证：；（3分） （3）若 ，，求 的最大值．（3分） 24、如图，抛物线 与 轴交于点 、，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式及点 的坐标；（3分） （2）点 是第四象限内抛物线上一动点，若 ，求点 的坐标；（4分） （3）点 是抛物线对称轴上一点，求 的最小值．（3分） 25、【教材习题呈现】人教版九年级上册第 23 章复习题中有这样一道题：如图 1， 是等腰直角三角形，， 是边 上一点，把 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后的三角形． （1）【习题解决】在图 1 中画出旋转后的 ，并证明 ；（3分） （2）【习题延伸】连接 ，判断 的形状，并说明理由；（3分） （3）【习题拓展】若 ，，求 的长．（4分） 学科网（北京）股份有限公司 $