17章 因式分解 提优卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测AB卷（人教版·新教材）

单元测AB卷 第17章因式分解提优卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1、将多项式x2一4y2分解因式，结果正确的是（) A.(x-2y)2 B.(x+4y)(x-4y) C.(x-4y)(x-4y) D.(x+2y)(x-2y) 答案：D 解析：x2-4y2=x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y). 2、下面是小明做的一道因式分解的题：-6a2b-9ab2+3ab=-3ab(2a+■)，其中有一部 分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是() A.3b-1 B.a-3b C.b2+1D.3b2-2 答案：A 解析：-6a2b-9ab2+3ab=-3ab(2a+3b-1).故选A. 3、多项式x2-m有一个因式是x+3,则m的值是（) A.3 B.-3C.9D.-9 答案：C 解析：多项式x2-m有一个因式是x+3,当x=-3时，x2-m=0,(-3)2-m=0, ∴m=9. 4、下列各组中的两个多项式，没有公因式的是() A.x2-y2与x2+2xy+y2B.ax-bx与by-ay C.x(x-y)3与yy-x)2D.a+b与a2-2ab+b2 答案：D 解析：A.x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2xy+y2=(x+y)2,两个多项式有公因式x+y, 不符合题意；B.ax-bx=x(a-b),by-ay=-y(a-b),∴两个多项式有公因式a-b,不符 合题意；Cyy-x)2=y(x-y),多项式x(x-y)3与yy-x)有公因式(x-y),不符合题 意；D.a2-2ab+b2=(a-b)2,a+b与a2-2ab+b2没有公因式，符合题意.故选D 5、若k为任意整数，则(k+1)2-(k-1)2的值总能() A.被4整除B.被5整除C.被6整除D.被7整除 答案：A 解析：(k+1)2-(k-1)2=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=4k,k为任意整数，“4k一定能 单元测AB卷 被4整除，(k+1)2-(k-1)2的值总能被4整除.故选A. 6、已知实数a,b满足a2=3a+b,b2=a+3b,且a≠b,则代数式Va2+b2+1的值是（) A.2B.3C.4D.5 答案：B 解析：a2=3a+b①，b2=a+3b②， ①-②得a2-b2=(3a+b)-(a+3b)=2a-2b, (a+b)(a-b)=2(a-b),a≠b,a+b=2, ①+②得a2+b2=3a+b+a+3b=4a+4b=4(a+b)=4×2=8, Wa2+b2+1=V8+1=V9=3.故选B. 7、已知二次三项式x2+bx+c可分解为(x+m)(x+n),则下列说法错误的是（) A.若b>0,c>0,则m,n同取正号 B.若b<0,c>0,则m,n同取负号 C.若b>0,c<0,则m,n异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值 D.若b<0,c<0,则m,n异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值 答案：C 解析：x2+bx+c=(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn,∴b=m+n,c=mn,A.c>0, m,n同号，又：b>0,m,n同取正号，故A说法正确；B.c>0,m,n同号，又b<0, m,n同取负号，故B说法正确；Cc<0,m,n异号，又b>0,正数的绝对值大于负 数的绝对值，故C说法错误；Dc<0,m,n异号，又：b<0,负数的绝对值大于正数的 绝对值，故D说法正确.故选C. 8、我们定义：一个整式能表示成a+b2(a,b是整式)的形式，则称这个整式为“完全式”.例 如：M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整式)，M为“完全式”.若S=x2+4y2-8x+ 12y+k(x,y是整式，k为常数)为“完全式”，则k的值为（) A.23B.24C.25D.26 答案：C 解析：S=x2-8x+16+4y2+12y+9+k-25=(x-4)2+(2y+3)2+k-25,S=x2+ 4y2-8x+12y+k(x,y是整式，k为常数)为“完全式”，k-25=0,k=25.故选C. 单元测AB卷 9、密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码， 将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y一9y,将其分解因式为y(x一 3)(x+3),若取x=22,y=26,则x-3=19,x+3=25,其中26,19,25分别为因式 码，将这三个因式码按照从大到小的顺序排列就形成密码262519.已知多项式a4-16b4,用 上述方法生成密码，若取a=6,b=1,则该多项式生成的密码为（) A.4184B.4084 C.4284D.4384 答案：B 解析：a4-16b4=(a2+4b2)(a2-4b2)=(a2+4b2)(a+2b)(a-2b),ra=6,b=1,∴a2+ 4b2=62+4×12=40,a+2b=6+2=8,a-2b=6-2=4,40,8,4分别为因式码， 将这三个因式码按照从大到小的顺序排列就形成密码4084.故选B. 10、已知M=a2+b2,N=2a-2b+m,P=ab+n(m,n为常数)，下列说法： ①当m>2时，无论a,b取何值，都有M+N>0; ②若m+2n=2,且2M+N+2P=0,则a=1,b=-1; ③若m=2n+2,则不存在整数a,b,使得M+N-2P=1. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2D.3 答案：B 解析：①M+N=a2+b2+2a-2b+m=a2+2a+1+b2-2b+1+m-2=(a+1)2+ (b-1)2+m-2,:(a+1)2≥0，(b-1)2≥0，当m>2时，无论a,b取何值，都有M+N>0, 故①说法正确； ②2M+N+2P=0,2a2+2b2+2a-2b+m+2ab+2n=0,m+2n=2,…2a2+ 2b2+2a-2b+2ab+2=0, (a2+2ab+b2)+(a2+2a+1)+(b2-2b+1)=0, (a+b)2+(a+1)2+(b-1)2=0, ∴a+b=0,a+1=0,b-1=0, ∴a=-1,b=1,故②说法错误； ③若M+N-2P=1,则a2+b2+2a-2b+m-2ab-2n=1,m=2n+2, a2+b2+2a-2b-2ab+2=1, 单元测AB卷 (a-b)2+2(a-b)+1=0, (a-b+1)2=0, a-b+1=0,即a-b=-1, 当a=0,b=1时，满足a-b=-1, 存在整数a,b,使得M+N-2P=1,故③说法错误.故选B. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、多项式4x3y2-10y3z2+6x2yz2各项的公因式是 答案：2y 解析：各项系数4，-10,6的最大公因数为2，相同字母y的最低指数是1，故公因式为2y. 12、分解因式：2m3-12m2+18m=一· 答案：2mm-3)2 解析：原式=2m(m2-6m+9)=2m(m-3)2 x-y=1, 13、若实数x,y满足方程组 1则3x2-3y2的值为 x+y=3' 答案：1 x-y=1, 解析：【解法-】3x2-3y2=3(x2-y)=3(x+y)x-y), y132-3y2=3x3× “x+y=3 1=1. 14、若a2+4a+1b-1|+lc-2027川+4=0，则a+b+c的值为 答案：2026 解析：a2+4a+1b-1+lc-2027川+4=0， (a+2)2+Ib-1+1c-2027=0, ∴a=-2,b=1,c=2027, ∴a+b+c=-2+1+2027=2026. 15、计算：1002-992+982-972+…+22-12= 答案：5050 单元测AB卷 解析：原式=(1002-992)+(982-972+…+(22-12) =(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+…+(2+1)(2-1) =100+99+98+97+…+2+1=5050. 16、甲、乙二人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+8)(x-6), 乙看错了b的值，分解的结果为(x-6)(x-2),那么x2+αx+b分解因式正确的结果为 答案：(x+4)(x-12) 解析：(x+8)(x-6)=x2+2x-48,(x-6)(x-2)=x2-8x+12, b=-48,a=-8, x2+ax+b=x2-8x-48=x2-8x+16-48-16=(x-4)2-64=(x-4+8)(x 4-8)=(x+4)(x-12).故答案为(x+4)(x-12). 17、定义：对于任意实数x,都有f(x)=ax2+bx,若f(1)=5,f(2)=12,则将f(x2-4x) 因式分解的结果为 答案：x(x-4)x-2)2 解析：f(1)=5,f(2)=12, 26512解得低二4f)=2+, a+b=5, f(x2-4x)=(x2-4x)2+4(x2-4x)=(x2-4x)x2-4x+4)=x(x-4)(x-2)2. 18、对任意一个正整数m,如果m=k(k+1),其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最 佳拆分点.例如：6=2×(2+1)，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点.把“矩数"p与“矩数”q 的差记为D(,q),其中p>q,D(p,q)>0.若“矩数"p的最佳拆分点为t,“矩数”q的最佳拆分 点为s,且Dp,q)=8,则的值为 答案： 解析：由题意得p=t(t+1),q=s(s+1), ∴D(p,q)=p-q=t(t+1)-s(s+1)=8, t2+t-s2-s=8, (t2-s2)+(t-S)=8, 单元测AB卷 “(t-s)(t+s+1)=8, t和s都是正整数， t-s≥1，t+s+1≥4， t-s=1,t+s+1=8或t-s=2,t+s+1=4, 当-s=1,t+5+1=8时，解得t=4,9=3,此时=7 当t-s=2,t+s+1=4时，解得t=2.5,s=0.5,不满足正整数的条件，故不合题意. .3 综上所述，的值为年 S 三、解答题（本大题共6小题，共66分) 19、（12分)因式分解， (1)axy2-ax2y. (2)-2x2y+16xy-32y. (3)a2(x-1)+b2(1-x) (4)x2-2xy+y2-1. 答案：(1)axyy-x);(2)-2y(x-4)2;(3)(x-1)(a+b)(a-b);(4)(x-y+1)(x-y-1). 解析：(1)axy2-ax2y=axyy-x) (2)原式=-2y(x2-8x+16)=-2yx-4)2. (3)原式=(x-1)(a2-b2)=(x-1)(a+b)(a-b). (4)原式=(x-y)2-1=x-y+1)(x-y-1). 20、(8分)有四个式子：4a,(x+y)2,x+y,9b2,请你从中选出两个，使两者之差能按 照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果. (1)能利用提公因式法因式分解. (2)能利用公式法因式分解， 答案：(1)(x+y)2-(x+y)=(x+y)(x+y-1)(答案不唯-)；(2)4a2-9b2=(2a+ 3b)(2a-3b)(答案不唯-). 解析：（1)选取(x+y)与x+y, (x+y)2-(x+y)=(x+y)(x+y-1)或x+y-(x+y)2=(x+y)(1-x-y): （2)答案不唯一，如：选取4a2与9b2, 4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b). 单元测AB卷 21、（10分)阅读下面的例题 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n), 2-4+m=2+0a+3动业+3孤，63m年解得-32礼 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答下面的问题： (1)若x2+bx+c=(x+2)(x-3),则bc= (2)已知二次三项式2x2-5x+p有一个因式是x-1,求另一个因式以及p的值. 答案：（1)6；(2)另一个因式为2x-3,p=3. 解析：(1)bc=6. （2)设另一个因式为2x+b,则2x2-5x+p=(x-1)(2x+b)=2x2+bx-2x-b=2x2+ (b-2)x-b, 。25探得8= 另一个因式是2x-3,p的值为3. 22、（10分)认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成问题： 算式①：32-12=(3+1)×(3-1)=8=8×1， 算式②：52-32=(5+3)×(5-3)=16=8×2， 算式③：72-52=(7+5)×(7-5)=24=8×3， 算式④：92-72=(9+7)×(9-7)=32=8×4， (1)请写出： 算式⑤： 算式⑥： (2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连 续奇数分别为2m+1和2m+3（n为整数)，请证明这个规律是成立的， (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否成立？若成立，请说明理由； 若不成立，请举出反例. 单元测AB卷 答案：(1)算式⑤：112-92=(11+9)×(11-9)=40=8×5；算式⑥：132-112=(13+ 11)×(13-11)=48=8×6;(2)见解析；(3)不成立，反例见解析. 解析：(1)算式⑤：112-92=(11+9)×(11-9)=40=8×5， 算式⑥：132-112=(13+11)×(13-11)=48=8×6. (2)证明：由题意可得(2n+3)2-(2n+1)2=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)=(4n+ 4)×2=8(n+1),n为整数，8(n+1)能被8整除，两个连续奇数的平方差能被8整除成 立 (3)不成立. 详解：设两个连续的偶数分别为2n和2n+2(n为整数)，(2m+2)2-(2n)2=(2n+2+ 2n)(2m+2-2m)=(4n+2)×2=8n+4,n为整数，.8n+4不能被8整除，两个连续偶 数的平方差不能被8整除.反例：82-62=28,28不能被8整除. 23、（12分)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下： 甲：a2-2ab-4+b2 =(a2-2ab+b2)-4(分成两组) =(a-b)2-22（直接运用公式》 =(a-b+2)(a-b-2)(用平方差公式)： 乙：a2-ab-a+b =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1). 请在他们的解法的启发下解答下列各题. (1)分解因式：9x2-6xy+y2-16. (2)若a,b,c为△ABC的三边长， ①若满足ac-bc+a2-2ab+b2=0,请判断△ABC的形状，并说明理由. ②若满足a2+b2=12a+8b-52,求c的取值范围. 答案：(1)(3x-y+4)(3x-y-4);(2)①△ABC为等腰三角形，理由见解析；②2<c<10. 解析：(1)原式=(9x2-6xy+y2-16=(3x-y)2-42=(3x-y+4)(3x-y-4). (2)①△ABC为等腰三角形.理由如下： 单元测AB卷 .ac-bc+a2-2ab +b2=0, (a-b)c+(a-b)2=0, 即(a-b)(a-b+c)=0, a,b,c为△ABC的三边长， ∴a-b+c>0, ∴a-b=0, ∴a=b, “△ABC为等腰三角形， ②a2+b2=12a+8b-52, ∴a2-12a+36+b2-8b+16=0, 即(a-6)2+(b-4)2=0, a-6=0,b-4=0, 解得a=6,b=4. a,b,c为△ABC的三边长， ∴a-b<c<a+b,即6-4<c<6+4, “2<c<10,即c的取值范围为2<c<10. 24、（14分)把代数式通过配凑得到完全平方式，再运用完全平方式非负这一性质增加问题的 条件，这种解题方法叫作配方法. 例1.因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4) 例2.若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. :(a-b)2≥0，(b-1)2≥0，∴当a=b=1时，M有最小值，为1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若x2-kx+16是一个完全平方式，则k=一. (2)分解因式：x2-12x+35. (3)若y=-x2+2x+131,求y的最大值. (4)当m,n为何值时，代数式m2-2mn-2m+2n2-4n+2026有最小值？并求出这个最 单元测AB卷 小值. 答案：（1)±8；（2)(x-5)(x-7)；(3)132;(4)m=4,n=3,最小值为2016. 解析：(1)±8. (2)x2-12x+35=x2-12x+36-1=(x-6)2-1=(x-6+1)(x-6-1)=(x- 5)x-7). (3)y=-x2+2x+131=-(x2-2x+1-1)+131=-(x-1)2+132.(x-1)2≥0， -(x-1)2≤0，当x=1时，y取得最大值，为132. (4)m2-2mn-2m+2n2-4n+2026 =m2-2m(n+1)+(m2+2n+1)+(n2-6m+9)+2016 =m2-2m(n+1)+(m+1)2+(m-3)2+2016 =(m-n-1)2+(n-3)2+2016, 当m-n-1=0,n-3=0时，代数式有最小值， 解得m=4,n=3,最小值为2016.单元测AB卷 第17章因式分解提优卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1、将多项式x2-4y2分解因式，结果正确的是（) A.(x-2y)2B.(x+4y)(x-4y) C.(x-4y)(x-4y) D.(x+2y)(x-2y) 2、下面是小明做的一道因式分解的题：-6a2b-9ab2+3ab=-3ab(2a+■)，其中有一部 分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是() A.3b-1B.a-3bC.b2+1D.3b2-2 3、多项式x2-m有一个因式是x+3,则m的值是（) A.3B.-3C.9D.-9 4、下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（) A.x2-y2与x2+2xy+y2 B.ax-bx与by-ay C.x(x-y)3与yy-x)2 D.a+b与a2-2ab+b2 5、若k为任意整数，则(k+1)2-(k-1)2的值总能() A.被4整除B.被5整除C.被6整除D.被7整除 6、已知实数a,b满足a2=3a+b,b2=a+3b,且a≠b,则代数式√a2+b2+1的值是() A.2B.3C.4D.5 7、已知二次三项式x2+bx+c可分解为(x+m)(x+n),则下列说法错误的是（) A.若b>0,c>0,则m,n同取正号 B.若b<0,c>0,则m,n同取负号 C.若b>0,c<0,则m,n异号，且正数的绝对值小于负数的绝对值 D.若b<0,c<0,则m,n异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值 单元测AB卷 8、我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a,b是整式)的形式，则称这个整式为“完全式”.例 如：M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整式)，M为“完全式”.若S=x2+4y2-8x+ 12y+k（x,y是整式，k为常数)为“完全式”，则k的值为() A.23B.24C.25D.26 9、密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码， 将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码.例如多项式x2y一9y,将其分解因式为y(x一 3)(x+3),若取x=22,y=26,则x-3=19,x+3=25,其中26,19,25分别为因式 码，将这三个因式码按照从大到小的顺序排列就形成密码262519.已知多项式a4-16b4,用 上述方法生成密码，若取a=6,b=1,则该多项式生成的密码为（) A.4184B.4084C.4284D.4384 10、已知M=a2+b2,N=2a-2b+m,P=ab+n(m,n为常数)，下列说法： ①当m>2时，无论a,b取何值，都有M+N>0; ②若m+2n=2,且2M+N+2P=0,则a=1,b=-1; ③若m=2n+2,则不存在整数a,b,使得M+N-2P=1. 其中正确的个数是（) A.0B.1 C.2D.3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11、多项式4x3y2-10yz2+6x2yz2各项的公因式是 12、分解因式：2m3-12m2+18m= -y=1, 13、若实数x,y满足方程组 1则3x2-3y的值为 x+y=3' 14、若a2+4a+|b-11+lc-2027+4=0,则a+b+c的值为 单元测AB卷 15、计算：1002-992+982-972+…+22-12= 16、甲、乙二人完成因式分解x2+αx+b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+8)(x-6), 乙看错了b的值，分解的结果为(x-6)(x-2),那么x2+ax+b分解因式正确的结果为一 17、定义：对于任意实数x,都有f(x)=ax2+bx,若f(1)=5,f(2)=12,则将f(x2-4x) 因式分解的结果为一。 18、对任意一个正整数m,如果m=k(k+1),其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最 佳拆分点.例如：6=2×(2+1)，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点.把“矩数"”p与“矩数”q 的差记为D(p,q),其中p>q,D(p,q)>0.若“矩数"p的最佳拆分点为t,“矩数”q的最佳拆分 点为s,且D(p,q)=8,则的值为 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19、（12分)因式分解. (1)axy2-ax2y. (2)-2x2y+16xy-32y. (3)a2(x-1)+b2(1-x). (4)x2-2xy+y2-1. 20、(8分)有四个式子：4a2,(x+y)2,x+y,9b2,请你从中选出两个，使两者之差能按 照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果 (1)能利用提公因式法因式分解. (2)能利用公式法因式分解. 单元测AB卷 21、（10分)阅读下面的例题 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n), 2-4红+m=2+0a+3动证+3孤，m4解得-子2 另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照以上方法解答下面的问题： (1)若x2+bx+c=(x+2)(x-3),则bc= (2)已知二次三项式2x2-5x+p有一个因式是x-1,求另一个因式以及p的值. 22、（10分)认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成问题： 算式①：32-12=(3+1)×(3-1)=8=8×1， 算式②：52-32=(5+3)×(5-3)=16=8×2， 算式③：72-52=(7+5)×(7-5)=24=8×3， 算式④：92-72=(9+7)×(9-7)=32=8×4，… (1)请写出： 算式⑤： 算式⑥： (2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连 续奇数分别为2+1和2n+3（n为整数)，请证明这个规律是成立的. (3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否成立？若成立，请说明理由； 若不成立，请举出反例. 单元测AB卷 23、（12分)“探究性学习"小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下： 甲：a2-2ab-4+b2 乙：a2-ab-a+b =(a2-2ab+b2)-4（分成两组) =(a2-ab)-(a-b)(分成两组) =(a-b)2-22（直接运用公式) =a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b+2)(a-b-2)(用平方差公式). =(a-b)(a-1). 请在他们的解法的启发下解答下列各题， (1)分解因式：9x2-6xy+y2-16. (2)若a,b,c为△ABC的三边长. ①若满足ac-bc+a2-2ab+b2=0,请判断△ABC的形状，并说明理由. ②若满足a2+b2=12a+8b-52,求c的取值范围. 单元测AB卷 24、（14分)把代数式通过配凑得到完全平方式，再运用完全平方式非负这一性质增加问题的 条件，这种解题方法叫作配方法 例1.因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2.若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. :(a-b)2≥0，(b-1)2≥0，当a=b=1时，M有最小值，为1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若x2-kx+16是-个完全平方式，则k=」 (2)分解因式：x2-12x+35. (3)若y=-x2+2x+131,求y的最大值， (4)当m,n为何值时，代数式m2-2mm-2m+2n2-4n+2026有最小值？并求出这个最小 值.