第十七章 因式分解 章末测试卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解章末测试卷 一、单选题（共24分） 1．（本题2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）将多项式用公式法进行因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题2分）多项式提取公因式后，剩下的因式是（　　） A． B． C． D． 4．（本题2分）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 7．（本题2分）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A． B． C． D． 8．（本题2分）已知，，可得（     ） A． B． C． D． 9．（本题2分）已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 10．（本题2分）如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（     ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．归纳思想 11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游 12．（本题2分）已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 13．（本题2分）对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 二、填空题（共12分） 14．（本题2分）分解因式：_______． 15．（本题2分）分解因式：______________ 16．（本题2分）因式分解：______． 17．（本题2分）分解因式：__________． 18．（本题2分）因式分解：______． 19．（本题2分）分解因式：________． 三、解答题（共62分） 20．（本题7分）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 21．（本题6分）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．（本题7分）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 23．（本题6分）用简便方法计算： (1)； (2) 24．（本题8分）（1）已知的三边长，，满足，试判断的形状． （2）已知，，是的三边长，且满足，求的取值范围． 25．（本题8分）甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数，然后乙根据的值计算代数式的值． (1)填空： ①___________； ②___________． (2)求证：总能被4整除． 26．（本题8分）阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把因式分解． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 27．（本题12分）如果一个有理数可以表示成形式（均为有理数，）称m为“优美数”． (1)由以上可知0_________“优美数”（填“是”或“不是”）；1_________“优美数”（填“是”或“不是”） (2)若有理数均为“优美数”，试证明：均为“优美数”． (3)若“优美数”，且，，其中均为非负数，且，求代数式的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章 因式分解章末测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A C C B C B B 题号 11 12 13 答案 A C C 1．D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，需满足将多项式转化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，根据因式分解的定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A选项：右边为，是乘积与常数相加的形式，未完全分解为积的形式，不符合． B选项：左边为，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解． C选项：右边含分式，导致因式不是整式，不符合要求． D选项：左边利用平方差公式分解为，均为整式的乘积，符合因式分解定义． 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，根据平方差公式将分解为即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的． 通过观察知公因式为，提取后得即可判断． 【详解】解： ∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是． 故选C 4．A 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式法因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 6．C 【分析】此题考查了因式分解——运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查运用平方差公式进行因式分解．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，检查各选项是否可表示为两个平方的差． 【详解】解：平方差公式为． 选项A、，为两数平方和，无法用平方差公式分解； 选项B、，为两数平方差，可以用平方差公式分解因式； 选项C、，为平方和的相反数，无法用平方差公式分解； 选项D、，不是两数平方差，无法用平方差公式分解． 故选：B． 8．C 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 9．B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 10．B 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系. 【详解】解：四个小纸片的面积之和为， 拼成的大长方形长为，宽为， 面积为； 由面积相等可得． 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想． 11．A 【分析】先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案． 【详解】∵ =， ∴信息中的汉字有：华、我、爱、中． ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 12．C 【分析】此题考查了因式分解的应用 利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 13．C 【分析】本题考查平方差公式因式分解与整除的性质，将多项式因式分解后，即可判断其整除性. 【详解】解： ； ∵是任意整数， ∴是整数， ∴一定能被整除，即多项式能被整除. 14． 【详解】解：． 15． 【分析】利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解：． 16． 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 根据平方差公式，这里，， ． 17． 【详解】解：． 18． 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 19． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解剩余多项式． 【详解】解：先提取原式中的公因式，得 ∵符合完全平方公式的形式， ∴分解得， ∴原式． 20．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 21．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式计算即可得出结果； （4）根据十字相乘法分解因式即可； （5）利用完全平方公式分解因式即可； （6）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 22．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了提取公因式进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式． （1）提取进行因式分解； （2）提取进行因式分解； （3）提取进行因式分解； （4）提取进行因式分解； （5）提取进行因式分解； （6）提取进行因式分解． 【详解】（1）解： 原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 23．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（1）是等边三角形；（2） 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识． （1）首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出，，的值，最后进行判断； （2）根据题意，首先求出和的值，然后根据三角形三边关系求的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 25．(1)①36，②144 (2) 证明： ， ∵n为正整数， ∴当时，（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 当时，则（k为正整数），则， ∵一定能被4整除， ∴能被4整除； 综上所述，能被4整除． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案． （2）把原式分解因式得到，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）略 26．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可； ②令，然后利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①把“”看成一个整体，令 ∴ ； ②把看成一个整体，令 ∴ ． 27．(1)不是；是； (2)证明：∵有理数均为“优美数”， ∴可设，（都是有理数，）， ∴ ， ， ∵都是有理数， ∴，都是有理数， 当，是“优美数”， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴是“优美数”； 由（1）可知，0不是“优美数”，而y是“优美数”，故， ∵， ∴， ∴， 同理可得和都是有理数， 当时，是“优美数”； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴是“优美数”； (3) 【分析】（1）当时，可得，当时，则，矛盾；当时，则，由于不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，矛盾，据此可得第一空的答案；根据可得第二空的答案； （2）设，（都是有理数，），可证明，故是“优美数”；可证明，则，故是“优美数”； （3）根据题意得到，仿照（2）可推出，结合已知条件可推出，利用平方差公式分解因式得到，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时， ∴， 当时，则，这与矛盾； 当时，则， ∵为有理数， ∴为有理数， ∴为有理数，而不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，产生矛盾， ∴不成立， ∴0不是“优美数”； 当时，， ∴1是“优美数”； （2）略 （3）解：∵， ∴， 由（2）可得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵，且a、d都是非负数，即， ∴， 又∵x、w也是非负数， ∴， ∴， ∴，这与矛盾； 当时， ∴， ∴； 综上所述，的值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $第十七章 因式分解章未测试卷 一、单选题（共24分） 1.(本题2分)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（) A.x2+2x+7=x(x+2)+7 B.(x+4)2=x2+8x+16 c42=+到 D.x2-16=(x+4)(x-4) 2.(本题2分)将多项式-m2+n2用公式法进行因式分解，正确的是（） A.(m+n)(m-n)B.(n-m)2 C.（-m-n)(m+n） D.(n+m)(n-m) 3.(本题2分)多项式x2+x提取公因式后，剩下的因式是() A.x B.x3+1 C.x4+1 D.x3-1 4.(本题2分)因式分解a2-2ab+b2的结果是() A.(a-b)2 B.(a+b)2 C.(2a-b)2 D.(a-2b) 5.(本题2分)分解因式2x2-32的结果是()》 A.2(x2-16 B.2(x+8)(x-8) C.2(x+4)(x-4) D.(2x+8)(x-8) 6.(本题2分)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-a2+b2 D.-a2-b2 7.(本题2分)下列多项式能用平方差公式分解因式的是() A.x2+y2 B.-x2+y2 C.-x2-y2 D.x2-2xy+y2 8.(本题2分)已知a+b=3,a-b=5,可得a2-b2=（) A.21 B.18 C.15 D.12 9.(本题2分)已知y=-3，y-x=-2,则代数式y2-x2y的值为() A.-6 B.6 C.9 D.8 10.(本题2分)如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式 x2+3x+2分解因式的结果为(x+1)(x+2),这个过程体现的数学思想主要是（) 试卷第1页（共3页） A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.整体思想 D.归纳思想 11.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y,a-b,2,x2-y2,a, x+y,分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2(x2-y2)-2bx2-y2)因式分解，结果呈 现的密码信息可能是（） A.爱我中华 B.我游中华 C.中华美 D.我爱游 12.(本题2分)已知2a+b=2025,2a-b=2，,则4a2-b2等于（) A.2 B.2025 C.4050 D.2026 13.(本题2分)对于任意整数n,多项式(4n+5)2-9都能() A.被6整除 B.被7整除 C.被8整除 D.被16整除 二、填空题（共2分） 14.(本题2分)分解因式：2x2-8= 15.(本题2分)分解因式：x2-4y2= 16.(本题2分)因式分解：x2-25=_ 17.(本题2分)分解因式：x2-y=」 18.(本题2分)因式分解：(a-b)2-4b2= 19.(本题2分)分解因式：a2b-4ab+4b=」 三、解答题（共62分） 20.(本题7分)把下列多项式分解因式： (1)x2-25x; (2)2x2y2-4yz; (3)am-an+ap 试卷第1页（共3页） (4)x2-25x; (5)1-4x2; (6)25x2+20xy+4y2; (7）x2-4x2+4x. 21.(本题6分)因式分解： (1)3x2-6x; (2)m2-9; (3)2a2-4ab+2b2; (4)p2-2p-15; (5)(a-2b)2-10(a-2b)+25; (6)(x2+4)2-16x2. 22.(本题7分)把下列各式分解因式： (1)a2+ab-ac; (2)x2y-2xy-5y2; (3)2x2y-6x; (4)14m2+21mn; (5)-7x2y3-28x3y2; (6)-5x8y6-25x7y. 23.(本题6分)用简便方法计算： (1)982×2-4×2; (2)2022+202×196+982 24.(本题8分)(1)）已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2-6a-6b+18+3-c=0,试判断△ABC的 形状. (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2=12a+8b-52,求c的取值范围. 试卷第1页（共3页） 25.(本题8分)甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n,然后乙根据n的值计算代数式 Pn=n4+2n3+n2的值， (1)填空： ①D=24+2×23+22=22×(2+1)2= ②D=34+2×33+32=32×(3+1)2=」 (2)求证：n+2n3+n2总能被4整除. 26.(本题8分)阅读材料 材料1 将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足9=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式 分解成(x+m)(x+n): 例：①x2+5x+6=(x+2)(x+3)；②x2-x-6=(x-3)(x+2). 材料2 因式分解：（x+y)+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=（A+1),再将“A”还原，得原式 =(x+y+1)2. 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把x2-7x+12因式分解. (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：(m-n)2+3(m-n)-10; ②因式分解：(x2+4x)}-3(x2+4x)-10. 27.(本题12分)）如果一个有理数m可以表示成A2-2026B2形式(AB均为有理数，A≠0)称m为“优 美数”· (1)由以上可知0 “优美数”（填“是”或“不是”）；1 “优美数”（填“是”或“不是”） 试卷第1页（共3页） (2)若有理数xy均为“优美数”，试证明：x少.均为“优美数”· a2-2026x2c2-2026z2 (3)若"优美数”m= 6-2026y7-d-2026w,且aw+d=bz-gy,bc>2026z,其中ab,cd,xy2,w ad-bc 均为非负数，且xw+z≠0，求代数式 的值. XW+Vz 试卷第1页（供3页） 《第十七章 因式分解章末测试卷》参考答案 题号 2 3 6 8 9 10 答案 D C A C C B C B B 题号 11 12 13 答案 A C C 1.D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，需满足将多项式转化为几个整式的积的形式，且每个 因式均为整式，根据因式分解的定义逐项分析判断，即可求解 【详解】解：A选项：右边为x(x+2)+7,是乘积与常数相加的形式，未完全分解为积的形式，不符合. B选项：左边为(x+4)，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解. C选项：右边含分式，导致因式1+2不是整式，不符合要求. 1 D选项：左边x2-16利用平方差公式分解为(x+4)(x-4),均为整式的乘积，符合因式分解定义. 故选：D. 2.D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，根据平方差公式将-m2+n分解为 (n+m)(n-m即可. 【详解】解：-m2+n2=n2-m2=(n+m)(n-m). 故选：D. 3.C 【分析】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.通过观察知公因式为x2, 提取后得x2(1+x4)即可判断. 【详解】解：x2+x6 答案第1页（共2页） =x21+x） ·此多项式的公因式为x2,提取公因式后，剩下的因式是1+x4. 故选C 4.A 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解：d2-2ab+b=(a-b, 故选：A. 5.C 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键. 先提公因式，再利用平方差公式法因式分解. 【详解】解：2x2-32=2(x2-16)=2(x+4)(x-4), 故选：C 6.C 【分析】此题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键. 利用平方差公式的结构特征判断即可. 【详解】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式=(b-a)(b+a),能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C. 7.B 【分析】本题考查运用平方差公式进行因式分解.平方差公式适用于形如a2-b的多项式，分解为 (a+b)(a-b),检查各选项是否可表示为两个平方的差. 【详解】解：平方差公式为a2-b2=(a+b)(a-b) 答案第1页（共2页） 选项A、x2+y2,为两数平方和，无法用平方差公式分解； 选项B、-x2+y2=y2-x2，为两数平方差，可以用平方差公式分解因式； 选项C、-x2-y2=-(x2+y2),为平方和的相反数，无法用平方差公式分解； 选项D、x2-2y+y2,不是两数平方差，无法用平方差公式分解. 故选：B. 8.C 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果， 【详解】解：：a+b=3,a-b=5, .a2-b2=(a+b)(a-b)=3×5=15. 9.B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值. 将代数式因式分解为y(y-x),然后代入已知值计算. 【详解】解：y2-x2y=xy(y-x)=(-3)×(-2)=6. 故选：B 10.B 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系. 【详解】解：四个小纸片的面积之和为x2+3x+2, 拼成的大长方形长为x+2,宽为x+1, 面积为(x+1)(x+2)； 由面积相等可得x2+3x+2=（x+1)(x+2). 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想. 11.A 【分析】先对2a(x2-y2)-2b(x2-y2)进行因式分解，再根据题意，即可得到答案. 【详解】：2a(x2-y2）-2b(x2-y2） 答案第1页（共2页） =2(x2-y2)(a-b)=2(x-y)(x+y)(a-b), 信息中的汉字有：华、我、爱、中， ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华 故选：A. 【点晴】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键. 12.C 【分析】此题考查了因式分解的应用 利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果. 【详解】解：·2a+b=2025,2a-b=2, .4a2-b2 =(2a+b)(2a-b) =2025×2 =4050 故选：C 13.C 【分析】本题考查平方差公式因式分解与整除的性质，将多项式因式分解后，即可判断其整除性. 【详解】解：（4n+5)2-9 =(4n+5)}2-32 =(4n+5+3)(4n+5-3) =(4n+8)(4n+2） =8(n+2)(2n+l); :n是任意整数， ∴（n+2)(2n+1)是整数， ·.8(n+2)(2n+1)一定能被8整除，即多项式(4n+5)-9能被8整除. 答案第1页（共2页） 14.2(x-2)(x+2) 【详解】解：2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2). 15.（x+2y)(x-2y) 【分析】利用平方差公式完成因式分解. 【详解】解：x2-4y2=x2-(2y)}=(x+2y)(x-2y). 16. (x+5)(x-5) 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解即可. 【详解】解：：x2-25=x2-52, 根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),这里a=x,b=5, x2-25=(x+5)(x-5) 17. x(x-y) 【详解】解：x2-y=x(x-y) 18.(a+b)(a-3b) 【分析】利用平方差公式因式分解即可. 【详解】解：(a-b)2-4b2=(a-b)2-(2b)=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b). 19.b(a-2)2 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解剩余多项式 【详解】解：先提取原式中的公因式b,得a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4) :a2-4a+4符合完全平方公式的形式， 分解得a2-4a+4=(a-2)2, ·原式=b(a-2)2. 20.(1)x(x-25) 答案第1页（共2页） (2)2y2(x2-2z) (3)a(m-n+p) (4)x(x+5)(x-5) (5)(1+2x)1-2x) (6)(5x+2y)2 (7)x(x-2)2 【详解】(1)解：x2-25x=x(x-25)； (2)解：2x2y2-4yz=2y2(x2-2z)； (3)解：am-an+ap=a(m-n+p); (4)解：x-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5): (5)解：1-4x2=(1+2x)1-2x)； (6)解：25x2+20xy+4y2=(5x+2y)}2； (7)解：x-4x2+4x=x(x2-4x+4)=xx-2}. 21.(1)3x(x-2) (2)(m-3)(m+3) (3)2(a-b2 (4)(p-5)(p+3) (5)(a-2b-5)2 (6)(x-2)2(x+2) 【分析】(1)提取公因式3x即可； (2)利用平方差公式分解因式即可； (3)先提取公因式2，再根据完全平方公式计算即可得出结果； (4)根据十字相乘法分解因式即可； (5)利用完全平方公式分解因式即可； 答案第1页（共2页） (6)利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可. 【详解】(1)解：3x2-6x =3x(x-2); (2）解：m2-9 =(m-3)(m+3); (3)解：2a2-4ab+2b2 =2(a2-2ab+b2） =2(a-b)2; (4)解：p2-2p-15 =（p-5)(p+3); (5)解：(a-2b)2-10(a-2b)+25 =(a-2b-5)2; (6)解：（x2+42-16x2 =(x2+4-4x)(x2+4+4x) =(x-2)}2(x+2)2. 22.(1) a(a+b-c) (2) y(x2-2x-5y) 3) 2x(xy-3) (4) 7m(2m+3n) (5) -7x2y2(y+4x) 答案第1页（共2页） (6) -5xy(x+5) 【分析】本题考查了提取公因式进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式. (1)提取a进行因式分解； (2)提取y进行因式分解； (3)提取2x进行因式分解； (4)提取7m进行因式分解； (5)提取-7x2y2进行因式分解； (6)提取-5xy进行因式分解. 【详解】(1)解：原式=a(a+b-c) (2)解：原式=y(x2-2x-5y) (3)解：原式=2x(xy-3) (4)解：原式=7m(2m+3n (5)解：原式=-7x2y2(y+4x) (6)解：原式=-5xy(x+5) 23.(1)19200 (2)90000 【详解】(1)解：982×2-4×2 =2(982-22) =2×(98-2)(98+2) =2×96×100 =19200; (2）解：2022+202×196+982 =2022+2×202×98+982 =(202+98)2 答案第1页（共2页） =3002 =90000. 24.(1)△ABC是等边三角形；(2)2<c<10 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系等知识. (1)首先将其化成两个平方形式与绝对值形式的和，然后根据非负数的性质求出a，b,c的值，最后进行 判断； (2)根据题意，首先求出a和b的值，然后根据三角形三边关系求c的取值范围， 【详解】解：(1)：a2+b2-6a-6b+18+3-=0, a2-6a+9+b2-6b+9+3-c=0, ∴.(a-3)2+(b-3)2+3-c=0, .a=b=c=3, .△ABC是等边三角形； (2）a2+b2=12a+8b-52, .a2-12a+36+b2-8b+16=0, (a-6)2+(b-4)2=0, .a=6,b=4, .6-4<c<6+4, .2<c<10. 25.(1)①36，②144 (2) 证明：n4+2n3+n2 =n2(n2+2n+1 =n2(n+1)2, :n为正整数， 答案第1页（共2页） .当n=2k-1时，n+1=2k(k为正整数)，则n2(n+1)}=(2k-1)2(2k-1+1)2=4k2(2k-1)2, :4k2(2k-1)2一定能被4整除， ·.n+2n3+n2能被4整除； 当n=2k时，则n+1=2k+1(k为正整数)，则n2(n+1)2=(2k)}'(2k+1)2=4k2(2k+1)2, ·4k2(2k+1)2一定能被4整除， ∴n+2n3+n2能被4整除； 综上所述，n+2n+n2能被4整除. 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键。 (1)①先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；②先计算乘方，再计算乘法即可得到答案. (2)把原式分解因式得到n2(n+1)2，再分n是奇数和偶数两种情况进行证明即可. 【详解】(1)解：①D=24+2×23+22 =22×(2+1)2 =4×32 =4×9 =36; ②D=34+2×33+32 =32×(3+1)2 =9×42 =9×16 =144; (2)略 26.(1)(x-3)(x-4) (2)①(m-n+5)(m-n-2)；②(x+5)(x-1)x2+4x+2) 【分析】(1)利用十字相乘法因式分解即可； (2）①令m-n=A,然后利用十字相乘法因式分解即可； 答案第1页（共2页） ②令x2+4x=A,然后利用十字相乘法因式分解即可. 【详解】(1)解：·-7=-3+(-4)，12=（-3)×(-4)， .x2-7x+12=(x-3)(x-4); (2)解：①把“m-n”看成一个整体，令m-n=A .(m-n)2+3(m-n)-10 =A2+3A-10 =(A+5)(A-2) =(m-n+5)(m-n-2); ②把x2+4x看成一个整体，令x2+4x=A (x2+4x)2-3(x2+4x)-10 =A2-3A-10 =(A-5)(A+2) =(x2+4x-5)(x2+4x+2） =(x+5)(x-10(x2+4x+2）. 27.(1)不是；是； (2)证明：：有理数xy均为“优美数”， .可设x=A2-2026B2，y=A2-2026B22（A,B,A2,B2都是有理数，A≠0，A,≠0)， ·xy=(4-2026B2)(42-2026B,2） =424,2-202642B22-2026B2A,2+20262B2B2 =(44)}2-202642B,2-2026B24,2+(2026B,B2)》2 =(44)'+2·A4·2026B,B2+(2026B,B2)-2·44·2026B,B2-2026A2B22-2026B2A2 =(44+2026B,B)2-2026(244,B,B2+A2B,2+4,2B,2) =(44+2026B,B2)2-2026(4B2+4,B,), x·y=(42-2026B2)(42-2026B2） 答案第1页（共2页） =A242-2026A2B22-2026B2A2+20262B,2B22 =(44)'-202642B2-2026B2A2+(2026B,B2)月 =(44)2-2·A42026B,B2+(2026B,B,)}+2442026B,B2-202642B,2-2026B24,2 =（44-2026B,B2)-2026(-2A4,B,B2+A2B2+A2B2) =(44-2026B,B2)2-2026(4B2-A,B,)2, :A,B,A,B2都是有理数， ∴AA2,2026BB2,AB2,A,B,都是有理数， 当44+2026B,B2≠0，x·y是“优美数”， 当A,A+2026B,B2=0时，则A4=-2026BB2, A≠0,42≠0， .AA,=-2026BB2≠0， ·.AA-2026B,B2=-4052B,B2≠0， xy是“优美数”； 由(1)可知，0不是“优美数”，而y是“优美数”，故y≠0， :xy=(44+2026BB,)2-2026(4B2+4,B,)2, :Y-(44+2026BB,了-2026(4B,+4B} 少2 (42-2026B,2 x=44+2026BB, 2 -2026 AB2 +4B y（A2-2026B,2 A,2-2026B,2 -44-2026B ）2 -2026 4B,-4B2 A2-2026B,2 4,2-2026B22 同理可得44+026B品和 AB2 +AB A2-2026B22 2-2026B 2都是有理数， 当44+2026BB,≠0时， 广是优美数； 当A42+2026BB2=0时，则A4,=-2026B,B2, A≠0，A2≠0， 答案第1页（共2页） .A42=-2026BB2≠0， .AA,-2026BB2=-4052BB2≠0， :44-2026BB+0 A2-2026B,2 ·是“优美数”； y (3)-2026 【分析】(1)当0=A2-2026B2时，可得A2=2026B2，当B=0时，则A=0,矛盾；当B≠0时，则 =2026,由于2026不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，矛盾，据此可得第一空的答 案；根据12-2026×02=1可得第二空的答案； (2)设x=A2-2026B,2,y=42-2026B22（4,B,A2,B2都是有理数，A≠0，A,≠0)，可证明 x·y=(AA+2026B,B2)-2026(AB2+A,B)2=(A42-2026B,B2)'-2026(AB2-AB)2,故x·y是“优美 数”；可证明y≠0，则 y_（44+2026BB,广-2026(4B,+4,B}_(44-2026BB,}-2026(4B,-A,B) ,故是“优美数”； (42-2026B,2）月 (42-2026B,2）月 (3)根据题意得到(a2-2026.x2)(d-2026w2）=(b2-2026y2)(c2-2026z2),仿照(2)可推出 (ad+2026xw)2-2026(aw+dx)2=(bc-2026yz2-2026(bz-cy)2,结合已知条件可推出 (ad+2026xw)2=(bc-2026yz)',利用平方差公式分解因式得到 [(ad+2026,xw)+(bc-2026yz)][(ad+2026xw)-(bc-2026)z)]=0,据此分情况讨论即可. 【详解】(1)解：当0=A2-2026B2时， .A2=2026B2, 当B=0时，则A=0,这与A≠0矛盾； 当B≠0时， 则 =2026, B ·A,B为有理数， :4为有理数， B 答案第1页（共2页） A B 为有理数，而2026不是完全平方数，故有理数的平方不可能等于2026，产生矛盾， .0=A-2026B2不成立， ∴0不是“优美数”； 当A=1,B=0时，A2-2026B2=12-2026×02=1, 1是“优美数”； (2)略 (3)解：：m= a2-2026x2c2-2026z2 2-2026y7=dP-2026W, .(a2-2026x2)(d2-2026w2）=(b2-2026y2）(c2-2026z2）), 由(2)可得(a2-2026x2)(d2-2026w2）=(ad+2026xw2-2026(aw+dk)2 (6b2-2026y2)(c2-2026z2） =b2c2-2026bz2-2026C2y2+20262y2z2 =b2c2-2bc.2026z+20262y2z2+2bC-2026yz-2026b2z2-2026C2y2 =(bc-2026z)}2-2026(b2z2+c2y2-2bcyz =(bc-2026z2-2026(bz-y)2, ·.(ad+2026w2-2026(aw+dc)}2=(bc-2026z)}-2026(bz-cy)2, aw+xd=bz-cy, .2026(aw+dc)}=2026(bz-cy}2, .(ad+2026xw}=(bc-2026yz}, .(ad+2026w)2-(bc-2026yz)2=0, .[(ad+2026.xw)+(bc-2026z)][(ad+2026xw)-(bc-2026yz)]=0; 当(ad+2026xw)+(bc-2026yz)=0时， .ad+bc=2026(yz-xw), :'bc>2026yz,且a、d都是非负数，即ad≥0， 答案第1页（共2页） .ad+bc>2026yz 又：X、W也是非负数， ∴.xw≥0， .2026(yz-xw)≤2026yz, ·.ad+bc>2026yz≥2026(yz-xw),这与ad+bc=2026(z-xw)矛盾； 当(ad+2026xw)-(bc-2026yz)=0时， .ad-bc=-2026(yz+xw), ad-be =-2026; xw+yZ 综上所述， ad-be 的值为-2026. xw+yZ 答案第1页（共2页）