17章 因式分解 基础卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测AB卷（人教版·新教材）

单元测AB卷 第17章因式分解基础卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1、下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（) A.4(x+y)=4x+4y B.8m2n2=2m2.4n2 C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.y2-4y+4=(y-2)2 2、将多项式2ab+4ab2分解因式时，应提取的公因式是（) A.4ab2 B.2ab C.2ab2 D.2b2 3、将关于x的多项式x2+x+25因式分解得(x+5)2,则n的值为（) A.10B.-10C.5D.-5 4、多项式(1-a)xy+(a-1)因式分解的结果正确的是（) A.(1-a)xy+1)B.(1-a)(xy-1)C.(a-1)(xy-1)D.(a-1)(xy+1) 5、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（) 1 1 A.a2+2a B.x2x Ca2-2a+4D.-b2+a2 6、如果a+b=2,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为（) A.1B.3C.4D.8 7、小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出了一个多项式的因式分解，其 中正确的是（) A.x2+2x=x(x+2) B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2+3x+2=(x+1)(x+2) 单元测AB卷 8、小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条密码信息：a-1,m-n,5, m2+1,a,a+1,m+n分别对应汉字：之，桥，天，中，眼，空，国.现将5m(a2-1)-5n(a-1) 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（) A.天空之桥 B.中国天眼C.中国天空D.天眼之桥 9、已知264一1可以被10至20之间的两个整数整除，则这两个整数是（) A.13,14B.15,16C.16,17D.15,17 10、已知a=m+2025,b=m+2026,c=m+2027,则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac 的值为（) A.4B.5C.6D.7 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、分解因式：x2+5x=一 12、已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为一 13、(2x-3)(x+2)是多项式因式分解后的结果. 14、如图，有六张写着不同整式的卡牌，游戏：从六张卡牌中选取若干张，并用加号或减号连 接组成一个可以分解因式的多项式，将你所组成的多项式分解因式： a2b2 2ab 2a 26 1 15、多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可). 16、已知整式mx2+7x一20(m是常数)可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5, 则另一个因式是 17、因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q),其中m,p,q都为整数，则m的最大值是 单元测AB卷 18、我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（图1)就是一例，其 规律是从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.如图2 中虚线标记的一列数：1,3,6,10,15，，我们把第一个数记为a1,第二个数记为a2, 第三个数记为ag,,第n个数记为amn(n为正整数)，若an+1+an=2027,则n的值是一 第1行 1 第2行 1 2 1 2 第3行 13.31 1331 第4厅 14641 第5行 14641 15101051 第6行 15101051 1615201561—第7行 161520I561 004◆ee 。。 图1 图2 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19、（12分)因式分解： (1)8a3b2+12ab3c. (2)(a+b)2-c2. (3)3ab2-6ab+3a. (4)a2(a-b)+b2(b-a). 20、(8分)用简便方法计算： (1)123×6.28+628×1.32-15.5×62.8. (2)45.82-91.6×35.8+35.82. 单元测AB卷 21、(10分)【观察】42-22=12=4×3；62-42=20=4×5；82-62=28=4×7； 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数. 【验证】(1)142-122的结果是4的 倍 (2)设两个连续的偶数分别为2n,2n+2(n为整数).试说明：2n+2与2n的平方差是4 的倍数. 22、（10分)下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程. 解：设x2+2x=y, 则原式=y(y+2)+1（第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2（第三步) =(x2+2x+1)2（第四步). 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式 B.平方差公式C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写 出因式分解的最后结果： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1进行因式分解， 单元测AB卷 23、（12分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助几何图形的面积计算可以 表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图①可以得到a2+2ab+b2=(a+ b)2. (1)请把表示图②面积的多项式因式分解（直接列出等式即可)， (2)若a+b+c=13,a2+b2+c2=57,求ab+bc+ac的值. (3)如图③，有足够数量的边长分别为a,b的正方形纸片和长为b,宽为a的长方形纸片，请 利用这些纸片拼图，借助图形将多项式2a2+7ab+3b因式分解. c b b c b a 图① 图② 图③ 单元测AB卷 24、（14分)阅读材料：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2 的形式，但对于二次三项式x2+2ax一3a2，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次 三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2,整 个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2= (x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a),像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方 式，再减去这一项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：x2+2x-3. (2)若a2+b2-12a-6b+45=0. ①当a,b,n满足2a×4=8m时，求n的值 ②若△ABC的三边长是a,b,c,且c为偶数，求△ABC的周长.单元测AB卷 第17章因式分解基础卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1、下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（) A.4(x+y)=4x+4y B.8m2n2=2m2.4n2 C.x2-2x-3=x(x-2)-3 D.y2-4y+4=(y-2)2 答案：D 解析：选项A和C的等式右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解；选项B的等式左边不 是多项式，故不是因式分解；选项D是因式分解.故选D. 2、将多项式2ab+4ab2分解因式时，应提取的公因式是() A.4ab2 B.2ab C.2ab2 D.2b2 答案：B 解析：：系数2和4的最大公因数是2，相同字母a的最低指数是1，相同字母b的最低指数是 1,将多项式2ab+4ab分解因式时，应提取的公因式是2ab. 3、将关于x的多项式x2+nx+25因式分解得(x+5)2,则n的值为（) A.10 B.-10C.5D.-5 答案：A 解析：由题意得x2+nx+25=(x+5)2=x2+10x+25,n=10.故选A. 4、多项式(1一)y+(a-1)因式分解的结果正确的是（) A.(1-a)(xy+1) B.(1-a)(xy-1)C.(a-1)(xy-1) D.(a-1)(xy+1) 答案：B 解析：原式=(1-a)xy-(1-a)=(1-a)(xy-1).故选B 5、下列多项式能用平方差公式分解因式的是（) A.a+2a B.x2 1 C.a2-2a+4 D.-b2+a2 答案：D 解析：B、C选项是三项式，均不能用平方差公式分解因式；A.α2+2a不符合平方差公式的形 式；D.-b2+a2=a2-b2=(a+b)(a-b),能用平方差公式分解因式.故选D. 6、如果a+b=2,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为（) A.1B.3C.4D.8 单元测AB卷 答案：C 解析：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,a+b=2,ab=1,原式=1× 22=4.故选C. 7、小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出了一个多项式的因式分解，其 中正确的是（ A.x2+2x=x(+2) B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2+2x+1=(x+1)2 D.x2+3x+2=(x+1)(x+2) 答案：D 解析：四张纸片的面积和为x2+x+2x+2=x2+3x+2,拼成的大长方形的面积为(x+ 1)(x+2),x2+3x+2=(x+1)(x+2).故选D. 8、小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条密码信息：a-1,m-n,5, m2+1,a,a+1,m+n分别对应汉字：之，桥，天，中，眼，空，国.现将5m(a2-1)-5n(a2-1) 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（) A.天空之桥 B.中国天眼 C.中国天空 D.天眼之桥 答案：A 解析：原式=(5m-5n)(a2-1)=5(m-n)(a+1)(a-1),结果呈现的密码信息可能是“天 空之桥”.故选A. 9、已知24-1可以被10至20之间的两个整数整除，则这两个整数是（) A.13,14B.15,16C.16,17 D.15,17 答案：D 解析：264-1=(232+1)(232-1) 单元测AB卷 =(232+1)(216+1)(216-1) =(232+1)(216+1)(28+1)(28-1) =(232+1)(216+1)(28+1)(24+1)(24-1) =(232+1)(216+1)(28+1)(24+1)(22+1)(22-1) =(232+1)(216+1)(28+1)×17×15, 这两个整数是15,17.故选D. 10、已知a=m+2025,b=m+2026,c=m+2027,则2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac 的值为（) A.4B.5 C.6D.7 答案：C 解析：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac =a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2 =(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2, :a=m+2025,b=m+2026,c=m+2027, ∴a-b=m+2025-m-2026=-1,a-c=m+2025-m-2027=-2,b-c=m+ 2026-m-2027=-1, .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(-1)2+(-2)2+(-1)2=6.故选C. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、分解因式：x2+5x= 答案：x(x+5) 解析：x2+5x=x(x+5), 12、已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为 答案：6 解析：m2-n2=(m+n)(m-n)=2×3=6. 13、(2x-3)(x+2)是多项式 因式分解后的结果. 答案：2x2+x-6 解析：(2x-3)(x+2)=2x2+4x-3x-6=2x2+x-6,(2x-3)(x+2)是多项式2x2+ 单元测AB卷 x一6因式分解后的结果. 14、如图，有六张写着不同整式的卡牌，游戏：从六张卡牌中选取若干张，并用加号或减号连 接组成一个可以分解因式的多项式，将你所组成的多项式分解因式： b2 2ab 2a 2b 答案：a2-b=(a+b)(a-b)(答案不唯-) 解析：若选取a2,b2组成a2-b2,则a2-b2=(a+b)(a-b)(答案不唯-). 15、多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可)： 答案：4x 解析：4x2+4x+1=(2x+1)2,加上的单项式可以是4x(答案不唯一). 16、已知整式mx2+7x-20(m是常数)可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是2x+5, 则另一个因式是 答案：3x-4 解析：(2x+5)(3x-4)=6x2-8x+15x-20=6x2+7x-20,而mx2+7x-20中x2的 系数为m,x的系数为7， 比较系数可得m=6,且另一个因式为3x-4, 另一个因式是3x-4. 17、因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q),其中m,p,q都为整数，则m的最大值是 答案：11 解析：由题意可知m=p+q,pq=-12, ∴当p=1,q=-12时，m=1+(-12)=-11; 当p=-1,9=12时，m=-1+12=11; 当p=2,q=-6时，m=2+(-6)=-4: 当p=-2,q=6时，m=-2+6=4; 当p=3,q=-4时，m=3+（-4)=-1; 单元测AB卷 当p=-3,q=4时，m=-3+4=1. :11>4>1>-1>-4>-11,m的最大值是11. 18、我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其 规律是从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.如图2 中虚线标记的一列数：1,3,6,10,15，，我们把第一个数记为a1,第二个数记为a2, 第三个数记为ag,,第n个数记为an(n为正整数)，若an+1十an=2027,则n的值是 第1行 1 第2行 12 第3行 1331 第4行 4 4 14641 第5行 15101051 第6行 5101051 161520156 1 第7行 1 615201561 图1 图2 答案：2026 解析：a1=1= 20-3=2x3 1× 2a=6=3x4 2,04=10- 4×5 n(n+1) 21,片an= 2 (n+1)n+2) an+1= 2 :a41+a,=2027,+1Dm+2+n0+D-2027, 3 2 ,m+1)0n+2+=20272,即(0m+1)2=20272, 2 :n为正整数，÷n+1=2027,n=2026. 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19、（12分)因式分解： (1)8a3b2+12ab3c. (2)(a+b)2-c2. (3)3ab2-6ab+3a. (4)a(a-b)+b2(b-a). 答案：(1)4ab2(2a2+3bc);(2)(a+b+c)(a+b-c);(3)3a(b-1)2;(4)(a+b)(a-b)2. 解析：（1)8a3b2+12ab3c=4ab2.2a2+4ab2.3bc=4ab2(2a2+3bc). (2)(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c). 单元测AB卷 (3)3ab2-6ab+3a=3a(b2-2b+1)=3a(b-1)2. (4)a2(a-b)+b2(b-a)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2. 20、(8分)用简便方法计算： (1)123×6.28+628×1.32-15.5×62.8. (2)45.82-91.6×35.8+35.82. 答案：(1)628：(2)100. 解析：(1)原式=6.28×(123+132-155)=6.28×100=628. (2)原式=45.82-2×45.8×35.8+35.82=(45.8-35.8)2=102=100. 21、(10分)【观察】42-22=12=4×3；62-42=20=4×5；82-62=28=4×7；… 【发现】两个连续偶数的平方差是4的倍数， 【验证】(1)142-122的结果是4的倍， (2)设两个连续的偶数分别为2n,2n+2（n为整数).试说明：2n+2与2n的平方差是4 的倍数. 答案：(1)13；(2)见解析. 解析：（1)：142-122=(14+12)×(14-12)=26×2=52=4×13,142-122的结果 是4的13倍.故答案为13. (2)(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2m+1),且n 为整数， 2n+2与2n的平方差是4的倍数. 22、（10分)下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解的过程 解：设x2+2x=y, 则原式=yy+2)+1（第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2+2x+1)2（第四步). 回答下列问题： 单元测AB卷 (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 A.提取公因式B.平方差公式 C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写 出因式分解的最后结果： (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1进行因式分解. 答案：(1)C;(2)不彻底，(x+1)4;(3)(x-3)4. 解析：（1)C (2)不彻底；(x+1)4. (3)设x2-6x=y,则原式=0y+8)y+10)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2-6x+ 9)2=(x-3)4. 23、（12分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助几何图形的面积计算可以 表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图①可以得到a2+2ab+b2=(a+ b)2. (1)请把表示图②面积的多项式因式分解（直接列出等式即可)， (2)若a+b+c=13,a2+b2+c2=57,求ab+bc+ac的值. (3)如图③，有足够数量的边长分别为a,b的正方形纸片和长为b,宽为a的长方形纸片，请 利用这些纸片拼图，借助图形将多项式2a2+7ab+3b因式分解. b b e a b c b 图① 图② 图③ 答案：(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2;(2)56(3)2a2+7ab+3b2=(a+ 3b)(2a+b). 解析：(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2. (2)由(1)得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2, :a+b+c=13,a2+b2+c2=57, 57+2ab+2bc+2ac=132, 单元测AB卷 .ab +bc+ac=56. (3)如图所示，则2a2+7ab+3b2=(a+3b)(2a+b). a b b b e e b 24、（14分)阅读材料：对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2 的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次 三项式x2+2ax一3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2,整 个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2 (x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a),像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方 式，再减去这一项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：x2+2x-3. (2)若a2+b2-12a-6b+45=0. ①当a,b,n满足2a×4=8时，求n的值 ②若△ABC的三边长是a,b,c,且c为偶数，求△ABC的周长. 答案：(1)(x+3)x-1);(2)①4；②13或15或17. 解析：（1)x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+ 3)(x-1). (2)a2+b2-12a-6b+45=0, a2-12a+36+b2-6b+9=0, ∴(a-6)2+(b-3)2=0, :(a-6)2≥0，(b-3)2≥0， ∴a-6=0,b-3=0, ∴a=6,b=3. ①：2a×4的=8n, ÷20×22b=2a+2b=23m, 3n=a+2b=6+2×3=12, 单元测AB卷 ∴n=4. ②由三角形的三边关系可得a-b<c<a+b, 6-3<c<6+3,即3<c<9, c为偶数， c=4或6或8. 当c=4时，△ABC的周长为6+3+4=13； 当c=6时，△ABC的周长为6+3+6=15； 当c=8时，△ABC的周长为6+3+8=17. 综上，△ABC的周长为13或15或17.