14章 全等三角形 提优卷-2026-2027学年八年级数学上册单元测AB卷（人教版·新教材）

单元测AB卷 第14章全等三角形提优卷 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则证明LA0'B=∠A0B的依据() B A.SAS B.SSS B C.AAS D.ASA 2、如图，点F,A,D,C在同一直线上，△ABC兰△DEF,AC=7,CF=11,则AD等于() A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 3、某市正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公 园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB,AC,BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.以上都不是 H 4、如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是() A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1 C.∠2=90°+∠1 D.∠1+∠2=180° 5、如图，在△ABC与△DFE中，∠B=∠F,AB=DF,添加下列条件后，仍不能得到 △ABC≌△DFE的是() A.BC=EF B.BE=CF C.AC=DE D.∠A=∠D 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，AD=AC, 点E在BC上，DE1AB,若LB=28°，则LAED=() A.28 B.62° C.59 D.58 单元测AB卷 7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB 于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP 交边BC于点D,点E在AB上。若AC=6,CD=2,AB=7, D 则当DE的值最小时，△BDE的面积是() M A.2 B.1 C.6 D.7 AN E 8、如图，在△ABC中，LC=90°，BD平分LABC交AC于点F,作DE L AC,垂足为点E,连接AD, 若∠BAD=90°，AD=4,AC=7,则AE的长为() A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 9、如图，已知在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm,∠B=∠C,点E 为线段AB的中点，点P在线段BC上以3c/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由 点C向点D运动，要使△BPE与△CPQ全等，则点Q的运动速度为() A.3 cm/s B.4 cm/s C.2cm/s或4.5cm/s D.3cm/s或4.5cm/s 10、如图，以△ABC的BC边为边向外作△BCD,过点D作DE1AB交AB的延长线于点E,DF1AC 交AC的延长线于点F,若DE=DF,∠EDF=150°，∠BDC=75°，则下列结论正确的有() ①AE=AF;②△DBE≌△DCF;③BC=BE+CF;(④CD平分LBCF。 A.1个 B.3个 C.2个 D.4个 B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、若△ABC兰△DEF,AB=4cm,BC=5cm,DF=3cm,则△DEF的周长为 cmo 12、如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线， ED1BC于点D,CD=4,△CDE的周长为12， 则AC的长是 0 单元测AB卷 13、如图，点B,C,E在同一直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1十∠2+∠3=102°， 则∠3的度数为 14、如图，在△ABC中，高AD,CE相交于点H。若AB=15,AE=CE=9,则CH的长为 D 15、如图，△ABC的外角LACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E,若∠BEC=40°，则LCAE 的度数为 D 16、如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点B在CE上，A,C, D三点在同一条直线上，连接AE,DB,DB的延长线交AE于点F。若AE=8,DF=11.2,则△ABE 的面积为 0 17、如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠D=45°，CA=CB=3, CE=CD,点A在DE上，若AE:AD=1:2,则阴影部分的面积为一。 18、如图，已知点A(0,3),B(4,1),以AB为斜边作等腰Rt△ABC,则直角顶点C的坐标为 0 B 单元测AB卷 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19、如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=BD。 (1)尺规作图：作BE平分LABC,交AC于点E,连接DE(不写作法，保留作图痕迹)。 (2)求证：∠AEB=∠DEB。 20、如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD II BE。 (1)求证：△DAC兰△ECB。 (2)连接DE,若AB=16,求DE的长。 单元测AB卷 21、池塘两端A,B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A,B的距离。八年级(1)班甲、 乙两位同学分别设计出了如下两种方案。 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A,B的点0，连接AO并延长到点C,连接BO 并延长到点D,使CO=AO,DO=BO,连接DC,测出DC的长即可。 乙：如图2，先确定直线AB,过点B作直线BE1AB,在直线BE上找可以直接到达点A的一点D, 连接DA,作DC=DA,交直线AB于点C,最后测量BC的长即可。 请分析两种方案可行的理由。 B A----○B D 图1 图2 22、如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE1AC于点F,交CD于点E,连接EA, EA平分∠DEF。 (1)求证：△ABF兰△ACD。 (2)若CE=4,DE=3,求BE的长。 单元测AB卷 23、【感知】如图1，AD平分LBAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC。 【探究】(1)如图2，AD平分LBAC,∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC。 【应用】(2)如图3，在四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC,过点D作DE1AB 于点E,若BE=a,求AB-AC的值（用含a的代数式表示）。 E 图1 图2 图3 单元测AB卷 24、【观察】(1)如图1，AB和CD交于点0，且AB和CD互相平分，则ACBD(填“>"“<"或“=")。 【总结】当题目中出现“平分”“中点"等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全 等来解决问题。 【应用】(2)如图2，BC=AD,BC II AD,AC和EF交于点O,且AC和EF互相平分，∠ACF=50°， ∠ACD=24°，则∠EAB的度数为 。 (3)如图3，点D,E在BC上，E为CD的中点，AD平分LBAE,∠B=∠CAE。求证：AC=BD。 【拓展】(4)如图4，在△ABC中，AB=AC=7,BC=4,∠ABC=∠ACB,边AB上的中线长 为4.5，P,Q分别为边AB,AC上的动点，在运动过程中始终保持AP+AQ=AB,连接BQ,CP, 若BQ+CP=m,请求出m的最小值。 图1 图2 图3 图4单元测AB卷 第14章全等三角形提优卷 时间：90分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则证明LA'0'B=∠A0B的依据() A.SAS B.SSS B C.AAS D.ASA 答案：B 2、如图，点F,A,D,C在同一直线上，△ABC≌△DEF,AC=7,CF=11,则AD等于() A.3 B.3.5 A C.4 D.4.5 答案：A 解析：△ABC兰△DEF,·DF=AC=7,CF=11,÷CD=CF-DF=11-7=4, ·AD=AC-CD=7-4=3。故选A。 3、某市正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公 园里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB,AC,BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.以上都不是 答案：C 解析：：角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭H是△ABC的三条角平分线的交点。故选 C。 单元测AB卷 4、如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是() A.∠1=∠2 B.∠2=21 C.∠2=90°+∠1 D.∠1+∠2=180° 答案：D 解析：如图，由网格可得BC=EF,∠BCA=∠EFD=90°，AC=DF,△ABC兰△DEF(SAS), ·∠ABC=∠1，∠ABC+∠2=180°，∠1+∠2=180°。故选D。 5、如图，在△ABC与△DFE中，∠B=∠F,AB=DF,添加下列条件后，仍不能得到 △ABC兰△DFE的是() A.BC=EF B.BE=CF C.AC=DE D.∠A=∠D 答案：C 解析：A.若添加BC=EF,则根据SAS能得到△ABC兰△DFE,故A不符合题意； BBE=CF,BE+CE=CF+CE,即BC=EF,根据SAS能得到△ABC≌△DFE,故B不符 合题意； C.若添加AC=DE,根据SSA不能得到△ABC≌△DFE,故C符合题意； D,若添加LA=∠D,则根据ASA能得到△ABC兰△DFE,故D不符合题意。故选C。 6、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，AD=AC,点E在BC上，DE1AB,若∠B=28°， 则LAED=() A.28 B.629 C.599 D.589 单元测AB卷 答案：C 解析：：DE L AB,LADE=∠BDE=∠C=90°，：AD=AC,AE=AE, Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),·LAEC=LAED,'∠CED=∠B+LBDE=118°， 1 ∠ABC=∠AED -7CED=59。故选C。 7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB 于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP 交边BC于点D,点E在AB上。若AC=6,CD=2,AB=7,则当DE的值最小时，△BDE的面 积是() D A.2 B.1 MP C.6 D.7 B 答案：B 解析：点E在AB上，当DE1AB时，DE的值最小，如图，由作图可知AP是LCAB的平分线， :∠C=90°，DE1AB,÷DE=CD=2,又：AD=AD,Rt△CAD≌Rt△EAD(HL, 1 ÷AE=AC=6,“AB=7,“BE=1,当DE的值最小时，△BDE的面积是X1×2=1 D 、M E B 8、如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点F,作DE1AC,垂足为点E,连接AD, 若LBAD=90°，AD=4,AC=7,则AE的长为() A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 答案：A 解析：如图，过点D作DH1BC交BC的延长线于点H,连接CD,则∠H=90°，：BD平分LABC, 且∠BAD=90°，DH1BC,HD=AD=4,DE1AC,∠DEC=90°=LACB,.DE IBC, ∠DEC=LH, ∠DEC=∠H,∠EDC=∠HCD,在△EDC和△HCD中， ∠EDC=∠HCD, CD=DC, 单元测AB卷 △EDC≌△HCD(AAS),·EC=HD=4,AC=7,AE=AC-EC=7-4=3。故选A。 9、如图，已知在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm,∠B=∠C,点E 为线段AB的中点，点P在线段BC上以3c/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由 点C向点D运动，要使△BPE与△CPQ全等，则点Q的运动速度为() A.3 cm/s B.4 cm/s C.2cm/s或4.5cm/s D.3cm/s或4.5cm/s 答案：D 解析：设点P的运动时间为ts,点Q的运动速度为xcm/s,由题意得，BP=3tcm,CQ=xt cm,:BC=8cm,÷CP=(8-3t)cm,:AB=12cm,点E为线段AB的中点，BE=6cm, △BPE与△CPQ全等，可分为以下两种情况。 ①当△BPE≌△CPQ时，BP=CP,BE=CQ,即3t=8-3t,6=xt,解得x=4.5;②当 △BPE≌△CQP时，BP=CQ,BE=CP,即3t=xt,6=8-3t,解得x=3。 综上所述，要使△BPE与△CPQ全等，则点Q的运动速度为3cm/s或4.5cm/s。故选D。 10、如图，以△ABC的BC边为边向外作△BCD,过点D作DE1AB交AB的延长线于点E,DF1AC 交AC的延长线于点F,若DE=DF,∠EDF=150°，∠BDC=75°，则下列结论正确的有() ①AE=AF;②△DBE≌△DCF;③BC=BE+CF;④CD平分LBCF。 A.1个 B.3个 C.2个 D.4个 B 答案：B 解析：如图1，连接AD,DE1AB,DF1AC,∠E=∠F=90°，在Rt△ADE和Rt△ADF 中， 0二0PRt△ADB≌R△ADPH⑩，六AB=AP,故结论①正确；根据已知条件不能 推出△DBE兰△DCF,故结论②不正确； 单元测AB卷 如图2，延长CF到点G,使FG=BE,连接DG,易得LE=∠DFG=90°， DE=DF, 在△DBE和△DGF中 ∠E=∠DFG, BE =GF, △DBE≌△DGF(SAS),÷DB=DG,∠BDE=∠GDF,'LBDC=75°，∠EDF=150°， ∠CDF+∠BDE=150°-75°=75°，÷∠CDF+∠GDF=75°，即LCDG=75°， ∠BDC=∠GDC,又DB=DG,DC=DC,△BDC≌△GDC(SAS),BC=GC, LBCD=∠GCD,.CD平分∠BCF,故结论（④正确； :GC=FG+CF=BE+CF,·BC=BE+CF,故结论③正确。综上所述，结论正确的是 ①③④，共3个。故选B。 图1 图2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、若△ABC兰△DEF,AB=4cm,BC=5cm,DF=3cm,则△DEF的周长为 cm. 答案：12 解析：△ABC≌△DEF,AB=4cm,BC=5cm,DE=AB=4cm,EF=BC=5cm, DF=3cm,.△DEF的周长为DE+EF+DF=4+5+3=12(cm)。故答案为12。 12、如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D,CD=4,△CDE 的周长为12，则AC的长是 B 答案：8 解析：BE是△ABC的角平分线，ED1BC,∠A=90°，·AE=DE,△CDE的周长为12， CD=4,∴DE+EC=8,·AC=AE+EC=8。 13、如图，点B,C,E在同一直线上，且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1+∠2+∠3=102°， 则∠3的度数为 单元测AB卷 B / 答案：51 (AB AD, 解析：在△ABC和△ADE中， AC=AE,∴.△ABC≌△ADE(SSS),·.∠BAC=∠2，LABC=∠1， BC DE, ∠3=∠ABC+∠BAC,∠3=∠1+∠2，又：∠1+∠2+∠3=102°，2∠3=102°， ∠3=51°。 14、如图，在△ABC中，高AD,CE相交于点H。若AB=15,AE=CE=9,则CH的长为】 B D 答案：3 解析：CE1AB,÷∠AEH=90°，LEAH+LAHE=90°，：AD1BC,∠ADC=90°， ·LBCE+LCHD=90°，∠AHE=∠CHD,∠BCE=∠EAH,在△BCE和△HAE中， LBCE LHAE, CE=AE, △BCE≌△HAE(ASA),·BE=EH,AB=15,AE=CE=9, (LCEB=∠AEH=90°， BE=AB-AE=6,÷EH=BE=6,CH=CE-EH=9-6=3。 15、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E,若∠BEC=40°，则∠CAE 的度数为 答案：50 解析：如图，过点E作EF L BA交BA的延长线于点F,EM L AC于点M,EN1BD于点N,设 ∠ECD=x°，'CE平分∠ACD,·LACE=∠ECD=x°，EM=EN, :BE平分LABC,∠ABE=∠EBC,EF=EN,÷EF=EM,∠BEC=40°， ·∠ABE=∠EBC=LECD-∠BEC=(x-40)°， 单元测AB卷 ·∠BAC=∠ACD-∠ABC=ACD-2LABE=2x°-2(x-40)°=80°，LCAF=100°， :EF=BM,点E在∠FAC的平分线上，六∠EAC=∠FAE-24CAF=50。 16、如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点B在CE上，A,C, D三点在同一条直线上，连接AE,DB,DB的延长线交AE于点F。若AE=8,DF=11.2,则△ABE 的面积为 答案：12.8 解析：：△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，LACB=∠ECD=90°，·AC=BC,EC=DC, △ACE≌△BCD(SAS),AE=BD=8,∠AEC=∠BDC,DF=11.2, BF=DF-BD=11.2-8=3.2,∠ACE=90°，∠EAC+∠AEC=90°， ÷∠BDC+∠EAC=90°，∠AFD=180°-（∠BDC+∠EAC)=90°，DF1AE, 1 4B的面积BFX8×321 17、如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠D=45°，CA=CB=3, CE=CD,点A在DE上，若AE:AD=1:2,则阴影部分的面积为一。 答案：3 解析：如图，设AB与CD相交于点O,连接BD,过点O作OM1DE于点M,ON1BD于点N, '∠ECD=∠ACB=90°，LECA=∠DCB,'CA=CB,CE=CD,∴.△ECA≌△DCB(SAS), ·∠E=∠CDB=45°，AE=BD, 单元测AB卷 ∠EDC=45°，∠EDC=∠CDB,OM1DE,ON1BD,OM=ON,AE:AD=1:2, BD:AD=1:2,S△AOD:S△BOD=OA:OB=AD:BD=2:1, 29 CA=CBE3,4ACB=90,S△ABC专X3X3S阴影8△ABC宝7 =3。 18、如图，已知点A(0,3),B(4,1),以AB为斜边作等腰Rt△ABC,则直角顶点C的坐标为 B 0 答案：(3,4)或(1,0) 解析：设点C的坐标为(a,b)。当点C在AB上方时，如图1，过点C作CE1y轴于点E,过点B 作BF L EC,交EC的延长线于点F,则LAEC=∠CFB=90°。 :△ABC是等腰直角三角形且C为直角顶点，÷AC=BC,LACB=90°，∠ECA+∠BCF=90°， (LAEC LCFB, '∠CBF+∠BCF=90°，·LECA=LCBF。在△EAC和△FCB中 LECA=∠FBC, AC=CB, ∴△EAC≌△FCB(AAS), .AE CF,EC=FB,Eb-3=4-a,a=b-1,..a=3,b=4, 故点C的坐标为(3,4)。当点C在AB下方时，如图2，过点C作CN1y轴于点N,过点B作BM1NC, 交NC的延长线于点M,则∠ANC=∠CMB=90°， ~△ABC是等腰直角三角形且C为直角顶点，AC=BC,∠ACB=90°，∠ACN+∠BCM=90°， '∠BCM+∠CBM=90°，÷∠ACN=∠CBM。 LANC=∠CMB=90°， 在△ANC和△CMB中 LACN=LCBM,△ANC≌△CMB(AAS), AC=CB, NA=CM,NC=BM,∴3-b=4-a,a=1-b,a=1,b=0,故点C的坐标为(1,0)。 综上所述，点C的坐标为(3,4)或(1,0)。 单元测AB卷 O(NC 图1 图2 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19、如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=BD。 (1)尺规作图：作BE平分LABC,交AC于点E,连接DE（不写作法，保留作图痕迹)。 (2)求证：∠AEB=∠DEB。 D C 答案：(1)作图如图所示；(2)证明见解析 解析：(1)如图所示。 (2)证明：BE平分LABC,·∠ABE=∠DBE, AB=DB, 在△ABE和△DBE中 LABE=∠DBE△ABE≌△DBE(SAS),÷∠AEB=LDEB。 BE =BE, 20、如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD II BE。 (1)求证：△DAC≌△ECB。 (2)连接DE,若AB=16,求DE的长。 答案：(1)证明见解析；(2)DE=8 解析：(1)证明：：CD‖BE,∠DCA=∠B,:C是线段AB的中点，AC=CB=AB, 1 LA=∠ECB, 在△DAC和△ECB中 AC=CB,△DAC≌△ECB(ASA). ∠DCA=∠B, (2):AB=16,C是线段AB的中点，BC=2AB=8,由(1)可知，△DAC≌△ECB,CD=BE, 单元测AB卷 CD IBE,÷.LDCE=LBEC, CD=BE, 在△DCE和△BEC中 LDCE=LBEC,△DCE≌△BEC(SAS),·DE=BC=8。 CE=EC, 21、池塘两端A,B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A,B的距离。八年级(1)班甲、 乙两位同学分别设计出了如下两种方案。 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A,B的点0，连接AO并延长到点C,连接BO 并延长到点D,使CO=AO,DO=BO,连接DC,测出DC的长即可。 乙：如图2，先确定直线AB,过点B作直线BE⊥AB,在直线BE上找可以直接到达点A的一点D, 连接DA,作DC=DA,交直线AB于点C,最后测量BC的长即可。 请分析两种方案可行的理由。 E 图1 图2 答案：两种方案均可行，理由见解析 解析：甲同学的方案：在△ABO和△CD0中，A0=C0,∠AOB=∠COD,B0=D0, △ABO≌△CDO(SAS,÷AB=CD. 乙同学的方案：：BE⊥AB,·∠DBA=∠DBC=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中， :DA=DC,DB=DB,Rt△ABD≌Rt△CBD(HL,÷AB=BC。 22、如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE1AC于点F,交CD于点E,连接EA, EA平分LDEF。 (1)求证：△ABF兰△ACD。 (2)若CE=4,DE=3,求BE的长。 答案：(1)证明见解析；(2)BE=10 解析：(1)证明：BE1AC,∠AFE=90°，LAFE=∠D,EA平分LDEF,∠AED=LAEF, 单元测AB卷 ∠D=∠AFE, 在△ADE和△AFE中， LAED=∠AEF,△ADE兰△AFE(AAS),÷AF=AD,在Rt△ABF和 AE=AE, Rt△ACD中， AB=AC,Rt△ABF≌Rt△ACD(H). LAF =AD, (2)CE=4,DE=3,CD=CE+DE=7,EF=DE=3,由(1)得△ABF≌△ACD, BF=CD=7,·BE=BF+EF=7+3=10。 23、【感知】如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC。 【探究】(1)如图2，AD平分LBAC,∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC。 【应用】(2)如图3，在四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC,过点D作DE1AB 于点E,若BE=a,求AB-AC的值（用含a的代数式表示）。 图1 图2 图3 答案：(1)证明见解析；(2)AB-AC=2a 解析：(1)证明：如图1，过点D作DE L AB于点E,DF1AC交AC的延长线于点F,则 ∠DEB=∠F=90°，AD平分LBAC,DE=DF,:∠B+∠ACD=180°， ∠FCD+∠ACD=180°，·∠B=∠FCD, I∠B=∠FCD, 在△DBE和△DCF中 LDEB=∠F,△DBE≌△DCF(AAS),DB=DC。 DE=DF, (2)如图2，连接AD,过点D作DF1AC交AC的延长线于点F,·LB=45°，LACD=135°， ∠B+∠ACD=180°，∠FCD+∠ACD=180°，∠B=∠FCD,DE1AB,DF1AC, ·∠DEB=∠F=90°，又rDB=DC,÷△DBE=△DCF(AAS),·DE=DF,CF=BE=a, 又：AD=AD,·Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),AE=AF, .AB-AC=AB-(AF-CF=AB-(AE-BE)=AB-AE+BE=2BE =2ao 图1 图2 单元测AB卷 24、【观察】(1)如图1，AB和CD交于点O,且AB和CD互相平分，则ACBD(填“>"“<”或“=")。 【总结】当题目中出现“平分”“中点"等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全 等来解决问题。 【应用】(2)如图2，BC=AD,BC II AD,AC和EF交于点O,且AC和EF互相平分，∠ACF=50°， LACD=24°，则∠EAB的度数为 。 (3)如图3，点D,E在BC上，E为CD的中点，AD平分LBAE,∠B=∠CAE。求证：AC=BD。 【拓展】(4)如图4，在△ABC中，AB=AC=7,BC=4,∠ABC=∠ACB,边AB上的中线长 为4.5，P,Q分别为边AB,AC上的动点，在运动过程中始终保持AP+AQ=AB,连接BQ,CP, 若BQ+CP=m,请求出m的最小值。 7 图1 图2 图3 图4 答案：(1)=；(2)26°；(3)证明见解析；(4)m的最小值为9 解析：(1)=。(2)26°。详解：：AC和EF互相平分，A0=C0,E0=F0,又：∠A0E=∠COF, △AOE≌△COF(SAS,∠EA0=∠ACF=50°，BC II AD,÷∠BCA=∠DAC,又：BC=AD, AC=CA,△BCA≌△DAC(SAS),·∠BAC=∠ACD=24°， ÷∠EAB=∠EA0-∠BAC=50°-24°=26°。 (3)证明：如图1，延长AE到点F,使得EF=AE,连接CF,E为CD的中点，·DE=CE,又 ∠AED=∠FEC,AE=FE,∴△ADE≌△FCE(SAS),·∠DAE=∠F,AD=CF,AD平分 ∠BAE,·∠BAD=LDAE=∠F, ∠B=∠CAF, 在△ABD和△FAC中 ∠BAD=LF,∴.△ABD≌△FAC(AAS),AC=BD。 AD=FC, (4)如图2，过点B作BE II AC,且BE=AC,在BA上截取BH=AP,连接CH,HE。AB=AC, AP+AQ=AB,AB AP+BP,AC=AQ+CQ,AQ BP,CQ=AP=BH,AC Il BE, AC=BE, ∴∠A=∠EBH,在△ACP和△BEH中 LA=∠EBH,∴△ACP≌△BEH(SAS),·CP=EH。 AP=BH, :CB=BC,∠ACB=LABC,CQ=BH,△CBQ≌△BCH(SAS,CH=BQ, BQ+CP=CH+EH,根据“两点之间，线段最短"可知， 当点C,H,E共线时，BQ+CP有最小值，此时可得△ACH≌△BEH(AAS),·AH=BH, 单元测AB卷 即当H是AB的中点时，m的值最小，最小值为2×4.5=9，：m的最小值为9。 C H D E B E 图1 图2