专题1.2 解直角三角形（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级下册

专题1.2 解直角三角形 教学目标 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形除直角外的五个元素之间的三类关系：三边勾股关系、两锐角互余、边角三角函数关系。 2.掌握解直角三角形的两类基本题型：已知两边、已知一边一锐角，能规范求出其余未知元素；会根据条件选择合适关系式，知道 “有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除” 的解题策略。 3经历梳理直角三角形边角关系、探究 “至少需要几个条件才能解直角三角形” 的过程，体会转化思想；在对比不同解法、择优选择关系式的过程中，提升运算能力与几何直观；初步感受在简单图形中，通过作垂线构造直角三角形转化为解直角三角形问题。 4.体会三角函数、勾股定理、直角三角形性质之间的内在联系，感受知识的整体性；养成先画图标注已知条件、规范书写步骤、及时检验结果的习惯，培养严谨的推理意识。 教学 重难点 1.重点 （1）理解解直角三角形的概念，掌握直角三角形三边、两角、边角之间的关系。 （2）已知两边或者一边一锐角，正确解直角三角形。 （3）合理选择三角函数，简化计算。 2.难点 （1）根据给出的条件灵活选择最简的关系式，避免复杂除法、近似计算带来误差。 （2）判断给出的条件是否足够解直角三角形，理解 “两个已知元素中至少有一条边” 这个关键点。 （3）结合图形，识别复合图形，把局部问题转化为直角三角形求解。 知识点01 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦。 【即学即练】 1．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 2．（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，在菱形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为__________． 3．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得与的面积比为． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，为锐角且，． (1)求的度数．(2)求的长． 5．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，角所对应的边分别是，已知，，．(1)求的值；(2)求和的面积． 6.（25-26九年级下·安徽·阶段检测）阅读下面的材料： 某数学学习小组遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且，，求的值． 该数学学习小组最后是这样解决问题的：如图①，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接． (1)观察图形可得：______；(2)请参考上述方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图②的正方形网格中，画出，并求出的值； (3)拓展应用：如图③，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则______． 题型01 已知一锐角和一边解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·成都·专项训练）在中，，，；根据条件解直角三角形． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 题型02 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形 【典例1】（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图在中，，，，则的值为______． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，则_______． 题型03 已知两边解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·广东·课后作业）在中，，，； 根据条件解直角三角形．（角度精确到） 【变式1】（25-26九年级上·成都·期中）在中，的对边分别为a，b，c，已知，解这个直角三角形． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【变式3】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 题型04 解一图多三角形的直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·江苏·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长．(2)若，求的长． 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【变式3】如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____． 题型05 解非直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，． (1)求边的长；(2)求的值． 【变式1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，，，求BC的长． 【变式2】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且．(1)求的长；(2)求的余弦值． 【变式3】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 题型06 四边形中解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·成都·单元测试）如图，在四边形中，连结且，点E在上，连结交于点F，若，，则的长为______． 【变式1】（26-27九年级下·广东·专题练习）一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，使，且，，(1)求的长；(2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【变式3】（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型07 网格中解直角三角形 【典例1】（2026·湖北武汉·二模）如图，在的正方形网格中，，，，，均为小正方形的顶点，为线段与网格线的交点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图中将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在上找一点使得； (2)在图中画出点绕着点顺时针旋转后的点；并在上画点，使． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则______． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则____________________ 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·山西忻州·二模）阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳：观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务：(1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 题型08 折叠问题中解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【变式4】（26-27九年级下·浙江·单元测试）如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 题型09 旋转问题中解直角三角形 【典例1】（2025·四川绵阳·二模）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【变式2】（2025·江苏常州·三模）如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 【变式3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为______． 题型10 坐标系中解直角三角形 【典例1】（2026·广东·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是____. 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【变式2】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·单元复习）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，，则点B的坐标为_______________． 题型11 解直角三角形与函数 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解：①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索：如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用：如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 【变式1】在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（-6，0），直线l：y=kx+b不经过第四象限，且与x轴的夹角为30°，点P为直线l上的一个动点，若点P到点A的最短距离是2，则b的值为（　　） A． 或 B． C．2 D．2或10 【变式2】（2025·河南焦作·一模）如图（），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点． 设点 运动的路程为， （当点，或，重合时，设或），与的函数关系的图象如图（）所示，则的值为______． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l交坐标轴于A、B两点，已知，． (1)求直线l的解析式；(2)如图2，直线l上有一点P，过点P的直线交坐标轴于C、D两点，且，求a值；(3)如图3，在（2）的条件下，将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段，连接，并在线段上取一点E，连接和，使，延长交直线于点Q，当时，求点Q的坐标及直线的解析式． 题型12 解直角三角形解决动点问题 【典例1】（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在正方形中，点E是的中点，动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当的值最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【变式2】如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【变式3】（25-26九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在中，，，，是斜边的中点，动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线的同侧，设点的运动时间为秒．(1)求的长（用含的代数式表示）；(2)当点落在边上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 1.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处,则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 6.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 7.（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 8.（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 9．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： (1)在图中画出，其面积为3，且； (2)在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 1.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 2．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点，，，，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 5．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，是边上一动点，作点关于直线的对称点，连接．若，则的长为____________． 7.（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 8.（2026·河北沧州·二模）探究下列问题： 【发现】(1)如图1，在边长为1的正六边形中，对角线 ， ，与的位置关系为 ； 【应用】图2是由边长为1的正六边形构成的网格图．正六边形的顶点称为格点，已知，，，是网格图中的格点、连接、、、、与相交于点，其中． (2)分别求及的值． 9.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C． (1)求点D的坐标；(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由． 10．（2026·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是________；①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值；(3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 解直角三角形 教学目标 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形除直角外的五个元素之间的三类关系：三边勾股关系、两锐角互余、边角三角函数关系。 2.掌握解直角三角形的两类基本题型：已知两边、已知一边一锐角，能规范求出其余未知元素；会根据条件选择合适关系式，知道 “有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除” 的解题策略。 3经历梳理直角三角形边角关系、探究 “至少需要几个条件才能解直角三角形” 的过程，体会转化思想；在对比不同解法、择优选择关系式的过程中，提升运算能力与几何直观；初步感受在简单图形中，通过作垂线构造直角三角形转化为解直角三角形问题。 4.体会三角函数、勾股定理、直角三角形性质之间的内在联系，感受知识的整体性；养成先画图标注已知条件、规范书写步骤、及时检验结果的习惯，培养严谨的推理意识。 教学 重难点 1.重点 （1）理解解直角三角形的概念，掌握直角三角形三边、两角、边角之间的关系。 （2）已知两边或者一边一锐角，正确解直角三角形。 （3）合理选择三角函数，简化计算。 2.难点 （1）根据给出的条件灵活选择最简的关系式，避免复杂除法、近似计算带来误差。 （2）判断给出的条件是否足够解直角三角形，理解 “两个已知元素中至少有一条边” 这个关键点。 （3）结合图形，识别复合图形，把局部问题转化为直角三角形求解。 知识点01 解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形。 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦。 【即学即练】 1．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵，∴，在矩形中，， ∴，∴； ∵，，∴在中，， 由勾股定理得，∴， 在中，，∴， ∴矩形的面积为． 2．（2026·四川眉山·模拟预测）如图1，在菱形中，，点是边的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于，连接， ∵四边形是菱形，∴是的垂直平分线， ∴，，∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵是图象上的最低点，∴，由图可知，当取最大值，即点与点重合时，，∴， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴是等边三角形，，∵点是的中点，∴，， ∴，，解得，∴，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴． 3．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得与的面积比为． 【答案】(1)如图①，点即为所求． (2)如图②，点即为所求． 【详解】（1）解：作图依据：∵，， ∴，∴． （2）解：作图依据：∵，∴，∴，∴． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，为锐角且，． (1)求的度数．(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵为锐角且，∴； （2）解：过点A作于H，∵，∴，∵，∴， 在中，， ∵，∴，即，解得，∴． 5．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，角所对应的边分别是，已知，，．(1)求的值；(2)求和的面积． 【答案】(1)(2)，的面积为 【详解】（1）解： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，在中，，， ∴， ， 在中，，， ∴， ∴， 即； （2）解：在中，， ∴， ∵，，，∴． 6.（25-26九年级下·安徽·阶段检测）阅读下面的材料： 某数学学习小组遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且，，求的值． 该数学学习小组最后是这样解决问题的：如图①，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接． (1)观察图形可得：______；(2)请参考上述方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图②的正方形网格中，画出，并求出的值； (3)拓展应用：如图③，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，，如图所示，则______． 【答案】(1)1 (2)的值为1；所作如图所示： (3) 【详解】（1）解：如图， 由图可知：， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：同理可得：，∴； （3）解：连接，如图所示： 在中，，∴，同理可得， ∵，∴， 设图形中所有等边三角形的边长为a，则有， ∴． 题型01 已知一锐角和一边解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·成都·专项训练）在中，，，；根据条件解直角三角形． 【答案】，， 【详解】解：∵在中，，，． ∴，，解得：， ∵，解得：． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 【答案】 【详解】解：∵∴， ∴，∴ 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【答案】或 【详解】解：是直角三角形，，存在和两种情况， 若，则，， 若，则，， 的长为或．故答案为：或． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【答案】 【详解】解：如图，在中，，，， ∴，∴，又∵四边形是矩形，∴． 题型02 已知一锐角的三角函数的值和一边解直角三角形 【典例1】（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，,∴，∴． 【变式1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：在中，，，． ，解得．由勾股定理得：． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【详解】解：是的高，． ，．，． 在中，，，． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，则_______． 【答案】 【详解】解：在中，，，，； 根据勾股定理，；故答案为：． 题型03 已知两边解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·广东·课后作业）在中，，，； 根据条件解直角三角形．（角度精确到） 【答案】，， 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴，∴． 【变式1】（25-26九年级上·成都·期中）在中，的对边分别为a，b，c，已知，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【详解】解：∵，∴ . ∵，∴∴． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理：， ∵，∴，∵，∴， 综上，，， 【变式3】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 【答案】/45度 【详解】解：∵，∴，故答案为：． 题型04 解一图多三角形的直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·江苏·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长．(2)若，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：是等边三角形，，， ，，，，， 是等腰直角三角形，，，， ，． （2）解：，，， 是等腰直角三角形，，， ，，， ，设，则， 故，解得，， ，． 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形，边长为，∴， ∵点为的中点，，∴， ∴，，∴，∴， ∴；在中，. 【变式2】（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 【变式3】如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____． 【答案】 【详解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°∴∠DAE =∠CDE 又∵∠DCE+∠CDE=90°；∴∠ADE=∠DCE=α；∴cosα＝= 又∵矩形ABCD中AB=CD=4；∴AC= 在中满足勾股定理有 故答案为：． 题型05 解非直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在中，，，． (1)求边的长；(2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，，设，， ∴，解得：（负值舍去），∴，， ，∴，∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ，∴， ，∴． 【变式1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【详解】解：过 作 于 ．在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，，∴ 设 ，（）， 由勾股定理，，∴ ，，∴ ． 【变式2】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且．(1)求的长；(2)求的余弦值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点．∴， ∵，；，， ，．．． （2）解：，，．． 【变式3】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，．(1)求的长；(2)求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，，∴，， ∴，． 在中，，∴，∴； （2）解：已知是中点，∴． ∵，∴．在中，． 题型06 四边形中解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·成都·单元测试）如图，在四边形中，连结且，点E在上，连结交于点F，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：过点A作交的延长线于点M，过点B作交的延长线于点N，则， ，， 又，，，， ， 设，则，由勾股定理，得， ，， ，，，，， ，且，． 【变式1】（26-27九年级下·广东·专题练习）一题多解法 如图，一块四边形土地，其中，，，，．求这块土地的面积（结果保留根号）． 【答案】这块土地的面积为 【详解】解：解法一：如图①，延长，交于点， ，，， ，， 在中，，． 在中，，， ； 故这块土地的面积为． 解法二：如图②，过点作，交的延长线于点，作于点， ，，， ，． ，四边形为矩形， ，． ，，，， ， 故这块土地的面积为． 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长；(2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6(2) 【详解】（1）解：∵，，∴，即，∴， ∵，∴，解得（负值已舍去），即， ∵，∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵，∴，∴，即， ∵，∴，解得（负值已舍去）， ∴，，∴ 【变式3】（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，F是边的中点，H为边上一点，过点H作于点E．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，分别延长，两线交于点G，∵F是边的中点，∴， ∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴由勾股定理得，∴． 题型07 网格中解直角三角形 【典例1】（2026·湖北武汉·二模）如图，在的正方形网格中，，，，，均为小正方形的顶点，为线段与网格线的交点，用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图中将线段绕点逆时针旋转得到线段；并在上找一点使得； (2)在图中画出点绕着点顺时针旋转后的点；并在上画点，使． 【答案】(1)如图，线段，点即为所求； (2)如图，点，即为所求． 【详解】（1）解：作图略，理由，如图， ∵，∴，∴，∴， 由作图、勾股定理可知，， ∴，∴， ∴，∴线段，点即为所求； （2）解：作图略，理由，由网格可知，，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴点，即为所求． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则______． 【答案】/ 【详解】解：如图，标记格点、、，连接；，均为等腰直角三角形， ，， 标记格点，，中，，，， 中，，， 中，；故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段检测）如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则____________________ 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴, ∴，∵，∴， ∴，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设正方形网格的边长为， ，，， 在中，，由网格可知，，，， ，， 同理可证，，由网格可知，，，， 在中，，， ，，故选：B． 【变式4】（2026·山西忻州·二模）阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳：观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务：(1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：取格点Q，连接，可知，∴． 根据勾股定理，得，可知, ∴是直角三角形，∴； （2）解：如图，取格点Q，连接， 由图可知，∴．根据勾股定理，得， 则∴是直角三角形，且， 可知，∴； （3）解：取格点E，连接，延长，过点B作于点F，如图所示， 设菱形的边长为1，根据题意，得，∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴，∴． ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴． 题型08 折叠问题中解直角三角形 【典例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作交于， 四边形是正方形，，，， 设，则，，，， 在中，由勾股定理得：， 将沿翻折得，，， 在中，由勾股定理得：， ，设，则， 在中，由勾股定理得：，，解得：， ，∴，，，， ，，∴，，，解得：． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知：，， ∵AN平分∴∴ ∵ ∴，∴∴ ∵，∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 【答案】或/20或4 【详解】解：如图，沿翻折得，则 ∵，，，∴， ∵，∴，∴，∴； 如图，沿翻折得，连接，交于点，设交于点， ∵折叠，∴，，又∵，∴ ∴，∴，∵，∴， ∴，则，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，，∴． 综上，的长为或． 【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【答案】 是 【详解】判断与是否相似 。∵四边形是矩形，∴． 由折叠的性质可知，∴． 在中，，∴．∴． ∵在中，，且， ∴可得． ∴． 【变式4】（26-27九年级下·浙江·单元测试）如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接．由翻折可知， 在中，，， 在中，， 由翻折的性质可得，，，， ，则的值为． 题型09 旋转问题中解直角三角形 【典例1】（2025·四川绵阳·二模）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作于， 四边形是菱形，，， ，，解得， 是直角三角形，， ，是的中点，，，， ，，， ，，， ，，，， ．故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，，，将绕点C旋转得到，当点D恰好落在射线上时，的长为________． 【答案】6 【详解】解：在中，∵， ∴，；过点C作于H，在中，， ∴，； 由旋转性质，得，在中，， ∴，∴．故答案为：6． 【变式2】（2025·江苏常州·三模）如图，一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1）．现将绕点按顺时针方向旋转，边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 _____________． 【答案】 【详解】解： 如图，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，， 由旋转的性质得，，，∴是等边三角形， ∵，∴，∴，∵，∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形，∴点在直线上，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵，∴，∴， 作于N，则，∴， 过点B作交的延长线于M，则，∵，， ∴，∴， ∴线段扫过的面积 ，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为______． 【答案】 【详解】解：在中，，， 设，，根据勾股定理， ，，解得，，， 绕点旋转得到，， ，，， 又，在中，， 设，，根据勾股定理， 即，解得，．故答案为：． 题型10 坐标系中解直角三角形 【典例1】（2026·广东·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是____. 【答案】或或 【详解】解：如图，作于， ， 正六边形的边长为6，，，， ，，， ，， 是等腰三角形， ∴如图，当时，则， ，延长交轴于，则轴，， ，，故此时； 如图，当时，作轴于， 则，，故此时； 如图，当时，作于，轴于， 则， ，，故此时； 综上所述，点的坐标可能是或或，故答案为：或或． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形的顶点O为平面直角坐标系的原点，点B在y轴正半轴上，连接交于点D，若且，则顶点A的坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵是矩形，∴，，，， ∵，∴是等边三角形， ∴，，∴，， 过点A作轴于E， 在中，，．∴，， ∵点A在第二象限，∴，故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点的坐标为，， 四边形是菱形，，，， 在中，，，， 点在轴的负半轴上，，故选：A 【变式3】（26-27九年级上·江苏·单元复习）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，，则点B的坐标为_______________． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作于点E， ∵平行四边形，，，∴，，∵，∴， ∴在中，，， ∴，∴点的坐标为：． 题型11 解直角三角形与函数 【典例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解：①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索：如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用：如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 【答案】(1)①；②(2)(3)或或或 【详解】（1）解：①由题意可知，，∴； ②∵，∴，即为钝角，∴，， ∵，∴是顶角为的等腰三角形， 如图，在中，，，，作于点，设， ∵，，∴，在中，，∴， 由勾股定理可得，，∴， ∴； （2）解：将代入，得；将代入，得， ∴点的坐标为，点的坐标为，∴，， ∵是的差余角，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴； （3）解： ①当是的差余角时，如图，作于点， ∵是的差余角，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴， 由勾股定理可得，，同理，，，∴， ∵，∴，解得，∴，； ②当是的差余角时，如图，作于点， 在中，， 由勾股定理可得，，同理①可知，， ∴，由勾股定理可得，， ∴，解得，∴； ③当是的差余角时，如图，作交于点， 在中，，由勾股定理可得，， ∴，解得，∴， ∵，，∴， ∴，∴； ④当是的差余角时，如图，作交于点，由③可知，，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； 综上所述，或或或． 【变式1】在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（-6，0），直线l：y=kx+b不经过第四象限，且与x轴的夹角为30°，点P为直线l上的一个动点，若点P到点A的最短距离是2，则b的值为（　　） A． 或 B． C．2 D．2或10 【答案】A 【详解】解：如图：分两种情况： （1）在Rt△ABP1中，AP1=2，∠ABP1=30°，∴AB=2AP1=4，∴OB=OA-AB=6-4=2， 在Rt△BCO中，∠CBO=30°，∴OC=tan30°×OB=，即：b=； （2）同理可求得AD=4，OD=OA+AD=10， 在Rt△DOE中，∠EDO=30°，∴OE=tan30°×OD=，即：b=；故选A． 【变式2】（2025·河南焦作·一模）如图（），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作 于点． 设点 运动的路程为， （当点，或，重合时，设或），与的函数关系的图象如图（）所示，则的值为______． 【答案】 【详解】解：当点运动到点处时，，∴，∴， 由题图（）可知，当时，，即，此时点在线段上， ∴，， 如图，在中，由勾股定理，得， ∴，∴，∴，， 如图，当时，点在上，， 此时，， ∴，故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线l交坐标轴于A、B两点，已知，． (1)求直线l的解析式；(2)如图2，直线l上有一点P，过点P的直线交坐标轴于C、D两点，且，求a值；(3)如图3，在（2）的条件下，将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段，连接，并在线段上取一点E，连接和，使，延长交直线于点Q，当时，求点Q的坐标及直线的解析式． 【答案】(1)(2)(3)， 【详解】（1）解：，． ，解得（负数舍去），． 由图可知点A的坐标为，点B的坐标为． 设直线l的解析式为，将，代入得 ，解得，直线l的解析式为∶． （2）解：点P在直线l上，设点P坐标为， 由图可知，点P不与点B重合，则． 过点P的直线交坐标轴于点C，点C坐标为， 点B坐标为，，． ，．由图可知． 当时，，，解得； （3）解：延长至N，延长交x轴于，H在延长线上，作轴于G， 轴于K， ．将线段沿y轴负半轴平移4个单位长度，得到线段， ，，四边形是平行四边形，． ，．，． ，，． ，是等腰三角形．． 由（2）知过点P的直线，交坐标轴于C、D两点， 当时，；当时，；． ．．．， ．设，，，，． ，， ，解得．． ，． ，，．． 解得，(舍去)． 的坐标为，即．代入直线：，得，解得． 直线的解析式为． 当时，，解得．点Q的坐标为． 题型12 解直角三角形解决动点问题 【典例1】（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在正方形中，点E是的中点，动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当的值最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时，的面积最大，最大值为，此时， 四边形是正方形，点是的中点，，， ，解得（负值舍去） ，，， 当时，的值最小，此时点在上， 四边形是正方形， ． 在中，，， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是___________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，∴，，，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴点F运动的路径是， ∵，∴，∴， ∴点F运动的路径长是．故答案为：． 【变式2】如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【答案】2 【详解】解：如图，过点D作于E， 则当点P与点E重合时，最小，在中，，，∴， ∵M为中点，N是中点，∴是的中位线，∴， ∴线段的最小值为，故答案为：2． 【变式3】（25-26九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在中，，，，是斜边的中点，动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与点重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线的同侧，设点的运动时间为秒．(1)求的长（用含的代数式表示）；(2)当点落在边上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)当时，；当，且时，；当时， 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：， ∵是斜边的中点，∴， ∵动点从点出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点运动， （秒），∴点P到达点D的时间为秒，点P到达点B的时间为秒， ∴当时，点从点向点运动，∴，∴； 当时，点从点向点运动，∴，∴； （2）解：当点落在边上时，如图， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴（秒）； （3）解：①当时，与重叠部分图形的面积是四边形的面积，如图． 过点作于点，∵，∴， ∵，∴，即，∴，，∴， ∴即； ②过点作交于点，过点作于点，则， ∵，∴，∴， 由得∴， ∴，∴， ∴，即点从点到点用时， 当时，，∴， ∴，∴，∴， ∴，即； ③∵，∴，即即点从点到点用时， 当时，如图，∵，，∴， ， ∵，，∴， ∵，∴，即， ∴，∴， ∴， 即； 综上，关于的函数关系式为：当时，；当，且时，；当时，． 1.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：过点作于点， ，，，为的中点，， ，，， 为的中点，，，， ，在中，． 2．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处,则点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，作于H， 由题意，得，，则，，∴， ∴，由旋转的性质可知，∴， 在和中，∴， ∴，，∴点的坐标为，故选：C． 3.（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，∴，∴． 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【详解】解：∵中，，，，∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ①若，当→时，∵，∴， ∴，∴∴，当→时，， ②若时，当→时，∵，∴， ∴，∴，当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或，故选：D． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 【答案】或 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上，∵ ，设，则， 在中，，∴， 解得（负值舍去）∴，， 在中，，∴，∴； 情况2：垂足在线段延长线上，同理可求，，，∴； 综上，的长为或. 6.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 _____． 【答案】3 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为，则由勾股定理得，，． 在中，．因为，所以， 所以．故答案为：3． 7.（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点．若，则的度数为_____ 【答案】或度 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， 在中，∵，，∴， ∴，∴，∴， 在中，，故答案为： ． 8.（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】 【详解】解：过点A作于点，，，， ∵，，，， 是中线，， ． 9．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【详解】解：作于点D，∵，，∴为等腰直角三角形， ∵，∴， 在中，∵，∴， ∴，∴， 综上，，． 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的两个端点均在小正方形的顶点上（仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形）： (1)在图中画出，其面积为3，且； (2)在线段上取一点，连接，使点满足，并直接写出线段的长． 【答案】(1)如图所示： (2)点如图所示： 的长为． 【详解】（1）解：取格点，连接，如图所示，理由如下： 取格点，连接，的面积为， 在中，． （2）解：取格点，连接交于点，则点即为所求的点，理由如下： ，，，，即， 与同高，．令每个小正方形的边长为1， 在中，，由，可得，． 取格点，连接,在与中，，， ，， 在中，，，解得． 1.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，矩形中，，点E在边上，点F在边上，点G、H在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（   ）． A． B． C．18 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵四边形是菱形，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，设，∴， ∵，∴，即，，∴， 在中，．即．故选：D 2．（2026·河南信阳·二模）如图1，在菱形中，，点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中的面积y与运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点Q作，交的延长线于点E， ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴为等边三角形，， ∴，∴， ∴，根据题意得：，∴， ∴，∴， 根据图2得：，∴， 在中，，∴， ∴， ∴， ∵，∴当时，y最小，为，即图象中最低点的坐标是． 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点，，，，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，∴每旋转4次回到原位置． ∵，∴第89次旋转结束时，图形旋转了．如图，旋转后的图形为四边形． 过点作于点E，过点作于点D，则． ∵点，，，且， ∴，，， ∴，，，， ∴，，，∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴则第89次旋转结束时，点C的坐标为． 4．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）已知在中，，对角线、交于点O，，，点P从点B出发，沿着方向运动到点D停止，在点P的运动过程中，若是直角三角形，则的长是______． 【答案】或或 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 在中，，， 当点在边上时，， ①若，在Rt中，； ②若，在Rt中，；当点在边上时， ③若，在Rt中，； ④若，在Rt中，， 作于，设，，， ，，， ，前三种情况点均在边上，符合题意， ，第四种情况点在延长线上，舍去， 综上所述，的长是或或． 5．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，∴，且． ∵菱形邻边相等，，∴是等边三角形，∴． 在中，，，∴，，​​ ∵，∴，即， ∵，分别为，的中点，∴是的中位线，∴，∴， ∵，∴，即，∴，∴． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，是边上一动点，作点关于直线的对称点，连接．若，则的长为____________． 【答案】或 【详解】解：如图，当点在下方时，设交于点， ∵在等腰三角形中，，，是边的中点， ∴，， ∵，∴，∴， 由对称可得，， 在中，，∴， 在中，，∴， 过点作交于点，∵，∴，，∴， 在中，，∴，∴； 如图，当点在上方时，设直线交于点，与交于点， 由（1）可知，，， ∵，∴，∴，， ∴，， 由对称可知，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴；综上所述，的长为或． 7.（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，，， ∵，∴，∴设，则， ∵，∴，在中，，， ∴，解得， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 8.（2026·河北沧州·二模）探究下列问题： 【发现】(1)如图1，在边长为1的正六边形中，对角线 ， ，与的位置关系为 ； 【应用】图2是由边长为1的正六边形构成的网格图．正六边形的顶点称为格点，已知，，，是网格图中的格点、连接、、、、与相交于点，其中． (2)分别求及的值． 【答案】(1)；2；(2)； 【详解】（1）解：在正六边形中，， ，过作交于，，且为中点， ，，，； （2）如图2，连接，，， ，，由（1）知，，， 连接，，即， 在中，，又，． 9.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知：如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为，点A的坐标为，m、n满足，将沿直线折叠，使点O在上，点O的对应点为点D，折痕交x轴于点C． (1)求点D的坐标；(2)点是射线上的一点，连接，的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，当点M在x轴正半轴运动，满足时，点M的坐标为______；(4)在（3）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)或或 【详解】（1）（1）过D作于H，如图： ，，，， ，， 将沿直线折叠，使点O落在上，的对应点为点D， ，， 设，则，在中，， ，解得，， ，， ，，； （2）当，即M在线段上不含时，如图， ，，，； 当，即M在射线上时，如图，， ；综上所述，； （3）作关于y轴的对称点R，连接，过C作于T，如图，， ， ，， ，， ，R关于y轴对称，，， ，，，即， ，，故答案为：； （4）在平面直角坐标系内存在点K，使以C、B、M、K为顶点的四边形是平行四边形，理由如下； 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得，； ②若为对角线，则的中点重合， 解得，， ③若为对角线，则的中点重合， ，解得，， 的坐标为：或或 10．（2026·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是________；①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值；(3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)③(2)(3)或(4)的长为或或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵点关于直线的对称点为点，∴，∴，∴， ∵在点的运动过程中，线段、线段与线段不一定相等，∴始终与线段相等的是线段． （2）解：如图，由（1）可知，， 点与点重合，．四边形是矩形， ，，，． 在中，，． 在中，． （3）解：①如图，当点在点的左侧时， 四边形是矩形，，．，， ∵点关于直线的对称点为点，∴，，， ．在中，， 由（1）可知，，； ②如图，当点在点的右侧时，同理可得， 在中，，． 综上所述，或． （4）解：设，如图，当点在点的左侧时，作于点． 在和中，，， ，． 四边形是矩形，． ，，四边形是矩形， ，，． 在中，，， 整理，得，解得或． 当时，点和点重合且是的中点，点是的中点，满足，符合题意； 如图，当点在点的右侧时，和中，， ，． ，，，． 在中，，． 综上所述，的长为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $