第一章 2 解直角三角形-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

2解直角三角形 已课内基础闯关 4.如图，在Rt△ABC中， 知识点①已知两边解直角三角形 ∠ACB=90°，CD是斜边 AB的中线，∠B=30°，BC= 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4, 第4题图 欲求∠A的值，最适宜的做法是 cm,则CD的长为 ( A.通过计算tanA的值求出 cm. B.通过计算sinA的值求出 5.长为6m的梯子搭在墙上与地面成30°角， C.通过计算cosA的值求出 作业时调整为45°角，则梯子的顶端沿墙面 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B 升高了 m(结果保留根号). 求出 知识点③ 已知一边及一锐角三角函数值解 2.(教材变式)如下图，在Rt△ABC中，∠C 直角三角形 90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c 根据下列条件求出Rt△ABC的其他元素： 6.在△ACB中，∠C=90,sinB= 2·若AC (1)已知a=9,c=9√2 6,则BC的长为 A.8 B.12 C.63 D.123 (2)已知a=3√5，b=3/15. 7.如图，AD是△ABC的高.若 BD=2CD=6,tanC=2,则边 AB的长为 (）BD A.32 B.35 第7题图 C.6√2 D.37 8.(2026宿州泗县期中)如下图，湖边A,B两 点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连， 经测量得∠BAC=37°，∠ABC=53°，AC= 80m.求A,B两点之间的距离（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) 知识点②已知一边及一锐角解直角三角形 3.情境应用如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走xm到达 B处，再向正北方向走到C处. 已知∠BAC=a,则A,C两处 第3题图 相距 A. m B. -m sin a cos a C.xsina m D.xcos a m 10 九年级数学BS版 已课外拓展提高 (2)再探究一般情形，如图①，证明(1)中的 9.某公司要求员工上班时通过门禁， 结论仍然成立， 在门禁上方设置了人脸扫描仪，已 【问题拓展】(3)如图③，在等腰三角形ABC 知扫描仪（线段AB)的竖直高度为 中，AB=AC,D为BC中点，以D为顶点 2.7m,某人（线段CD)身高为 作∠EDF=∠ABC=∠ACB=a,角的两 D B 1.8m,测得∠A=53°，那么该人与第9题图 边分别交直线AB,AC于点E,F,连接 扫描仪的水平距离约为 m(参考 AC EF.若EF⊥AB,直接写出CE的值（用含 数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ tana的式子表示). 1.33.结果精确到0.1m). A(E) 10.三角板是我们学习数学的好帮手.将一对 直角三角板如下图放置，点C在FD的延 长线上，点B在ED上，AB∥CF,∠F= ∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC= 图① 图② 图③ 10.求CD的长. 已综合能力提升 11.综合与实践【问题提出】如图①，在等腰三 角形ABC中，AB=AC,BC=4,D为BC 中点，以D为顶点作∠EDF=∠ABC= ∠ACB=a,角的两边分别交AB,AC于点 E,F,连接EF.试探究点D到线段EF的 知识要点归纳 距离。 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元 【问题探究】(1)先将问题特殊化，如图②， 素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知 当点E和点A重合时，点D到线段EF的 的元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角 距离为 (用含sina的式子 三角形 表示) 下册第一章 112解直角三角形 1.C 2.解：(1)由勾股定理，得b=√c2-a=√/(9√2)2-92=9. mA=号= =1,∴.∠A=45°，∴.∠B=90°-∠A=45. 故b=9,∠A=45°，∠B=45°. (2)由勾股定理，得c=√a2+b=√(35)+(3√15) 65. 后振92A=r .∠B=90°-∠A=60°. 故c=65,∠A=30°，∠B=60. 3.B4.1 5.(3√2一3)【解析】如图，由题意可知，∠ABO =30°，∠A'B'O=45°，AB=A'B'=6m, ∴.AO=ABsin30°=3m,A'O=A'B'sin45° 3√2m,∴.AA'=A'0-AO=(3V2-3)m,即BB0 梯子的顶端沿墙面升高了(3√2一3)m. 6.C7.C 8.解：，∠A=37°，∠B=53°，∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴.∠ACB=90°. 在Rt△ACB中，，'∠BAC=37°，AC=80m, ·AB=AC80 cos37≈0.80=100(m). 故A,B两点之间的距离约为100m 9.1.2 10.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M. E B 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=10, ∴.∠ABC=30°，BC=ACtan60°=10√5. AB∥CF, .∴.∠BCM=∠ABC=30° 在Rt△BMC中，BM=BCsin30°=5√3，CM=BCcos30°= 15. 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴.∠EDF=45° 又BM⊥FD,∴.∠MBD=45°=∠BDM, ,.MD=BM=5√3，.CD=CM-MD=15-53. 11.解：(1)2sina (2)证明：如图①，过点D作DM⊥EF于点M,DN⊥CF于 点N,易得DN=CDsina=号BCsina=2sine, '∠EDF=∠ABC=∠ACB=a, ∴.a+∠BED=∠EDC=a+∠CDF, .∠BED=∠CDF,.△EBDC∽△DCF 00器提 :∠EDF=∠ACB=a,∴.△EDF∽△DCF, .∠EFD=∠CFD,∴.DM=DN=2sina, 即点D到线段EF的距离为2sina. D 图①D 图② 九年级数学BS版 (3=1tane. 【解析】(1)：AB=AC,BC=4,D为BC中点， .AD⊥BC,BD=CD=2,∠BAD=∠CAD. :∠EDF=∠ABC=a,∴∠AFD=∠ADB=90°， .DF⊥AC,.点D到线段EF的距离即为DF的长 DF DF 在R△CDF中，sina=DC=2DF=2sina (3)连接AD,作DP⊥AB于点P,如图②. 设BP=1,则DP=tana, ∴.BD2=1+tan2a. AB=AC,D为BC中点， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ADB=90°.，∠BPD=90°，∠B=∠B ∴△BPD△BDAS BD2 1+tan'a=1+tan'a. :.AB-BP 1 同(2)易得△EBD∽△DCF∽△EDF, ∠BED=∠DEF·BDCF EB DC ∠BED=∠DEF=2∠BEF=45, ∴PE=PD=tana,∴.BE=1+tana, ..CF=BD: 1+tan'a AC AB BE 1+tan a ∴S=CF-=1+ana 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1.A【解析】如图①、图②，分别过点A,P作AD⊥BC于点 D,PH⊥QR交QR的延长线于点H,则h1=5sin55°，h2= 5sin(180°-125°)=5sin55°，∴.h1=h2. 5 1259/ 55 ... D R 图① 图② 2.(1)3(2)2 【解析】(1)如图，过点C作CE⊥AB于点 E.设CE=x 在R△ACE中，：anA=AE=2' CE 1 ∴.AE=2x,∴.AC=CE2+AE2=√5x=√5，解得x=1, .CE=1,AE=2. 在Rt△BCE中，：sinB= 2∠B=45°， E--1 .'.AB=AE+BE=3. (2):CD是△ABC的中线BD=号AB=1.5, .'DE=BD-BE=0.5, CE 1 ÷ian∠CDE=D0.5-2, 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题查可知，∠CA=30,AD=号AC=5,CD- ACeos30°=2V5x5 3 ,∠BCA=75°，