专题1.1 锐角三角函数（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级下册

专题1.1 锐角三角函数 教学目标 1.经历借助相似直角三角形探究边角比值的过程，理解正切、正弦、余弦的定义；知道在 Rt△中，锐角确定，对应边的比值唯一确定，理解锐角三角函数是锐角的函数。 2.能在直角三角形中准确识别锐角的对边、邻边、斜边，正确写出(tan A、sin A、cos A)，会根据边长求三角函数值，已知函数值和一边长求边长。 3.会使用科学计算器求任意锐角的正弦、余弦、正切值；会根据三角函数值，用计算器反求对应的锐角，掌握度分秒换算。 4.通过比较梯子倾斜程度的探究活动，感受从生活直观到数学抽象的过程，体会数形结合、类比、函数对应思想。 5.借助相似三角形解释 “角度固定，比值不变”，发展几何直观与逻辑推理素养。 6.感受三角函数刻画倾斜程度的实用价值，体会数学模型思想；在探究中养成严谨表达、规范书写的习惯，发展数学抽象、运算能力、模型观念。 教学重难点 1.重点 （1）正切/正弦、余弦的定义；能在直角三角形中进行三角函数相关计算；利用正切判断倾斜程度。 （2）用计算器求三角函数值、由三角函数值求锐角（反三角函数）。 2.难点 （1）理解三角函数的函数本质：三角函数值只和锐角大小有关，与直角三角形大小、边长长短无关（相似三角形说理）。 （2）准确区分对边、邻边，容易混淆tanA、sinA、cosA的比值形式。 知识点01锐角三角函数的定义 1.正切：在Rt△ABC中，若果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切（tangent），即tanA=。 2.正弦：∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA，即：sinA=。 3.余弦：∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（cosine），记作cosA，即：cosA=。 锐角A的正弦、余弦和正切都是三角函数（trigonometric function）。 当锐角A变化时，三角函数的值也随之变化； tanA的值越大，梯子越陡； sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 【即学即练】 1.（25-26九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意；，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意；，故D选项不成立，符合题意．故选D． 2.（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在中，，根据锐角三角函数的定义： 正切：；正弦：；余弦：， 对式子逐一分析：因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个．故选：B． 3.（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变，故选：C． 4.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：根据题意，在中，，，米， ∵，∴（米）． 5．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1，如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴，∴是直角三角形，且， ∴． 6．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点．(1)求的长；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，垂足为点，， 在中，，，，； （2）解：在中，由勾股定理得：， ，，， 在中，，． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大，∴；故选A． 知识点02 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【即学即练】 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴为锐角，又∵，∴． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角三角形． 3．（25-26九年级·广东·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵是锐角，且，∴，， 原式．故答案为：． 4．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）计算： 【答案】1 【分析】先计算特殊角的正弦、余弦、正切值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解：原式． 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）求下列各式的值： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 知识点03 科学计算器求三角函数值 1．用科学计算器求三角函数值按键顺序： 2.已知三角函数值求角度按键顺序： 【即学即练】 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 【答案】C 【详解】解：A、按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； B、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； C、  按键的结果为，原计算结果错误，故此选项符合题意； D、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意；故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解：采用科学计算器计算，按键顺序正确的是B选项中的顺序．故选：B． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）运用课本上的科学计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是_______．    【答案】 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式： ． 故答案为：． 题型01 正切的概念辨析 【典例1】（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在中，∵，∴ 【变式1】（25-26九年级下·成都·月考）在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【详解】解：∵在中，，∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 【变式2】（24-25九年级上·湖南·期末）在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变，∴tanA的值不变．故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的高，∴均为直角三角形， 又∵，，∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意．故选：B． 题型02 求角的正切值 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：连接，∵，，∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，∴，， ∵，∴，∴是直角三角形，∴， ∴ ．故答案为：． 【变式1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，，∴． 【变式2】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，，，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图，∵在中，，，，∴． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：当点在边上时，如图1： ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，在中，； 当点在的延长线上时，如图2：同理可得， ∵，∴，在中，； 综上，的值为或． 题型03 已知正切值求边长 【典例1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴在中，，∴．故选：B． 【变式1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，∴． 【变式2】（26-27九年级下·江苏·专项训练）在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，，∴，∴．∴． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 【答案】或 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上，∵ ，设，则， 在中，，∴，解得（负值舍去）∴，， 在中，，∴，∴； 情况2：垂足在线段延长线上，同理可求，，，∴； 综上，的长为或. 题型04 正弦的概念辨析 【典例1】（26-27九年级下·成都·课后作业）在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 【变式1】（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴，∴的正弦值不变． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴．故选A． 【变式3】（25-26九年级上·广西·期末）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， 在中，故A、B不符合题意；在中，，故C符合题意； ∵，，∴， 在中，，∴，故D不符合题意；故选：C． 题型05 求角的正弦值 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，，∴， ∴是直角三角形，且，∴． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，，∴． 【变式2】（26-27九年级上·湖南邵阳·阶段检测）在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 则． 【变式3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图，∵四边形是菱形，∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴． 题型06 已知正弦值求边长 【典例1】（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：，是中边上的中线， ，，， ，， ，，，，过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ，，． 【变式1】（26-27九年级上·江苏·期中）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：在中，．，，，． 【变式2】（26-27九年级下·江苏·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：，∴． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【详解】解：∵点为正方形的边上一点，∴，， ∵是的中线，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． 题型07 余弦的概念辨析 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，为斜边，为的邻边，． 【变式1】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴，，∴，∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意，故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意；、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意；故选：． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍，的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化，故选：C 题型08 求角的余弦值 【典例1】（26-27九年级上·广东·阶段检测）在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，，，． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴． 【变式2】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，∴． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ，故选：A． 题型09 已知余弦值求边长 【典例1】（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，，∴，∴ ． 【变式1】（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴，∴． 【变式2】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴，解得， ∵四边形是菱形，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，，，，.故选：B． 题型10 特殊角的三角函数及混合运算 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）求值：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）________，________． 【答案】 【分析】直接写出特殊锐角的三角函数值即可． 【详解】解：根据特殊锐角三角函数值，可得，． 【变式2】（26-27九年级上·江苏·单元复习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)．(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 【变式3】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)．(2)． 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． 【变式4】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型11 根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【详解】解：∵为锐角∴∴ ∵，且∴∴． 【变式1】（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ______． 【答案】60° 【详解】解：在中，，则， ，，故答案为：． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________． 【答案】/30度 【详解】∵为锐角，且，∴． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ，解得，经检验是锐角，符合题意．故选：B． 【变式4】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，，即 ，， ∵ ，均为锐角，∴ ，，∴ ． 题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状 【典例1】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，，， 的三个内角都是，因此是等边三角形． 【变式1】（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负，；∴，． ∵、为锐角，∴，，则，∴为等边三角形． 【变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【详解】解：∵，， ∴，，∴，，∴，， ∴，∴是钝角三角形，故答案为：钝角． 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【详解】解：∵，且是锐角，∴， ∵，且是锐角，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形． 题型13 锐角三角函数的增减性 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角，∴． ∵，，∴，∴，∴． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，且，∴，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）_____（填“或”）． 【答案】 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ，；故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，故选：B． 【变式4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且，∴；故选A． 题型14 科学计算器的使用 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 【变式1】（26-27九年级下·成都·单元测试）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，∴， ∴计算器按键顺序为． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用科学计算器求这条斜坡倾斜角的度数时，按键顺序为: ．故选：A． 【变式3】（26-27九年级下·浙江·专项训练）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，故选B． 【变式4】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：，， ；故选：C． 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，． 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，若，， ，． 3．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中， ，，，． 4.（26-27九年级下·山东·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，，∴， ∴， 由勾股定理得，． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：如下图所示，在中，，，米， ，，米，小旺下降的高度为米． 6．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵，∴选项B正确；∵，∴选项C错误； ∵ ，∴选项D正确．故选：C． 7.（25-26九年级上·山东淄博·期中）2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为；④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：按键顺序正确，故正确； ，，，在中，，米，故正确； 坡角为，故错误； ，，，故正确；故选：C． 8．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如果中，，那么是______三角形． 【答案】等腰直角 【详解】解：∵，∴，∴， 故是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【详解】解：，，即，故答案为：． 10．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ，四边形是菱形，，， ，，在中，， ，，． 故选： D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段检测）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在中，，， ∴设，则，∴，∴，故选：A． 3.（25-26九年级上·安徽马鞍山·阶段检测）在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵，∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的，∴的对边与斜边的比值不变，∴的值不变．故选：C． 4．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确，故选：D． 5．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：过点A作于点D，则， ∴．∴， 是线段的垂直平分线，，即，是等腰三角形．故选C． 6．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【详解】解：∵，∴锐角时，的值大于．故选：B． 7．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，由图可得，，，，， ∴，∴． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【答案】/ 【详解】解：，，，， 由勾股定理得：，，故答案为：． 9．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则______． 【答案】 【详解】解：如图，，∵，∴， ∵，∴，即．故答案为：． 10．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，画图如下，过点作，垂足为， ∵，，∴，， ∵，∴，∴． 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则线段的长为________． 【答案】或 【详解】解：①当点在延长线上时，如图，过点作垂直于于点， 在中，，，设，，， ，，，，， 在中，，； ②当点在上时，，在中，，； 综上可知，线段的长为或． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高，，，． 在和中，，， 又，，． （2）解：∵在中，，∴可设，， ∵，． ，又，． ∵，，，． （3）解：设，，， ∵，∴，． ，则，， ∴，∴，解得，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 锐角三角函数 教学目标 1.经历借助相似直角三角形探究边角比值的过程，理解正切、正弦、余弦的定义；知道在 Rt△中，锐角确定，对应边的比值唯一确定，理解锐角三角函数是锐角的函数。 2.能在直角三角形中准确识别锐角的对边、邻边、斜边，正确写出(tan A、sin A、cos A)，会根据边长求三角函数值，已知函数值和一边长求边长。 3.会使用科学计算器求任意锐角的正弦、余弦、正切值；会根据三角函数值，用计算器反求对应的锐角，掌握度分秒换算。 4.通过比较梯子倾斜程度的探究活动，感受从生活直观到数学抽象的过程，体会数形结合、类比、函数对应思想。 5.借助相似三角形解释 “角度固定，比值不变”，发展几何直观与逻辑推理素养。 6.感受三角函数刻画倾斜程度的实用价值，体会数学模型思想；在探究中养成严谨表达、规范书写的习惯，发展数学抽象、运算能力、模型观念。 教学重难点 1.重点 （1）正切/正弦、余弦的定义；能在直角三角形中进行三角函数相关计算；利用正切判断倾斜程度。 （2）用计算器求三角函数值、由三角函数值求锐角（反三角函数）。 2.难点 （1）理解三角函数的函数本质：三角函数值只和锐角大小有关，与直角三角形大小、边长长短无关（相似三角形说理）。 （2）准确区分对边、邻边，容易混淆tanA、sinA、cosA的比值形式。 知识点01锐角三角函数的定义 1.正切：在Rt△ABC中，若果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫作∠A的正切（tangent），即tanA=。 2.正弦：∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA，即：sinA=。 3.余弦：∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（cosine），记作cosA，即：cosA=。 锐角A的正弦、余弦和正切都是三角函数（trigonometric function）。 当锐角A变化时，三角函数的值也随之变化； tanA的值越大，梯子越陡； sinA的值越大，梯子越陡； cosA的值越小，梯子越陡。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 【即学即练】 1.（25-26九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 4.（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 6．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点．(1)求的长；(2)求的值． 7．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【即学即练】 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 3．（25-26九年级·广东·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 4．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）计算： 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）求下列各式的值： (1)；(2)． 知识点03 科学计算器求三角函数值 1．用科学计算器求三角函数值按键顺序： 2.已知三角函数值求角度按键顺序： 【即学即练】 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）运用课本上的科学计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是_______．    题型01 正切的概念辨析 【典例1】（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·成都·月考）在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【变式2】（24-25九年级上·湖南·期末）在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 题型02 求角的正切值 【典例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【变式1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，，，，则__________． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 题型03 已知正切值求边长 【典例1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【变式2】（26-27九年级下·江苏·专项训练）在中，，，，则的长为___________． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则的长为______________． 题型04 正弦的概念辨析 【典例1】（26-27九年级下·成都·课后作业）在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广西·期末）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型05 求角的正弦值 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·湖南邵阳·阶段检测）在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型06 已知正弦值求边长 【典例1】（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（26-27九年级上·江苏·期中）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【变式2】（26-27九年级下·江苏·单元复习）如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 题型07 余弦的概念辨析 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 题型08 求角的余弦值 【典例1】（26-27九年级上·广东·阶段检测）在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 题型09 已知余弦值求边长 【典例1】（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南昆明·二模）如图，是一块直角三角形的绿化带，，已知，绿化带的斜边长度为米，则绿化带的直角边的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 题型10 特殊角的三角函数及混合运算 【典例1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）求值：________． 【变式1】（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）________，________． 【变式2】（26-27九年级上·江苏·单元复习）计算： (1)；(2)． 【变式3】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)．(2)． 【变式4】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)；(2)． 题型11 根据特殊角三角函数值求角的度数 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【变式1】（2025·四川成都·一模）在中，，，则 ______． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则锐角________． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）在中，，均为锐角，且满足，则__________． 题型12 由特殊角三角函数值判断三角形的形状 【典例1】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【变式1】（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【变式2】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【变式3】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 题型13 锐角三角函数的增减性 【典例1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）______（选填“”或“”或“”）． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）_____（填“或”）． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 题型14 科学计算器的使用 【典例1】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级下·成都·单元测试）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东淄博·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级下·浙江·专项训练）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4.（26-27九年级下·山东·单元复习）在中，，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26九年级上·山东淄博·期中）2024年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米；③坡角为；④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如果中，，那么是______三角形． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期末）比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 10．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）计算下列各题： (1)；(2)． 1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段检测）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·安徽马鞍山·阶段检测）在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 4．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 7．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 9．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则______． 10．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，，，则线段的长为________． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $