第一章 1 第2课时 正弦和余弦-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学（北师大版·新教材）

第2课时 已课内基础闯关 知识点① 正弦和余弦 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=B 90°，AC=2,BC=1,则sin B ch 的值为 ()第1题图 A号 C26 D.2 5 2.在△ABC中，∠C=90°，则下列等式不成立 的是 ( BC A.sin A=AB B.sin B-AB C C.cosA= AC C D.cos B- BC AB 3.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c.已知a=6,b=8,则cosA的值为 4.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, eosA=号求BC的长及snA的值。 知识点②正弦、余弦与梯子的倾斜程度 5.情境应用如图，梯子与地面 所成的锐角为∠a.关于∠a 的三角函数值与梯子的倾斜 第5题图 程度之间的关系，下列叙述正 确的是 正弦和余弦 A.sina的值越小，梯子越陡 B.cosa的值越小，梯子越陡 C.梯子的长度决定倾斜程度 D.梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关 知识点③锐角三角函数的综合 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,AB=3, 那么下列各式中，正确的是 () 2 A.sin B=3 2 B.tan B= 3 C.cos B-3 D.tan B-2 7.在如图所示的正方体中， sin∠BD,B1 的值为 B ,cos∠BD1B1的 A D 第7题图 值为 ,tan∠BD,B1的值为 8.转化思想如下图，在△ABC中，AD⊥BC, AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6, tan∠ACB=l. (1)求BC的长 (2)求sin∠DAE的值. 下册第一章 3△ 已课外拓展提高 9.古代数学文化如图所示的是源 于我国汉代数学家赵爽的“弦 图”，它是由四个全等直角三角 形与一个小正方形拼成的一个第9题图 大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形 的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 a,则cosa的值为 ( ) A c 4 D. 10.如右图，在△ABC中，∠ACB A 专90tanB三3AB=5 (1)BC的长为 (2)已知点D在AB上，且 ∠CDB=∠B.求sin∠DCB的值， 色综合能力提升 11.推理能力如图，根据图中数据完成填空， 再按要求答题： C V3 A C2 1 A2 图① 图② B 图③ 图④ 九年级数学BS版 sin2A+sinB= sin2A2+sin2B2= sin2A3+sinBa= (1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中， ∠C=90°，都有sinA+sinB= (2)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.利用 三角函数的定义和勾股定理，证明你的 猜想。 5 (3)已知∠A+∠B=90,且sinA=3求 sin B. 知识要点归纳 1.正弦：在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边 的比叫作∠A的正孩，记作sinA,即sinA ∠A的对边 斜边 2.余弦：在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边 的比叫作∠A的余孩，记作cosA,即cosA =∠A的邻边 斜边 3.锐角A的正孩、余孩和正切都是∠A的三角 函数.详解详析 第一章直角三角形的边角关系 ..AE=8,..AD=DE+AE=10. (2)由(1)，得DE∥BC, 1锐角三角函数 能0博亮-品c=16 第1课时正切 EC168 1.A2.C :am∠CDE-是-号-亨 3.B【解析】如图 13.解：如图所示，∠MON即为所求。 设每个方格的边长为1，则AD=4,CD=3. 由图，得∠MOH=a,∠NOH=3,∠MON 在R△ACD中，tanA=CD=-3 =a-3. AD4 在△MFN和△NHO中， 4.17 D MF=NH, 5.解：AB=AC=5,AD是中线，且AD=4,.AD⊥BC, ∠F=∠NHO, 六BD=VAB-AD=3,∴tan∠BAD=BD=3 FN=HO. AD 4 .△MFN≌△NHO(SAS), 6.A7.乙8.75m 变式题33m ∴.MN=NO,∠MNF=∠NOH. 9.C【解析】如图. ,∠NOH+∠ONH=90°， AC⊥CD,EO⊥CD ∴.∠ONH+∠MNF=90°， ∴.AC∥EO,.∠A=∠a B .∠MNO=90°，.∠MON=∠NMO=45°， 同理可得∠B=∠B. 即a-B=45°. '∠a=∠B,∴∠A=∠B. 第2课时正弦和余弦 ,∠ACO=∠BDO,∴.△AOC∽△BOD 品品20-解得0C=4 1.c2c3号号 :.tan a=tan A-AC-3 0C4 4解：在R1△ABC中，∠C=90,osA=AC AB' 10.5 cos A=2 11.2【解析】如图①，连接BE交CD于 AC=66品-号解得AB=9, 点F,连接BD. .BC=√AB-AC=√⑨-6=35， 由题意，得四边形BCED是正方形， BC√5 .'sin A= .DF-CF-CD.BF-BE.CD AB 3' 图① =BE,BE⊥CD,BF=CF. 5B6c1誓誓号 由题意，得BD∥AC,∴.△BDP∽△ACP, 8.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6, ..DP:CP=BD AC=1:3...DP:DF=1:2, ∴.BD=√AB-AD=8. DP-PF-2CF-2 BF. '.'tan /ACB=1,.'.CD=AD=6, ∴.BC=BD+CD=8+6=14. 在RIAPBE中，an∠BPF=pF2 (2):AE是BC边上的中线∴CE=BC=7, :∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2. 一题多解法 .DE=CE-CD=7-6=1. AD⊥BC,AE=√AD+DE=37, 如图②，过点B作BE∥CD交 A 网格顶点于点E,连接AE, 血∠DAEE- ∴∠ABE=∠APD.设每个方 9.D 格的边长为1，则AE=22, 10.解：(1)3 BE=√2，AB=0.AE+ 图② (2)如图，过点D作DE⊥BC于点E,则 BE2=AB2,.△ABE为直角三角形，且∠AEB= AE_21-2. 90,1 tan ZABE-BE-尼 mB-专EBE-子DE CE=BC-BE=8-是DE, .tan∠APD=2. :∠CDB=∠B,.CD=CB=3. 12.解：(1)DE⊥AC,.∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC, CD=CE+DE, :∠ADE=∠B,tan∠ADE=tanB=3 4 3=DE+(3-DE)'DE=2号 25 6=3· iim∠DcB-PDE-2A DC=25 下册详解详析 11.解：111(1)1 ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3. (2)证明：在Rt△ABC中，∠C=90° tan A= 1 smA=名smB-名∴sA十smB=a+h 3 .BC=1,AB=√AC2+BC=√Io. .a+2=c,..sinA+sin2B=1. 设AE=x,则EC=3一x. (3)'.'sinA= 13'sin'A+sin'B=1. 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, 解得x= 54 3BC=3-3=3: 第3课时30°，45°，60°角的三角函数值 im2A=m∠BC-瓷-是 ②如图，作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA, 1.A2B3号 则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 4.3【解析】：31an45°=3×1=3,2sin60°=2× ③ 设EM=,则CM=EC-EM=专-y 2 =5, :∠MBE=∠EBA,设点E到AB,BM边上的距离为d. 1 4c0s60°=4×2=2,3>2>√3， AB·d 1 2AE·BC .max{3tan45°，2sin60°，4cos60°}的值为3。 根据等面积可得 5解：6)原式--月-9-=-6+ 2BM·d 2EM·BC 2 (2原式--2x()+×()- 、.AB=5,即BMy,·BM=20 AE 1103 在Rt△MBC中，BM=CM+BC2, 6.C7.C8.B9.60°10.4V5 3)-()+1 11.120°【解析】如图，过点G作GH⊥m1 解得一的y:=一（不合题意，舍去） 25 5 于点H. 在Rt△GHO中，GH=√3，OG=2. 0 即EM 39,CM= 4259 3-39=13 n∠60H-80- BC113 2 .tan3A=tan∠BMC CM9=9 .∠G0H=60°，∴.∠G0P=120°. 13 12.A【解析】，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0), 第4课时三角函数的计算 A(0,1),B(W3,0),∴.∠AOB=90°，OA=1,OB=√5， 1.A2.C3.B变式题D 六tan∠AB0=OA-E 0B-3∠AB0=30,AB=20A=2. 4.1.6【解析】在Rt△BCD中，：∠B=90°，∠BCD=55°，CD =6m,.BD=CDsin∠BCD=6sin55°，∴.AD=AB-BD 由旋转的性质，得∠ABA'=60°，A'B=AB=2, =6.5-6sin55°≈1.6(m).故梯子的顶端与墙顶的距离AD约 ∴.∠OBA'=∠ABO+∠ABA'=90°，即A'B⊥x轴， 为1.6m. ∴.A'(5,2) 5.42m【解析】如图，过点A作AE⊥BC 13.6-2 于点E,则四边形ADCE为矩形， .'EC=AD=10 m. 14.12【解析】过点A作AG⊥CF于点G,如图 ·∠AEF=∠AGF=∠GFE=90°， 在Rt△AEC中，ian∠EAC=EC E,则 7 .四边形AGFE是矩形. EC 10 A--------GG ..AE=GF=4 m. AE=an17*0.37≈32.3(m. ∠CAE=120°，∴∠CAG=30. 在Rt△AEB中，∠BAE=45°， 在△AGC中，sin30°=CC_CG ∴.BE=AE≈32.3m,∴.BC≈10+32.3≈42(m). AC161 6.解：(1)证明：，AB∥CD,.∠CDG=∠A. :∠FEC=∠A,∴∠FEC=∠CDG,∴.EF∥DG ∴.CG=16sin30=16×2=8(m, :FGCD,∴.四边形DEFG为平行四边形. ∴.CF=CG+GF=8+4=12(m). (2)过点G作GP⊥AB于点P,如图. 15.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, ,四边形DEFG为平行四边形 ∴.DG=EF=6.2m. .AB=√AC+BC=5,AD=AB=√5， AD=1.6m, A CD-AD+AC=2+5..tan=tan D=D=V5-2 ∴AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8(m). :【解析】(2)①如图，作AB的垂直平分线 在△APG中aA胎， ∴.PG=AGsin A≈7.8×0.96≈7.5(m). 交AC于点E,连接BE,则AE=BE,∠A=∠ABE, 故雕塑的高约为7.5m. .∠BEC=2∠A. 九年级数学BS版