精品解析：山东省聊城第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试卷

聊城一中 2025 级高二上学期第一次阶段性测试 数学试题 时间：120 分钟　　满分：150 分 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，直线的方程为，则直线的倾斜角可能为（　　） A. B. C. D. 3. 已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A. B. C. D. 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分） 9. 以下四个命题表述正确的是（　　） A. 已知直线，则点 到直线的最大距离为 B. 若圆的半径为 ，圆心在第一象限，且与直线和 轴都相切，则该圆的标准方程是 C. 已知点在圆 上，的最大值为 D. 已知的三边所在直线方程分别是，，，则的平分线所在直线方程为 10. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且平面，则 D. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A. 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 如图，长方体中，若，则到平面的距离为______． 13. 已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________． 四、解答题（共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点． （1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． （2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ （3）是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 16. 如图，在正四棱锥中，，分别为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：四点共面； （3）点均在球的球面上，求的表面积． 17. 已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． （1）若﹐求直线l的方程： （2）若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． （1）现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． （2）如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 19. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城一中 2025 级高二上学期第一次阶段性测试 数学试题 时间：120 分钟　　满分：150 分 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 1. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 2. 已知，直线的方程为，则直线的倾斜角可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线方程为，， 当时，直线方程化为，即， 此时直线垂直于轴，斜率不存在，其倾斜角为； 当时，直线方程可化为斜截式，直线的斜率， 因为且，可分以下两种情况： 若，则，此时直线的倾斜角； 若，则，此时直线的倾斜角. 综合上述情况，直线的倾斜角的取值范围是. 所以只有选项C符合题意. 3. 已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【详解】由是直线的一个法向量，可知直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：C 4. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 5. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，即可求出方程 【详解】直线将这五个正方形分成面积相等的两部分， 在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过， 所以直线方程为. 故选:C. 【点睛】本题考查直线方程，属于基础题. 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 设上底面圆心为，下底面圆心为，连接 以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则 则 又异面直线所成角的范围为 故异面直线与所成角的余弦值为 故选：A 7. 已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 8. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分） 9. 以下四个命题表述正确的是（　　） A. 已知直线，则点 到直线的最大距离为 B. 若圆的半径为 ，圆心在第一象限，且与直线和 轴都相切，则该圆的标准方程是 C. 已知点在圆 上，的最大值为 D. 已知的三边所在直线方程分别是，，，则的平分线所在直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项通过分离参数求出直线恒过定点，将点到直线距离的最大值转化为两点间距离求解；B选项根据与x轴相切设出圆心坐标，利用圆心到已知直线的距离等于半径列方程求解；C选项将所求式转化为圆上点与原点连线的斜率，结合直线与圆相切的几何性质求最值；D选项利用角平分线上的点到两边距离相等列出含绝对值的方程，化简后再结合线段两端点坐标的正负号判断出内角平分线. 【详解】对于A选项，将直线的方程整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 点到直线的最大距离即为线段的长度， 其值为，故A正确； 对于B选项，因为圆心在第一象限且与轴相切，半径， 所以设圆心坐标为，且， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 化简得，解得或（舍去）， 所以该圆的标准方程是，故B错误； 对于C选项，将圆的方程化为标准方程得 ， 圆心为，半径，可看作，即动点与原点连线的斜率， 设，即直线， 如图，当直线与圆相切时，取得最值，由点到直线的距离公式得， 两边平方并整理得，解得， 所以的最大值为，故C错误； 对于D选项，由角平分线上的点到角两边距离相等可知，平分线上的点满足： ，即， 化简可得两条角平分线所在直线方程或， 又因为，，则的平分线所在直线的斜率在和之间， 所以直线为的平分线所在直线方程，故D正确. 10. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且平面，则 D. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解判断各选项. 【详解】由题意可知两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． 列表解析 ： 选项 正误 原因 A √ ，又，故 B × ，，则，所以不垂直． C √ ，，则．而，，设为平面FGD的法向量，则则可取．若平面，则与平面的法向量垂直，所以，即，解得． D √ 易得为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选：ACD. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A. 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D. 【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 取等号时，所以最大距离为，正确； 对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确； 对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题 5 分，共 15 分） 12. 如图，长方体中，若，则到平面的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距离. 【详解】因为，所以， ，设平面的法向量为，由，可得 ，取，则， 即到平面的距离为. 故答案为： 13. 已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，的等量关系，由两点间距离公式可知为原点到距离的平方.结合题意，点在直线上，即可由点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边 则 点在直线：上， 表示原点到的距离平方， 当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小 则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9 故答案为：. 【点睛】本题考查了两点间距离公式的意义及应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，，动点分别在和上，．当最小时，点到平面的距离为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用建立空间直角坐标系，向量法求解出最小时，的坐标，进而利用点到平面的距离公式求解得出 【详解】建立以B为原点的空间直角坐标系，以BA为x轴，BC为y轴，过B作垂直于平面ABCD的直线为z轴， 由正方形边长，得 设，则， 当时，取得最小值，此时,， 设平面的一个法向量为,，则， 令，则，故， 点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题（共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点． （1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． （2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ （3）是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2），最大距离为 （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【小问1详解】 过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． 【小问2详解】 作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． 【小问3详解】 由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 16. 如图，在正四棱锥中，，分别为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求证：四点共面； （3）点均在球的球面上，求的表面积． 【答案】（1）； （2） 解法一： 因为，平面的法向量， 所以，又因为点平面， 故点在平面中，即四点共面． 解法二： 因为，，， 所以． 所以四点共面． （3）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，再求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解； （2）法一：与平面的法向量垂直，又因为点平面，即可得证； 法二：写出的坐标，注意到，根据空间向量共面定理，即可判断； （3）设球心，由以及空间中的两点间距离公式列出方程，解得，继而确定球的半径，再运用球的表面积公式即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接，则平面， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，，， 因为分别为中点，所以，， 因为为靠近点的三等分点，所以， 因为，，． 设平面的法向量，则 即，取． 设直线与平面所成角为，则 ． 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设球心，由得， 解得． 设球的半径为，则， 所以，所以球的表面积为． 17. 已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点． （1）若﹐求直线l的方程： （2）若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值． 【答案】（1）或； （2） 由直线可知直线过定点， 又，可知，又直线，， 所以， 如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N， 所以，， 所以，即， 又，， 所以为定值， 若直线过圆心，则与重合，与重合，显然， 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得； （2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得. 【小问1详解】 由圆，可知圆心为，半径为2， 因为，直线，即， 所以， 解得或， 所以直线方程为或， 即或； 【小问2详解】 略 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”． （1）现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．在平行六面体中，，，建立“空间斜坐标系”如图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． （2）如图三棱锥为的中点，点满足，利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）设分别为与同方向的单位向量，则， ①，由此能求出结果； ②由题，由，知，由，能求出，进而求出结果； （2）方法一：仿照（1）中的方法进行求解；方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则， ① ； ②由题， 由，知， 由，知： ， ， ，解得. 则. 【小问2详解】 方法一：设，如图，以分别为轴正方向上的单位向量，建立斜坐标系： ①， 设， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设平面的法向量为， 所以，即，取，得， 设二面角的平面角为， ， 从而， 所以二面角的正弦值为； 方法二：设， 因为为中点，， 所以， ，显然有， 因此，显然， 有，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 于是有，令，则. 设平面的法向量为， 于是有，令，则， 平面与平面的夹角的余弦值为， 故求二面角的正弦值：． 19. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）连接，， 由平面过直线，且，平面，则平面是平面， 因为平面，平面平面，所以， 结合（1）的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 又，，，， 则，所以， ，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 显然是平面的一条法向量， 又平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 即点，分别为侧棱，的中点，且平面的法向量为， 又点 满足（ ）， 结合（1）有， 则， 又平面，则， 所以，解得， 所以存在点（为的三等分点，且靠近处），使得平面与平面的夹角为． 结合（1），在中有，则， 在正三角形中，有，则， 又平面，，则平面， 又平面，则， 所以此时的面积为． 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质，及三角形的性质证明线线垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据空间向量的线性关系确定点的坐标，进而利用等体积法即可求出三棱锥的体积； （2）先根据线面平行的性质证明，再结合（1）的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值求出点，的位置，再根据平面的法向量与平面内直线的关系求出的值即可判断是否存在点，并求处此时的面积即可． 【小问1详解】 取的中点，取的中点，连接，，则， 又平面，则平面， 又平面，则，， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在，由，， 则，，，， 在正三角形中，，则， 所以，，， 又点 满足（ ）， 则，则， 若，则，即点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $