精品解析：山东临沂市临沭县实验中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

临沭县实验中学2026-2027学年上25级数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，，则直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而可求得该直线的倾斜角. 【详解】由题意得直线的斜率. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 3. 已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系． 【详解】因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题． 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量基本定理求解即可. 【详解】解：由，点为的中点， 可得， 又，． 故选：C. 5. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得. 故选：D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C 7. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 8. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直判断A；求出平面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值判断B；由法向量与相等，证明平面可判断C；由点到平面距离的向量法可求得点到平面的距离可判断D. 【详解】在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量模长的坐标表示、线线角、点面距离的向量法判断B、C、D；由空间向量加减、数乘的几何意义用相关向量表示出判断A. 【详解】因为面面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，，设平面的法向量为，则， 令，解得，所以，又， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对称关系得到点的坐标，再应用两点距离公式即可求出，两点间的距离． 【详解】又，则 点关于y轴对称的点为， 又，则， 所以，两点间的距离为． 故答案为：． 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，连接，作垂直，垂足为，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求点到直线的距离. 【详解】如图，以向量，，所在方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 连接，作垂直，垂足为， 由，，，得，， 所以， 又，所以点到直线的距离. 故答案为： 14. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值. 【详解】， 由与平行可得，解得. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB， 因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沭县实验中学2026-2027学年上25级数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过点，，则直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 150° 2. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 3. 已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合 4. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. （4，0，3） B. （4，0，3} C. （2，2，-1） D. （2，2，-1） 7. 设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 10. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 异面直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，已知，，点关于轴对称的点为，则，两点间的距离为______． 13. 长方体中，，，则点到直线的距离等于__________. 14. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $