山东聊城第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年高二上学期数学 2026.1 班级： 姓名： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 1.已知等差数列{a,}的前n项和为S,4=亏a+a,=4,则S,=（） 人曾 。号 C.8 D.9 2若双曲线E:号茶=1收>06>0)的实销长为皮长的互位，则E的高心字为() A.5 B.2 D.6 2 2 3.记Sn为公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，则下面说法不正确的是() A.S3,S6-S3,S,-S6成等差数列 S,,三成等差数列 3’6’9 C.S,=3(S6-S3) D.S,=2S6-S3 4设x,y∈R,向量ā=(xl,1),向量b=(1y,l),c=(3,-6,3),且a1c,611,则2a+=() A.√0 B.3 C.4 D.3√2 ,则m 5等差数列{o,}前n项的和为，已知a+a1-3a=0m≥2m∈N),S-38 () A.7 B.8 C.9 D.10 6.在平面直角坐标系x0y中，记平面内一动点P(x,yo)(x≥0)，若点P在直线x+y=4上，则 +√x后+哈的最小值为（) A.2 B.4 C.6 D.8 7记椭圆E:+y 合京+=1(>b>0)的左，右焦点分别为R,B,下顶点为B,直线B那与E相交于另 点A,若8F,A=-7FB,则E的离心率为() A.3 B.⑤ c.2v2 D. 15 15 15 15 第1页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知F是抛物线C:y=2x(p>0)的焦点，A,B是抛物线C上不同的两点，且满足∠AFB=2 ， 设A,B到抛物线C的准线的距离分别为d,d,则A8 d1+d2 的最大值为() A.25 B.√5 c.3 3 1 3 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a6<0,S,>0,则() A.{an}是递减数列 B.las>laol C.当n=10时，S,取得最小值 D.当n=9时，Sn取得最大值 10.已知直线1：mx-y+1+3m=0,圆C:(x+2)2+y2=9,则() A.meR,l与C相交 B.3m∈R,使得圆心C到1的距离为2 C.当圆C截l所得的弦长为4√2时，m的值为0 D.当圆C上有4个点到1的距离为2时，m∈（-o,0) 11.已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn1=2Sn+2H，则() A.a2=6 n 是等差数列 2" 2 是等差数列 D.若Sn>n2+30n,则n的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,Sg=4,则a1,+a1g+a1,+a20=一 13.设3，为有穷正项等差数列{a,}的前n项和，若35=2025，则4+1的最小值为 a2a2024 14.椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。 已知椭圆C:女+上=1，F,B为其左，右焦点动直线1为此椭圆C的切线，右焦点B关于直线1的对称 43 第2页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 点P(x,y):S=3x+4y-22,则S的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S。=310,S0=1220 (1)求{an}的通项公式： (2)设T,为数列 的前n项和，求使得工>号0，的0的最小凰 16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2,AB=2V2,M是SB的中点，SA⊥ 平面ABCD S (1)证明：MC⊥BD; p (2)若点P是棱SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为y30, 的值 10 SC 17.已知抛物线x:y2=2x(p>0)经过点A1,V2),B1,-V2),C(2,V2)中的两个点，准线为1,0为 坐标原点. (1)求准线1的方程： (2)过点P(2,0)的直线与抛物线t交于M、N两点，直线1'：x=-4与x轴交于点Q,直线OM与'交 于点S,过点N作'的垂线，垂足为T,证明： 为定值 第3页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.已知在正项数列{an}中，a,=1且√Sn+√S1=a(n≥2)，其中Sn为数列{an}的前n项和. (1)求证：{Sn}是等差数列，并求an: (2)若对于任意n∈N,2”·1≥Sn恒成立，求实数1的取值范围： 3)设c,=a,-4n+10,d,=1 ，求数列{dn}的前n项和Tn CrCn+l 19.法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线 的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆 +京=1(a>b>0)的蒙日圆半径为V万，离心率为分. (1)求椭圆C的标准方程， (2)已知点P是抛物线C2:y2=4x的准线上任意一点，过点(1,0)的直线交C,于两点A,B直线AB 与C交于C,D两点，记S,S,分别是△PAB,△PCD的面积，求。+受的取值范围 S2 S 第4页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2025-2026学年高二上学期数学 参考答案 1.A2.D3.D4.D5.D6.B7.D8.A9.ABD 10.ACD 11.ABC 12.9 3.2 14.[5,45 8解：由抛物线的定义知，AF=d,BF=d,∠AFB=2 在△AFB中，由余弦定理得|ABP=d+d5-2d4,cos红=d片+d5+d (4+d)}(4+d}-(d+d,} 1 所以ABP di+di+did,(d+dz)-did,1did (d,+d2)2 又因为(d,+d2)224d,d2,所 (d+4,了4，当且仅当4=4时等号成立， 所以 4+ds1=4 H1-了，故+s25 AB 3 4 所以 4+丹的最大值为2 AB 3 15.解：(1)由于S10=310,S20=1220, ,10a+45d=310, 解得d=6 aa1=4, 故{20a,+190d=120, 所以an=a1+(n-1)d=6n-2 (2)由(1)知Sn=4n +6nn-=3n2+n,所以8=3n+1, 2 n 第1页/供6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 则数列 是以4为首项，3为公差的等差数列： n 所=加+3x2+ 5 3 32 由Tn> .53 0,得2m+2n>(6m-2), 2 2 即3n2-13n+6>0, 则n<13-7,或n>13+7 6 6 又因为n∈N,所以n的最小值为4. 16.解：(1)取AB的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q点， 在底面矩形ABCD中，可8am∠DBC=C=V2,an∠BC=%三边， BN 即tan∠DBC=tan∠BNC,则∠BNC=∠DBC, 可得∠BNC+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，所以BD⊥CN, 因为SA⊥平面ABCD,MNIISA,则MN⊥平面ABCD, 且BDC ABCD,所以BD⊥MN, 因为NOCN=N,MW,CNc平面MWC 可得BDL平面MWC,且MCc平面MNC, 所以MC⊥BD, (2)以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， S 则A(0,0,0),S(0,0,2),C2,2V5,0,B0,25,0)M(0,2,1, 可得AC=(2,2W,0,AM=(0,5,1,SC=(（2,2V5,-2,A否=(0,0,2)， 第2页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 设平面AMC的法向量为m=（x,y,z), 低-4同 设SP=5C=(2元，2W2元，-22)，其中0≤2≤1， 则Ap=4否+SP=(0,0,2)+(2元，2V2,-22=(21,22,2-2)； 因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为Y30 10 则cs(丽， m·AP 122(1--3@ mAdV5V1622-81+410 整理可得812+2以-1=0，解得=号或2= (舍去)，即P=1 17.解：(1)因为抛物线t:y2=2px(p>0)关于x轴对称， 可得必过A1,V2),B,-V2),C2,2)中的AV2),B1,-V2)两点， 代入可得(2)2=2px1,解得p=1, 所以抛物线：的方程为少-2x,准线1的方程为x=-号 (2)证明：设直线MN的方程为x=y+2且M(x,),N(x2,y2), x=y+2 联立方程组 y2=2x,整理的y2-20-4=0, 可得△=(-2)2+16>0，且+y2=2,yy2=-4, 则9y2=-2(y+2) 又直线OM的方程为y=兰x,令x=4,得点S的纵坐标以，=4， 又由过点N作1'的垂线，垂足为T,所以点T的纵坐标y=y2, 所以S_lys_s x 4 4 4y1 lot2 ky2(+2)y2 tyy2 +2y2 第3页/供6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 4x 4=2(定值)· “-2(04+2)+2y-24 18.解：(1)在数列{an}中，Sn-Sn1=an(n≥2)①， 又因为VSn+VS-1=ann≥2)②，an>0, 所号用-=≥2. 又因为VS,=√a,=1, 所以数列{√S。}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以VSn=1+(n-1)=n,所以Sn=n2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时，a1=1,也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知，Sn=n2, 因为对于任意a∈N心2，A≥S恒成立，所以天号恒成立. 设6-分则6女-a-分-2-a,+2, 2+1 2” 2+l 当n=1和2时，bn+1-bn>0,即b,<bn+1: 当n≥3，n∈N'时，bn1-bn<0,bn>bnl, 所以b<b2<b3>b4>b>…, 所议数别}的最大现是乌=号·所议天号 第4页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 即实数1的取值范围为 (3)由(1)知an=2n-1,所以cn=an-4n+10=9-2n. a-nd0-西ng2 所以d,1 所以虹=传》G动-引+乱2g) 非13+7n凯六》 19.解：(1)如图所示，显然直线x=a,y=b与C,相切，且相互垂直， y=b 则它们的交点(a,b)在蒙日圆上， a2+b2=7 c I 则由题意得 ,解得a2=4,b2=3, a 2 [c2=a2-b2 =4x得少-40-4=0，∴y+为=4，=4， x=y+1 (2)设直线AB的方程为x=y+1,由 从而AB=1+y-y2l=42+1) x=y+1 义由g+得3r+4)y+6-9=0, =1 -6t -9 为+%=32+4'%=3+4 12(2+1) 从而CDl=+F-y4仁3+4 第5页/共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP S= 4B卧h4B3+4之4（当且仅当1=O时，等号成 S2 IC 3 3 令m-是，则fm)是+=m+ S, S,S 由对勾函数的图像性质可知f(m)在(1，∞)上单调递增， 侧是+受)- 所以取值范围 [侣 第6页/供6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP